Ferienkurs Quantenmechanik Sommersemester Elektromagnetische Felder und Störungstheorie

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1 Elektromagetische Felder Feriekurs Quatemechaik Sommersemester 013 Seite 1 Daiel Roseblüh ud Floria Häse Fakultät für Physik Techische Uiversität Müche Elektromagetische Felder ud Störugstheorie Im Folgede wolle wir geauer utersuche, wie sich elektromagetische Felder auf geladee Teilche auswirke. Darüber hiaus wolle wir eiige Techike keelere, durch die kleie Störugsterme im Hamiltooperator elegat behadelt werde köe 1 Wechselwirkug geladeer Teilche mit elektromagetische Felder Im Folgede wolle wir ei Teilche der Masse m ud der Ladug q i eiem äußere elektromagetische Feld betrachte 1. Wie bereits aus der Elektrodyamik bekat ist, köe elektromagetische E- ud B-Felder durch zeitliche ud räumliche Ableituge eies skalare Potetials Φ ud eies Vektorpotetials A dargestellt werde. Es gilt dabei E = t A Φ ud B = A Zu beachte ist a dieser Stelle, dass die Felder bzw. Potetiale selbstverstädlich orts- ud zeitabhägig sei köe. Eie solche Darstellug vo E- ud B-Felder ist legitim, da die Maxwell Gleichuge ach wie vor erfüllt sid. Ausgehed vo de homogee Maxwellgleichuge B = 0 ud E = B t sieht ma ahad der erste Gleichug zuächst, dass ma das Magetfeld durch die Rotatio eies adere Vektorfeldes ausdrücke ka. Davo ausgehed ka ma ahad der zweite Gleichug sehe, dass das elektrische Feld durch de Gradiet eies skalare Potetials dargestellt werde ka, wobei och die egative zeitliche Ableitug des Vektorfeldes abgezoge werde muss, um die Gleichug zu erfülle. Daher ist 1 Zu beachte ist a dieser Stelle, dass ei Elektro selbstverstädlich die Ladug e trägt, was i alle Gleichuge ubedigt berücksichtigt werde muss! 1

2 Elektromagetische Felder Seite diese Darstelle elektromagetischer Felder legitim. Ausgehed davo ka ma die klassische Hamiltofuktio für ei geladees Teilche i eiem elektromagetische Feld suche. Bekat ist, dass die Hamiltosche Bewegugsgleichug, die aus der Hamiltofuktio abgeleitet werde köe, die Loretzkraft m d dt r = q ( E + v B ) reproduziere muss. Für die Hamiltofuktio ka ma demach eie Asatz wähle ud diese verifiziere, idem ma die korrekte Bewegugsgleichug ableitet. Eie Möglichkeit die Hamiltofuktio darzustelle ist H( r, p) = 1 [ p qa( r, m t)] + qφ( r, t) Aus dieser Darstellug ka u die korrekte Bewegugsgleichug berechet werde. Dazu utzt ma partielle Ableituge der Hamiltofuktio. Aus der theoretische Mechaik ist bekat, dass t r = p H = 1 ( p qa m ) t p = H = q Φ + q ( v m A) Zu beachte ist, dass die räumliche Ableitug der zweite Gleichug lediglich auf A wirkt ud icht auch auf v. Mit Hilfe dieser beide Gleichuge ka u die Bewegugsgleichug aufgestellt werde. Dazu betrachte wir m d r dt = md v dt Da die Geschwidigkeit die erste zeitliche Ableitug des Ortes ist, köe wir a dieser Stelle die erste Gleichug verwede. Wichtig hierbei ist jedoch, dass die Geschwidigkeit die erste totale Ableitug des Ortes ach der Zeit ist. Isofer müsse auch implizite Abhägigkeite berücksichtigt werde, wodurch das Ergebis das folgede ist [... = d p dt q A ] t + ( v ) A Der Ausdruck i der eckige Klammer ist dabei die totale zeitliche Ableitug des Vektorpotetials. I dieser Gleichug ka ma weiterhi die totale zeitliche Ableitug des Impulses durch die zweite Gleichug ausdrücke was auf Folgedes führt {... = q A } t Φ + ( v A) ( v ) A

