1.6 Nichtzentrale Kräftesysteme

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1 1.6 Nichtzentrale Kräftesysteme Zusammensetzen von ebenen Kräften mit verschiedenen ngriffspunkten Je zwei Kräfte bilden ein zentrales Kräftesystem, wenn sie nicht gerade zueinander parallel verlaufen (Spezialfall paralleler Kräfte später). Im Kraftplan werden Größe und Wirkungslinie der Teilresultierenden, im Lageplan die Lage des ngriffspunktes ermittelt. Der ngriffspunkt der Teilresultierenden R 13 ist im im Lageplan 1 der Schnittpunkt der Wirkungslinien der beiden Kräfte 1 und 3. nstelle der drei Kräfte ist die Teilresultierende R 13 und die Kraft 2 im statisch äquivalenten Lageplan 2 eingetragen. Im nächsten Schritt wird die verbleibende Kraft 2 mit der Teilresultierende R 13 zur Resultierenden R aller Kräfte zusammengefasst. Das Krafteck liefert wieder die Wirkungslinie und die Größe der resultierenden Kraft R. Im Lageplan 3 ist statisch äquivalent die Lage und der Richtungssinn der Resultierenden aller Kräfte eingetragen. Dabei ist die Lage der Wirkungslinie durch den Schnittpunkt D bestimmt. Lageplan 1 1 W 2 Kraftplan W 3 3 R W 2 1 R 13 W R 2 W 3 2 W 1 W 1 3 W R13 Lageplan 2 Lageplan 3 Übung 20

2 - Vergewissern Sie sich, dass die Reihenfolge der Zusammenfassung der Kräfte für das Endergebnis keine Rolle spielt! Was passiert bei anderer Reihenfolge mit der Lage des letzten Schnittpunktes D? Kräfte mit parallelen oder fast parallelen Wirkungslinien Die vorstehende Konstruktion wird schon bei fast parallelen Kräften wegen schleifender Schnitte unhandlich in der Durchführung. usgangspunkt ist die Situation in Lageplan 1. Statisch äquivalent zu dieser Belastung kann Lageplan 2 gezeichnet werden, bei dem ein Paar entgegengesetzt gleicher, geeigneter großer Hilfskräfte H und H auf einer gemeinsamen Wirkungslinie hinzugefügt wird (Gleichgewichtsgruppe). Je eine der Kräfte 1 und 2 wird im Kraftplan mit einer Hilfskraft zu einer Teilresultierenden zusammengefasst. Die Zusammenfassung der Teilresultierenden im Kraftplan zur gesuchten Resultierenden R liefert Wirkungslinie, Größe und Lage der gesuchten Resultierenden (Schnittpunkt ). Lageplan 1 Lageplan W 1 W 2 W 1 W 2 Kraftplan Lageplan 3 21

3 Bemerkung: Das Verfahren lässt sich für viele (fast) parallele Kräfte elegant zum sogenannten Seileckverfahren ausbauen, bei dem die Einzelschritte der Konstruktion elegant zusammengefasst werden Gleichgewicht von drei Kräften in der Ebene: Dreikräftesatz Zwei Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn sie entegegengesetzt gleich groß sind und auf derselben Wirkungslinie liegen. Sie bilden automatisch ein zentrales Kräftesystem. Lagepläne Kraftplan 1 P 2 ür das Gleichgewicht von drei Kräften gelten folgende Bedingungen: Drei-Kräfte-Satz 1. die resultierende Kraft verschwindet = 0 2. die drei Kräfte müssen in einer Ebene liegen 3. ihre Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden Nachweis: Wir fassen zwei der Kräfte zusammen, dazu müssen sich ihre Wirkungslinien schneiden: = R 12. Die beiden Kräfte und deren Resultierende liegen in einer Ebene. Die Resultierende R 12 bildet mit der dritten Kraft ein nichtzentrales Kräftesystem zweier Kräfte, für dessen Gleichgewicht notwendig ist, dass die beiden Kräfte auf ein und derselben Wirkungslinie liegen. Dazu muss die dritte Kraft in derselben Ebene wie die ersten beiden Kräfte liegen und ihre Wirkungslinie durch den Schnittpunkt der Wirkungslinie der ersten beiden Kräfte gehen. Gleichgewicht erfordert ferner, dass R = 0. 22

