x m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a)

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1 Quatisierug eies skalare Feldes Das Ziel ist eigetlich das elektromagetische Feld zu quatisiere, aber wie ma scho a de MAXWELLsche Gleichuge sehe ka, ist es zu kompliziert, um damit zu begie. Außerdem ka ma als skalares Feld dasjeige wähle, das mit der KLEIN GORDON Gleichug beschriebe wird 1 ] c t Φ = x + x + m c ) x Φ Φ. 4) h Es ist sicherlich viel eifacher als die Vektorfelder der Elektrodyamik, aber trotzdem relativistisch ivariat. Damit der Asatz Φ = Φ 0 expi k x) i ω t) die Gleichug 4) löst, muß gelte, daß ω = c k + m c / h) ist. Es etspricht der relativistische Beziehug zwische Eergie E = h ω ud Impuls p = h k, d.h. es gilt E = c p + m c ). Dies war i de vorige Abschitte über relativistische Erweiterug der SCHRÖDINGER der Ausgagspukt. Um die Quatemechaik is Spiel zu brige, separiert ma die Zeitabhägigkeit vo der Ortsabhägigkeit. Eie allgemeie Lösug fidet ma als Summe vieler solche Beiträge Φ r, t) = q t) φ r) 5) Ma muß verlage, daß die φ r) Lösuge der HEMHOLTZgleichug sid. Da gilt für die q t) + k ) φ r) = 0 6a) q + ω q = 0 mit ω = c k + m c/ h) ] 1/ 6b) Der weiter obe erwähte Asatz mit ebee Welle passte auch i diese Schema. Der Eifachheit wege solle jedoch die φ r) reell sei. Die φ solle ei orthogoales ud vollstädiges System vo Fuktioe bilde mit φ m r) φ r) d 3 r = δ m, ud φ r) φ r ) = δ r r ). 7) Mit der Zerlegug 5) i Normalschwiguge ist der Übergag zur Quatemechaik eifach: jede Schwigug des zuächst klassische Feldes wird i eie quatemechaische Oszillator verwadelt. Statt 6b) ka ma q = p ṗ = ω q schreibe ud die zugehörige HAMILTONfuktio H = 1 p + ω q) 8a) 8b) 9) otiere. Die übliche Regel q, p ] = i h macht H zum HAMILTONoperator. Die Operatore verschiedeer Normalschwiguge vertausche atürlich, z.b. q, p m ] = 0 für m. Das bedeutet auch, daß ma die HAMILTONoperatore H eifach als Summe zusammefasse ka H = H. 10) 3

2 Was och zu tu bleibt, ist H durch Erzeugugs ud Verichtugsoperatore zu vereifache. Mit dem Asatz für harmoische Oszillatore b = ω q + i p h ω b = ω q i p h ω 11a) 11b) der die Vertauschugsrelatio zur Folge hat ist b, b ] = 1 1) H = h ω b b + 1 ). 9 ) Summiert ma die Beiträge aller Oszillatore ach 10), so ist ma a derselbe Stelle, die mit der PLANCKsche Strahlugsformel 1) markiert ist. Dort wurde ageomme, daß jeder Oszillator zur Eergie der Strahlug beiträgt. Hier ist der -te Oszillator im Zustad = 0, 1,... E gesamt = ) h ω ) ud dort wurde die Beiträge zur Eergie thermisch gemittelt. Der zu 13) gehörede Eigevektor hat die Form 1,, = ) 1! b 0, 14) wobei 0 für de Vakuumzustad steht, bei dem alle Null sid. Ma ka jedoch eie Schritt weiter gehe, ud Φ mit Hilfe vo 5) durch Operatore ausdrücke. Gl.11a) ud 11b) umgestellt ergibt zuächst q = h b + b ) ω 15a) Statt 5) ist der Feldoperator Φ damit p = 1 i h ω b b ). 15b) Φ r, t) = h φ r) b ω + b ). 5) Die Zeitabhägigkeit ist i der Zeitabhägigkeit der Verichtugsoperatore b ud Erzeugugsoperatore b verborge. Mit Hilfe der HEISENBERGsche Bewegugsgleichug ud H vo 9 ) d dt b = 1 ] b i h, H = i ω b b t) = b e i ωt, b = b e i ω t 16) fidet ma die Zeitabhägigkeit vo b ud die vo b. Letztere, weil es sich um de adjugierte Operator hadelt, so daß die Frequez ω das Vorzeiche ädert. Mit dieser Iterpretatio der KLEIN GORDON Gleichug ist ma das Problem mit de Lösuge egativer Frequez ud damit zusammehäged der idefiite Metrik los. Wie immer, hadelt ma sich eue ei: die Grudzustadseergie ach 13) ist selbst mit alle = 0 uedlich groß! 4