3 Elektromagetische Felder Seite 3 Nu utzt ma och eie Vektoridetität, ämlich v B = v ( A) = ( v A) ( v ) A ud fidet da die gewüschte Loretzkraft uter Verwedug der Defiitiosgleichuge für das skalare Potetial ud das Vektorpotetial m d r dt = q( E + v B) Somit kote achgewiese werde, dass diese Wahl der Hamiltofuktio sivoll ist. Um u de quatemechaische Hamiltooperator zu fomuliere, ersetzt ma de Impuls durch de Impulsoperator. Damit ka ma die Schrödigergleichug für ei geladees Teilche i eiem elektromagetische Feld formuliere. Die Schrödigergleichug für geladee Teilche i elektromagetische Fel- Satz 1 der i { 1 [ t Ψ( r, t) = i m qa( r, ] } t) + qφ( r, t) Ψ( r, t) Zu beachte ist bei dieser Formulierug der Gleichug, dass astelle der elektromagetische Felder lediglich dere Potetial eigehe. Wie bereits i der Elektrodyamik gesehe, besitze die Felder dabei eie gewisse Eichfreiheit. Defiiert ma ei Eichfeld Λ( r, t), da ka ma folgede Trasformatio eiführe A A = A Λ Φ Φ = Φ + t Λ Bei dieser Eichtrasformatio bleibe die E- ud B-Felder erhalte. Allerdigs scheit diese Trasformatio Auswirkuge auf die Schrödigergleichug zu habe. Dies soll im Folgede geauer utersucht werde. Wir betrachte dazu die Schrödigergleichug i der Formulierug mit de utrasformierte Potetiale Φ ud A ud substituiere mit Hilfe der trasformierte Felder i { 1 [ t Ψ( r, t) = i m qa( r, ] } t) + qφ( r, t) { } i t Ψ( r, t) = 1 [ i m qa ( r, t) q Λ ] + qφ ( r, t) q Λ Ψ( r, t) t Ma ka u die eu erhaltee Schrödigergleichug durch eie etsprechede Trasformatio der Wellefuktio i die ursprügliche Gestalt zurückversetze. Dazu trasformiert ma Ψ = e iqλ/ 3

4 Elektromagetische Felder Seite 4 wobei die Wahrscheilichkeitsdichte offebar icht beeiflusst wird. Wir sehe dabei i ( e iqλ/ Ψ ) = e iqλ/ i t t Ψ q Λ t Ψ i ( e iqλ/ Ψ ) = e iqλ/ ( i Ψ ) + q( Λ)Ψ Nach Kürze des Phasefaktor erhält ma die bekate Darstellug der Schrödigergleichug. Will ma also eie Eichtrasformatio durchführe, so muss u i der Quatemechaik auch die Wellefuktio trasformiert werde. Satz Eie vollstädige Eichtrasformatio beihaltet A A Λ Φ Φ + t Λ Ψ e iq Λ Ψ Wir habe damit eie lokale Phasetrasformatio gefude, uter der die elektromagetische Wechselwirkug ivariat ist. Die zugehörige Eichgruppe ist die U(1). Dieses Prizip der lokale Eichivariaz uterliegt alle fudametale Wechselwirkuge. 1.1 Bewegug im kostate Magetfeld Ei zeitlich kostates Magetfeld ka durch folgede Wahl der Potetiale Φ ud A beschriebe werde Φ = 0 ud A = 1 ( r B) wobei B kostat sei soll. Aufgrud der Eichfreiheit wäre auch adere Potetiale dekbar, diese werde sich jedoch als zweckmäßig herausstelle. Um zu verifiziere, dass das gewüschte Magetfeld reproduziert werde, ka ma die Rotatio des Vektorpotetials bilde. A = 1 ( r B) = 1 r ( } {{ B) B } ( r) + ( B } {{ } ) r ( r } {{ } ) B } {{ } =0 =3 B =0 = 1 [ 3 + 1] B = B Die Wahl der Potetiale ist also korrekt. Betrachte wir u schwache Magetfelder, ka der A Term i der Schrödigergleichug verachlässigt werde. Ma erhält damit [ m + iq ] A mc Ψ( r) = EΨ( r) 4