4 Lageplan 1 Kraftplan W R12 1 R 12 W 3 W 2 2 W 1 Lageplan 2 23

5 Erstes Beispiel zum Dreikräftesatz: Gelenkig gelagerter Balken Ein gelagerter Balken ist links und rechts reibungsfrei gelenkig gelagert, wobei am rechten Gelenk einen Stab als Stütze fungiert (Pendelstütze). Der Balken wird durch eine Kraft belastet. Der Lageplan des Problems ist gegeben. ür Gleichgewicht sind die Kräfte an den Gelenken und gesucht. Lösung: B Lageplan mit reischnittkontur B Lageplan des reischnitts S W Kraftplan W W W W ußer der gegebenen Kraft greifen an den Gelenken und Kräfte am Balken an (sein Gewicht wird vernachlässigt) drei Kräfte, und, die im Gleichgewicht stehen sollen. Das Problem ist eben Drei-Kräfte-Satz anwendbar. Die Wirkungslinie der Kraft ist bekannt, diejenige der Kraft bei muss der chse des Stabes folgen estlegung des Schnittpunkts S. Wirkungslinie der Kraft bei : 24

6 Die Wirkungslinie von muss durch des Gelenk bei und durch den Schnittpunkt S laufen. ür Gleichgewicht muss im Kraftplan daher die Kraft in zwei Kräfte mit gegebenen Wirkungslinien zerlegt werden, die zusammen ein geschlossenes Krafteck bilden. Übung: - Schneiden Sie die Pendelstütze frei und bestimmen Sie grafisch die Kraft bei B! - us welchem Grund muss die Gelenkkraft bei dem obigem dargestellten reischnitt die Richtung der chse der Pendelstütze annehmen? 25

7 Zweites Beispiel zum Dreikräftesatz: Reibungsfreie Umlenkrolle Eine Umlenkrolle für ein Seil ist bei reibungsfrei gelenkig gelagert. m Seil greifen Zugkräfte S 1 und S 2 an, wobei die Seilkraft S 1 gegeben sein soll. S 1 Der Lageplan des Problems ist gegeben. ür Gleichgewicht ist die Seilkraft S 2 zu bestimmen. S 2 Lageplan des reischnitts Kraftplan S 1 S 2 Lösung: Die Rolle ist freizuschneiden. Neben den beiden Seitkräften greift am Gelenk bei die uflagerkraft an. Die Seile geben die Wirkungslinie der Seilkräfte vor. Diese Wirkungslinien schneiden sich im Punkt S. Die Wirkungslinie der uflagerkraft muss als dritte Kraft ebenfalls durch diesen Schnittpunkt gehen. Da die Kontur der Rolle ein Kreis ist, halbiert die Wirkungslinie der uflagerkraft den Winkel zwischen den Seilkräften. Im Kraftplan entsteht ein gleichschenkliges Dreieck mit der Kraft auf der Basis des Dreiecks. Unabhängig von der Größe der Seilkraft S 1 gilt aus Symmetriegründen: S 1 = S 2. Eine reibungsfrei gelagert Umlenkrolle lenkt daher die Richtung der Seilkräfte lediglich um, ohne ihre Größe zu verändern. Bei einer nichtreibungsfrei gelagerten Rolle, wird die Drehbewegung im Lager behindert. Solange dieser Widerstand nicht überwunden ist, können sich die Seilk rafte unterscheiden. 26