3 Formelle Quatisierug Die explizite Kostruktio eies Quatefeldes, die sich mit dem Gebrauch der Normalschwiguge φ vo Gl.6) eg a die Hohlraumstrahlug aleht, ka durch eie Feldquatisierug im eigetliche Sie ergäzt werde. Ausgagspukt ist die Mechaik, die mit de Name vo LAGRANGE ud HAMILTON verküpft ist. Ma defiiert eie LAGRANGEdichte L, die über das Gebiet, i dem ma das Wellefeld Φ betrachte will, itegriert wird, damit sich eie LAGRANGEfuktio L im eigetliche Si ergibt: L LΦ, Φ/x k, Φ) L = L d 3 r 17) Die Wirkug S ist da wie üblich defiiert S = t1 t 0 L dt, 18) so daß ma eigetlich die LAGRANGEdichte L über ei vierdimesioales Gebiet itegriert. Das Prizip der kleiste Wirkug verlagt δs = 0 ud gibt die Bewegugsgleichuge, we ma zusätzlich fordert, daß δφt 0 ) = δφt 1 ) = 0 ist. Nach de übliche Maipulatioe fidet ma δs = 0 t L Φ + 3 k=1 x k L Φ/x k ) L Φ = 0. 19) Damit dies die KLEIN GORDONgleichug 4) ist, muß die LAGRANGEdichte folgede Gestalt habe L KG = 1 Φ c Φ) m c h ) Φ ]. 0) Ma erket leicht, die Struktur T V aus der Puktmechaik wieder. Wie dort ist die kietische Eergiedichte 1 Φ ud die potetielle Eergiedichte κ Φ ergäzt durch eie elastische Teil c Φ), der dafür sorgt, daß Welle sich ausbreite köe. Für die Quatemechaik ist die HAMILTONfuktio wichtig. Die zum Feld Φ kojugierte Größe, formell der Impuls Π = L Φ 1) Die HAMILTONfuktio H ist damit H = Π Φ d 3 r L a) oder die Eergiedichte H H = Π Φ L b) Aus der LAGRANGEdichte 0) ist mit 1) der kojugierte Impuls Π = Φ die HAMILTONfuktio H KG = 1 Π + c Φ) + m c h ) Φ ] d 3 r. 3) Die HAMILTONsche Bewegugsgleichuge Φ = H Π, H Π = Φ ergebe ichts Neues ud schließe diese Exkurs i die formelle Kotiuummechaik ab. 4) 5

4 Die Quatisierug lasse sich eifach übertrage. Impuls Φ r) ud Feld Π r ) vertausche, we r r sid, we sie gleich sid gibt es eie Beitrag i h. Diese Aussage hat jedoch ur eie Si, we die Positioe ur diskrete Werte aehme köe. Bei eiem Kotiuum tritt eie δ Fuktio stattdesse auf. Es sollte die folgede Vertauschugsrelatioe gültig sei Φ r), Π r) ] = i h δ r r ), Φ r), Φ r) ] = 0, Π r), Π r) ] = 0. 5) Formell lasse sich die erfülle, we ma Fuktioalableituge beutzt Π r) = h i δ δφ r). 6) Besser ist es eie Darstellug für die Fuktioalableitug zu fide. Mit dem Asatz aalog zu 5) Φ r) = q φ r) δ δφ r) = φ r) q 7) Ma rechet leicht ach, daß δ δφ r), Φ r ) ] = φ r) φ r ) = δ r r ) 8) i der Tat eie δ Fuktio für de Kommutator herauskommt. Vorausgesetzug ist die Vollstädigkeit des Fuktioesystems der φ. Die formelle Feldquatisierug führt also zu deselbe Ergebisse, wie sie sich der Normalkoordiate vo Afag a bediete, aber hier ist das Fuktioesystem och frei wählbar. Allerdigs we Φ vo G. 7) ud Π vo Gl.6) i de HAMILTONoperator 3) eisetzt ud verlagt, daß ma statt des Itegrals über de Raum eie Summe ugekoppelter quatemechaischer Oszillator sich ergibt, H KG = 1 h ] q + ω q 3 ) da müsse die φ der HELMHOLTZgleichug wie i 6) geüge. Dies ist leicht zu sehe, we durch partielle Itegratio de Gradiete Term i 3) umformt: c Φ) d 3 r = c Φ Φ. Die Umschreibug auf Erzeugugs ud Verichtugsoperatore mit 11) oder 15) ergibt für das i 6) ud 7) defiierte Π Π r, t) = 1 i h ω φ r) b b ). 9) Es etspricht der Darstellug vo Φ i Gleichug 5) mit Π = Φ. Komplexe Basis Eigetlich sollte das KLEIN GORDON Feld Φ komplex sei. Mit eier komplexe Basis gilt statt 7) φ m r) φ r) d 3 r = δ m, ud φ r) φ r ) = δ r r ). 30) 6

