3. Schulaufgabe aus der Mathematik Lösungshinweise

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Innozenz Kerner
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1 3. Schulaufgabe aus der Mathematik Lösungshinweise Gruppe A Aufgabe 1 Von den 32 Karten sind 4 Asse, also ist P (Ass) = 4 32 = 1 8 = 0, 125 = 12, 5%. Es sind 8 Herzkarten (ein Viertel der gesamten Karten) und somit P (Herz) = 8 32 = 1 4 = 0, 25 = 25%. (Man kann auch gleich argumentieren, dass es 4 unterschiedliche Farben mit jeweils gleich vielen Spielkarten sind und deswegen P (Herz) = 1 4 ist.) Es gibt 8 Herzkarten und dazu noch 3 andersfarbige Asse, also sind 11 Karten Herz oder ein Ass, und somit P (Herz oder Ass) = = 0, = 34, 375%. (6 Punkte) Aufgabe 2 Nur auf die letzten 4 Fragen kommt es an, da die ersten beiden Fragen sicher richtig beantwortet werden (es ist dann kein Zufallsexperiment!). Für diese gibt es = 108 Möglichkeiten, sie zu beantworten. Da jeweils eine Frage richtig ist, gibt es Möglichkeiten, falsche Kreuze zu machen, also ist die Wahrscheinlichkeit P (letzten 4 Fragen falsch) = = = 2 9 (6 Punkte) (a) Der Trainer kann noch 4 aus 7 Abwehrspielern und 2 aus 6 Angreifern auswählen, das macht insgesamt: ( ) ( ) 7 6 = = Aufgabe 3 verschiedene Möglichkeiten, die Mannschaft zusammenzustellen. (4 Punkte)

2 (b) Man stelle sich vor, es würde platzweise aufgestellt, für den 1. Platz hat man dann 11 Möglichkeiten einen Spieler auszuwählen, für den 2. Platz 10 Möglichkeiten (weil nach der ersten Wahl nur noch 10 Spieler übrig sind), für den 3. Platz 9 Möglichkeiten usw. für den 11. Platz hat man dann nur noch 1 Möglichkeit. Das macht insgesamt Möglichkeiten = 11! = (4 Punkte) (c) Zunächst werden die zu fotograerenden Spieler in Blöcke aufgeteilt (Abwehr, Mittelfeld, Angri, Tor). Da der Torwart ganz rechts steht, muss man diese 3 Blöcke nebeneinander stellen. Das geht auf 3! verschiedene Weisen. (analog wie Aufgabe b). Dann muss man die Reihenfolge innerhalb der Blöcke festlegen. Im Abwehrblock hat man 4 Spieler, also 4! verschiedene Möglichkeiten, die Reihenfolge festzulegen, im Mittelfeldblock sind es auch 4 Spieler, also hat man auch hier 4! verschiedene Möglichkeiten. Der Angri hat 2 Spieler, dort gibt es nur 2! = 2 Möglichkeiten. Insgesamt hat man also Möglichkeiten. 3! 4! 4! 2 = = 6912 (5 Punkte) (a) Um die Denitionslücken zu ermitteln, muss man bestimmen, wann der Nenner 0 wird. Das ist hier für x + 2 = 0, also x = 2 der Fall. Aufgabe 4 Die Denitionsmenge ist dann natürlich D f = Q \ { 2}. Die senkrechte Asymptote ist gerade durch die Denitionslücke gegeben, sie ist x = 2 (genauer: die Gerade mit der Eigenschaft x = 2, also die Menge {(x, y) R 2 x = 2}). Zur Ermittlung der waagrechten Asymptote untersucht man, welchen Wert die Funktion annimmt, wenn x sehr, sehr groÿ ist. Für sehr groÿe x kann man die 2 im Zähler und die +2 vernachlässigen: 2x 2 x = 2.

3 Die waagrechte Asymptote ist also y = 2. (6 Punkte) (b) Man berechnet: f( 3) = 2 ( 3) 2 = = 8, f(0) = = 2 2 = 1, f(3) = = 4 5 = 0, 8. Mit diesen Punkten und den in (a) ermittelten Asymptoten erhält man folgenden Funktionsgraphen: (7 Punkte) Aufgabe 5 Zur Funktion f gehört der Graph A. Dieser hat eine senkrechte Asymptote bei x = 4 und eine waagrechte Asymptote bei y = 0. Auÿerdem kommen sowohl positive als auch negative Funktionswerte vor. Die Funktion g ist eine lineare Funktion, ihr Graph ist eine Gerade, also Graph C. Zur Funktion h gehört der Graph B, denn nur dieser besitzt 2 senkrechte Asymptoten.

4 Zur Funktion r gehört der Graph F. Er hat eine senkrechte Asymptote bei x = 4 und es treten nur negative y-werte auf. Zur Funktion s gehört der Graph E. Es kommen keine positiven y-werte vor und es gibt keine Denitionslücke.

