Elektromagnetische Verträglichkeit

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1 Vorlesungsskript Elektromagnetische Verträglichkeit - EMV / EFV - Prof. Dr.-Ing. Frank Gustrau FH Dortmund (Wintersemester 2013/2014) 25. Juni 2013

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 I Elektrische und magnetische Felder (Grundlagen zum Verständnis der Kopplungsmechanismen und Abstrahlungsphänomene) 2 2 Physikalische Grundlagen Ladungen Elektrische Feldstärke Elektrische Spannung Elektrisches Potential Dielektrische Verschiebungsdichte Dielektrika im elektrischen Feld Stromdichte Magnetische Feldstärke Lorentz-Kraft Energiedichte im elektromagnetischen Feld Maxwell sche Gleichungen MWG in Differentialform MWG in Integralform MWG für zeitharmonische Vorgänge Randbedingungen Erhaltungssatz der Ladung Einteilung elektromagnetischer Felder Elektrostatische Felder Poissongleichung Magnetostatische Felder Magnetisches Vektorpotential Biot-Savart sches Gesetz Selbst- und Gegeninduktivität Statisches Strömungsfeld i

3 INHALTSVERZEICHNIS ii 4.4 Zusammenfassung statische Felder Quasistatische Felder Quasistationäre Felder mit Stromverdrängung Anschauliche Beschreibung Eindringtiefe Elektromagnetische Wellen Die Wellengleichung Homogene ebene Wellen Der Poynting-Vektor II Elektromagnetische Verträglichkeit (EMV) 46 5 Motivation 47 6 Übersicht über grundlegende Begriffe und Normen Definitionen und Begriffe Emission und Störfestigkeit Kopplungsmechanismen Das EMV Gesetz EMV-Normungsgremien und EMV-Normen Logarithmische Darstellung elektrischer Größen Relative Pegel Absolute Pegel Prinzipien der EMV-gerechten Entwicklung Grundprinzipien der Beschreibung von Störgrößen Erdfreie, symmetrische und unsymmetrische Stromkreise Symmetrische, unsymmetrische und asymmetrische Spannung Prinzipien der Gleich- und Gegentaktaussteuerung Gegentakt- und Gleichtaktstörungen Gegentaktstörungen Gegentaktstörungen Erde und Masse Erde Masse Erdschleifen Trenntransformatoren Gleichtaktdrossel Optokoppler und Lichtwellenleiter Erdsymmetrisch betriebener Stromkreis Kopplungsmechanismen und Gegenmaßnahmen Galvanische Kopplung Induktivität von Leitungen

4 INHALTSVERZEICHNIS iii Abblockkondensator Kapazitive Kopplung Geerdeter Schirm Induktive Kopplung Verdrillte Leitungen Kurzschlussringe Passive Entstörkomponenten Filter Einsatzgebiete und Berechnung Ersatzschaltbilder von Bauelementen Filterresonanzen Abschirmungen Schirmung statischer Felder Schirmung von Wechselfeldern Durchführungskondensatoren EMV-Messtechnik Leitungsgebundene Störungen Gestrahlte Störungen III Anhang 87 A Mathematische Grundlagen 88 A.1 Koordinatensysteme A.1.1 Kartesisches Koordinatensystem A.1.2 Zylinderkoordinatensystem A.1.3 Kugelkoordinatensystem A.2 Vektor-Algebra A.2.1 Addition und Subtraktion A.2.2 Skalar- und Vektorprodukt A.3 Vektor-Analysis A.3.1 Gradient A.3.2 Divergenz A.3.3 Rotation A.3.4 Quellen- und Wirbelfelder A.3.5 Laplace-Operator A.4 Auswertung von Integralen in verschiedenen Koordinatensystemen A.4.1 Linienintegrale A Integration in kartesischen Koordinaten A Integration in Zylinderkoordinaten A Integration in Kugelkoordinaten A.4.2 Flächenintegrale A Integration in kartesischen Koordinaten

5 INHALTSVERZEICHNIS iv A Integration in Zylinderkoordinaten A Integration in Kugelkoordinaten A.4.3 Volumenintegrale A Integration in kartesischen Koordinaten A Integration in Zylinderkoordinaten A Integration in Kugelkoordinaten A.4.4 Linienintegrale über Vektoren A Vektor in Richtung des Integrationsweges A Vektor senkrecht zum Integrationsweg B Übungsaufgaben 108 B.1 Elektrisches Feld einer homogenen Raumladungskugel B.2 Magnetisches Feld eines stromdurchflossenen Leiters B.3 Magnetisches Feld und Induktivität einer langgestreckten Zylinderspule B.4 Magnetisches Feld einer teilweise gefüllten langgestreckten Zylinderspule. 116 B.5 Anwendung des Biot-Savart schen Gesetzes auf einen Kreisstrom B.6 Paralleldrahtleitung B.7 Koaxialleitung B.8 Selbst- und Gegeninduktivität von zwei Zylinderspulen B.9 Induktionsgesetz

6 Kapitel 1 Einleitung Warum soll sich der angehende Ingenieur mit der elektromagnetischen Feldtheorie beschäftigen, wo er doch in vielen Fällen mit den Netzwerkgrößen Spannung, Strom und Impedanz bestens bedient ist? Ein wichtiger Grund liegt darin, dass insbesondere bei höherfrequenten Anwendungen häufig die feldtheoretische Natur der elektromagnetischen Phänomene berücksichtigt werden muss und die abgeleiteten Netzwerkgrößen zur Beschreibung allein nicht ausreichen. Die Kenntnis des Verhaltens der Feldgrößen ebenso wie die Kenntnis des Verhaltens der Netzwerkgrößen gehört zur Grundausstattung eines Ingenieurs. Es ist entscheidend den Zusammenhang zwischen Netzwerkgrößen (Spannung, Strom, Kapazität, Induktivität) und den Feldgrößen (elektrisches und magnetisches Feld) zu kennen. Ziel der Vorlesung ist es daher ein anschauliches und mathematisch fundiertes Verständnis feldtheoretischer Größen und Zusammenhänge zu gewinnen. Im Mittelpunkt stehen hierbei die Maxwell schen Gleichungen, die die Grundlage der Elektrodynamik bei makroskopischen Vorgängen darstellen. Mittlerweile gibt es auf dem Markt eine Reihe von Feldberechnungsprogrammen, die sich Näherungslösungen der Maxwell schen Gleichungen durch numerische Verfahren erarbeiten. Ziel dieser Vorlesung ist es auch einen kleinen Einblick in die Möglichkeiten und Grenzen derartigen moderner Softwarepakete zu geben. Im zweiten Teil der Vorlesung (EMV) werden wir schließlich sehen, inwiefern die im ersten Teil der Veranstaltung gewonnenen feldtheoretischen Kenntnisse hilfreich bei der Analyse parasitärer Schaltungseigenschaften sowie bei der Analyse von Ausbreitungswegen von Störsignalen sein können. Danksagung Der zweite Teil ist derzeit vorläufig und befindet sich in der Bearbeitung. Die meisten Bilder dieses Teil entstammen einer Mitschrift der Studierenden Daniel Wiepen und Markus Trillitsch, denen ich an dieser Stelle für die Überlassung des Materials auch im Namen Ihrer Mitstudierenden danken möchte. 1

7 Teil I Elektrische und magnetische Felder (Grundlagen zum Verständnis der Kopplungsmechanismen und Abstrahlungsphänomene) 2

8 Kapitel 2 Physikalische Grundlagen Ziel dieses Kapitels ist die Wiederholung elementarer physikalischer Begriffe, wie sie im allgemeinen für den statischen (d.h. zeitunabhängigen) Fall aus anderen Lehrveranstaltungen und aus der Schule bereits bekannt sind. Da es sich um eine Wiederholung handelt, ist die Darstellung bewusst knapp gehalten. 2.1 Ladungen Experimentelle Untersuchungen haben gezeigt, dass es positive und negative Ladungen Q gibt, die durch ihre Kraftwirkung aufeinander beschrieben werden können (siehe Bild 2.1): Ladungen gleichen Vorzeichens stoßen sich ab. Ladungen ungleichen Vorzeichens ziehen sich an. Die kleinste Ladungsmenge ist die Elementarladung e = 1, C. (2.1) Die Ladung ist gequantelt, d.h. es treten immer nur ganzzahlige Vielfache dieser Elementarladung auf. Makroskopisch, also bei Vorgängen an denen eine große Zahl von Ladungsträgern beteiligt ist, spielt die Quantelung keine Rolle, d.h. die Ladung wird als kontinuierliche Größe betrachtet. Die Einheit der Ladung [Q] = C = As ist das Coulomb C und Abbildung 2.1: Anziehung und Abstoßung von Ladungen. 3

9 KAPITEL 2. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN 4 Abbildung 2.2: Coulomb sches Kraftgesetz. Abbildung 2.3: Superpositionsprinzip bei mehreren Ladungen. entspricht - wie wir später noch sehen werden - dem Produkt aus den Einheiten Ampere und Sekunde. Die Kraft zwischen zwei Ladungen Q 1 und Q 2 wird durch das Coulomb sche Kraftgesetz beschrieben: F C = 1 Q1Q 2, (2.2) 4πε 0 r 2 wobei r den Abstand zwischen den beiden Ladungen angibt und ε r die Dielektrizitätskonstante ist (siehe Bild 2.2). ε 0 = 8, As Vm (2.3) Die Richtung der Kraftwirkung ergibt sich längs der Verbindungslinie. Im Falle gleichnamiger Ladungen ergeben sich abstoßende Kräfte und im Falle ungleichnamiger Ladungen anziehende Kräfte. Auch bei ungleichen Ladungen Q 1 und Q 2 ergeben sich entgegengesetzte, betraglich gleiche Kräfte (actio=reactio). Existieren mehr als zwei Ladungen im Raum, so kann das sog. Superpositionsprinzip verwendet werden. Durch paarweise Auswertung des Coulomb schen Kraftgesetzes können alle wirkenden Kräfte ermittelt werden. Die jeweiligen Gesamtkräfte ergeben sich durch Vektoraddition der Einzelkräfte (siehe Bild 2.3).

10 KAPITEL 2. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN 5 Abbildung 2.4: Elektrische Feldlinien einer Punktladung im Ursprung. 2.2 Elektrische Feldstärke Bezieht man die auf die Ladung Q 2 wirkende Kraft F 2 auf die Ladung Q 2 selbst, so ergibt sich die elektrische Feldstärke E 1 der Ladung Q 1 : E 1 = F 2 Q 2. (2.4) Mit Hilfe der elektrischen Feldstärke E 1 kann also die Kraftwirkung auf eine zweite Ladung Q 2 ermittelt werden, indem Feldstärke E 1 und Ladung Q 2 miteinander multipliziert werden. Die Einheit der neuen Größe elektrische Feldstärke ist [E] = N/C = V/m, also Newton/Coulomb, bzw. Volt/Meter. Durch die Definition in Gleichung 2.4 ist eine interessante Änderung in der Betrachtungsweise entstanden. Während das Coulomb sche Kraftgesetz die Kraftwirkung entfernter Ladungen Q 1 und Q 2 aufeinander beschreibt (Fernwirkung) bedeutet die Einführung der elektrischen Feldstärke die Annahme eines den gesamten Raum füllenden Vektorfeldes E 1. Die Kraftwirkung auf eine weitere Ladung Q 2 ergibt sich nun aus der Wechselwirkung des elektrischen Feldes E 1 mit der Ladung Q 2, die sich in dem Feld befindet (Nahwirkung). Das Feld E 1 einer Punktladung Q 1 im Ursprung ( r = (0, 0, 0)) ergibt sich aus den Gleichungen 2.4 und 2.2 zu E 1 = 1 4πε 0 Q1 r 2 e r, (2.5) wobei e r der Einheitsvektor in radialer Richtung in Kugelkoordinaten ist. Das Vektorfeld E kann als Feldlinienbild dargestellt werden (siehe Bild 2.4). Die Richtung der Feldlinien stellt dabei die Richtung der elektrischen Feldstärke im Raum dar (bei der Punktladung im Ursprung ist das Feld in radialer Richtung orientiert). Die Dichte der elektrischen Feldlinien ist ein Maß für den Betrag der elektrischen Feldstärke, in Ursprungsnähe ist die Feldstärke größer als weiter vom Ursprung entfernt. Der Betrag wird durch die Feldlinien allerdings nur qualitativ angegeben. Existiert mehr als eine Ladung im Raum, so kann - wie bei den Coulomb-Kräften - wieder das Superpositionsprinzip angewendet werden. Die gesamte elektrische Feldstärke ergibt sich durch Addition der einzelnen Vektorfelder E ges = E 1 + E 2.

11 KAPITEL 2. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN 6 Abbildung 2.5: Elektrische Feldlinien verschiedener Ladungsanordnungen. Abbildung 2.6: Zur Definition der Spannung. Feldlinienbilder stellen ein wichtiges anschauliches Instrument zur Bewertung und zum Verständnis von elektrischen Feldern dar. In Bild 2.5 werden typische Feldlinienbilder gezeigt: (a) eine positive Punktladung, (b) eine negative Punktladung, (c) zwei entgegengesetzt geladene Punktladungen, (d) zwei gleichnamig geladene Punktladungen und (e) zwei entgegengesetzt geladene Flächen (Plattenkondensator). Das Feld in einem Plattenkondensator kann zwischen den Platten in guter Näherung als konstant betrachtet werden, wenn der Abstand zwischen den Platten deutlich kleiner ist als die Querabmessungen. 2.3 Elektrische Spannung Bewegt sich eine Ladung in einem elektrischen Feld E von Punkt A nach Punkt B, so wird Arbeit verrichtet.

12 KAPITEL 2. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN 7 W AB = B F d s = B B EQ d s = Q E d s (2.6) A A A } {{ } U Die neue Größe U wird als Spannung bezeichnet und ist unabhängig von der Ladung Q! U = W B AB Q = A E d s (2.7) Die Einheit der Spannung ist [U] = Nm/C = V(Volt). Aus der Definition der Spannung folgt: Ist das Wegelement d s stets senkrecht zur elektrischen Feldstärke E, so verschwindet das Skalarprodukt E d s. Bewegt man sich also stets senkrecht zu den elektrische Feldlinien, so wird an der Ladung keine Arbeit verrichtet, folglich ist die Spannung zwischen Anfangs- und Endpunkt gleich Null. Man bewegt sich dann auf einer sogenannten Äquipotentialfläche. Bild 2.7 zeigt zwei Beispiele für Äquipotentialflächen: (a) bei einer Punktladung sind die Äquipotentialflächen konzentrische Kugelschalen um den Ursprung, (b) beim Plattenkondensator sind die Äquipotentialflächen horizontale Ebenen. (Im elek- Abbildung 2.7: Äquipotentiallinien bei der (a) Punktladung und beim (b) Plattenkondensator. trostatischen Feld ist die Spannung unabhängig vom gewählten Weg und allein bestimmt durch Anfangs- und Endpunkt.) 2.4 Elektrisches Potential Das elektrische Potential φ gibt die Spannung zwischen einem Aufpunkt r und einem Referenzpunkt r 0 an. φ r0 = r 0 r r E d s = r 0 E d s (2.8) Die Einheit ist wie bei der Spannung das Volt: [φ] = V. Im Gegensatz zur Spannung, die stets zwischen zwei Punkten definiert ist, handelt es sich beim Potential um eine skalare Funktion, die jedem Raumpunkt einen skalaren Wert zuweist (Skalarfeld).