5 Elektromagetische Felder Seite 5 Wir hatte gefordert, dass das Magetfeld kostat ist. Isbesodere ist es also auch räumlich kostat, so dass folgede Umformug gestattet ist EΨ( r) = [ m iq ] mc ( r B) Ψ( r) EΨ( r) = [ m iq ] mc ( r ) B Ψ( r) Nu sehe wir aber, dass wir de Operator r allerdigs durch eie bereits bekate Operator ausdrücke köe. Der Drehimpulsoperator L = i r ethält ämlich geau eie solche Term. Demetspreched ist EΨ( r) = [ m q mc L B ] Ψ( r) A dieser Stelle köe wir och de Operator des magetische Momets µ eiführe, idem wir defiiere µ = q ] L mc EΨ( r) = [ m + µ B Ψ( r) womit sich die Schrödigergleichug weiter vereifacht. 1. Zeema-Effekt Wir wolle u die agestellte Betrachtuge verwede ud dazu geladees Teilche i eiem Coulomb-Potetial V ( r) = e/r betrachte, auf das ebefalls ei schwaches kostates Magetfeld B wirkt. Das Koordiatesystem wolle wir dabei so wähle, dass das Magetfeld i z-richtug zeigt. Demach ist B = (0, 0, B) = B e z Dem Elektro ka ei magetisches Momet zugeordet werde, wie wir es bereits im voragegagee Beispiel gesehe habe. Da die Ladug des Elektros gerade q = e ist, ist das magetische Momet µ = e L mc Aufgrud der Existez dieses magetische Momets muss dem Hamiltooperator im Gegesatz zum gewöhliche Wasserstoffhamiltooperator H 0 och ei Term hizugefügt werde, der de Eifluss des Magetfeldes auf das magetische Momet berücksichtigt. H = H 0 + µ B 5

6 Elektromagetische Felder Seite 6 Ählich dem Wasserstoffatom ka ma asetze, dass Lösuge Ψ der Schrödigergleichug für diese Hamiltooperator separierbar sid i eie Radialteil ud eie Wikelteil. Vollkomme aalog setze wir also a, dass Lösuge eie Gestalt Ψ lml habe, wobei, l ud m l etsprechede Quatezahle sid, die de Radialteil ud de Wikelteil beschreibe. Wichtig a dieser Stelle ist, dass der Wasserstoffhamiltooperator H 0 ud die z-kompoete des Drehimpulses L z kommutiere, so dass die Existez gemeisamer Basisfuktioe, l, m l sichergestellt ist. Da das Koordiatesystem so gewählt worde ist, dass das Magetfeld i z-richtug zeigt, lautet die Schrödigergleichug u HΨ lml = H 0 Ψ lml + eb mc L zψ lml = EΨ lml Zur Lösug dieser Gleichug köe wir bereits erworbees Wisse über die Wirkug der z-kompoete des Drehimpulses utze. Es ist bereits bekat, dass L z, l, m l = m l, l, m l Betrachtet ma u das Wasserstoffatom i eiem kostate Magetfeld B = (0, 0, B) da lautet die Schrödigergleichug für dieses Problem ( H, l, m l = E 0 + eb m ) l, l, m l mc wobei E lml = E 0 + ω l m l mit der eigeführte Larmorfrequez ω L = eb/mc ud de Eergieeigewerte E 0 des Wasserstoffatoms ist. Die dadurch resultierede Aufspaltug der Wasserstoffatomiveaus wird als Zeemaeffekt bezeichet. 1.3 Aharoov-Bohm Effekt Wir wolle im Folgede die Wellefuktio eies Elektros i eiem magetfeldfreie Gebiet betrachte. Im Außeraum gilt dabei B = A = 0. Dort ist A als Gradiet eies Skalarfeldes Λ( r) darstellbar. Demzufolge gilt A = Λ ud Λ( r) = ˆ r r 0 d s A( s) Um die Wellefuktio des Elektos zu bestimme, ka ma selbstverstädlich die Schr"digergleichug, formuliert für dieses Problem, awede. Demach wäre 1 ( i m + ea ) Ψ = i t Ψ Diese Formulierug des Problems ermag sich aber als etwas umstädlich erweise. Geschickter ist es, eie Eichtrasformatio durchzuführe, durch die das Vektorpotetial elimiiert wird, da da das Vektorpotetial aus der Gleichug fällt. Eie solche 6