5 Ebee Welle z.b. φ = 1 V e i k r ormiert i eiem Kubus mit Volume V = L 3 ud mit dem Wellevector k = π 1,, 3 )/L bilde solch eie komplexe Basis, die mit i = 0, ±1, ±,... ummeriert werde köte. Statt 5) ud 9) erhält ma die plausible Verallgemeieruge Φ r, t) = 1 h e i k r b V ω + e i k r b ) 31a) Π r, t) = i h ω e i k r b V e i k r b ). 31b) Ma prüft leicht ach, daß mit dieser Kostruktio die Feldoperatore Φ ud Π hermitesch sid ud daß die Vertauschugsrelatio 5) gültig bleibt. Der wesetliche Pukt ist, daß der Erwartugswert des Feldes Φ wege der Hermizität trotz der komplexe Basis reell bleibt. Es ist klar, daß die adere Formel für das reelle Basis sich auf eie komplexe Basis etspreched adaptiere lasse. Komplexe Felder ud Laduge Ei iteressaterer Frage ist, was ka ma mit eiem wirklich komplexe Feld beschreibe? Es ist ahelieged, das KLEIN GORDON für die spilosee π Mesoe zu verwede. Aber es gibt davo drei, ämlich das positiv geladee π +, das eutrale π 0 ud das egative π. Die geladee π Mesoe sid etwas 37-mal schwerer als Elektroe. Ihre Masse ist geauer m π ± = 73, 7 m e ud die Masse des eutrale ist mit m π 0 = 64, 37 m e etwas kleier. Der Spi dieser Teilche ist Null. Die Idee ist also diese drei Teilche mit eier gemeisame KLEIN GORDON zu beschreibe ud de Masseuterschied zu igoriere*. Ma macht de folgede Asatz mit drei reelle Felder Φ 1), Φ ) ud Φ 3) ud faßt die beide erste zu eiem komplexe Feld zusamme Φ r, t) = 1 Φ1 r, t) + i Φ r, t) ) 3) Φ r, t) = 1 Φ1 r, t) i Φ r, t) ) Die LAGRANGEfuktio vo der Form 0) müßte u eie Summe der drei Felder Φ l) sei. Mit der Zusammefassug vo Φ 1) ud Φ ) zu eiem komplexe Feld sid es ur och zwei Beiträge L π = 1 Φ Φ c Φ Φ m ± c h ) Φ Φ + Φ 3 Φ 3 c Φ 3 Φ 3 + m 0 c h ) Φ Φ ]. 33) Es sid jedoch icht Eisparugsgrüde, für die die komplexe Notatio vorteilhaft ist, soder die Eichivariaz, die dadurch sichtbar wird. Die LAGRANGEfuktio 33) ädert sich icht, we Φ e i α Φ Φ e i α Φ 34) Φ 3 Φ 3 ist, d.h. das komplexe Feld Φ mit eiem Phasefaktor e i α multipliziert wird. Ivariaze der LAGRANGEfuktio gegeüber Trasformatioe habe Erhaltugsgesetzte zur Folge. * Alle drei Teilche sid istabil: die geladee zerfalle i sec durch π ± µ ± + ν ud π 0 γ i <10 17 sec. 7