13 KAPITEL 2. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN 8 Je nach gewähltem Referenzpunkt ergeben sich verschiedene Potentialfunktionen. Zwei Potentialfunktioen unterscheiden sich untereinander nur durch eine additive Konstante (φ r1 φ r2 = const.). Die Spannung zwischen zwei Punkten A und B kann als Potentialdifferenz dargestellt werden. U AB = φ( r A ) φ( r B ) (2.9) Die elektrische Feldstärke E kann aus dem Potential φ nach folgender Formel berechnet werden: ( E = gradφ = φ x e x + φ y e y + φ ) z e z. (2.10) Da sich die elektrische Feldstärke aus Ableitungen der Potentialfunktion ergibt, spielt die Wahl des Referenzpunktes bei der Potentialfunktion keine Rolle. Die additive Konstante zwischen verschiedenen Potentialfunktionen verschwindet beim Ableiten. Die elektrische Feldstärke ist also eindeutig und unabhängig vom Referenzpunkt der Potentialfunktion. Das Potential kann also ebenso gut zur Beschreibung elektrischer Felder herangezogen werden wie die elektrische Feldstärke: Der Vorteil liegt in der skalaren Natur des Potentials gegenüber dem Vektorfeld der elektrischen Feldstärke. (Skalarfeld: ein Wert pro Raumpunkt reicht zur Beschreibung; Vektorfeld: drei Komponenten erforderlich.) Gültigkeitsbereich: Das Konzept eines skalaren elektrischen Potentials trägt nur bei Quellenfeldern: Ruhende elektrische Ladungen als Quellen des zeitunabhängigen elektrischen Feldes Elektrostatik.) Beispiel Gegeben sei der Plattenkondensator in Bild 2.8. Gesucht sei das skalare Potentialfeld φ( r) zwischen den Platten. Der Plattenabstand betrage d = 1 mm und die elektrische Abbildung 2.8: Plattenkondensator: Berechnung der Potentialfunktion φ. Feldstärke zwischen den Platten sei E 0 = 1 kv m e y. Die Spannung zwischen den Platten beträgt dann U AB = B E d s = E 0 d = 1 V. (2.11) A

14 KAPITEL 2. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN 9 Wird Punkt B als Referenzpunkt für das Potential gewählt, so kann jedem Raumpunkt ein bestimmter Potentialwert zugeordnet werden. Liegt r auf der unteren Platte, so ist wegen E d s das Potential Null. Ebenso liegen alle Punkte der oberen Platte auf einem Potential. Das Potential der oberen Platte beträgt φ B (A) = B E d s = U A AB = 1 V Berechnung des Potentials zwischen den Platten in Abhängigkeit von y: φ B (y) = y=0 E d s = E 0 y y 0= E 0 y. Flächen gleichen Potentials sind horizontale Ebenen. y Rückrechnung auf die elektrische Feldstärke ergibt: E = gradφ = ( φ x }{{} =0 e x + φ y }{{} =E 0 e y + φ z }{{} =0 e z ) = E0 e y. (2.12) Beispiel (Ende) 2.5 Dielektrische Verschiebungsdichte Die dielektrische Verschiebungsdichte D (auch: elektrische Flussdichte) entspricht - bis auf einen Faktor - der elektrischen Feldstärke E D = ε 0 ε r E (2.13) Die Einheit der dielektrischen Verschiebungsdichte ist [D] = As/m 2. Die Größe ε r ist die relative Dielektrizitätszahl (dimensionslos) und eine Stoffeigenschaft. Eine besondere Bedeutung kommt der dielektrischen Verschiebungsdichte D im Gauß schen Satz zu: D da = ρ dv = Q. (2.14) A(V ) V Integriert man die diel. Verschiebungsdichte D über eine geschlossene Hüllfläche A(V ), so erhält man die im Volumen V eingeschlossene Ladungsmenge Q.

15 KAPITEL 2. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN 10 Abbildung 2.9: Veranschaulichung der Bedeutung des Gauß schen Satzes. Abbildung 2.10: Dielektrikum im elektrischen Feld eines Plattenkondensators. 2.6 Dielektrika im elektrischen Feld Die eigentliche Bedeutung der dielektrischen Verschiebungsdichte wird deutlich, wenn Materie vom elektrischen Feld durchsetzt wird. Experimentell stellt man folgendes fest: Wird in den Raum zwischen den geladenen Platten eines Plattenkondensators ein Isoliermaterial (Dielektrikum) gebracht, so zeigt sich, dass die Spannung zwischen den Platten gegenüber dem Fall ohne Isoliermaterial verringert ist. Entfernt man das Isoliermaterial wieder, so erhält man den ursprünglichen Spannungswert. Durch Einbringen des Isolators in das elektrische Feld E 0 verschieben sich die Ladungen im Isolator, so dass ein Gegenfeld E p entsteht. Der Effekt wird als Polarisation bezeichnet. In der Materie herrscht ein abgeschwächtes Feld E m = E 0 E p < E 0. (2.15)

16 KAPITEL 2. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN 11 Aufgrund der verringerten Feldstärke ist auch die Spannung reduziert: U m = B E m d s < U 0. (2.16) Das Verhältnis von E 0 zu E m heißt relative Dielektrizitätszahl ε r. A ε r = E 0 E m = U 0 U m (2.17) Achtung: Im Dielektrikum ist E m gegenüber E 0 reduziert, die dielektrische Verschiebungsdichte bleibt jedoch unverändert! D m = ε 0 ε r E m = ε 0 ε r E 0 ε r = ε 0 E 0 = D 0 (2.18) An dieser Stelle sollen zwei wichtige Begriffe auseinander gehalten werden: Influenz : Verschiebung von freien Ladungsträgern in einem Leiter infolge eines äußeren elektrischen Feldes. Polarisation : Ausrichtung von Ladungen in einem Isolator durch einen der beiden folgenden Mechanismen: (a) vorhandene Dipole (polare Materie) orientieren sich parallel zum äußeren Feld oder (b) bei nicht-polarer Materie fallen durch entgegengesetzte Kraftwirkung auf Kern und Hülle die Ladungsschwerpunkte nicht mehr zusammen, so dass Dipole entstehen (siehe Bild 2.11). Abbildung 2.11: Entstehung eines Dipols im äußeren elektrischen Feld bei nicht-polarer Materie. 2.7 Stromdichte In den bisherigen Kapiteln wurden ruhende Ladungen und die von ihnen erzeugten elektrischen Felder besprochen. Nun sollen Ladungen in Bewegung untersucht werden; wir werden sehen, dass es dann zur Entstehung von magnetischen Feldern kommt. Zunächst aber müssen wir wichtige Begriffe einführen, die die Bewegung von Ladungen beschreiben. Die Stromstärke I gibt die Ladungsmenge Q an, die in einem Zeitintervall t durch eine Querschnittsfläche A fließt.

17 KAPITEL 2. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN 12 Abbildung 2.12: Zur Definition der Stromstärke I. I = Q t. (2.19) Die Stromstärke ist eine skalare, vorzeichenbehaftete Größe. Als positive Richtung des Stroms wird die Bewegungsrichtung der positiven Ladungsträger definiert. Einheit der Stromstärke ist das Ampere [I] = A. Die Stromdichte gibt die Stromstärke I pro Querschnittsfläche A an, also J = I A. (2.20) Die Einheit ist [J] = A/m 2. Die Stromdichte ist eine lokale Größe (Vektorfeld) im Gegensatz zur Stromstärke, die ein integrale Größe ist und immer in Beziehung zu einer Bezugsfläche steht. Allgemein gilt zwischen der Stromstärke I und der Stromdichte J folgender Zusammenhang: I = A J d A. (2.21) Die Stromstärke ergibt sich also durch Integration der Stromdichte über die Querschnittsfläche. Im leitfähigen Material ist die Stromdichte über folgende Formel mit der elektrischen Feldstärke verknüpft: J = σ E. (2.22) Die Größe σ ist die elektrische Leitfähigkeit in der Einheit [σ] = S/m. 2.8 Magnetische Feldstärke Historisch wurde schon frühzeitig beobachten, dass sich einige Materialien - je nach Orientierung zueinander - anzogen bzw. abstießen. Diese Materialien nannte man nach dem Ort ihrer Entdeckung Magnete. Man kann sich die Kraftwirkung solcher Magnete aufeinander veranschaulichen, indem man diesen Magneten zwei Pole (Nordpol und Südpol) zuordnet und sich magnetische Feldlinien vorstellt, die aus dem Nordpol austreten und im Südpol wieder in den Magneten

18 KAPITEL 2. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN 13 Abbildung 2.13: Magnet und magnetische Feldlinien. eintreten. Zerbricht man einen Magneten, so stellt man fest, dass die Bruchstücke selbst wieder Nord- und Südpol besitzen. Es gibt keine isolierten Nord- bzw. Südpole. Dies ist Folge des Umstandes, dass magnetische Feldlinien immer geschlossen sind. Wichtige Größen zur Beschreibung magnetischer Felder sind die magnetische Feldstärke H in der Einheit [H] = A/m und die magnetische Flussdichte B (auch magnetische Induktion) in der Einheit [B] = 1 Vs/m 2 = 1 T = 1 Tesla. Die Größen sind über folgende Beziehung miteinander verbunden: mit der Permeabilitätskonstante B = µ 0 µ r H, (2.23) 6 Vs µ 0 = 1, (2.24) Am und der relativen Permeabilitätszahl µ r. Im Rahmen der Vorlesung wollen wir uns nicht mit Permanentmagneten beschäftigen, sondern allein mit technisch erzeugten magnetischen Feldern. Man stellt fest, dass magnetische Felder in der Nähe von Strömen auftreten. Ströme - also bewegte Ladungen - sind die Ursachen von magnetischen Feldern. Dies gilt übrigens auch für Permanentmagnete: Hier sind es Kreisströme auf atomarer Ebene. Als einfaches Beispiel, auf das wir später detaillierter zurückkommen wollen, betrachten wir einen langen stromdurchflossenen Linienleiter. Dieser ist von kreisförmigen magnetischen Feldlinien umgeben (siehe Bild 2.14). Die Richtung des magnetischen Feldes ergibt sich durch die Rechte-Hand-Regel. Wird der Linienleiter mit der rechten Hand umgriffen und zeigt der Daumen dabei in Richtung des Stromes, so geben die anderen Finger den Umlaufsinn des magnetischen Feldes an.

19 KAPITEL 2. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN 14 Abbildung 2.14: Magnetische Feldlinien um einen langen gleichstromdurchflossenen Linienleiter. 2.9 Lorentz-Kraft Wir haben gesehen, dass Ströme magnetische Felder verursachen. Aber üben magnetische Felder - ähnlich wie elektrische Felder - auch Kräfte auf Ladungen aus? Zunächst einmal erkennt man, dass sich zwischen einer ruhenden Ladung und einem magnetischen Feld keine Wechselwirkung feststellen lässt. Bewegt sich die Ladung jedoch, so erfährt sie die Lorentz-Kraft F L. ( F L = Q v B ). (2.25) Abbildung 2.15: Lorentzkraft auf eine bewegte Ladung. Die Richtung der Kraft ergibt sich nach dem Kreuzprodukt senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zur Geschwindigkeit (siehe Bild 2.15). Existieren gleichzeitig ein magnetisches und ein elektrisches Feld, so überlagern sich Coulombkraft F C und Lorentzkraft F L. F = QE ( + Q v B ). (2.26) Beispiel

20 KAPITEL 2. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN 15 Stehen Geschwindigkeitsvektor v und magnetische Induktion B senkrecht zueinander, so ergibt sich eine Kreisbewegung des Teilchens. Die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft: F L = F Z (2.27) QvB = m v2 r (2.28) Hieraus lässt sich der Radius der Kreisbahn berechnen r = mv QB. (2.29) Abbildung 2.16: Kreisbahn eines geladenen Teilchens im magnetischen Feld. Beispiel (Ende) 2.10 Energiedichte im elektromagnetischen Feld In elektrischen und magnetischen Felder ist Energie gespeichert. Diese Energien stehen in Zusammenhang mit Netzwerkgrößen, z.b. der Kapazität C eines Kondensators und der Induktivität L einer Spule. Die Energiedichte des elektrischen Feldes ist in einem isotropen, linearen Medium gegeben durch w e = 1 2 D E = 1 2 ε E 2. (2.30)

21 KAPITEL 2. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN 16 Die Energiedichte des magnetischen Feldes ist in einem isotropen, linearen Medium gegeben durch w m = 1 2 H B = 1 2 µ H 2. (2.31) Zur Erinnerung: Ein Medium ist isotrop, wenn das Material keine Richtungsabhängigkeit aufweist (die Größen ε, µ, σ sind dann skalare Größen). Ein Medium ist linear, wenn die Größen ε, µ, σ keine Funktion der Feldgrößen E und H sind. Die in einem elektrischen Feld gespeicherte Energie beträgt dann: W e = w e dv. (2.32) V Analog gilt für das magnetischen Feld: W m = V w m dv. (2.33) Beispiel Gegeben ist ein luftgefüllter Plattenkondensator (Plattenfläche A, Plattenabstand d) nach Bild 2.17 mit einem homogenen elektrischen Feld E. Die im elektrischen Feld gespei- Abbildung 2.17: Plattenkondensator. cherte Energie ist W e = w e dv (2.34) = V V = 1 2 ε 0E 2 0 A d }{{} V 1 2 ε 0E 2 0 dv (2.35) (2.36)

22 KAPITEL 2. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN 17 Mit der Spannung zwischen den Platten U = 2 E d s = Ed (2.37) ergibt sich 1 W e = 1 2 ε A 0 d }{{} C E 2 0d 2 } {{ } U 2 (2.38) = 1 2 CU 2. (2.39) Die Größe C ist die Kapazität in der Einheit [C] = AS/V = F (Farad). Die Kapazität beschreibt die (auf einer Platte) gespeicherte Ladung bezogen auf die anliegende Spannung. C = Q U (2.40) Bei einem Plattenkondensator gilt also unter der Annahme eines homogenen Feldes, das sich auf den Zwischenraum zwischen den Platten beschränkt: C = ε 0 A d. (2.41) Diese Formel kann auch mit dem Gauß schen Satz (3. Maxwell schen Gleichung) bestimmt werden. Legt man - wie in Bild 2.18 gezeigt - eine geschlossene Hüllfläche um eine Platte, so erhält man die eingeschlossene Ladungsmenge Q. Aufgrund des Umstandes, dass ein homogenes elektrischen Feld nur zwischen den Platten existiert, ist das Oberflächenintegral einfach auszuwerten. Abbildung 2.18: Plattenkondensator. Q = D d A = ε 0 EA (2.42) A(V ) Mit der Spannung U = Ed ergibt sich so: C = Q U = ε 0EA Ed = ε A 0 d. (2.43)

23 KAPITEL 2. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN 18 In der Übungsveranstaltung werden wir sehen, auf welche Weise die Induktivität L mit der magnetischen Feldenergie W m zusammenhängt (siehe Kapitel B.3) auf Seite 114. Beispiel (Ende)

24 Kapitel 3 Maxwell sche Gleichungen Die Maxwell schen Gleichungen (MWG) liefern eine Beschreibung der makroskopischen elektromagnetischen Phänomene, also des Verhaltens von elektrischen und magnetischen Feldern und die Wechselwirkung mit der Materie. In diesen Gleichungen sind die auftretenden Feldgrößen Funktionen des Ortes r und der Zeit t. Diese Feldgrößen müssen neben den MWG noch Rand- und Anfangsbedingungen genügen, so dass sich insgesamt ein Anfangs-Randwert-Problem ergibt. Die Maxwell schen Gleichungen können in differentieller und in integraler Form angegeben werden. In den nachfolgenden beiden Unterkapiteln wollen wir uns die Gleichungen einmal ansehen und ihre anschauliche Bedeutung erfassen. 3.1 MWG in Differentialform Die erste Maxwell sche Gleichung in Differentialform lautet: rot H = J + D t (1. MWG). (3.1) Anschaulich interpretiert sagt diese Gleichung, dass die elektrische Stromdichte J und die Verschiebungsstromdichte D/ t die Ursachen des magnetischen Wirbelfeldes sind. Die zweite Maxwell sche Gleichung in Differentialform lautet: rot E = B t (2. MWG). (3.2) Anschaulich interpretiert sagt diese Gleichung, dass die zeitliche Änderung der magnetischen Flussdichte B/ t die Ursache des elektrischen Wirbelfeldes ist. Die dritte Maxwell sche Gleichung in Differentialform lautet: div D = ρ (3. MWG). (3.3) Anschaulich interpretiert sagt diese Gleichung, dass die Raumladungsdichte ρ die Ursache des elektrischen Quellenfeldes ist. 19