7 Elektromagetische Felder Seite 7 Eichtrasformatio hat die Gestalt A = A Λ = 0 ud führt auf die Schrödigergleichug 1 ( i m ) Ψ = i t Ψ Hierbei wurde die trasformierte Wellefuktio Ψ eigeführt. Wir habe aber bereits gesehe, wie ma die trasformierte Wellefuktio Ψ aus der utrasformierte Wellefuktio Ψ bereche ka. Es ist Ψ ( r, t) = e ieλ( r)/ Ψ( r, t) oder ˆ r Ψ( r, t) = exp ie d s A( s) Ψ ( r, t) Nu gestalte wir usere experimetelle Aufbau i eier Weise, dass wir Elektroe auf zwei verschiedee Seite a eiem Zylider vorbeilaufe lasse, i dem ei Magetfeld B herrscht. Der Zylider sei dabei vo eier Wad umgebe, die vo de Elektroe icht durchdruge werde ka. Der Außebereich sei ach wie vor magetfeldfrei, so dass alle Betrachtuge Gültigkeit behalte. Prizipiell ka ei Elektro u zwei Wege ehme, um am Zylider vorbeizukomme. Demach gibt es zwei Wellefuktioe Ψ 1 ud Ψ mit ˆ Ψ 1 ( r, t) = exp ie d s A( s) Ψ 1( r) Weg1 ˆ Ψ ( r, t) = exp ie d s A( s) Ψ ( r) r 0 Weg Da das Elektro a priori beide Wege ehme ka, ist die Gesamtwellefuktio die Superpositio beider Wellefuktioe Ψ( r) = Ψ 1 ( r) + Ψ ( r) Dabei ergibt sich eie relative Phase. Zu beachte ist, dass die beide Wege 1 ud zusamme eie geschlossee Weg bilde, da Afags- ud Edpukte jeweils idetisch sid. Damit ist die Differez der Itegrale ˆ ˆ d s A( s) d s A( s) = d s A = df B = Φ B Weg1 Weg 7

8 Elektromagetische Felder Seite 8 Hierbei wurde für die Umformuge der Itegralsatz vo Stokes verwedet sowie der magetische Fluss Φ B als eue Größe eigeführt. Der magetische Fluss bewirkt dabei eie Phaseverschiebug zwische de beide Teilwellefuktioe Ψ 1 ud Ψ Ψ 1 ( r) + Ψ ( r) = { Ψ 1( r)e ieφ B/ + Ψ ( r) } e iα ( r) Die Phasedifferez zwische Ψ 1 ud Ψ wird also durch de eigeschlossee magetische Fluss Φ B beeiflusst. I der Quatemechaik erzeugt daher das Vektorpotetial A messbare Effekte sogar i Raumbereiche, i dee das Magetfeld verschwidet. Störugsrechug Uglücklicherweise ka die Schrödigergleichug ur für sehr weige Potetiale V ( r) exakt gelöst werde. Allerdigs sid umerische Methode mittlerweile sehr leistugsstark, so dass ma versuche ka, umerische Näheruge zur Lösug der Schrödigergleichug zu fide. Die quatemechaische Störugstheorie gibt dabei Eisicht i die Verschiebug der Eergieeigewerte ud Eigefuktioe, die vo eier Veräderug des Potetials hervorgerufe werde. Zu dere Beschreibug betrachte wir de folgede (zeituabhägige) hermitesche Hamiltooperator H = H 0 + λh 1 Dabei sei H 1 eie kleie Störug ud λ ei Kotrollparameter, de wir am Ede der Betrachtuge auf 1 setze werde. Wir setze ferer die Eergieeigezustäde E ud Eigezustäde Ψ des Operators H 0 als bekat voraus H 0 Ψ = E 0 Ψ wobei Ψ eie vollstädige Satz orthoormierter Fuktioe bilde solle, sie also die Relatio Ψ m Ψ = δ m erfülle..1 Störugstheorie für icht-etartete Zustäde Uter der Aahme, dass die Eigewerte E icht etartet sid, wolle wir Eigewerte E ud Eigezustäde Ψ zum Hamiltooperator H fide. Dazu etwickel wir i Potezreihe im eigeführte Parameter λ i folgeder Weise E = E + λe (1) + λ E () +... Ψ = Ψ + λψ (1) + λ Ψ () +... Die Kovergez des Verfahres bei λ = 1 bleibt dabei offe ud soll a dieser Stelle icht diskutiert werde. Für die korrigierte Eigezustäde Ψ (j) mit j 1 wolle 8