8 Drittes Beispiel zum Dreikräftesatz: a b Ebenes achwerk Gegeben ist der Lageplan eines achwerks aus vier Stäben. m Gelenk greift ein einzelner Stab an, am Gelenk bei B zwei Stäbe. Das System wird belastet durch eine Kraft, die am gemeinsamen Gelenkpunkt der Stäbe 1 und 2 angreift. h B 2 1 β ür Gleichgewicht sind die uflagerkräfte bei und B und die Stabkräfte S 1 und S 2 gesucht. Lösung: 1 B 2 Durch den reischnitt I kann mit dem Dreikräftesatz die Richtung der Kraft bei B bestimmt werden. Der Kraftplan liefert durch die Zerlegung von die Kräfte bei und B. Demnach wird das Lager bei auf Zug belastet, das Lager bei B auf Druck. Die Größe der Kräfte lässt sich aus dem maßstäblichen Kraftplan ablesen. Durch den reischnitt II werden die Stabkräfte S 1 und S 2 bestimmbar. Es ergibt sich aus dem Kraftplan, dass der Stab 1 ein Zugstab ist, der Stab 2 dagegen ein Druckstab. Die Größe der Kräfte lässt sich wieder aus dem maßstäblichen Kraftplan ablesen. 27

9 Übung: - Zeichnen Sie den Lageplan für einen reischnitt, der durch die Gelenke bei und B und die Stäbe 1 und 2 schneidet! Vergewissern Sie sich, dass die Stabkräfte und die Lagerkräfte auch für dieses Teilsystem ein geschlossenes Krafteck bilden und Gleichgewicht auch für dieses Teilsystem herrscht! 28

10 Rechnerische Lösung zum ebenen achwerk Es sind wie bei der grafischen Lösung geeignete reischnitte festzulegen. a b Wir wählen für jeden reischnitt rechtwinklige Koordinatensysteme, und es werden, soweit bekannt, die Wirkungslinien der Kräfte eingetragen. Dies sind neben den gegebenen Kräften typischerweise die Stabkräfte. Einfache freigeschnittene Stäbe liegen beim reischnitt I am uflager und beim reischnitt II für die Stäbe 1 und 2 vor. h B 2 1 β m Gelenk des uflagers B laufen die Kräfte zweier Stäbe zusammen und bilden eine Resultierende, die im llgemeinen weder die Richtung des einen noch des anderen Stabes hat (kein Nullstab bei B). ür die rechnerische Löesung setzen wir deshalb unbekannte Komponenten in x- und y-richtung an. Da wir in der grafischen Lösung schon die Kräfte, B sowie S 1, S 2 definiert haben wollen wir bei den hier neu getroffenen Definitionen der Unbekannten wieder einen Index zur Unterscheidung anheften. ür die Stäbe wählen wir die Richtungen wieder als Zugstäbe, aus der bereits durchgeführten grafischen Lösung wissen wir, dass sich olgendes ergeben sollte: Lageplan mit reischnittkonturen I und II 1 B 2 II I Richtung der Kraft bei : = Kraftkomponenten bei B: B x > 0, B y > 0 Stab 1 ist Zugstab: S 1 > 0 Stab 2 ist Druckstab: S 2 < 0 Lageplan reischnitt I W * α y x W B S W I Gleichgewichtsbedingungen für reischnitt I: (1) (2) B x * B y * Dies sind zwei Gleichungen für die drei Unbekannten. Eine fehlende Gleichung liefert der Drei-Kräfte-Satz mit der Bedingung für die Richtung der Kraft bei B: Lageplan reischnitt II S 1 * y x (3) Da wegen Gl. (2) By > 0 für den gegebenen Richtungssinn von herauskommt, wird mit Gl. (3) auch wie erwartet Bx > 0 und aus Gl. (2) folgt < 0. S 2 * W S2 W S1 29

11 Gleichgewichtsbedingungen für reischnitt II: iy = 0 : ix = 0 : +S 1 h h 2 + b 2 sin β = 0 S 1 = + S 1 b h 2 + b 2 S 2 cos β = 0 S 2 = h 2 + b 2 h sin β > 0 (4) ( ) b sin β + cos β h (5) Das Vorzeichen von S 2 richtet sich nach dem Vorzeichen der Klammer und damit nach dem Verhältnis von h/b. Dies wird auch aus dem Krafteck des Kraftplans für reischnitt II ersichtlich: S 2 < 0 falls für 0 β < π gilt, dass cot β > b h. Diskussion der rechnerischen Lösung: Die rechnerische Lösung erfordert die uswertung der Lage des Schnittpunktes. Dies führt hier auf Gleichung (??). Die Ermittlung solcher geometrischer Bedingungen ist im llgemeinen all umständlich. Schon bei diesem einfachen Beispiel muss gegenüber der grafischen Lösung erheblich mehr ufwand betrieben werden. Insbesondere für dreidimensionale Probleme werden vergleichbare geometrische Bedingung außerordentlich unübersichtlich. Wir werden im nächsten Kapitel mit der Momentenbilanz eine elegante Methode kennenerlernen, diesen ufwand zu umgehen. 30