25 KAPITEL 3. MAXWELL SCHE GLEICHUNGEN 20 Abbildung 3.1: (a) Durchflutungsgesetz und (b) Induktionsgesetz. Die vierte Maxwell sche Gleichung in Differentialform lautet: div B = 0 (4. MWG). (3.4) Anschaulich interpretiert sagt diese Gleichung, dass die magnetische Flussdichte B immer quellenfrei ist. 3.2 MWG in Integralform Die erste Maxwell sche Gleichung in Integralform lautet: ( H d s = J + D ) da t. (3.5) C(A) A Die Gleichung wird auch als Durchflutungsgesetz, bzw. als Ampere sches Gesetz bezeichnet. Die anschauliche Bedeutung stellt Bild 3.1a dar: Das Umlaufintegral des magnetischen Feldes H um die Fläche A entspricht dem durch die Fläche tretenden Gesamtstrom I ges (Integral über die Leitungsstromdichte J = σe und über die Verschiebungsstromdichte D/ t). ( I ges = J + D ) da t. (3.6) Die zweite Maxwell sche Gleichung in Integralform lautet: A B d A allgemein C(A) E d s = d dt = A A B t d A für ruhende Medien. (3.7)

26 KAPITEL 3. MAXWELL SCHE GLEICHUNGEN 21 Die Gleichung wird auch als Induktionsgesetz, bzw. als Faraday sches Gesetz bezeichnet. (In dieser Vorlesung wollen wir uns auf ruhende Medien beschränken.) Die anschauliche Bedeutung stellt Bild 3.1b dar: Das Umlaufintegral des elektrischen Feldes E um die Fläche A entspricht dem Flächenintegral über die zeitliche Änderung der magnetischen Flussdichte B. Die dritte Maxwell sche Gleichung in Integralform lautet: D da = ρ dv = Q. (3.8) A(V ) V Die Gleichung wird auch als Gauß sches Gesetz des elektrischen Feldes bezeichnet. Das Integral der dielektrischen Verschiebungsdichte D über die geschlossene Hüllfläche A(V ) liefert die gesamte im Volumen eingeschlossene Ladungsmenge Q. Bild 2.9 auf Seite 10 zeigt eine Darstellung zur Interpretation. Die vierte Maxwell sche Gleichung in Integralform lautet: A(V ) B d A = 0. (3.9) Die Gleichung wird auch als Gauß sches Gesetz des magnetischen Feldes bezeichnet. Das Integral der magnetische Flussdichte B über die geschlossene Hüllfläche A(V ) verschwindet. Die Summe der eintretenden und austretenden magnetischen Feldlinien ist also gleich. Das Flächenintegral über die magnetische Flussdichte B Ψ m = B df (3.10) wird als magnetischer Fluss bezeichnet, ebenso wie das Flächenintegral über die elektrische Flussdichte D Ψ e = D df (3.11) als elektrischer Fluss bezeichnet wird. A A 3.3 MWG für zeitharmonische Vorgänge In der Technik sind häufig monofrequente (zeitharmonische) Vorgänge von Bedeutung. Die Feldgrößen haben dann eine sinusförmige Zeitabhängigkeit und lassen sich wie in der komplexen Wechselstromrechnung durch Phasoren beschreiben.

27 KAPITEL 3. MAXWELL SCHE GLEICHUNGEN 22 In komplexer Schreibweise ergibt sich dann folgender Zusammenhang: E ( r, t) = E 0 ( r) cos (ωt + ϕ 0 ) (3.12) { = Re E0 ( r) cos (ωt + ϕ 0 ) + je } 0 sin (ωt + ϕ 0 ) (3.13) { = Re E0 ( r) e 0)} j(ωt+ϕ (3.14) = Re{ E 0 ( r) e jϕ 0 e jωt } } {{ } (3.15) E 0 ( r) Die unterstrichene Größe E 0 ( r) bezeichnet die komplexe Amplitude (Phasor) und ist nur noch eine Funktion des Ortes. Somit ist die explizite Zeitabhängigkeit verschwunden. Soll aus einem bekannten Phasor die physikalische, orts- und zeitabhängige Größe ermittelt werden, so muss der obige Weg umgekehrt werden, d.h. der Phasor muss mit der komplexen Exponentialfunktion multipliziert und vom Ergebnis der Realteil gebildet werden. Im weiteren Verlauf der Vorlesung wollen wir komplexe Größen nicht gesondert kennzeichnen und verzichten daher im weiteren auf den Unterstrich. Welchen Vorteil hat nun die Einführung der komplexen Rechnung? Zunächst einmal entfällt die Zeitvariable t und es verbleiben nur die drei Ortsvariablen. Weiterhin vereinfacht sich die zeitliche Ableitung, aus ihr wird ein Faktor, denn also wird t ejωt = jωe jωt, (3.16) t jω. (3.17) Insgesamt ergibt sich nun folgende Form für die Maxwell schen Gleichungen: rot H = J + jω D = σ E + jωε 0 ε r E = (σ + jωε0 ε r ) E (3.18) rot E = jω B (3.19) div D = ρ (3.20) div B = 0 (3.21) Bitte beachten Sie, dass die auftauchenden Feldgrößen in diesen Gleichungen Phasoren sind! 3.4 Randbedingungen Wie in den vorangegangenen Unterkapiteln gezeigt, müssen die elektromagnetischen Feldgrößen die Maxwell schen Gleichungen erfüllen. An Materialgrenzen müssen die Feldgrößen zusätzlich bestimmten Stetigkeitsbedingungen genügen.

28 KAPITEL 3. MAXWELL SCHE GLEICHUNGEN 23 Die Normalkomponenten von D und B sind stetig: D 1n = D 2n. (3.22) B 1n = B 2n Die tangentialen Komponenten von E und H sind stetig: E 1t = E 2t. (3.23) H 1t = H 2t Aus diesen Stetigkeitsbedingungen können die Beziehungen für die anderen Komponenten abgeleitet werden. Aus der Stetigkeitsbedingung D 1n = D 2n und den Materialbeziehungen ε 0 ε r1 E 1n = ε 0 ε r2 E 2n folgt E 1n = ε r2 ε r1 E 2n. (3.24) Aus der Stetigkeitsbedingung B 1n = B 2n und den Materialbeziehungen µ 0 µ r1 H 1n = µ 0 µ r2 H 2n folgt Aus den Stetigkeitsbedingungen E 1t = E 2t und D 1t ε 0 ε r1 Aus den Stetigkeitsbedingungen H 1t = H 2t und H 1n = µ r2 µ r1 H 2n. (3.25) = D 2t ε 0 ε r2 folgt D 1t = ε r1 ε r2 D 2t. (3.26) B 1t µ 0 µ r1 = B 2t µ 0 µ r2 folgt B 1t = µ r1 µ r2 B 2t. (3.27) Die Zusammenhänge werden in Bild 3.2 grafisch dargestellt. Man erkennt, dass die Vektoren E 1 und D 1 sowie die Vektoren E 2 und D 2 vor und nach der Grenzschicht jeweils in die gleiche Richtung weisen. Gleiches gilt für die magnetische Flussdichte B und die die magnetische Feldstärke H. Sonderfälle: An einer Grenzfläche mit einer Oberflächenladung σ F (mit der Einheit [σ F ] = C/m 2 ) gilt D 1n D 2n = σ F. (3.28)

29 KAPITEL 3. MAXWELL SCHE GLEICHUNGEN 24 Abbildung 3.2: Randbedingungen für (a) die dielektrische Verschiebungsdichte und (b) das elektrische Feld. Abbildung 3.3: (a) Knotenregel der Netzwerktheorie (b) analoge Aussage in der Feldtheorie. Falls Oberflächenladungen existieren, so springt die Normalenkomponente um die Oberflächenladungsdichte σ F. An einer Grenzfläche mit einer Flächenstromdichte J F (mit der Einheit [J F ] = A/m) gilt H 1t H 2t = J F. (3.29) Falls eine Oberflächenstromdichte existiert, so springt die Normalenkomponente um die Oberflächenstromdichte J F. 3.5 Erhaltungssatz der Ladung Aus der Netzwerktheorie ist die Knotenregel bekannt, nach der die Summe aller auf einen Knoten zulaufenden Ströme I i verschwindet (siehe Bild 3.3a): N I i = 0. (3.30) i=1 In der Feldtheorie gilt analog, dass das Integral über alle in ein Volumen eindringenden

30 KAPITEL 3. MAXWELL SCHE GLEICHUNGEN 25 Abbildung 3.4: Übergang einer Fläche mit endlicher Randkurve zu einer geschlossenen Hüllfläche mit verschwindender Randkurve. Stromdichten verschwindet. Bild 3.3b zeigt den Sachverhalt. ( JL + J ) V da = 0 (3.31) } {{ } A(V ) wahre Stromdichte Bei der Stromdichte muss dabei die wahre Stromdichte betrachtet werden, also sowohl die Leitungsstromdichte J L als auch die Verschiebungsstromdichte J V : J L = σ E Leitungsstromdichte (3.32) J V = D t Verschiebungsstromdichte (3.33) Gleichung 3.31 kann aus der 1. Maxwell schen Gleichung abgeleitet werden, wenn in der MWG die Randkurve so lange verkleinert wird, bis sich ein Volumen mit einer geschlossenen Oberfläche ergibt (siehe Bild 3.4). Aus Gleichung 3.31 lässt sich mit ein paar Umformungen eine interessante Aussage gewinnen. Zunächst einmal spalten wir das Integral in zwei Integrale auf: J L da = J V da (3.34) A(V ) Wir erhalten also schließlich: A(V ) A(V ) = A(V ) = d dt = dq dt D t d A (3.35) A(V ) D d A } {{ } =Q (3. MWG) (3.36) (3.37) J L d A = dq dt. (3.38)

31 KAPITEL 3. MAXWELL SCHE GLEICHUNGEN 26 Diese Gleichung ist das Gesetz von der Erhaltung der Ladung. In Worten besagt diese Gleichung: Wenn die Ladung im Volumen abnimmt (dq/dt < 0), dann resultiert daraus (aufgrund des negativen Vorzeichens) ein positiver Leitungsstrom durch die Fläche nach außen (die Flächennormale d A ist bei einem geschlossenen Volumen immer nach außen orientiert).

32 Kapitel 4 Einteilung elektromagnetischer Felder Elektromagnetische Felder stellen Lösungen der Maxwell schen Gleichungen mit entsprechenden Rand- und Anfangsbedingungen dar. Je nach Anwendungsfall können sich die Maxwell schen Gleichungen stark vereinfachen. Insgesamt hat sich folgende Einteilung als zweckmäßig erwiesen. a) Zeitlich konstante Felder ( / t = 0) a1) Elektrostatische Felder a2) Magnetostatische Felder a3) Statische Strömungsfelder (Gleichstrom) b) Zeitlich veränderliche Felder ( / t 0) b1) Langsam veränderliche Felder Quasistatische elektrische Felder Quasistatische magnetische Felder Quasistatische Strömungsfelder b2) Schnell veränderliche Felder Quasistationäre Felder mit Stromverdrängung (Skineffekt) Elektromagnetische Wellen (Wellenausbreitung im freien Raum) Im folgenden wollen wir uns mit diesen Feldtypen auseinandersetzen und dabei verschiedene Lösungsstrategien kennenlernen. Auch wenn dem Ingenieur heutzutage leistungsstarke Simulationsprogramme zur Feldberechung zur Verfügung stehen, muss er die grundlegenden analytischen Methoden kennen, um die Ergebnisse der numerischen Verfahren beurteilen zu können. 27

33 KAPITEL 4. EINTEILUNG ELEKTROMAGNETISCHER FELDER Elektrostatische Felder Aufgrund von ruhenden Ladungen entsteht ein zeitunabhängiges elektrisches Feld. Magnetische Felder existieren nicht. Die Maxwell schen Gleichungen in Differentialform vereinfachen sich in diesem Falle zu: rot E = 0 (4.1) div D = ρ. (4.2) Da die Rotation des elektrischen Feldes verschwindet, handelt es sich um ein reines Quellenfeld. Die Raumladungsdichte ist die Ursache dieses Quellenfeldes Poissongleichung In Kapitel 2 haben wir gesehen, dass sich das elektrostatische Feld E als Gradient einer Potentialfunktion φ darstellen lässt. Setzen wir diese Beziehung in Gleichung 4.1, so ergibt sich: E = gradφ (4.3) rot gradφ = 0. (4.4) Diese Gleichung ist immer erfüllt, da die Rotation eines Gradienten identisch verschwindet. Setzen wir Gleichung 4.3 in Gleichung 4.2 ein, so ergibt sich: divd ( = div εe ) (4.5) = ε div gradφ für homogene Medien (4.6) = ε φ = ρ. (4.7) Daraus ergibt sich folgende Differentialgleichung, die auch als Poisson-Gleichung bekannt ist: φ = ρ ε (4.8) Diese Gleichung gilt für homogene (ε = const.) Materialien mit Raumladungsdichteverteilungen ρ. In quellenfreien Gebieten (ρ = 0) wird aus obiger Gleichung die sog. Laplace-Gleichung. φ = 0 (4.9) Fazit: Elektrostatische Felder können berechnet werden, indem eine Potentialfunktion φ bestimmt wird, die die Poisson-Gleichung, bzw. die Laplace-Gleichung erfüllt. Da die Potentialfunktion eine skalare Funktion ist, ist das Bestimmen einer Lösung der Potentialfunktion einfacher möglich als das Lösen der Maxwell schen Gleichungen in denen das elektrische Feld als vektorielle Größe auftritt. Das elektrische Feld kann dann mit Hilfe von Gleichung 4.3 aus der Potentialfunktion bestimmt werden.

34 KAPITEL 4. EINTEILUNG ELEKTROMAGNETISCHER FELDER Magnetostatische Felder Aufgrund von gleichstromführenden, idealen Leitern (σ ) - sowie in der Umgebung von Permanentmagneten, die wir aber hier nicht weiter behandeln wollen - kommt es zu einem zeitunabhängigen magnetischen Feld. Ein elektrisches Feld existiert nicht. Die Maxwell schen Gleichungen in Differentialform vereinfachen sich in diesem Falle zu: rot H = J L (4.10) div B = 0. (4.11) Die Größe J L ist die Stromdichte im Leiter. (Aufgrund der unendlichen Leitfähigkeit ist das elektrische Feld ( J L = σ E) im Leiter Null!) Da die Divergenz des magnetischen Feldes verschwindet handelt es sich um ein reines Wirbelfeld (Die Feldlinien der magnetischen Flussdichte sind geschlossen!). Die Stromdichte ist die Ursache des Wirbelfeldes Magnetisches Vektorpotential Im elektrostatischen Fall konnte eine skalare Potentialfunktion φ angegeben werden für die die Poisson-Gleichung gilt. Im magnetostatischen Fall hilft die Einführung einer vektoriellen Potentialfunktion A weiter. Das magnetische Vektorpotential wird so definiert, dass es der Gleichung B = rot A (4.12) genügt, d.h. die magnetische Flussdichte B ist die Wirbeldichte des magnetischen Vektorpotentials A. Durch diese Festlegung ist das magn. Vektorpotential aber nicht eindeutig bestimmt. Eindeutig wird das magn. Vektorpotential erst, wenn auch ein Wert für die Divergenz festgelegt wird. Im Falle der Magnetostatik wählt man geschickterweise die Coulomb- Eichung d.h. das magnetische Vektorpotential soll quellenfrei sein. Einsetzen von Definition 4.12 in Gleichung 4.11 liefert div A! = 0, (4.13) div B = div rot A = 0. (4.14) Die Divergenz der Rotation verschwindet immer (dies ist der Grund für die Festlegung in Gleichung 4.12). Einsetzen von Definition 4.12 in Gleichung 4.10 liefert rot H = 1 µ rot B (4.15) = 1 µ rot rot A = J. (4.16)

35 KAPITEL 4. EINTEILUNG ELEKTROMAGNETISCHER FELDER 30 Aus der Vektoranalysis ist folgender Zusammenhang bekannt: Hieraus ergibt sich: rot rot A = grad div A A. (4.17) rot H = 1 µ ( grad } div {{ A } A =0 ). (4.18) Aufgrund der Coulomb-Eichung verschwindet einer der Terme und es ergibt sich: A = µ J (4.19) Diese Gleichung ist die (vektorielle) Potentialgleichung für das magnetische Vektorpotential und ähnelt in ihrer Struktur der Poisson-Gleichung. Wenn wir die vektorielle Potentialgleichung auswerten wollen, müssen wir noch wissen wie wir den Delta-Operator angewendet auf einen Vektor zu berechnen haben. Bislang kennen wir den Delta-Operator nur angewendet auf eine skalare Funktion. In kartesischen Koordinaten kann die vektorielle Potentialgleichung durch drei skalare Differentialgleichungen für die verschiedenen kartesischen Koordinaten ersetzt werden: A x = µj x (4.20) A y = µj y (4.21) A z = µj z. (4.22) In anderen Koordinatensystemen ist die Auswertung komplizierter Hier bietet es sich an direkt über die Beziehung zu geben Biot-Savart sches Gesetz A = grad div A rot rot A (4.23) Eine Gleichung, die direkt das magnetische Feld in der Umgebung von gleichstromdurchflossenen Linienleitern angibt ist das Biot-Savart sche Gesetz. µi 4π C B ( r) = d s ( r r ). (4.24) r r 3 Die Bedeutung der einzelnen Größen ist in Bild 4.1 dargestellt. I Strom im Linienleiter.