9 Elektromagetische Felder Seite 9 wir forder, dass sie keie Ateile proportioal zu de ugestörte Eigefuktioe ethalte. Demach forder wir die Erfüllug der Relatio = 0 für alle Ψ Ψ (j) j 1. Um die Störug u zu behadel, setze wir de Potezreiheasatz bis zur zweite Ordug i λ i die Schrödigergleichug ei ud vergleiche dabei Terme ach Poteze vo λ i aufsteigeder Ordug. λ 1 : H 1 Ψ + H 0 Ψ (1) = E Ψ (1) + E (1) Ψ (1) λ : H 0 Ψ () + H 1 Ψ (1) = E + E () Ψ () Bilde wir u das Skalaprodukt der erste Gleichug i liearer Ordug vo λ mit Ψ, da führt das auf Ψ H 1 Ψ + Ψ H 1 Ψ (1) = E Ψ Ψ (1) +E (1) Ψ Ψ } {{ } } {{ } } {{ } E Ψ Ψ (1) =0 =1 } {{ } =0 Durch die Forderug der Orthogoalität zwische korrigierede Zustäde ud ugestörte Zustäde erhalte wir also ei vereifachtes Ergebis ud köe die Eergiekorrektur E (1) explizit agebe Satz 3 Die Eergieverschiebug i erster Ordug lautet E (1) = Ψ H 1 Ψ (3) Wir sehe also, das die Eergieverschiebug erster Ordug idetisch dem Diagoalmatrixelemet des Störoperators i de ugestörte Zustäde ist. Um die Verschiebug der Eigefuktioe i erster Ordug zu ermittel, köe wir ausutze, dass die Zustäde Ψ eie vollstädige, orthoormierte Satz a Fuktioe bilde. De deshalb köe wir die Verschiebuge ach de Eigezustäde etwickel Ψ (1) = m c m Ψ m Setzt ma diese Etwicklug i die erste Gleichug (1) ei, da erhält ma H 1 Ψ + c m E m Ψ m = E (0 c m Ψ m + E (1) Ψ m m Auch hier köe wir eie ähliche Trick awede ud diese Gleichug is Skalarprodukt mit Ψ k setze, wobei wir forder, dass k ist. Ψ k H 1 Ψ = ( ) c m E E m δkm + 0 m ( ) = c k E E m 9

10 Elektromagetische Felder Seite 10 Über die Etwicklug der Verschiebug der Eigefuktio i erster Ordug i ugestörte Eigefuktioe ud Ketis über die Etwicklugskoeffiziete köe wir also auch die zu erster Ordug verschobee Eigezustäde bereche. Satz 4 Ψ (1) = m Ψ m H 1 Ψ E E m Ψ m Zur Berechug der Eergiekorrekture i zweiter Ordug ka ma u die i λ quadratische Gleichug der Etwicklug betrachte. Multipliziert ma diese mit Φ, da ergibt sich Ψ H 0 Ψ () + Ψ H 0 Ψ (1) = E Ψ Ψ () + E () Ψ H 0 Ψ Hier köe wir ereut die Orthogoalität der Eigezustäde ausutze. Darüber hiaus köe wir der Verschiebug der Eigezustäde i erster Ordug durch die gerade abgeleitete Formel ausdrücke, womit wir eie Ausdruck für die Eergiekorrektur i zweiter Ordug erhalte. Satz 5 Die Eergieverschiebug i zweiter Ordug lautet E () = m Ψ m H 1 Ψ E E m Die Eergiekorrektur i zweiter Ordug wird also aus dem Betragsquadrat aller Übergagsmatrixelemete gewichtet mit reziproker Eergiedifferez berechet. Isbesodere ka ma zeige, dass die Eergieverschiebug i zweiter Ordug immer egativ ist. Das hier agewedete Verfahre zur Berechug der Eergiekorrekture ka fortgestezt werde, so dass sich allgemei ergibt Satz 6 Die Eergiekorrektur zur p-te Ordug ist E (p) = Ψ H 1 Ψ (p 1) A dieser Stelle sei erwäht, dass die Störugsfreihe keiesfalls koverget sei muss, soder oftmals sogar eie asymptotische Reihe ist, dere erste Terme jedoch trotzdem brauchbare Ergebisse liefer. Behadluge vo Korrekture höherer Ordug brigt da kaum och Verbesseruge. Darüber hiaus köe Bidugszustäde eies Störterms icht durch ugebudee Zustäde erhalte werde. 10