12 1.6.4 Gleichgewicht von vier Kräften in der Ebene Drei Kräfte in der Ebene können nur dann im Gleichgewicht sein, wenn sie ein zentrales Kräftesystem bilden (Drei-Kräfte-Satz). Vier Kräfte brauchen dagegen kein zentrales Kräftesystem mehr zu bilden, jedoch müssen die Teilresultierenden aus je zwei Kräften entgegengesetzt gleich groß sein und auf einer gemeinsamen Geraden durch die Schnittpunkte der Wirkungslinien der die Teilresultierenden bildenden Kräfte liegen (Zurückführung des Problems auf das Gleichgewicht zweier Kräfte). Die so definierte Gerade wird ulmannnsche Gerade genannnt. und Lageplan 1 W 4 W 2 Kraftplan ulmannsche Gerade 3 3 W R 13 1 W R 24 2 Lageplan 2 W 4 2 W 2 R W 1 R 1 W 3 31

13 Übungen - Überzeugen Sie sich, dass, wenn eine Kraft nach Größe und Richtung und die Wirkungslinien der anderen drei Kräfe gegeben sind, auch die Größen der anderen drei Kräfte eindeutig festgelegt sind! - Überzeugen Sie sich, dass die ulmannsche Gerade von der Wahl der Teilresultierenden abhängt. Überzeugen Sie sich, dass es aber für das Ergebnis unerheblich ist, mit welchen Kräften die Teilresultierenden gebildet werden! Beispiel Die uflagerreaktionen bei, B, sind für die Belastung des Körpers durch die eingetragene Kraft zu ermitteln. B Lageplan mit reischnittkontur B Lageplan des reischnitts Kraftplan ulmannsche Gerade ulmannsche Gerade B W W B B W 32

14 Bemerkung: Die Konstruktion der ulmannschen Gerade führt das Vier-Kräfte-Problem auf das Gleichgewicht zweier Kräfte zurück. Man kann sich den Körper durch einen Stab ersetzt denken, der die Schnittpunkte, die die ulmannsche Gerade festlegen, verbindet. m Stabende müssen die Kräfte für Gleichgewicht den Richtungssinn der Stabachse besitzen. Dies wurde in der geometrische Bedingung der Gl. (3) verwertet und bestimmt hier den Richtungssinn der Teilresultierenden auf der ulmannschen Gerade. Wird die Kraftrichtung der Stabachse nicht angepasst, so ergibt sich die abgebildetet Situation. Kraftplan Lageplan Lageplan (Körper reduziert zum Stab) 1 W 2 1 W z z x y W 1 2 x y W 1 2 Stabachse bzw. ulmannsche Gerade Die Betrachtung der Kraftecks im Kraftplan reicht offensichtlich für das Gleichgewicht eines nichtzentralen Kräftesystems nicht aus. lle Kräfte, die gleiche Richtung haben und entgegengesetzt gleich sind, erfüllen die Bedingung = 0. Der Lageplan zu dem Kraftplan für = 0 zeigt anschaulich, dass der Körper nicht im Gleichgewicht ist. Intuitiv vermutet man, dass der Körper bei der Belastung durch die beiden Kräfte in eine Drehbewegung versetzt wird. Die Lage der Wirkungslinien zueinander entscheiden mit über das Gleichgewicht. Eine Information über die Position der Wirkungslinie kann im Kraftplan jedoch nicht abgelesen werden. Die zugrunde liegende Problematik wird im nächsten bschnitt durch eine weitere Gleichgewichtsbedingung ersetzt, die ein neues Konzept erfordert, nämlich das Konzept des Momentes einer Kraft. Mit dem Konzept des Momentes wird diese räumliche Information mit verarbeitet. Mit ihm kann die grafische und die rechnerische Behandlung von Gleichgewichtsproblemen wesentlich vereinfacht und insbesonders auch räumliche Probleme einer eleganten Lösung zugänglich gemacht werden. erner wird dann auch die ussage das drei Kräfte in der Ebene nur dann im Gleichgewicht sein können, wenn sie sich in einem Punkt schneiden (Drei-Kräfte-Satzes) neu begründet. 33