36 KAPITEL 4. EINTEILUNG ELEKTROMAGNETISCHER FELDER 31 Abbildung 4.1: Zur Anwendung des Biot-Savart sches Gesetzes. r Aufpunktsvektor: Ort an dem das Feld berechnet wird. r d s Quellpunktsvektor: Ort an dem der Strom fließt. (Es wird über die gestrichenen Größen integriert.) Wegelement über das integriert wird. In der Übung findet sich ein Beispiel zur Anwendung des Biot-Savart schen Gesetzes (siehe Kapitel B.5 auf Seite 117) Selbst- und Gegeninduktivität In einem vorherigen Kapitel haben wir die Kapazität C einer Zweileiteranordnung mit Hilfe der elektrischen Feldenergie berechnet. Ebenso lässt sich die (Selbst-)Induktivität L einer Spule mit Hilfe der magnetischen Feldenergie bestimmen. W m = V w m dv = V 1 2 µ 0 H Hdv (4.25) = 1 2 LI2 (4.26) Die Induktivität ist also ein Maß für die im Feld gespeicherte magnetische Energie. Erinnerung In der Netzwerktheorie verknüpft die Induktivität Strom und Spannung an einer Spule miteinander U L = L di L dt. (4.27) In Worten bedeutet dies, dass es zu einem Spannungsabfall an der Spule kommt, wenn der Strom sich in der Spule ändert. Die Induktivität hat jedoch auch im Gleichstromfall eine Bedeutung! Befinden sich zwei Spulen im Raum, so kann man jeder Spule eine Selbstinduktivität zuordnen. Zusätzlich sind die Spulen über eine Gegeninduktivität gekoppelt, da ein Teil der

37 KAPITEL 4. EINTEILUNG ELEKTROMAGNETISCHER FELDER 32 Abbildung 4.2: Magnetisches Feld einer stromdurchflossenen Leiteranordnung. Abbildung 4.3: Magnetisches Feld zweier Stromschleifen. Feldlinien der ersten Spule die zweite durchsetzten und umgekehrt. (Achtung: Wir reden hier über statische Felder, da wird keine Spannung induziert!) Die gesamte, im Feld gespeicherte magnetische Feldenergie kann wieder über die Gleichung 4.25 berechnet werden, wobei hier nun aber die Summe der magnetischen Feldstärken beider Spulen berücksichtigt werden muss. 1 ( W m = w m dv = 2 µ H1 0 + H ) 2 2 dv (4.28) Daraus folgt: = = V V V 1 2 µ 0 V ( H1 + H ) 2 ( H1 + H 2 ) dv (4.29) 1 ( 2 µ H1 0 H 1 + 2H 1 H 2 + H 2 H ) 2 dv (4.30) = W m1 + W m12 + W m2 (4.31) = 1 2 L 1I MI 1 I L 2I 2 2 (4.32) L 1 = µ 0 I 2 1 L 2 = µ 0 I 2 2 M = µ 0 I 1 I 2 V V V ( H1 H 1 ) dv ( H2 H 2 ) dv ( H1 H 2 ) dv. (4.33) Grundsätzlich gilt stets folgender Zusammenhang: M L 1 L 2. (4.34)

38 KAPITEL 4. EINTEILUNG ELEKTROMAGNETISCHER FELDER 33 Abbildung 4.4: Statisches Strömungsfeld und zeitlich konstantes magnetisches Feld. Es lässt sich ein magnetischer Kopplungsfaktor k definieren mit k = M L1 L 2 1. (4.35) 4.3 Statisches Strömungsfeld Aufgrund der endlichen Leitfähigkeit des Mediums (σ 0) stellt sich zwischen Potentialunterschieden ein zeitunabhängiges Strömungsfeld ein. Die resultierende Stromdichteverteilung J ( r) führt zu einem zeitlich konstanten magnetischen Feld H. Der Zusammenhang ist in Bild 4.4 gezeigt. Die Potentiale φ 1 und φ 2 seien hier als Randbedingungen vorgegeben. Beim elektrischen Strömungsfeld J = σ E handelt es sich um ein Quellenfeld. Daher führt auch hier der bei elektrostatischen Feldern eingeführte Ansatz E = grad φ (4.36) weiter. Folglich sind die in der Elektrostatik angewandten Methoden zur Berechnung der Felder hier ebenso anwendbar. Aus der in diesem ersten Schritt ermittelten Stromdichteverteilung kann dann in einem zweiten Schritt das resultierende magnetische Feld ermittelt werden. Da sich das magnetische Feld zeitlich nicht ändert, gibt es auch keine Rückwirkung auf die Stromdichteverteilung (siehe zweite Maxwell sche Gleichung). Man spricht daher allgemein auch von einer Entkoppelung magnetischer und elektrischer Felder für den Fall der Statik. 4.4 Zusammenfassung statische Felder Wir können also für den Fall der Statik zusammenfassen: Elektrostatik: zeitunabhängiges, elektrisches Quellenfeld als Folge ruhender Ladungen kein magnetisches Feld Magnetostatik: zeitunabhängiges, magnetisches Wirbelfeld als Folge von Gleichströmen in idealen Leitern

39 KAPITEL 4. EINTEILUNG ELEKTROMAGNETISCHER FELDER 34 Abbildung 4.5: Plattenkondensator mit Wechselspannungsquelle U(t). kein elektrisches Feld Statisches Strömungsfeld: zeitunabhängiges, elektrisches Quellenfeld (Strömungsfeld) als Folge von Potentialunterschieden in nicht-idealen Leitern zeitunabhängiges, magnetisches Quellenfeld als Folge des Strömungsfeldes (keine Rückwirkungen auf das Strömungsfeld, da zeitlich konstantes magnetisches Feld ( H/ t = 0)) Im statischen Fall sind die elektrischen und magnetischen Felder voneinander entkoppelt. 4.5 Quasistatische Felder Die Felder sind nun zeitabhängig ( / t 0), wobei die zeitliche Änderung langsam erfolgt. Was unter einer langsamen Änderung zu verstehen ist, wollen wir uns an einem Beispiel verdeutlichen. Beispiel Gegeben sei der Plattenkondensator in Bild 4.5. Aufgrund der Zeitabhängigkeit der Spannung U = U(t) ist auch das elektrische Feld zeitabhängig E = E(t). Man spricht von langsam veränderlichen Feldern, wenn das elektrische Feld innerhalb der Kondensatoranordnung zu jedem Zeitpunkt dem elektrischen Feld entspricht, das im statischen Fall diesem augenblicklichen Spannungswert zugeordnet ist! Also statisch: E = U d quasistatisch: E(t) = U(t) d (4.37) E(t) U(t) (4.38) (4.39) Bild 4.6 zeigt dies noch einmal für die Zeitverläufe der Spannung und des Feldes. Die Felder verhalten sich quasistatisch, wenn die endliche Ausbreitungsgeschwidigkeit der Felder (im Vakuum ist dies die Lichtgeschwindigkeit) vernachlässigt werden kann.

40 KAPITEL 4. EINTEILUNG ELEKTROMAGNETISCHER FELDER 35 Abbildung 4.6: Spannung und Feld am Plattenkondensator im (a) statischen und (b) quasistatischen Fall. Abbildung 4.7: Spule mit Wechselstromquelle I(t). Beispiel (Ende) Beispiel Gegeben sei die langgestreckte Spule mit quasistatischem H-Feld in Bild 4.7. Aufgrund der Zeitabhängigkeit des Stromes I = I(t) ist auch das magnetische Feld in der Spule zeitabhängig H i = H i (t). Man spricht von langsam veränderlichen Feldern, wenn das magnetische Feld innerhalb der Spulenanordnung zu jedem Zeitpunkt dem magnetischen Feld entspricht, das im

41 KAPITEL 4. EINTEILUNG ELEKTROMAGNETISCHER FELDER 36 Abbildung 4.8: Zeitlicher Verlauf der Spannung U(t) zur Erläuterung der Anwendbarkeit der quasistatischen Näherung. statischen Fall diesem augenblicklichen Stromwert zugeordnet ist! Also statisch: H i = ni l quasistatisch: H i (t) = ni(t) l (4.40) H i (t) I(t) (4.41) (4.42) Beispiel (Ende) Bei der Bestimmung einer Näherungs-Lösung kann die Zeitabhängigkeit zunächst außer acht gelassen werden. Im ersten Schritt wird die statische Lösung ermittelt. Die Zeitabhängigkeit wird dann in einem zweiten Schritt (durch einfache Multiplikation mit einer harmonischen Zeitfunktion) berücksichtigt. Im Folgenden wollen wir uns einmal mathematisch etwas genauer überlegen, unter welchen Bedingungen die quasistatische Betrachtungsweise wohl gute Näherungslösungen ergibt. Wir hatten bereits gesagt, dass elektromagnetische Felder sich im Vakuum mit der Lichtgeschwindigkeit c 0 ausbreiten. c 0 = 1 ε0 µ 0 = 2, m s m s (im Vakuum) (4.43) c = c 0 εr (im Medium mit ε r ) (4.44) Soll die Änderung der Spannung an einem Kondensator quasi ohne Zeitverzug im gesamten Kondensator eine Feldänderung bewirken, so muss die Laufzeit des Signals innerhalb des Kondensators vernachlässigbar sein. Bild 4.8 zeigt einen harmonischen Spannungsverlauf. Soll obige Bedingung erfüllt sein, so muss die Laufzeit t auf jeden Fall deutlich kleiner als die Periodendauer T sein! t = s c T (4.45)

42 KAPITEL 4. EINTEILUNG ELEKTROMAGNETISCHER FELDER 37 Die Variable s gibt hierbei die zu überwindende Strecke an, ist also ein Maß für die Abmessungen des Kondensators. Mit dem bekannten Zusammenhang c = λf = λ T T = λ c (4.46) ergibt sich die Bedingung s λ. (4.47) Die Wellenlänge λ bei der betrachteten Frequenz muss also deutlich größer sein als die Abmessungen der Anordnung, damit die Zeitverzögerung durch die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit vernachlässigt werden kann. In der Praxis wird häufig gefordert, dass folgende Bedingung gilt s λ 10. (4.48) 4.6 Quasistationäre Felder mit Stromverdrängung Im statischen Fall waren die elektrischen und magnetischen Feldgrößen entkoppelt. Im quasi-statischen Fall (langsam zeitveränderliche Felder) gilt diese Annahme immer noch mit ausreichender Gültigkeit. Steigt die Frequenz weiter, so kann nun von der gegenseitigen Verkopplung der Felder nicht mehr abgesehen werden. Es tritt ein Phänomen auf, das als Stromverdrängung (Skineffekt) bezeichnet wird. Bevor wir uns dem Problem mathematisch nähern, wollen wir eine kurze anschauliche Exkursion unternehmen Anschauliche Beschreibung Die nachfolgende Beschreibung ist zwar mathematisch nicht exakt, gibt aber ein gute Gefühl dafür wie ein Strom durch sein selbst erzeugtes magnetisches Feld auf sich selbst zurückwirkt. Wir betrachten dabei Zusammenhänge nacheinander, die natürlich simultan ablaufen. Zunächst einmal betrachten wir einen Leiter mit endlicher Leitfähigkeit. In diesem Leiter stelle sich zunächst die homogene Stromdichteverteilung J a = σe a ein (siehe Bild 4.9). Aufgrund des Durchflutungsgesetzes H d s = J da (4.49) C(A) A ist hiermit ein umwirbelndes, zeitvariantes magnetisches Feld H verknüpft. In der Mitte des Leiters verschwindet das magnetische Feld und am Rand des Leiters nimmt es seinen Maximalwert an. Außerhalb des Leiters fällt es wieder mit 1/r ab (siehe Übung).

43 KAPITEL 4. EINTEILUNG ELEKTROMAGNETISCHER FELDER 38 Abbildung 4.9: Anschauliche Beschreibung der Stromverdrängung. Abbildung 4.10: Stromdichteverteilung (bei gleichem Gesamtstrom) im Leiterquerschnitt mit Skineffekt. Aufgrund des Induktionsgesetzes E d s = d dt B d A (4.50) C(A) A ist mit dem magnetischen Feld ein umwirbelndes, zeitvariantes elektrisches Feld E w verknüpft. (Die Richtungen des elektrischen Wirbelfeldes wurden eingetragen für ein ansteigendes magnetisches Feld. Bei genauerer Betrachtung sind die Zusammenhänge etwas komplexer, da E a und E w nicht in Phase sind.) Man erkennt, dass sich in der Leitermitte die elektrischen Feldlinien schwächen und es in den Randbereichen zu einer konstruktiven Überlagerung kommt. Je höher die Frequenz ist, desto größer ist das induzierte Wirbelfeld und desto größer die Stromverdrängung. Bild 4.10 zeigt die Stromdichteverteilung im Querschnitt eines quadratischen Leiters bei unterschiedlichen Frequenzen. Für die Praxis bedeutet dies, dass bei höheren Frequenzen die einfache Formel R = l (4.51) σa für die Berechnung des Widerstandes R nicht mehr gilt! Durch die Stromverdrängung steigt der Widerstand, da der innere Bereich des Leiters nicht mehr genutzt wird. Ein mathematisch präzisere Größe zur Beschreibung des Widerstandes bei hohen Frequenzen (Skin-Tiefe, bzw. Eindring-Tiefe δ) lernen wir im nächsten Unterkapitel kennen.

44 KAPITEL 4. EINTEILUNG ELEKTROMAGNETISCHER FELDER Eindringtiefe Um zu beurteilen, ab wann der Skineffekt (d.h. das nur teilweise Eindringen der Stromdichte in einen Leiter) zu beachten ist, müssen wir uns noch einmal die Maxwell schen Gleichungen ansehen. Die Verschiebungsstromdichte D/ t wollen wir dabei allerdings noch vernachlässigen. Dieser Term wird erst wichtig, wenn wir uns Wellenausbreitungsphänomene ansehen wollen. rot H = J = σ E (4.52) rote = B (4.53) t divd = ρ (4.54) div B = 0 (4.55) Wenden wir den Rotationsoperator auf Gleichung 4.53 an, so erhalten wir rot rot E = rot t ( µ H ) (4.56) = µ t rot H (4.57) Mit Gleichung 4.52 folgt: rot rot E = µσ E t Unter Anwendung der zuvor bereits angegebenen Beziehung folgt. (4.58) rot rot A = grad div A A (4.59) grad div E E = σµ E t. (4.60) Für quellenfreie Gebiete (keine Raumladung: ρ = 0 gilt div E = 0, also) E = σµ E t. (4.61) Gleichung 4.61 ist von Typus einer Diffusionsgleichung und gilt für leitfähige Gebiete σ 0. Wie der Name schon andeutet, beschreibt die Differenzialgleichung diffisionsartige Ausbreitungsvorgänge (im Gegensatz zu wellenförmigen Ausbreitungsvorgängen, die wir später noch kennenlernen wollen). Bei harmonischer Zeitabhängigkeit gilt entsprechend ( / t jω): E = jωσµ E, (4.62)