5 Gruppe B Aufgabe 1 Von den 32 Karten sind 4 Asse, also ist P (Ass) = 4 32 = 1 8 = 0, 125 = 12, 5%. Es sind 8 Herzkarten (ein Viertel der gesamten Karten) und somit P (Herz) = 8 32 = 1 4 = 0, 25 = 25%. (Man kann auch gleich argumentieren, dass es 4 unterschiedliche Farben mit jeweils gleich vielen Spielkarten sind und deswegen P (Herz) = 1 4 ist.) Es gibt 8 Herzkarten und dazu noch 3 andersfarbige Asse, also sind 11 Karten Herz oder ein Ass, und somit P (Herz oder Ass) = = 0, = 34, 375%. (6 Punkte) Aufgabe 2 Nur auf die letzten 3 Fragen kommt es an, da die ersten beiden Fragen sicher richtig beantwortet werden (es ist dann kein Zufallsexperiment!). Für diese gibt es = 80 Möglichkeiten, sie zu beantworten. Da jeweils eine Frage richtig ist, gibt es = 36 Möglichkeiten, falsche Kreuze zu machen, also ist die Wahrscheinlichkeit P (letzten 3 Fragen falsch) = = 9 20 (6 Punkte) (a) Der Trainer kann noch 3 aus 6 Abwehrspielern und 2 aus 5 Angreifern auswählen, das macht insgesamt: ( ) ( ) 6 5 = = Aufgabe 3 verschiedene Möglichkeiten, die Mannschaft zusammenzustellen. (4 Punkte)

6 (b) Man stelle sich vor, es würde platzweise aufgestellt, für den 1. Platz hat man dann 11 Möglichkeiten einen Spieler auszuwählen, für den 2. Platz 10 Möglichkeiten (weil nach der ersten Wahl nur noch 10 Spieler übrig sind), für den 3. Platz 9 Möglichkeiten usw. für den 11. Platz hat man dann nur noch 1 Möglichkeit. Das macht insgesamt Möglichkeiten = 11! = (4 Punkte) (c) Zunächst werden die zu fotograerenden Spieler in Blöcke aufgeteilt (Abwehr, Mittelfeld, Angri, Tor). Da der Torwart ganz rechts steht, muss man diese 3 Blöcke nebeneinander stellen. Das geht auf 3! verschiedene Weisen. (analog wie Aufgabe b). Dann muss man die Reihenfolge innerhalb der Blöcke festlegen. Im Abwehrblock hat man 3 Spieler, also 3! verschiedene Möglichkeiten, die Reihenfolge festzulegen, im Mittelfeldblock sind es 5 Spieler, also hat man hier 5! verschiedene Möglichkeiten. Der Angri hat 2 Spieler, dort gibt es nur 2! = 2 Möglichkeiten. Insgesamt hat man also Möglichkeiten. 3! 3! 5! 2 = = 4322 (5 Punkte) (a) Um die Denitionslücken zu ermitteln, muss man bestimmen, wann der Nenner 0 wird. Das ist hier für x + 1 = 0, also x = 1 der Fall. Aufgabe 4 Die Denitionsmenge ist dann natürlich D f = Q \ { 1}. Die senkrechte Asymptote ist gerade durch die Denitionslücke gegeben, sie ist x = 1 (genauer: die Gerade mit der Eigenschaft x = 1, also die Menge {(x, y) R 2 x = 1}). Zur Ermittlung der waagrechten Asymptote untersucht man, welchen Wert die Funktion annimmt, wenn x sehr, sehr groÿ ist. Für sehr groÿe x kann man die 4 im Zähler und die +1 vernachlässigen: 2x 4 x = 2.

7 Die waagrechte Asymptote ist also y = 2. (6 Punkte) (b) Man berechnet: f( 3) = 2 ( 3) = 10 2 = 5, f(0) = = 4 1 = 4, f(3) = = 2 4 = 0, 5. Mit diesen Punkten und den in (a) ermittelten Asymptoten erhält man folgenden Funktionsgraphen: (7 Punkte) Aufgabe 5 Zur Funktion f gehört der Graph B. Dieser hat eine senkrechte Asymptote bei x = 4 und eine waagrechte Asymptote bei y = 0. Auÿerdem kommen sowohl positive als auch negative Funktionswerte vor. Die Funktion g ist eine lineare Funktion, ihr Graph ist eine Gerade, also Graph H. Zur Funktion h gehört der Graph E, denn nur dieser besitzt 2 senkrechte Asymptoten.

8 Zur Funktion r gehört der Graph D. Er hat eine senkrechte Asymptote bei x = 4 und es treten nur negative y-werte auf. Zur Funktion s gehört der Graph A. Es kommen keine positiven y-werte vor und es gibt keine Denitionslücke.

9 Punkteschlüssel: Punkte Note 38, ,5 3 18,524,5 4 9,

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