SPEKTRALE GRAPHENTHEORIE

Transkript

1 SPEKTRALE GRAPHENTHEORIE 179

2 Graphen, Matrizen, Spektren! Graph als Matrix:! Adjazenzmatrix! Inzidenzmatrix! Laplacematrix!...! Spektrum: Menge der Eigenwerte! Motivation: Sagt das Spektrum etwas über die Struktur des Graphen? 180

3 Spektrale Graphentheorie! Untersuchung von Graphen durch ihre Eigenwerte und Eigenvektoren! Verwandt zur Simulation von (z. B. physikalischen) Prozessen auf Graphen! Beispiel: Random Walks! Beispiel: Elektrische Netzwerke [ Random_walk_in2D_closeup.png/510px-Random_walk_in2D_closeup.png] 181

4 Existenz der Eigenwerte und -vektoren! Ungerichtete Graphen => Die meisten zugehörigen Matrizen sind symmetrisch! Wdh.:! Die Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix M bilden eine orthonormale Basis.! M hat n Eigenwerte (Mehrfachaufkommen mehrfach gezählt).! NB: Andere Matrizen ähnlich zu symmetrischen Matrizen:! Matrizen haben Form MD -1 mit M symmetrisch und D nichtsingulär! Dann ist D -1/2 MD -1/2 symmetrisch und hat dieselben Eigenwerte! Spektrale Zerlegung einer Matrix: Siehe Tafel 182

5 Operatoren auf den Knoten! EW und EV: Bieten Analyse für wiederholte Anwendung eines Operators auf einen Vektor! Siehe Tafel! Wichtig: Betrachte Vektor x als Funktion x: V! R! Anwendung des Adjazenz-Operators A:! Siehe Tafel! Summe der Werte der Nachbarn! Ähnlich zu Ausbreitungsprozess 183

6 Diffusion im Graphen! Diffusion: Bestreben eines Stoffes, sich im Raum auszubreiten! Diffusionsoperator beschreibt Prozess, in dem! ein Stoff zwischen einem Knoten! und seinen Nachbarn ausgetauscht wird! Verwandt mit Irrfahrten (Random Walks)! Starte auf einem beliebigen Knoten v! Gehe zu einem Nachbarn von v, der zufällig gleichverteilt gewählt wird! Iteriere das Verfahren, bis Abbruchbedingung (variiert) erfüllt 184

7 Matrix des Random Walks! Gradmatrix D: Diagonalmatrix mit D(i,i) = deg(i)! Random-Walk-Matrix: W := A D -1! W(i, j) = A(i, j) / D(j, j)! W(i, j) ist Wkt., in einem Schritt von j nach i zu gehen! Wkt.verteilung p! W*p ist Wkt.verteilung, die man erhält, indem man! einen Knoten v gemäß p auswählt! und dann zu einem zufällig gewählten Nachbarn von v geht! EV und EW von W G verraten Strukturinfos über G 185

8 Laplace-Matrix! Laplace-Matrix: L = D A! Quadratische Form: Siehe Tafel! Häufiges Auftreten in Anwendungen:! Partielle Differentialgleichungen, z. B. Diffusion! Elektrische Netzwerke! Maschinelles Lernen! Konnektivität, Partitionierung von Graphen!

9 Exkurs 1: Diffusion per LGS! Das vorgestellte Diffusionsverfahren arbeitet lokal! Motivation: Kommen wir bei zentraler Berechnung schneller an die Lösung?! Gesucht: Flussvektor y, so dass gilt:! y balanciert, d. h. w (0) By = w (w balancierte Last)! y 2 minimal unter allen balancierenden Flüssen! Herleitung: Siehe Tafel 187

10 Exkurs 2: Elektrische Netzwerke! Jede Kante e hat einen Widerstand 1/w e! Jeder Knoten i ist eine Stromquelle, die dem System a i Ampere Strom zuführt! Strom verlässt den Stromkreis über den geerdeten Knoten! Jeder Knoten i hat ein Potential y i! Stromfluss zwischen Knoten i und j: (y i y j )w ij! Potential berechenbar durch LGS mit Laplace-Matrix 188

11 Exkurs 3a: Konnektivität! Def.: Partition Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. Dann ist (V 1, V 2 ) mit! V 1, V 2 V und! V 1 Å V 2 = ; und! V 1 V 2 = V eine Partition von G. V 1 V 2 Achtung: Zusammenhang nicht notwendig!! Def.: Eine Partition (V 1, V 2 ) heißt balanciert, wenn V 1 V 2 1 gilt.! Bei der Zerlegung in zwei Teile spricht man auch von einer Bipartition. 189

12 Schnitt, Bisektionsweite! Def.: Schnitt Ext(V 1,V 2 ) = {{u,v} E; u V 1,v V 2 } ist die Menge der Kanten, die zwischen V 1 und V 2 verlaufen und heißt Schnitt der Partition.! Def.: Bisektionsweite (Bisektionsbandbreite, bisection bandwidth) Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. Die Bisektionsweite σ(g) ist definiert als: σ(g) = min{ Ext(V 1, V 2 ) ; (V 1, V 2 ) ist eine balancierte Partition von G}! Satz: (Untere Schranke für ¾) ¾(G) n * 2 / 4! Beweis: Siehe Tafel 190

13 Exkurs 3b: Zusammenhang! Satz: Die Zahl der ZHK von G ist gleich der Häufigkeit des Eigenwerts 0 von L(G).! Beweis: Tafel und/oder Übung 191

14 Zusammenfassung! Zusammenhang Spektrum Graphstruktur:! Zusammenhang, Konnektivität! Diffusion, elektrische Netzwerke! Nächste Woche mehr davon