15 1.7 Räumliches Kräftesystem Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes rchimedes: Gib mir einen festen Punkt, und ich werde dir die Welt aus den ngeln heben. Wir wollen das Hebelgesetz und die Untersuchung des Gleichgewichts am Hebel nutzen, um das Moment einer Kraft einzuführen. ür den waagerecht stehenden Waagebalken der bbildung wissen wir aus der Erfahrung, dass die Waage ausbalanciert ist, falls jeweils das Produckt aus Kraft und Hebelarm gleich groß ist: 1 l 1 = 2 l 2 Oder anders ausgedrückt: die lächen der beiden eingetragenen Rechtecke müssen für Gleichgewicht gleich groß. Wir wollen eine bkürzung einführen und das Produkt l := M nennen. ür Gleichgewicht gilt also: M 1 = M 2 Wir wissen, dass Kräfte statisch äuivalent sind, wenn sie entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Damit ist auch der schrägstehende Waagebalken wieder im Gleichgewicht, denn die Parallelogramme besitzen die gleichen lächeninhalte wie die Rechtecke (zum Beispiel l 1 = r 1 sin α 1 ). Die lächen der Parallelogramme können wir elegant durch den Betrag des Vektorproduktes ausrechnen. r = r sin α Wir führen einen neuen Vektor, den Momentenvektor, durch M := r ein. Der Richtungssinn des Vektors M gibt dabei die Drehrichtung der Kraft an (Rechte-Hand- Regel). Wir können das Gleichgewicht jetzt so formulieren: M 1 = M 2 ür Gleichgewicht liefert also der Vektorplan für die Momentenvektoren ein geschlossenes Vektoreck: M 1 + M 2 = 0 34

16 Der Momentenvektor M steht senkrecht auf der Ebene, die durch r und aufgespannt wird. ür kartesische Koordinatensysteme können wir die Vektoren folgendermaßen angeben: M = M x M y r = r x r y = x y M z r z z Die Komponenten erhält man beispielsweise mit der Methode des zyklisches Vertauschen der Indizes x, y, z mit der Vorzeichenregel: Die Indizes der Spalten tauschen sich offensichtlich zyklisch positiv. Beispiele: 1. Eine Umkehrung der Kraftrichtung, bewirkt eine Umkehr des Momentes: = 2. ür ebene Probleme mit r = (r x, r y, 0) und = ( x, y, 0) weist der Momentenvektor entweder in positive oder negative z-richtung: M = M x M y M z = 3. Zwei Kräfte 1 und 2 besitzen bezüglich eines beliebig gewählten Bezugspunktes die Momente: M 1 = r 1 1, M2 = r 2 2. Die Vektoraddition der Momente liefert ein resultierendes Moment M res = M 1 + M 2 = r r 2 2. Da wir eine Resultierende aus den Kräften bilden können, = R und mit der Resultierenden R ein Moment M R = r R R bezüglich des Bezugspunktes, stellt sich die rage, ob das resultierende Moment M res und das Moment der Resultierenden M R miteinander in Verbindung gebracht werden und dadurch eine ussage über r R gemacht werden kann. 4. Eine Verfielfachung des bstands des Kraft vom Drehpunkt r = c r mit beliebiger Konstanten c vervielfacht das Moment: r = c r M = c M Das Moment einer Kraft hängt damit vom Bezugspunkt ab. Diese ussage führt uns unmittelbar zu den beiden folgenden bschnitten. 35

17 Übung - Ändert das Verschieben der Kraft auf ihrer Wirkungslinie das Moment der Kraft bezüglich eines beliebig gewählten Bezugspunktes? Zeigen Sie dazu, dass die Momente M 1 = r 1 und M 2 = r 2 gleiche Richtung und gleiche Größe r 1 haben: M 1 = M 2! z r 2 P x y W 36