45 KAPITEL 4. EINTEILUNG ELEKTROMAGNETISCHER FELDER 40 Abbildung 4.11: Eindringen des elektrischen Feldes in den leitfähigen Halbraum z 0. Abbildung 4.12: Äquivalente Leitschichtdicke mit dem Phasor E. Wir wollen uns nur eine elementare Lösung dieser Differentialgleichung ansehen, um einen wichtigen Begriff (die Eindringtiefe) kennenzulernen. Im eindimensionalen Fall stellt folgende Funktion eine Lösung dar (überprüfbar durch einfaches Einsetzen in Gleichung 4.62): E(z) = E 0 e z/δ e jz/δ = E 0 e (1+j) z δ. (4.63) Bild 4.11 zeigt das Verhalten der Funktion für z 0, also das Eindringen des elektrischen Feldes in den leitfähigen Halbraum z 0. Die neue Größe δ stellt dabei die sog. Eindringtiefe oder Skintiefe dar, also der Wert, bei dem der Betrag der elektrischen Feldstärke (und damit auch der Stromdichte) um den Faktor 1/e bezogen auf den maximalen Wert am Rand (z = 0) abgefallen ist. Mit anderen Worten: nach wenigen Skintiefen δ vom Rand des Leiters aus ist die Stromdichte nahezu auf Null abgefallen. δ = 2 ωσµ (4.64) Die Skintiefe von Kupfer (Cu) (σ = 5, S/m) z.b. beträgt bei einer Frequenz von 100 MHz nur δ = 6,6 µm. Die Skintiefe δ wird auch als äquivalente Leitschichtdicke bezeichnet, da sie bei der Berechnung des Widerstandes von Leitern in denen der Skineffekt auftritt von Bedeutung ist. Bild 4.11 zeigt die anschaulichen Interpretation. Der Strom, der unter der Annahme einer konstanten Stromdichte in der Skintiefe δ fließen würde, ist genauso groß wir der Strom bei exponentiell abfallender Stromdichte im gesamten Halbraum. Man kann daher die Skintiefe bei der Berechnung des Widerstanden heranziehen, falls die für den Halbraum

46 KAPITEL 4. EINTEILUNG ELEKTROMAGNETISCHER FELDER 41 gemachten Annahmen eine gute Näherung für den realen Fall darstellen, also falls die Querabmessungen eines Leiters deutlich größer sind als die Skintiefe. In diesem Fall kann als Fläche, auf die sich der Strom (homogen) verteilt, das Produkt aus Skintiefe und Umfang des Leiters angesetzt werden. Im Gleichstromfall gilt und im hochfrequenten Fall gilt R = l σa = l σπr 2 (4.65) R = l σuδ = l σ2πrδ. (4.66) So ergibt sich für einen Draht mit einem Radius r = 1 mm und einer Länge l = 1 cm aus Kupfer (σ = 5, S/m) ein Gleichstromwiderstand von R(0 Hz) = 55.8 µω sowie ein hochfrequenter Widerstand bei 1 MHz von R(1 MHz) = 419 µω (δ = 66.7 µm). 4.7 Elektromagnetische Wellen Gegenüber dem quasistationären Fall wird nun noch die Verschiebungsstromdichte D/ t mit hinzugenommen, so dass nun die vollständigen Maxwell schen Gleichungen zu berücksichtigen sind. Durch Hinzunahme der Verschiebungsstromdichte ist nun Wellenausbreitung möglich Die Wellengleichung roth = J + D t (4.67) rote = B t (4.68) divd = ρ (4.69) div B = 0 (4.70) Bei der Suche nach Lösungen für das obige System von Differentialgleichungen hat sich folgendes Vorgehen als vorteilhaft erwiesen. Betrachtet werde ein homogenes (ε r, µ r, σ = const.), isotropes (ε r, µ r, σ = richtungsunabhngiges, d.h.skalar) Medium ohne Raumladungen (ρ = 0). Wir wenden den Rotationsoperator auf die 2. Maxwell sche Gleichung an rot rot E = rot t ( µ H ) (4.71) = µ t rot H. (4.72)

47 KAPITEL 4. EINTEILUNG ELEKTROMAGNETISCHER FELDER 42 Mit der 1. Maxwell schen Gleichung folgt: rot rot E = µ t ( J + D ) t. (4.73) Unter Anwendung der zuvor bereits angegebenen Beziehung rot rot A = grad div A A (4.74) folgt ( grad dive E = µ t ( = µ t J + D ) t σ E + ε E t ) (4.75). (4.76) Für quellenfreie Gebiete (keine Raumladung: ρ = 0, also div E = 0) gilt also E µσ E t µε 2 E t 2 = 0 (4.77) Diese Gleichung ist vom Typus einer Wellengleichung, weil ihre Lösungen Wellenausbreitungsphänomene beschreiben. In Raumbereichen, in denen die elektrische Leitfähigkeit verschwindet (σ = 0) ergibt sich eine vereinfachte Wellengleichung. E µε 2 E t 2 = 0 (4.78) Ebenso kann eine Wellengleichung für das magnetische Feld abgeleitet werden: H µσ H t µε 2 H t 2 = 0 (4.79) In Raumbereichen, in denen die elektrische Leitfähigkeit verschwindet (σ = 0) ergibt sich eine vereinfachte Wellengleichung. H µε 2 H t 2 = 0 (4.80) Im folgenden soll eine prominente Lösung der Wellengleichung vorgestellt werden.

48 KAPITEL 4. EINTEILUNG ELEKTROMAGNETISCHER FELDER Homogene ebene Wellen Die einfachste Lösung der Wellengleichung stellt eine homogene ebene Welle (HEW) dar. Im folgenden ist die Gleichung einer homogenen ebenen Welle gegeben, die sich in x- Richtung ausbreitet und in y-richtung polarisiert ist (Polarisationsrichtung = Richtung des elektrischen Feldvektors): mit der Beziehung E(x, t) = E 0 cos (ωt kx) e y (4.81) H(x, t) = H 0 cos (ωt kx) e z (4.82) H 0 = E 0 Z F. (4.83) Die neue Größe Z F heißt Feldwellenwiderstand und stellt das feste Verhältnis zwischen dem Betrag der elektrischen Feldstärke E 0 und dem Betrag der magnetischen Feldstärke H 0 bei einer HEW dar. Der Feldwellenwiderstand ist eine charakteristische Größe des Mediums in dem sich die Welle ausbreitet. Z F = E 0 µ = (4.84) H 0 ε Im freien Raum gilt Z F 0 = µ0 ε 0 = 120π Ω 377 Ω. (4.85) Die Größe k ist die Wellenzahl und berechnet sich aus der Wellenlänge λ. k = 2π λ (4.86) Wie sehen die Lösungen nun anschaulich aus? Bild 4.13 zeigt die elektrische Feldstärke als Funktion des Ortes x zu unterschiedlichen Zeitpunkten t = 0 und t = T/4. Zum Zeitpunkt t = 0 gilt ( ) 2π E y (x, t = 0) = E 0 cos ( kx) = E 0 cos λ x, (4.87) also ist E y eine räumlich-periodische Funktion (räumliche Periodenlänge ist die Wellenlänge λ). Zum Zeitpunkt t = T/4 gilt ( 2π E y (x, t = T/4) = E 0 cos (ωt kx) = E 0 cos T T 4 } {{ } π 2 ) kx. (4.88) Es ergibt sich also mit fortschreitender Zeit t eine Ausbreitung der Welle in positiver x-richtung.

49 KAPITEL 4. EINTEILUNG ELEKTROMAGNETISCHER FELDER 44 Abbildung 4.13: Elektrische Feldstärke als Funktion des Ortes x zu unterschiedlichen Zeitpunkten t = 0 und t = T/4. Die Geschwindigkeit mit der sich die Welle ausbreitet ist Im Vakuum ist dies die Lichtgeschwindigkeit c 0 : c = λ T = λf = 1 µε. (4.89) c 0 = 1 µ0 ε m/s. (4.90) Zum Schluss wollen wir noch einmal ein paar wesentliche Eigenschaften der homogenen ebenen Welle zusammenfassen: 1. E und H sind in Phase, d.h. sie besitzen die gleiche Zeitabhängigkeit cos(ωt kx). 2. E und H sind senkrecht zueinander und auch senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ( E H v). 3. Flächen konstanter Phase sind Ebenen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung und auf einer Phasenfläche ist der Betrag der Feldstärkewerte konstant (= homogen), daher auch der Name homogene ebene Welle. Bild 4.15 zeigt noch einmal anschaulich die Ebenen und die elektrischen und magnetischen Feldstärkevektoren zu einem festen Zeitpunkt (t = 0) Der Poynting-Vektor Homogene ebene Wellen können sich frei im Raum ausbreiten. Sie benötigen zu ihrer Ausbreitung keine Materie. Mit der Ausbreitung der Welle ist ein Energietransport verbunden, der sich mit dem Poynting-Vektor S berechnen lässt. S = E H (4.91) Der Poynting-Vektor zeigt in Ausbreitungsrichtung und gibt die pro Flächeneinheit transportierte Leistung an. Die Einheit ist [ S] = V/m A/m = W/m 2.

50 KAPITEL 4. EINTEILUNG ELEKTROMAGNETISCHER FELDER 45 Abbildung 4.14: Feldstärken und Phasenflächen bei einer HEW. Abbildung 4.15: Poynting-Vektor.

51 Teil II Elektromagnetische Verträglichkeit (EMV) 46

52 Kapitel 5 Motivation Wir stellen uns zwei Schaltungen vor, die nebeneinander angeordnet sind. Der Strom I 1 in Schaltung 1 führt (aufgrund des Durchflutungsgesetzes) zu einer magnetischen Feldstärke H 1, in der Leiterschleife der Schaltung 2. Durch das Induktionsgesetz wird so eine Spannung in der Schaltung 2 induziert, was sich durch eine zusätzliche Spannungsquelle modellieren lässt. Umgekehrt verursacht der Strom I 2 in Schaltung 2 (aufgrund des Durchflutungsgesetzes) eine magnetische Feldstärke H 2, in der Leiterschleife der Schaltung 1. Durch das Induktionsgesetz wird so eine Spannung in der Schaltung 1 induziert. Es findet also eine Wechselwirkung statt, obgleich - laut Schaltplan - gar keine Übertragung stattfinden dürfte. Schaltungen können sich - aufgrund ihres realen Aufbaus - gegenseitig beeinflussen, auch dann, wenn laut Schaltplan gar keine Übertragungswege existieren dürften. 47

53 Kapitel 6 Übersicht über grundlegende Begriffe, Normen und Anwendungsgebiete 6.1 Definitionen und Begriffe Definition der EMV nach VDE 0870: EMV ist die Fähigkeit einer elektrischen Einrichtung in ihrer elektromagnetischen Umgebung zufriedenstellend zu funktionieren ohne diese Umgebung, zu der auch andere Einrichtungen gehören, unzulässig zu beeinflussen. Ein technisches Gerät kann sowohl Störquelle (Verursacher eines Störsignals) als auch Störsenke (Empfänger eines Störsignals) sein Emission und Störfestigkeit Daraus werden zwei Bedingungen abgeleitet: Die Störaussendung (Emission) muss unter einem gewissen Wert bleiben. Die Störfestigkeit (Immunität) gegenüber äußeren Einwirkungen (Immissionen) muss ausreichend sein. Werden Geräte durch andere gestört, so spricht man von Elektromagnetischer Beeinflussung (EMB) (engl. electromagnetic interference (EMI)), diese kann kurzfristig (reversibel) oder irreversibel sein. 48

54 KAPITEL 6. ÜBERSICHT ÜBER GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND NORMEN 49 Beeinflussungsmodell: Kopplungsmechanismen Allgemein werden folgende Kopplungsmechanismen unterschieden: 1) Induktive Einkopplung (H-Feld), siehe Motivation! 2) Kapazitive Einkopplung (E-Feld) 3) Galvanische Einkopplung (leitungsgebunden) 4) Strahlungskopplung (über größere Entfernungen, Wellenausbreitung) Inter- und Intrasystembeeinflussung: Unterscheidung von Störquellen: Funktionale Quellen Sender, die in einem bestimmten Frequenzband funktionsbedingt Energie aussenden (Bsp. Mobiltelefon) Nicht-funktionale Quellen Energie wird parasitär ausgesendet (Bsp. Zündanlage) 6.2 Das EMV Gesetz Durch sog. Richtlinien (engl. Directive) soll in den Mitgliedsstaaten der Europäischen Gemeinschaft eine Harmonisierung der Gesetze und Normen erreicht werden. (Abbau von Handelshemmnissen, europäischer Binnenmarkt). Für die EMV ist dies die Richtlinie 89/336/EWG (EMV-Richtlinie) aus dem Jahre Diese Richtlinie regelt allgemeine Anforderungen in Hinsicht auf Störemissionen und

55 KAPITEL 6. ÜBERSICHT ÜBER GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND NORMEN 50 Störfestigkeit. Die EMV-RL wurde 1992 durch das EMV-Gesetz (EMVG) in nationales Recht umgesetzt. Der Hersteller hat durch eine Konformitätserklärung zu bescheinigen, dass sein Produkt alle relevanten Richtlinien erfüllt. Dies berechtigt zum Anbringen des CE-Kennzeichens. Weitere Richtlinien: Kfz-RL, Niederspannungs-RL, Spielzeug-RL, Maschinen-RL, Telekommunikations-RL, EMV-Normungsgremien und EMV-Normen Die EMV-Richtlinie beschreibt allgemeine Anforderungen. Die untergeordneten Normen beschreiben detailliert Anfordeungen und Prüfverfahren. Was stellen die Normen sicher? Es gilt das Vermutungsprinzip! D.h. falls ein Gerät die europ. Normen erfüllt, so wird vermutet, dass es elektromagnetisch verträglich ist, also mit dem EMVG übereinstimmt. Mit der Erstellung von Normen sind weltweit zahlreiche Normungsgremien befasst. International: ISO International Standards Organization IEC International Electrotechnical Commission ITU International Telecommunication Union Regional (Europa): CEN/CENELEC Comit Europ en de normalisation electrotechnique, (European Committee for Electrotechnical Standardization) National (Deutschland): DKE Deutsche elektrotechnische Kommission im DIN und VDE DIN Deutsches Institut für Normung e.v. VDE Verband der Elektrotechnik, Elektronik und Informationstechnik e.v. 6.4 Logarithmische Darstellung elektrischer Größen Vorteil der Pegelschreibweise gegenüber der linearen Schreibweise: größere Dynamikbereiche, die viele Zehnerpotenzen übersteigen, können übersichtlicher dargestellt werden. Wir wollen unterscheiden: Relative Pegel Zwei variable Größen werden zueinander in Beziehung gesetzt. Absolute Pegel Eine variable Größe wird in Beziehung zu einem absoluten Wert gesetzt.

56 KAPITEL 6. ÜBERSICHT ÜBER GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND NORMEN Relative Pegel Beispiel: Übertragungssystem (Zweitor) Es gilt: P 1 = U 1 I 1 = U 2 1 R 1 = I 2 1R 1 und (6.1) P 2 = U 2 I 2 = U 2 2 R 2 = I 2 2R 2 (6.2) Das Übertragungsverhalten kann durch Quotientenbildung und Logarithmierung von Einund Ausgangsgrößen beschrieben werden. ( ) ( ) a db = 10 log P2 P2 10 = 10 lg (6.3) mit der Pseudo-Einheit [a] =db (Dezibel). Falls P 1 P 1 > P 2 P 2 P 1 < 1 a < 0 Dämpfung (6.4) P 1 < P 2 P 2 P 1 > 1 a > 0 Verstärkung (6.5) P 1 Einsetzen von P = UI = U 2 /R = I 2 R in obige Definition liefert: ( ) a P2 = 10 lg db P 1 ( ) U 2 = 10 lg 2 R1 R 2 U1 ( ) 2 ( ) U2 R2 = 20 lg 10 lg U 1 R 1 (6.6) (6.7) (6.8)

57 KAPITEL 6. ÜBERSICHT ÜBER GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND NORMEN 52 d.h. falls R 1 = R 2 (gleiche Widerstände) gilt: a db Ebenso gilt für den Strom bei R 1 = R 2 : a db = 20 lg = 20 lg ( U2 U 1 ( I2 I 1 ) ) (6.9) (6.10) bzw. Tabelle mit Leistungs- und Spannungsverhältnissen: Die Umkehrfunktion lautet: P 2 U 2 a P 1 U 1 db P 2 P 1 = 10 a/db 10 (6.11) U 2 U 1 = 10 a/db 20 (6.12) Gelegentlich wird statt des dekadischen Logarithmus auch eine Definition mit dem natürlichen Logarithmus (ln) verwendet. ( ) a Np = ln U2 = 1 ( ) U 1 2 ln P2 (6.13) P 1 Neper (Np) und Dezibel (db) lassen sich ineinander umrechnen: 1 Np = 8,6866 db. Anwendungen von Pegelunterschieden: Kettenschaltung von zwei angepassten Zweitoren (keine Reflexion zwischen den Zweitoren).