6 Hier ist es die Ladug. Etwickelt ma e ±i α 1 ± i α für kleie α, da lasse sich die Trasformatioe 34) folgedermaße vereifache Φ 1 Φ 1 + α Φ Φ α Φ 1 + Φ 34 ) Φ 3 Φ 3. so daß ma erkee ka, daß diese Eichtrasformatio formal eier kleie Drehug um die dritte Achse i eiem Koordiatesystem bedeutet, das vo de drei Kompooete Φ 1), Φ ) ud Φ 3) gebildet wird. Die ächste Frage ist, welche Form hat der Drehimpulsoperator, der die Eichtrasformatio 34) bzw. 34) erzeugt? Ma et diese Größe Isotopespi T ud ka errate, daß die dritte Kompoete die Form {Φ1 T 3 = r, t) Π r, t) Φ r, t) Π 1 r, t) } d 3 r 35) hat. Der zum Feld Φ l kojugierte Impuls Π l ist L/ Φ l = Π l, wobei mit der LAGRANGEdichte 33) Π l = Φ l ist. Allerdigs ist quatisiert der kojugierte Impuls aalog zu Gl.6) Π l r) = h i δ δφ l r). 36) mit de kaoische Kommutatiosregel Πl r), Φ l r ) ] = h i δ ll δ r r ) 37) Die Erzeugede eier Drehug T 3 sollte die Trasformatioe 34) mit e i α T 3/ h Φ 1 e i α T 3/ h Φ 1 i ᾱ h T 3, Φ 1 ] = Φ 1 + α Φ 34 ) erzeuge, was offesichtlich der Fall ist, wie der Vergleich mit der erste Zeile vo 34 ) zeigt. Bleibt och zu zeige, daß T 3 bis auf eie Faktor die Eigeschaft hat Laduge zu zähle. Beutzt ma die 31a) für die beide reelle Felder Φ 1 ud Φ ud 31b) für die dazu kojugierte Felder Π 1 ud Π da erhält ma statt 35) T 3 = i V + i V { h d 3 r e i k r b 1) + b 1) ) } { hω ω { h d 3 r e i k r b ) ω + ) } { hω b) e i k r } b ) b ) ) e i k r } b 1) b 1) ) ud ma sieht sofort, daß durch die Itegratio über de Raum die Doppelsummatio über ud wege = zur eier Summatio wird. Außerdem wird der Ausdruck viel eifacher T 3 = i h = i h { b 1) + b 1) ) ) b b 1) b) b) b 1) ) ) b) ) b + ) b) 1) b b 1) ) } 35 ) 8

7 Beutzt ma die Defiitio vo 3) zusamme mit der gerade praktizierte Umschreibug auf Erzeugugs ud Verichtsoperatore, da immt Φ die folgede Gestalt a: Φ r, t) = 1 h { } e i k r 1 b 1) V + i b ) ω ) + e i k r 1 b 1) + i b ) ) 3 ) Dieser Operator erzeugt mit b 1) + i b ) )/ ei positives π Meso ud mit b 1) + i b ) )/ verichtet er ei egatives π Meso. Etspreched erzeugt Φ egative Mesoe ud verichtet positive. Mit diese Erzeugugs ud Verichtugsoperatore ist da schließlich { } T 3 / h = 1 b 1) + i b ) ) 1 b 1) i b ) ) 1 b 1) i b ) ) 1 b 1) + i b ) ) = N + N. 35 ) Bis auf eie Faktor e/ h ist damit die dritte Kompoete des Isospis T 3 gleich der Ladug, d.h. gleich der Differez zwische der Azahl positiver ud egativer π Mesoe. Vergleich mit der Klei Gordo Gleichug Kehrt ma zu de komplexe Felder 3) zurück, da immt 35) die folgede Form a so daß mit 35 ) auch eie Ladugsdichte T 3 = i t Φ Φ Φ t Φ ) d 3 r 35 ) ρ = i ē h defiiert ist. Der dazugehörige Strom j ist j = i e c h t Φ Φ Φ t Φ ) 37a) Φ Φ Φ Φ ). 37b) Der zusätzliche Faktor c ist otwedig, damit die Kotiuitätsgleichug t ρ + j = 0 erfüllt ist. Dies ist leicht achzuprüfe, de die KLEIN GORDON Gleichug t Φ = c Φ m c / h) Φ gilt sowohl für Φ als auch für Φ. Die Kotiuitätsgleichug galt auch für die uquatisierte KLEIN GORDON Gleichug. Dort stieß aber die Iterpretatio vo ρ der Gl.37a) als Wahrscheilichkeitsdichte auf Kritik, weil ρ auch egativ sei kote. Als Ladugsdichte ist dies jedoch möglich. Die Normieruge ware auch aders gewählt, damit im ichtrelativistische Grezfall die Ausdrücke für ρ ud j wie bei der SCHRÖDINGERgleichug sid. Eigeschräkt auf die Eiteilchezustäde für das komplexe Feld Φ ach Gl.3 ) obe, verwadelt das Quadrat des Faktor h/ ω ) h / m c ) de Vorfaktor für die Stromdichte j i Gl.37b) i die gewüschte ichtrelativistische Form e h/ m. Die Isospi ) Iterpretatio eier Ladugsdichte oder Ladug wie i 35) eröffet eie bessere Eisicht i die Quatemechaik als die des Beharres ud Suches ach Gleichuge vom Typ der SCHRÖDINGERgleichug, die ur erste Ableitug der Zeit habe sollte, auch we diese Strategie mit DIRACs Gleichug sehr erfolgreich gewese ist. ) Siehe für mehr Details: Schweber, Itroductio to Quatum Field Theory. 9

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