18 1.7.2 Das Kräftepaar Wir betrachten nun zwei Kräfte, von denen wir fordern, dass sie entgegengesetzt gleich groß sind: 1 =! 2 =. Kraftplan Lageplan Sie mögen aber auf zwei um den bstand l parallelverschobenen Wirkungslinien W 1 und W 2 liegen. Wir wählen einen beliebigen Bezugspunkt P und berechnen das resultierende Moment dieses Kräftepaares zu: 1 2 z W 1 x y 1 l 2 W 2 Wir erkennen, dass ein Kräftepaar keine resultierende Kraft erzeugt. Trotzdem ist der Körper nicht im Gleichgewicht, denn das Kräftepaar erzeugt ein resultierendes Moment, unabhängig vom Bezugspunkt P. z x y r r 1 r 2 P Das Moment hängt lediglich von der Richtung und vom bstand der Wirkungslinien der Kräfte des Kräftepaares ab und ist frei verschiebbar nicht nur entlang seiner Wirkungslinie, sondern auch parallel dazu. l Das Moment wird deshalb freies Moment genannt. Ein Kräftepaar ist statisch äquivalent zu einem freien Moment. Das Kräftepaar ist also auch frei verschiebbar in der Ebene, die es aufspannt. Es gilt die ussage: Zwei Kräftepaare 1, 1 und 2, 2 sind statisch äquivalent, wenn sie das gleiche Moment besitzen: z x y Übung: r 1 1 = M 1 M 2 = r Diskutieren Sie die Behauptung: Zwei Kräftepaare 1, 1 und 2, 2 sind statisch äquivalent, wenn 1 r 1 sin α 1 = 2 r 2 sin α 2, wobei die α i, i = 1, 2 die eingeschlossenen Winkel bei Drehung der Vektoren r i, i = 1, 2 in den Richtungssinn der Vektoren i, i = 1, 2 bedeuten. 37

19 1.7.3 Parallelverschieben einer Kraft ür eine starren Körper kann eine Kraft statisch äquivalent entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Dieses Verschieben auf der Wirkungslinie ändert nicht das Moment der Kraft bezüglich irgendeines Bezugspunktes. Ein Verschieben parallel zur Wirkungslinie jedoch, ändert die Belastung des Körpers, da sich hierdurch das Moment der Kraft ändert. Das Moment einer Einzelkraft ist im Gegensatz zum Moment eines Kräftepaares ein gebundenes Moment. Mit Hilfe des Begriffes Kräftepaar lassen sich Einzelkräfte statisch äquivalent parallelverschieben. Die Kraft im linken Lageplan soll in den Punkt P parallel verschoben werden. H = z z z x y P x y P x y P r M W H = W W Zur Lösung des Problems wird statisch äquivalent eine Gleichgewichtsgruppe aus zwei entgegengesetzt gleich großen Hilskräften H und H auf der parallelen Wirkungslinie durch den Punkt P hinzugefügt. Die Kraft H = übernimmt die Rolle der Kraft, die verbleibenden Kräfte H und bilden ein Kräftepaar. Dieses Kräftepaar ist statisch äquivalent mit einem freien Moment. Das Parallelverschieben der Kraft bleibt also nicht wirkungslos. Greift im Punkt P an, so kommt ein Versatzmoment M = r hinzu. Bestandsaufnahme für Kräfte und Momente an starren Körpern: Kräfte können statisch äquivalent entlang ihrer Wirkungslinie beliebig verschoben werden Kräfte können statisch äquivalent parallel zu ihrer Wirkungslinie verschoben werden, wenn des gebundene Moment der Kraft bezüglich der parallelen Wirkungslinie als freies Moment (Versatzmoment) hinzugefügt wird. Das Moment einer Kraft ist ein gebundenes Moment (vom Bezugspunkt abhängig) Das Moment eines Kräftepaares ist ein freies Moment (vom Bezugspunkt unabhängig) Kräftepaare und freie Momente sind statisch äquivalent 38