58 KAPITEL 6. ÜBERSICHT ÜBER GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND NORMEN 53 Es gilt: a 1 db = 10 lg ( P2 P 1 ) und a 2 db = 10 lg ( P3 P 2 ) (6.14) Für das Gesamtsystem gilt: a ges db = 10 lg = 10 lg = 10 lg ( P3 ) (6.15) ) P3 (6.16) P 1 P ) 2 ( ) P lg (6.17) P ( 1 P2 ( P2 P 1 P 2 = a 1 + a 2 (6.18) Bei einer Kettenschaltung ergibt sich der Gesamtpegel aus der Summe der einzelnen Pegel Absolute Pegel Eine variable Größe wird in Beziehung zu einem festen (absoluten) Wert gesetzt. Leistungspegel: Bezugsgröße P 0 = 1 W: P x dbw = 10 lg ( Px P 0 ) ( ) Px = 10 lg 1 W (6.19) Bezugsgröße P 0 = 1 mw: P x dbm = 10 lg ( Px P 0 ) ( ) Px = 10 lg 1 mw (6.20) (Üblicherweise schreibt man dbm statt dbmw.) Spannungspegel:

59 KAPITEL 6. ÜBERSICHT ÜBER GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND NORMEN 54 Bezugsgröße U 0 = 1 µv: U x dbµv = 20 lg ( Ux U 0 ) ( ) Ux = 20 lg 1 µv (6.21) Ebenso bei Strom- oder Feldstärkepegeln. Logarithmische Größen können sehr übersichtlich dargestellt werden. Beispiel Pegelplan:

60 Kapitel 7 Prinzipien der EMV-gerechten Entwicklung elektronischer Baugruppen und Geräte 7.1 Grundprinzipien der Beschreibung von Störgrößen Erdfreie, symmetrische und unsymmetrische Stromkreise EMV-gerechter Entwurf beinhaltet das Verständnis von Störeinkopplungen. Hierbei ist es sinnvoll verschiedene Arten der Leiterführung zwischen Quelle und Last zu unterscheiden. a) Nicht geerdeter Stromkreis: (engl. floating circuit) b) Rückleiter stromlos mit dem Bezugspotential verbunden: 55

61 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 56 c) Erdsymmetrisch betriebener Stromkreis: (Die Spannungen zwischen den Signalleitungen sind gleich groß, aber von entgegengesetzter Polarität.) d) Erdunsymmetrisch betriebener Stromkreis. (Leiter für das Bezugspotential (Masse) wird als Rückleiter verwendet. Häufig bei Realisierungen auf Leiterplatten anzutreffen.)

62 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG Symmetrische, unsymmetrische und asymmetrische Spannung Die vorherigen Schaltungen enthielten i.a. zwei Leiter plus Masse, stellen also ein Drei- Leitersystem dar. U s : symmetrische Spannung (zwischen Hin- und Rückleiter) U us : symmetrische Spannungen (zwischen einem Signalleiter und dem Bezugsleiter) U as : asymmetrische Spannung (zwischen der elektrischen Mitte und dem Bezugsleiter. Bei symmetrischen Systemen ist U as = 0.) Zur Beschreibung reichen zwei Spannungen aus, die anderen können daraus berechnet werden. (Mit Hilfe der Maschenregel lässt sich leicht zeigen, dass folgender Zusammenhang gilt.) U s = U us1 U us2 (7.1) U as = U us1 + U us Prinzipien der Gleich- und Gegentaktaussteuerung Gegeben sei ein Dreileitersystem mit folgenden Betriebsverhältnissen: (7.2)

63 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 58 Die Verhältnisse sind darstellbar als Überlagerung von Gleichtakt- und Gegentaktaussteuerung: Gleichtaktaussteuerung: U 1 = U 2 = U Gl Gleichtakt, d.h. das Potential der Leiter ist gleich, sie können also direkt miteinander verbunden werden. Der Strom in den Signalleitern fließt in die gleiche Richtung. Gegentaktaussteuerung: U 1 = U 2 mit U 1 = U 2 = U Gg /2 Gegentakt, d.h. das Potential der Leiter ist von entgegengesetztem Vorzeichen. Der Strom in den Signalleitern fließt in entgegengesetzte Richtungen. Mit Hilfe der Maschenregel lässt sich leicht zeigen, dass folgender Zusammenhang gilt. U Gg = U 1 U 2 (7.3) U Gl = U 1 + U 2 2 (7.4) Gegentakt- und Gleichtaktstörungen Störquellen können in Schaltungen als ideale Spannungsquellen modelliert (beschrieben) werden. Gemäß den Überlegungen des vorangegangenen Abschnittes können Gegentaktund Gleichtaktstörungen unterschieden werden.

64 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG Gegentaktstörungen Anschauliches Beispiel: Induktive Störeinkopplung (siehe Motivation) Modellierung der Störeinkopplung durch eine zusätzliche Spannungsquelle U Gg0 = U i (induzierte Spannung) in Reihe mit der Nutzspannungsquelle. Nutz- und Störstrom überlagern sich und fließen in Hin- und Rückleiter jeweils in die entgegengesetzte Richtung. Gegentaktstörungen verändern die vorgesehene Nutzspannung am Empfänger und können so zu einer Funktionsstörung führen Gegentaktstörungen Anschauliches Beispiel: Kapazitive Störeinkopplung (Erdfreier Kreis in einem elektrischen Feld) Feldmodell: Netzwerkmodell:

65 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 60 Modell mit Gleichtaktstörspannungsquelle (unsymmetrisch eingespeist; kein Stromfluss I Gl = 0) Falls sich Hin- und Rückleiter im Feld befinden: Bedeutet dies, dass bei erdfreiem Kreis Gleichtakt-Störspannungsquellen keinen Einfluss haben? Bei höheren Frequenzen sind die obigen ESB nicht mehr zutreffend und es müssen zum Beispiel Streukapazitäten und Leitungsinduktivitäten berücksichtigt werden. Damit ist ein Stromfluss und ein Spannungsabfall an der Empfängerimpedanz möglich.

66 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 61 Das Auftreten einer Gegentaktspannung am Empfänger infolge einer Gleichtaktstörspannungsquelle wird als Gleichtakt-Gegentakt-Konversion (GGK) bezeichnet. Was kann man tun, um die GGK möglichst klein zu halten? Möglichst symmetrischer Schaltungsaufbau. Abgeglichene Brücke, also kein Spannungsabfall durch U Gl0 an Z E. Definition eines Gleichtakt-Gegentakt-Konversionsfaktors GGKF: Definition einer Gleichtakt-Gegentakt-Dämpfung: GGKF = U Gg U Gl0 (7.5) 1 GGD = 20 lg GGKF (7.6)

67 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG Erde und Masse Erde Die Erde stellt eine punktuelle Verbindung einer Schaltung mit dem Erdpotential zum Schutze (des Menschen) vor Berührungsspannungen dar. Merkmal: Über die Erde fließt nur im Fehlerfalle ein Strom (Schutzerdung) Masse Die Masse stellt einen gemeinsamen Bezugsleiter in einer elektromagnetischen Schaltung dar. Merkmal: Die Masse führt betriebsmäßig Strom, da sie allgemein als Rückleiter verwendet wird.

68 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 63 Häufig werden Masse und Erde an einem Punkt miteinander verbunden Erdschleifen Beispiel: Verbindung zweier Geräte über eine Leitung. U Gl0 stellt eine Gleichtakt- Störspannungsquelle dar, die eine induzierte Spannung durch die Fläche A repräsentiert. Vereinfachtes Ersatzschaltbild:

69 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 64 U Stoer = Z E Z Q + Z E U Gl0 (7.7) Durch diese Gleichtakt-Gegentakt-Konversion kann es in Erdschleifen zu einer Einkopplung von Störspannungen kommen. Abhilfeversuch: Nur einseitig erden. Berücksichtigung der Streukapazitäten führt auf folgendes vereinfachte ESB:

70 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 65 U Stoer = Z M Z E U Gl0 (7.8) Z M + Z Str Z Q + Z E Fazit: Auch bei einseitiger (oder ganz ohne) Erdung können infolge von Streukapazitäten bei hohen Frequenzen Erdschleifen entstehen, die durch Gleichtakt-Gegentakt- Konversion zu Störspannungen am Empfänger und damit zu Fehlverhalten führen können Trenntransformatoren Durch Trenntransformatoren lassen sich störende Erdschleifen bei niedrigen und mittleren Frequenzen unterbrechen. (Nachteil: Gleichstrom kann nicht übertragen werden.) Bei höheren Frequenzen wir die Streukapazität zwischen den Windungen wirksam und ein Störstrom kann fließen.

71 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 66 Verbesserung: Trenntransformator mit By-pass-Schirm (Dieser muss an der richtigen Seite angeschlossen werden.) Gleichtaktdrossel Andere Bezeichnung: Stromkompensierte Drossel, Neutralisierungstransformator, Symmetriertransformator. Der Nutzstrom (Gegentakt) erzeugt gegensinnige magnetische Felder im Kern, die sich gegenseitig aufheben. Der Störstrom (Gleichtakt) erzeugt magnetische Felder im Kern, die sich konstruktiv überlagern Wirkung einer Induktivität; Impedanz steigt mit der Frequenz, Störstrom wird gedämpft.

72 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 67 Bei hohen Frequenzen problematisch sind die Windungskapazitäten, die den Strom mit steigender Frequenz an der Spule vorbeileiten. Besser geeignet sind bei hohen Frequenzen Ferritringe (Klapp-Ferrit) Optokoppler und Lichtwellenleiter Zur galvanischen Trennung von Sender und Empfänger eignen sich Optokoppler. Aufgrund der räumlichen Nähe sind kapazitive Überkopplungen möglich. Lichtwellenleiter haben aufgrund des größeren Abstandes dieses Problem nicht.

73 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG Erdsymmetrisch betriebener Stromkreis Bei vollkommener Symmetrie verschwindet die Störspannung. 7.3 Kopplungsmechanismen und Gegenmaßnahmen Galvanische Kopplung Kopplung vermittels einer gemeinsamen Impedanz. Der gemeinsame Bezugsleiter ist nicht ideal Ohmsche Verluste R K Induktivität L K Kopplungsimpedanz Z K = R K + jωl K Abhilfe: Verringerung der Kopplungsimpedanz durch große Massefläche

74 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 69 Verringerung der ohmschen Verluste Verringerung der Induktivität Induktivität von Leitungen 1. Erinnerung: Magnetische Feldenergie W M = 1 2 LI2 = H B dv (7.9) Die Induktivität ist ein Maß für die im Feld gespeicherte magnetische Energie (bei einem vorgegeben Strom I) 2. Erinnerung: Das magnetische Feld eines Linienleiters lautet: V

75 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 70 Man erkennt sofort: Verschwindet der Radius (R L 0), so steigt das magnetische Feld in der Nähe des Leiters, somit also auch die Feldenergie und somit die Induktivität! Dünner Leiter = große Induktivität 3. Erinnerung: Das magnetische Feld eines ausgedehnten zylindrischen Leiters (R L 0) lautet: Man erkennt sofort: Je ausgedehnter der Leiter ist, desto kleiner ist das Integral über das magnetische Feld! Dicker Leiter = kleine Induktivität Übertragung auf Zweidrahtleitungen Doppelleitung in Luft ( ) 2d L = µ 0 ln (7.10) D mit dem Leiterabstand d und dem Leiterdurchmesser D.

76 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 71 Eine geringe Induktivität ergibt sich bei großem Leiterdurchmesser und geringem Abstand. Dies kann man sich auch anhand des Feldbildes überlegen Abblockkondensator Als Beispiel zur galvanische Kopplung werde die Spannungsversorgung mehrerer Verbraucher mit einer Gleichspannungsquelle betrachtet. Dies kann umgezeichnet werden.

77 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 72 Folge der Kopplungsimpedanz ist die gegenseitige Beeinflussung der Verbraucher N1 und N2. Ändert sich die Stromaufnahme in Kreis 1 (Laststromänderung infolge von Betriebszustandänderungen) so bewirkt dies eine Spannungsänderung an Z 2. Gegenseitige Beeinflussung. Erster Verbesserungsvorschlag: Kopplungsimpedanz verkleinern durch die oben beschriebenen Maßnahmen: Großer Leiterquerschnitt Geringer Abstand zwischen Hin- und Rückleiter Zweiter Verbesserungsvorschlag: Getrennte Versorgungsleitungen für jeden Schaltungsteil (erhöhter Aufwand) Hierdurch verringert sich die Kopplungsimpedanz.

78 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 73 Dritter Verbesserungsvorschlag: Einsatz von Abblockkondensatoren (Stützkondensatoren) entweder an der Quelle oder besser noch direkt vor jeder Teilschaltung. Die Kondensatoren bewirken einen Kurzschluss der hochfrequenten Störungen bzw. eine Stabilisierung der Gleichspannung Kapazitive Kopplung Kapazitive Kopplung tritt zwischen Leitern auf, die sich auf unterschiedlichem Potential befinden. Zwischen den Leitern existiert dann ein elektrisches Feld. Im Ersatzschaltbild kann dies durch eine Streukapazität berücksichtigt werden.

79 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 74 Die Kapazität kann verringert werden durch möglichst geringe Überdeckung der Leiterflächen und großem Abstand gemäß der Formel zur Berechnung der Kapazität eines Plattenkondensators. A C = ε 0 ε r (7.11) d Geerdeter Schirm Abhilfe schafft ein geerdeter Schirm. Durch die Streukapazität fließt der Strom über den Schirm nach Masse ab und verursacht so keinen Spannungsabfall am Empfänger im zweiten Kreis.

80 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 75 Falls der Schirm nicht an Masse angeschlossen ist, so kann der Strom auch nicht dorthin abfließen, sondern gelangt über die Streukapazität zwischen Schirm und Innenleiter auf den zweiten Kreis. Der Schirm stellt dann lediglich eine zwischengeschaltete Äquipotentialfläche dar Induktive Kopplung Einkopplung vermittels des magnetischen Feldes. Die induzierte Spannung kann als eine ideale Spannungsquelle modelliert werden Verdrillte Leitungen Verdrillte Leitungen sind gegen die induktive Einkopplung imun, da die effektive Fläche (bedingt durch den fortlaufenden Richtungswechsel der Flächennormalen) gegen Null tendiert.

81 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG Kurzschlussringe Durch Kurzschlussringe kann die induktive Einkopplung vermindert werden, da der hohe Strom in dem um die Schaltung liegenden Kurzschlussring ein magnetisches Gegenfeld (Lenzsche Regel) hervorruft, das das ursprünglich einfallende magnetische Feld reduziert. 7.4 Passive Entstörkomponenten Filter Einsatzgebiete und Berechnung Filter sind einsetzbar, wenn die spektralen Anteile von Nutz- und Störsignal getrennt sind. Filter sollen das Störsignal dämpfen und das Nutzsignal nicht beeinflussen. Man kann unterscheiden zwischen Entstörfilter, an der Störquelle dienen der Verringerung der Störemission Störschutzfilter, an der Störsenke dienen der Unterdrückung von Immissionen

82 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 77 Beispiel: Tiefpass erster Ordnung, RC-Tiefpass (ein Energiespeicher) Die Übertragungsfunktion lautet: H = U E U 0 (7.12) = R E // 1 jωc R i + R E // 1 jωc (7.13) = R E R E + R i + jωr i R E C (7.14) Für niedrige Frequenzen ergibt sich der unbeeinflusste Spannungsteiler Bei der 3 db-eckfrequenz gilt: H = R E R E + R i (7.15) R E + R i = jωr i R E C (7.16) f g = 1 2π RE + R i 1 R E R i C (7.17) In doppelt logarithmischer Darstellung ergibt sich mit einem Abfall von 20 db pro Dekade oberhalb der Grenzfrequenz

83 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 78 Für einen LC-Tiefpass 2. Ordnung erhält man: H = U E U 0 (7.18) = R E // 1 jωc R i + jωl + R E // 1 jωc (7.19) = R E R E + R i ω 2 R E CL + j (ωl + ωr i R E C) (7.20) Es ergibt sich oberhalb der 3 db-grenzfrequenz ein Abfall von 40 db pro Dekade. Die nachfolgenden Bilder zeigen einen Vergleich der beiden Filter.