11 Elektromagetische Felder Seite 11. Störugstheorie für etartete Zustäde Bisher wurde ageomme, dass die ugestörte Eergie E icht etartet sid, dass also E E m für m. Im etartete Fall hat die ugestörte Eigewertgleichug H 0 Ψ j = E Ψ j j = 1,..., N allerdigs mehrere liear uabhägige Lösuge. Der Eigeraum zu E ist dabei N- dimesioal. I der Störugstheorie des icht-etartete Falls hatte wir gesehe, die Etwicklug i Terme der Art λ ( ) Ψ m H 1 Ψ E E m 1 stattfidet, was im etartete Fall allerdigs zu Divergeze führt. Aus diesem Grud muss astatt der Ψ j ei geeigetes Basissystem verwedet werde, i dem Ψ α H 1 Ψ β δ αβ Wir wolle also, dass die Divergeze verschwide, falls α = β um so die bereits bekate Störugstheorie trotzdem awede zu köe. Daher soll eie geeigete Basistrasformatio durchgeführt werde. Dies erfolgt durch Diagoalisierug des Uterraumes der Eigezustäde Ψ j. Dazu betrachte wir die Matrixelemete des Störoperators H 1 bezüglich der Basiszustäde Ψ j Ψ j H 1 Ψ j = H 1ij Diese bilde allerdigs eie hermitesche Matrix, da offebar H 1ij = H1ji gilt. Diese hermitesche Matrix wiederum ka diagoalisiert werde. Das charakteristische Polyom lautet da det ( ) H 1ij δ ij E (1) = 0 wobei die Eergiekorrekture zur erste Ordug die Eigewerte der Matrix darstelle. Diese Polyomgleichug hat offebar N reelle Lösuge für E α.3 Der Stark-Effekt Wir betrachte exemplarisch das Wasserstoffatom i eiem äußere homogee elektrische Feld E. Der zu berücksichtigede Störoperator H 1 hat da die Form H 1 = eφ = e r E = eze 11

12 Elektromagetische Felder Seite 1 wobei wir ohe Beschräkug der Allgemeiheit aehme, dass das elektrische Feld i z-richtug zeigt. Zuächst wolle wir de Grudzustad 100 betrachte ud die Eergiekorrektur ausreche. Die Eergiekorrektur zum Grudzustad ist E 1 = 100 H = ee π ˆ ˆπ dr r (R 10 (r)) dθ si θ cos θ 4π 0 0 } {{ } =0 Wir sehe also, dass i erster Ordug keie Eergiekorrektur für de Grudzustad vorhade ist. Deshalb wolle wir u de erste ageregte Zustad betrachte. Der erste ageregte Zustad ist vierfach etartet, wobei, 0, 0 de s Zustad beschreibt ud, 1, 0,, 1, 1 ud, 1, 1 die p Zustäde beschreibe. Zuächst gilt es, die zu diagoalisierede Matrix H 1ij zu bestimme. Dazu berechet ma die Matrixelemete des Störoperators eizel. Zuächst ka ma die Wikelateile betrachte ud stellt fest ˆ l m z lm dω cos θyl m (θ, φ)y lm(θ, φ) Hier ka ma leicht eisehe, dass die Wikelitegrale icht verschwide, falls l l = ±1 ud m = m. Aus diesem Grud verschwide alle Diagoalelemete bis auf diejeige der Zustäde 10 ud 00. Diese solle im Folgede berechet werde. Dabei verwede wir, dass die Radialfuktioe für diese beide Zustäde R 1(r) = a 5/ B / 6 re r/a B ud R 0(r) = (a B ) 3/ ( r/a B )e r/a B sid. 10 z 00 = ˆ 0 dr r 3 R 0 (r)r 1 (r) π 3 4 = a ˆ B ds s 4 ( ρ)e ρ 4 0 = a B 4 (48 10) = 3a B Die zu diagoalisierede Matrix H 1ij ist daher 0 3eEa B 0 0 H 1ij = 3eEa B Die Eergieeigewerte als Eigewerte dieser Matrix sid damit ˆ1 1 dρ ρ E ± = 3eEa B Damit habe wir also die Eigewerte ud Eigezustäde gefude. 1

13 Elektromagetische Felder Seite 13, 1, 1 ist Eigezustad zum Eigewert E, 1, 1 ist Eigezustad zum Eigewert E ist Eigezustad zum Eigewert E 3eEa B ist Eigezustad zum Eigewert E + 3eEa B 13

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