84 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 79 Für unterschiedliche Filtertypen (Tiefpass, Hochpass, Bandpass, Bandsperre) existieren Filtersymbole. Filter lassen sich charakterisieren durch Messung der Einfügedämpfung (Substitutionsmessung mit/ohne Filter) Einfügedämpfung a = 20 lg U ohne E (jω) UE mit(jω) (7.21) Ersatzschaltbilder von Bauelementen Reale Bauelemente können über ihren eigentlichen Einsatzfrequenzbereich hinaus durch Ersatzschaltbilder beschrieben werden. Widerstände Bei Widerständen ist neben dem eigentlichen nominellen ohmschen Widerstandswert noch eine serielle Zuleitungsinduktivität und parallel zu den beiden vorgenannten Elementen eine Anschlusskapazität vorzusehen. Als Impedanz erhält man: Z = (R + jωl)// 1 jωc (7.22)

85 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 80 Unter der für SMD-Bauteile sinnvollen Annahme von C = 1 pf, L = 2 nh ergeben sich für Widerstandswerte R 0 [10 Ω, 100 Ω, 1 kω] folgende Kurvenverläufe. Kondensatoren Bei Kondensatoren ist neben dem eigentlichen nominellen Kapazitätswert noch eine serielle Zuleitungsinduktivität und ein serieller Widerstand vorzusehen. Dieser sog. Ersatzserienwiderstand (ESR) fasst dielektrische und ohmsche Verluste zusammen. Als Impedanz erhält man einen Serienschwingkreis: Z = R + jωl + 1 jωc (7.23) mit der Resonanzfrequenz: f 0 = 1 2π 1 (7.24) LC Unter der für SMD-Bauteile sinnvollen Annahme von R = 0,1 Ω, L = 1,7 nh ergibt sich für einen Kapazitätswert von C = 10 nf folgender Kurvenverlauf.

86 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 81 Für Frequenzen deutlich unter der Resonanzfrequenz ergibt sich das Verhalten eines idealen Kondensators, für Frequenzen deutlich oberhalb der Resonanzfrequenz ergibt sich das Verhalten einer idealen Spule, bei Resonanz ist der Wert rein ohmsch und entspricht dem Ersatzserienwiderstand. Spulen Bei Spulen ist neben dem eigentlichen nominellen Induktivitätsswert noch eine parallele Anschlusskapazität und ein paralleler Widerstand vorzusehen. Dieser Widerstand fasst Verluste im Kernmaterial und ohmsche Verluste zusammen. Als Impedanz erhält man einen Parallelschwingkreis: Y = 1 R + jωc + 1 jωl (7.25) mit der Resonanzfrequenz: f 0 = 1 2π 1 (7.26) LC Unter der für SMD-Bauteile sinnvollen Annahme von R = 100 kω, C = 1 pf ergibt sich für einen Induktivitätswert von L = 10 µf folgender Kurvenverlauf.

87 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 82 Für Frequenzen deutlich unter der Resonanzfrequenz ergibt sich das Verhalten einer idealen Spule, für Frequenzen deutlich oberhalb der Resonanzfrequenz ergibt sich das Verhalten eines idealen Kondensators, bei Resonanz ist der Wert rein ohmsch und entspricht dem Widerstand des Ersatzschaltbildes. Leitungen Bei Leitungen muss die elektrische Länge l/λ, also das Verhältnis von geometrischer Länge l zur Wellenlänge λ der Welle, die sich auf der Leitung ausbreitet, berücksichtigt werden. Elektrisch kurze Leitung Hier gilt l λ, bzw. für die Praxis häufig sinnvoll annehmbar, falls gilt l/λ 10. In diesem Fall kann das Leitungsstück oft sinnvoll dargestellt werden durch: eine Längsinduktivität L (für die magnetische Feldenergie), einen Längswiderstand R (für die ohmschen Verluste) eine Querkapazität C (für die elektrische Feldenergie), einen Querleitwert G (für die dielektrischen Verluste) Elektrisch lange Leitung Kommt die Leitungslänge in den Bereich der Wellenlänge, so kann man sich die Leitung als aus vielen kurzen Leitungsstücken zusammengesetzt vorstellen. Lässt man die Länge

88 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG 83 x der einzelnen Leitungsstücke im Grenzübergang verschwinden, so gelangt man zur sog. Leitungstheorie. Aufgrund der Wellenausbreitungsphänomene erhält man ein sehr komplexes Verhalten. Einzelheiten zur Leitungstheorie sind z.b. im Skript Schaltungen nachzulesen Filterresonanzen Die nachfolgenden Bilder zeigen, welches veränderte Verhalten sich bei einem RC-Tiefpass ergibt, wenn der ideale Kondensator durch ein reales Bauteil (beschrieben durch einen Serienresonanzkreis) ausgetauscht wird.

89 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG Abschirmungen In Bearbeitung.

90 KAPITEL 7. PRINZIPIEN DER EMV-GERECHTEN ENTWICKLUNG Schirmung statischer Felder Schirmung von Wechselfeldern Durchführungskondensatoren In Bearbeitung.

91 Kapitel 8 EMV-Messtechnik In Bearbeitung. 8.1 Leitungsgebundene Störungen 8.2 Gestrahlte Störungen 86

92 Teil III Anhang 87

93 Anhang A Mathematische Grundlagen A.1 Koordinatensysteme Koordinatensysteme dienen der Beschreibung der Lage im Raum. Je nach geometrischer Form des Problems kann die Wahl verschiedener Koordinatensysteme von Vorteil sein. A.1.1 Kartesisches Koordinatensystem In kartesischen Koordinaten werden die drei unabhängigen Variablen x, y, z verwendet. Abbildung A.1: Kartesische Koordinaten. Bild A.1 zeigt die Beschreibung der Lage eines Punktes P 0 durch die drei Variablen x 0, y 0, x 0. Die Richtungen der Koordinatenachsen bilden ein Rechtssystem. Der Ursprungsvektor zum Punkt P 0 lautet: A.1.2 r 0 = x 0 y 0 z 0 Zylinderkoordinatensystem = x 0 e x + y 0 e y + z 0 e z. (A.1) In Zylinderkoordinaten werden die drei unabhängigen Variablen R, ϕ, z verwendet. Die Variable ϕ liegt im Wertebereich 0 ϕ 2π. 88

94 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 89 Abbildung A.2: Zylinderkoordinatensystem. Bild A.2 zeigt die Beschreibung der Lage eines Punktes P 0 durch die drei Variablen R 0, ϕ 0, z 0. Die Richtungen der Einheitsvektoren in Zylinderkoordinaten e R, e ϕ, e z bilden ein Rechtssystem. Die Richtung der Einheitsvektoren e R und e ϕ ist abhängig vom Ort! Dies ist anders als bei den kartesischen Koordinaten, bei denen die Vektoren immer in die gleich Richtung zeigen. Durch folgende Transformation lassen sich die kartesischen Koordinaten x 0, y 0, z 0 berechnen. x 0 = R 0 cos ϕ 0 (A.2) y 0 = R 0 sin ϕ 0 (A.3) z 0 = z 0 (A.4) A.1.3 Kugelkoordinatensystem In Kugelkoordinaten werden die drei unabhängigen Variablen r, ϑ, ϕ verwendet. Die Variable ϕ liegt im Wertebereich 0 ϕ 2π. Die Variable ϑ liegt im Wertebereich 0 ϕ pi. Abbildung A.3: Kugelkoordinatensystem. Bild A.3 zeigt die Beschreibung der Lage eines Punktes P 0 durch die drei Variablen R 0, ϑ 0, ϕ 0. Die Richtungen der Einheitsvektoren in Kugelkoordinaten e R, e ϑ, e ϕ bilden ein Rechtssystem. Die Richtung aller Einheitsvektoren ist abhängig vom Ort!

95 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 90 Durch folgende Transformation lassen sich die kartesischen Koordinaten x 0, y 0, z 0 berechnen. A.2 Vektor-Algebra x 0 = r 0 sin ϑ 0 cos ϕ 0 (A.5) y 0 = r 0 sin ϑ 0 sin ϕ 0 (A.6) z 0 = r 0 cos ϑ 0 (A.7) Vektoren sind gerichtete Größen, die neben einem Betrag auch noch eine Richtung besitzen. A.2.1 Addition und Subtraktion In kartesischen Koordinaten lassen sich die Vektoren einfach komponentenweise addieren und subtrahieren. r 1x r 2x r 1x + r 2x r 1 + r 2 = r 1y r 1z + r 2y r 2z = r 1y + r 2y r 1z + r 2z (A.8) r 1 r 2 = r 1x r 1y r 1z r 2x r 2y r 2z = r 1x r 2x r 1y r 2y r 1z r 2z (A.9) Der Betrag eines Vektors ergibt sich in kartesischen Koordinaten zu: r = rx 2 + ry 2 + rz 2 (A.10) Graphisch entspricht die Addition dem Aneinanderhängen der Vektoren. Bei der Subtraktion entsprechend, allerdings muss die Richtung des zu subtrahierenden Vektors zuvor umgekehrt werden. A.2.2 Skalar- und Vektorprodukt Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist wie folgt definiert: r 1 r 2 = r 1 r 1 cos α (A.11) r 1x r 2x = r 1y r 2y (A.12) r 1z r 2z = r 1x r 2x + r 1y r 2y + r 1z r 2z (A.13) Das Ergebnis ist ein skalarer Wert. Bild A.4 zeigt die Bedeutung des Winkels α. Falls die Vektoren r 1 und r 2 senkrecht aufeinanderstehen, so ist der Zwischenwinkel α gleich 90 und das Skalarprodukt verschwindet. Sind die Vektoren parallel, so ergibt sich ein

96 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 91 Abbildung A.4: Skalarprodukt. Zwischenwinkel von α = 0 und das Skalarprodukt entspricht dem Produkt der Beträge der Vektoren. Beim Vektorprodukt ist das Ergebnis ein Vektor. r 3 = r 1 r 2 (A.14) Der Ergebnisvektor r 3 seht senkrecht auf r 1 und r 2. Die Richtung ergibt sich nach der Rechte-Hand-Regel: r 1, r 2 und r 3 bilden ein Rechtssystem. Der Betrag des Ergebnisvektors berechnet sich zu: r 1 r 2 = r 1 r 1 sin α (A.15) und entspricht der in Bild A.5 aufgespannten Parallelogrammfläche. Falls die Vektoren Abbildung A.5: Vektorprodukt. r 1 und r 2 senkrecht aufeinanderstehen, so ist der Zwischenwinkel α gleich 90 und das Vektorprodukt entspricht vom Betrag her dem Produkt der Beträge der Vektoren. Sind die Vektoren parallel, so ergibt sich ein Zwischenwinkel von α = 0 und das Vektorprodukt verschwindet. In kartesischen Koordinaten kann das Vektorprodukt auch durch folgende Determinante bestimmt werden. e x e y e z r 1 r 2 = r 1x r 1y r 1z (A.16) r 2x r 2y r 2z = e x (r 1y r 2z r 1z r 2y ) (A.17) e y (r 1x r 2z r 1z r 2x ) + e z (r 1x r 2y r 1y r 2x ) (A.18) (A.19)

97 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 92 A.3 Vektor-Analysis Die Vektoranalysis umfasst eine Reihe von Differentialoperatoren, die in der elektromagnetischen Feldtheorie wichtig sind. A.3.1 Gradient Der Differentialoperator Gradient wird auf eine skalare Funktion φ(x, y, z) angewendet und ergibt als Ergebnis einen Vektor. In kartesischen Koordinaten ist der Differentialoperator wie folgt definiert. grad φ = φ x e x + φ y e y + φ z e z (A.20) Anschaulich zeigt der Ergebnisvektor in jedem Punkt in Richtung der stärksten Änderung der Skalarfunktion φ. Die Differentialoperatoren werden auch häufig unter Verwendung des Nabla-Operators geschrieben. = x e x + y e y + z e z Somit ergibt sich für den Gradient-Operator: (A.21) grad φ = φ (A.22) In anderen Koordinatensystemen hat der Nabla-Operator, bzw. der Gradient-Operator eine kompliziertere Gestalt. Die entsprechenden Formeln sind in Hilfsblatt 1 zusammmengefasst. Beispiel Berechnung der elektrischen Feldstärke E aus dem Potential φ einer ruhenden Punktladung unter Verwendung von Kugelkoordinaten. Aus der Vorlesung ist bekannt: φ (r) = Q 4πε 0 r (A.23) E = grad φ (A.24) φ = e r r e 1 φ 1 φ ϑ e ϕ (A.25) } r{{ ϑ} r sin ϑ ϕ } {{ } =0 =0 = e r Q 4πε 0 r = Q 4πε 0 1 r 2 e r ( 1 r ) (A.26) (A.27)

98 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 93 Alternative Berechnung mit kartesischen Koordinaten: Angabe der Potentialfunktion in kartesischen Koordinaten: Einsetzen in E = grad φ: φ = Q 4πε 0 r = Q 1 4πε 0 x2 + y 2 + z 2 (A.28) φ E = e x x e φ y y e φ z z Exemplarische Berechnung einer der partiellen Ableitungen: φ x = Q [ (x 2 + y 2 + z 2) ] 1 2 4πε 0 x (A.29) (A.30) Anwendung der Kettenregel [u (v(x))] = u (v(x)) v (x) liefert: φ x = Q ( 1 ) (x 2 + y 2 + z 2) 3 2 (2x) (A.31) 4πε 0 2 Ebenso ergibt sich: = Q 4πε 0 = Q 4πε 0 x r 3 x ( (A.32) x 2 + y 2 + z } {{ } 2 ) 3 =r (A.33) φ y = Q y 4πε 0 r 3 und φ z = Q z 4πε 0 r 3 (A.34) Zusammenführung der Ableitungen ergibt das gleiche Resultat, dass zuvor - jedoch mit weniger Aufwand - in Kugelkoordinaten ermittelt wurde. Dieses Beispiel zeigt, dass das Rechnen mit problemangepassten Koordinaten effizienter ist. E = Q (x e x + y e x + z e z ) 4πε 0 } {{ } = r=r e r Q = 4πε 0 r 2 e r (A.35) (A.36) Beispiel (Ende)

99 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 94 A.3.2 Divergenz Der Differentialoperator Divergenz wird auf eine Vektor-Funktion A(x, y, z) angewendet und ergibt als Ergebnis eine skalare Größe. In kartesischen Koordinaten ist der Differentialoperator wie folgt definiert. div A = A = A x x + A y y + A z z (A.37) Anschaulich gibt die Divergenz die Quellendichte des Vektorfeldes A im entsprechenden Raumpunkt an. Verschwindet die Divergenz in einem Raumpunkt r 0, so liegt hier weder eine Quelle noch eine Sende des Vektorfeldes vor. (Quellen und Senken des elektrischen Feldes sind die positive und negativen Ladungen: die Feldlinien entspringen den positiven Ladungen und enden in den negativen Ladungen.) Beispiel In einem homogenen Medium ist folgendes Vektorfeld gegeben: E = 3 V m e x + 4z V m 2 e y + 5 V m e z. (A.38) Zeigen Sie, dass das Feld im gesamten Raum quellenfrei ist. div E = E x x + E y y + E z z = 0 x, y, z (A.39) Also sind keine Quellen und Senken im gesamten Raumgebiet vorhanden. Beispiel (Ende) A.3.3 Rotation Der Differentialoperator Rotation wird auf eine Vektor-Funktion A(x, y, z) angewendet und ergibt als Ergebnis eine vektorielle Größe. In kartesischen Koordinaten ist der Diffe-

100 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 95 rentialoperator wie folgt definiert. rot A = A (A.40) A x = A y (A.41) x y z A z e x e y e z = x y z A x A y A z ( Az = e x y A ) y z ( Az e y x A x z ( Ay + e z x A x y ) ) (A.42) (A.43) (A.44) (A.45) Im englischsprachigen Raum wird für die Rotation häufig die Bezeichnung curl verwendet. rot A = curl à (A.46) Anschaulich gibt die Rotation die Wirbeldichte des Vektorfeldes A im entsprechenden Raumpunkt an. In den Raumbereichen mit rot A 0 liegen Ursachen von Wirbelfeldern! Beispiel Berechnen Sie die Wirbeldichte des folgenden Vektorfeldes: E = 3 V m e x + 4z V m 2 e y + 5 V m e z (A.47) (A.48) Einsetzen in obige Definition liefert: rot E = 4 V m 2 e x. (A.49) Beispiel (Ende)

101 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 96 A.3.4 Quellen- und Wirbelfelder In den vorherigen Kapiteln haben wir gesehen, dass die Divergenz die Quellendichte und Rotation die Wirbeldichte eines Feldes angibt. Wir können daher zwei Arten von Vektorfeldern unterscheiden: Reines Quellenfeld: Merkmal: Feldlinien beginnen in Quellen und enden in Senken. (Beispiel: Elektrostatisches Feld, das positiven Ladungen entspringt und in negativen Ladungen endet.) Reines Wirbelfeld: Merkmal: Feldlinien sind geschlossen. (Beispiel: Magnetisches Feld um einen gleichstromführenden Leiter.) Mathematisch kann man mit Hilfe der Operatoren Divergenz und Rotation überprüfen, ob einer dieser reinen Feldformen vorliegt. Ein reines Quellenfeld zeichnet sich dadurch aus, dass gilt: rot X = 0 r, (A.50) d.h. die Wirbeldichte verschwindet im gesamten Raum. Ein reines Wirbelfeld zeichnet sich dadurch aus, dass gilt: div X = 0 r, (A.51) d.h. die Quellendichte verschwindet im gesamten Raum. Allgemein kann ein Feld immer als Überlagerung eines reines Quellenfeldes X Q und eines reinen Wirbelfeldes X W dargestellt werden: X = X Q + X W. (A.52) A.3.5 Laplace-Operator Der Laplace-Operator (oder auch Delta-Operator ist (angewendet auf eine skalare Funktion) folgendermaßen definiert: φ = ( φ) = div (grad φ) (A.53) In kartesischen Koordinaten ergibt sich folgender Ausdruck: φ = 2 φ x φ y φ z 2. (A.54) Hilfblatt 1 zeigt die Auswertung des Laplace-Operators in Zylinder- und Kugelkoordinaten. Informationen zur Auswertung des Laplace-Operators angewendet auf einen Vektor finden sich auf Seite 30. Beispiel

102 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 97 Gegeben ist folgende Potentialfunktion (Potential einer Raumladungskugel): ρ 0 r0 3 1 für r > r 0 φ(r) = 3ε 0 r ) ρ (A.55) 0 (r 20 r2 für r r 0 2ε 0 3 Aufgabe: Berechnen Sie φ in Kugelkoordinaten. Die Potentialfunktion φ hat nur eine r-abhängigkeit: φ = 1 ( r 2 φ ) r 2 r r (A.56) 1. Berechnung für r > r 0 : Einsetzen: φ = 1 ( r 2 ( ρ0 r0 3 1 r 2 r r 3ε 0 r (r ( 2 1 )) r 2 = ρ 0r 3 0 3ε 0 1 r 2 r )) (A.57) (A.58) } {{ } } = 1 {{ } =0 = 0 (A.59) 2. Berechnung für r r 0 : Einsetzen: φ = 1 ( r 2 ( ρ0 r 2 r r 2ε 0 = ρ 0 1 ( (r 2 2r ) 2ε 0 r 2 r 3 } {{ } ( r 2 0 ) ))) r 2 3 (A.60) (A.61) = 2 3 r3 = ρ 0 ε 0 (A.62) Was bedeuten die Ergebnisse nun anschaulich? Der Laplace-Operator ist ja nichts anderes als die Nacheinanderanwendung des Gradient-Operators und des Divergenz-Operators: φ = div (grad φ). (A.63) Die Operation grad φ ergibt die elektrische Feldstärke (jedoch mit negativen Vorzeichen). E = grad φ (A.64)

103 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 98 Die Divergenz der elektrischen Feldstärke (mit negativen Vorzeichen) schließlich ergibt die Quellendichte des elektrischen Feldes, die - wie wir ja zuvor bereits gesehen haben - gleich dem Quotienten der Raumladungsdichte und der Dielektrizitätskonstante entspricht. div D = ε 0 div E = ρ 0 div E = ρ 0 ε 0 (A.65) Also sind die Ergebnisse verständlich. Beispiel (Ende) A.4 Auswertung von Integralen in verschiedenen Koordinatensystemen In den Maxwell schen Gleichungen treten Linien-, Flächen-, und Volumenintegrale auf. Diese Integrale wollen wir wenigstens für einfache Fälle lösen können. Wir beschränken uns bei den Linienintegralen auf Integrale, bei denen der Integrationsweg mit einer Koordinatenrichtung zusammenfällt. Bei Flächenintegralen soll stets die Flächennormale mit einer Koordinatenrichtung zusammenfallen. A.4.1 A Linienintegrale Integration in kartesischen Koordinaten Bild A.6 zeigt den Weg für die Integration. Bei den Wegelementen muss auf Hilfsblatt 1 zurückgegriffen werden (hier ds x = dx). Abbildung A.6: Geradenstück in kartesischen Koordinaten. L = ds = ds x = 3 dx = x 3 2. (A.66) 1= C C 1

104 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 99 Abbildung A.7: Kreisumfang in Zylinderkoordinaten. A Integration in Zylinderkoordinaten Bild A.7 zeigt den Weg für die Integration (Kreisumfang). U = C ds = C ds ϕ = 2π 0 R 0 {}}{ R dϕ = R } {{ } 0 ds ϕ 2π 0 dϕ = R 0 2π. (A.67) A Integration in Kugelkoordinaten 1. Berechnung des Kugelumfangs in der Mitte der Kugel (ϑ = π/2). Bild A.8 zeigt den Weg für die Integration. Abbildung A.8: Kugelumfang in Kugelkoordinaten (z = 0 bzw. ϑ = 90 ). U = C ds = C ds ϕ = 2π 0 r0 {}}{ r sin }{{} ϑ dϕ = r 0 2π. (A.68) =1 (sin ϑ = 1, da ϑ = π/2) 2. Berechnung des Kugelumfangs in der Höhe mit ϑ = π/4. Bild A.9 zeigt den Weg für die Integration. U = C ds = C ds ϕ = 2π 0 r0 {}}{ r sin }{{} ϑ dϕ = r 0 2π. (A.69) =1/ 2

105 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 100 Abbildung A.9: Kugelumfang in Kugelkoordinaten (ϑ = 45 ). (sin ϑ = 1/ 2, da ϑ = π/4) 3. Berechnung des Kugelumfangs auf einem anderen Weg ϕ = 0 = const.. Bild A.10 zeigt den Weg für die Integration. Abbildung A.10: Kugelumfang in Kugelkoordinaten. U 2 = C ds = C ds ϑ = π 0 r0 {}}{ } r{{ dϑ} = r 0 π. (A.70) ds ϑ Daraus folgt: A.4.2 A Flächenintegrale Integration in kartesischen Koordinaten U = 2πr 0. (A.71) Bild A.11 zeigt die Fläche für die Integration. Bei den Flächenelementen muss auf Hilfsblatt 1 zurückgegriffen werden (hier df z = dx dy). A = df = a b df z = dx dy = ab. (A.72) A A 0 0

106 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 101 Abbildung A.11: Deckelfläche eines Quaders in kartesischen Koordinaten. A Abbildung A.12: Kreisfläche. Integration in Zylinderkoordinaten 1. Kreisfläche Bild A.12 zeigt die Fläche für die Integration. Bei den Flächenelementen muss auf Hilfsblatt 1 zurückgegriffen werden (hier df z = R dr dϕ). A = A df = A df z = R 0 2π 0 0 R dr dϕ = 2π 1 R0 2 R2 = πr0 2. (A.73) 0 2. Mantelfläche eines Zylinders Bild A.13 zeigt die Fläche für die Integration. Bei den Flächenelementen muss auf Abbildung A.13: Mantelfläche eines Zylinders. Hilfsblatt 1 zurückgegriffen werden (hier df R = R dϕ dz). A = A df = A df R = h 2π 0 0 }{{} R dϕ dz = R 0 2πh. (A.74) R 0

107 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 102 A Integration in Kugelkoordinaten Bild A.14 zeigt die Kugeloberfläche für die Integration. Bei den Flächenelementen muss Abbildung A.14: Kugeloberfläche. auf Hilfsblatt 1 zurückgegriffen werden (hier df r = r 2 sin ϑ dϑ dϕ). A.4.3 A A = A = r 2 0 2π Volumenintegrale df = A π 0 df r = 2π π 0 0 sin ϑ dϑ = 2πr 2 0 }{{} r 2 sin ϑ dϑ dϕ r0 2 ( cos ϑ π ) 0 } {{ } = ( 1 1)=2 (A.75) (A.76) = 4πr 2 0. (A.77) Integration in kartesischen Koordinaten Bild A.15 zeigt das Volumen für die Integration. Bei den Volumenelementen muss auf Abbildung A.15: Volumen eines Quaders in kartesischen Koordinaten. Hilfsblatt 1 zurückgegriffen werden (hier dv = dx dy dz). V = a b c dv = dx dy dz = abc. (A.78) V 0 0 0

108 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 103 Abbildung A.16: Volumen eines Zylinders. A Integration in Zylinderkoordinaten Bild A.16 zeigt das Volumen für die Integration. Bei den Volumenelementen muss auf Hilfsblatt 1 zurückgegriffen werden (hier dv = R dϕ dz dr). V = R 0 h 2π dv = R dϕ dz dr (A.79) A Integration in Kugelkoordinaten V = h 2π 1 R0 2 R2 = hπr0 2. (A.80) 0 Bild A.17 zeigt das Kugelvolumen für die Integration. Bei den Volumenelementen muss Abbildung A.17: Volumen einer Kugel. auf Hilfsblatt 1 zurückgegriffen werden (hier dv = r 2 sin ϑ dr dϕ dϑ). V = π 2π r 0 dv = r 2 sin ϑ dr dϕ dϑ (A.81) V = 2π 1 r0 ( 3 r3 cos ϑ ) = } {{ } 3 πr3 0. (A.82) =2

109 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 104 A.4.4 Linienintegrale über Vektoren In Kapitel A.4.1 haben wir gesehen, dass das Linienintegral stets die wahre Länge des Integrationsweges ergab, also zum Beispiel den Umfang eines Kreises. Wir wollen nun sehen, was geschieht, wenn wir das Integral über eine vektorielle Größe ausführen und dieser Vektor in Richtung des Integrationsweges zeigt. A Vektor in Richtung des Integrationsweges Bild A.18a zeigt den Weg für die Integration. Da über eine vektorielle Größe integriert Abbildung A.18: Integrationsweg und Vektor. wird, wird das Ergebnis ebenfalls ein Vektor sein: L = C π d s = R 0 dϕ e ϕ. (A.83) 0 Wenn wir das Integral auswerten wollen, treffen wir auf das Problem, dass der Vektor e ϕ andauernd seine Richtung ändert! Es ist daher sinnvoll auf das kartesische Koordinatensystem überzugehen, denn bei diesem sind die Einheitsvektoren raumfest, d.h. unabhängig vom Ort zeigen sie immer in die gleiche Richtung (siehe Bild A.18b). Bild A.19 zeigt den Übergang von Zylinderkoordinaten in kartesische Koordinaten. Abbildung A.19: Übergang auf kartesischen Koordinaten. e ϕ = sin ϕ e x + cos ϕ e y (A.84)

110 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 105 Einsetzen: L = π R 0 dϕ e ϕ (A.85) 0 π π = R 0 sin ϕdϕ e x + R 0 cos ϕdϕ e y 0 0 π π = R 0 e x sin ϕ dϕ +R 0 e y cos ϕ dϕ (A.86) (A.87) 0 0 } {{ } } {{ } =2 =0 = 2R 0 e x (A.88) (Hinweis zur Rechnung: Fläche unter einem Sinusbogen ist 2; Fläche unter der Cosinusfunktion von 0 bis π verschwindet ( zeichnen!)) Als Ergebnis erhalten wir also einen Vektor, der vom Anfangspunkt zum Endpunkt zeigt (siehe Bild A.20). Abbildung A.20: Ergebnisvektor. Allgemein können wir Folgendes festhalten: Wird über einen Vektor integriert und zeigt dieser Vektor stets in Wegrichtung, so ergibt sich als Ergebnis der gerichtete Abstand von Anfangs- und Endpunkt. A Vektor senkrecht zum Integrationsweg Was geschieht, wenn der Vektor nicht in Wegrichtung zeigt? Die Auswertung erfolgt wie zuvor in kartesischen Koordinaten, da die Vektoren in diesem Falle ortsfest sind und aus den Integralen herausgezogen werden können. Der Integrationsweg sei wie zuvor, allerdings weist der Vektor nun in eine andere Richtung (siehe Bild A.21). L = C d s = π 0 R 0 dϕ e R. (A.89) Radialer Einheitsvektor durch kartesische Einheitsvektoren ausgedrückt: e R = cos ϕ e x + sin ϕ e y (A.90)

111 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 106 Abbildung A.21: (a)integrationsweg und Vektor und (b) Übergang auf kartesische Koordinaten. Einsetzen: L = = π 0 π R 0 dϕ e R π R 0 cos ϕdϕ e x + R 0 sin ϕdϕ e y (A.91) (A.92) 0 0 π π = R 0 e x cos ϕ dϕ +R 0 e y sin ϕ dϕ (A.93) 0 0 } {{ } } {{ } =0 =2 = 2R 0 e y (A.94) Bild A.22a zeigt die wechselnde Richtung des Vektor e R längs des Weges. Der Ergebnisvektor zeigt in positive y-richtung. Anschaulich ist klar: Die x-komponenten heben sich auf, die y-komponenten addieren sich! Abbildung A.22: (a) Wechselnde Richtung des Vektors längs des Integrationsweges (b) Ergebnisvektor. Die anschauliche Interpretation führt dazu, dass sich manche Integrale durch bloßes Hinsehen lösen lassen. Als Beispiel sei der Integrationsweg von vorhin auf einen vollständigen Kreis ausgeweitet (siehe Bild A.23).

112 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 107 Abbildung A.23: Integrationsweg und Vektor. L = 2π R 0 dϕ e R = 0. (A.95) Anschaulich heben sich die Beiträge aller Vektoren in ihrer Gesamtheit auf! 0

113 Anhang B Übungsaufgaben B.1 Elektrisches Feld einer homogenen Raumladungskugel Gegeben ist eine homogene Raumladungskugel (Radius r 0 ) mit der Raumladungsdichte (in Kugelkoordinaten): ρ (r) = { ρ0 für 0 r r 0 0 für r 0 r (B.1) Bild B.1 zeigt die Verteilung der Raumladung als Funktion des Radius. Die Gesamtladung Q der Raumladungskugel ergibt sich als Integral der Raumladungsdichte: 4 Q = ρ 0 dv = ρ 0 3 πr3 0. (B.2) V Abbildung B.1: Raumladungsdichte als Funktion des Radius. 108

114 ANHANG B. ÜBUNGSAUFGABEN 109 Die elektrische Feldstärke der Raumladungskugel ist in der Aufgabe gegeben: ρ 0 r für 0 r r 0 3ε E r (r) = 0 ρ 0 r ε 0 r = Q für r 2 4πε 0 r 2 0 r (B.3) Die anderen Komponenten E ϑ und E ϕ seien Null. (Sieht man sich das Feld außerhalb der Raumladungskugel an, so stellt man fest, dass es mit dem elektrischen Feld einer Punktladung im Ursprung übereinstimmt, falls die Punktladung und die Gesamtladung der Raumladungskugel identisch sind.) Aufgabe: Berechnen Sie die Quellendichte und die Wirbeldichte des elektrischen Feldes! 1. Berechnung der Quellendichte für r r 0 : div E = div ( ) ρ0 r e r 3ε 0 (B.4) Da die ϑ- und die ϕ-komponenten des elektrischen Feldes verschwinden, bleibt beim Einsetzen in die Definition des Divergenz-Operators nur der erste Term stehen div E = 1 ( ) r 2 1 E r 2 r + r r sin ϑ div E = ρ ( ) 0 1 3ε 0 r 2 r r2 r } {{ } =3r 2 ϑ (E ϑ sin ϑ) + 1 r sin ϑ = ρ 0 ε 0 E ϕ ϕ (B.5) (B.6) Die Quellendichte des elektrischen Feldes entspricht also dem Quotienten aus Raumladungsdichte ρ 0 und Dielektrizitätskonstante ε 0. Die Aussage kann auch umgestellt werden: ε 0 div E = ρ 0 (B.7) div D = ρ 0 (B.8) Die Quellendichte der dielektrischen Verschiebungsdichte D ist also die Raumladungsdichte ρ Berechnung der Quellendichte für r > r 0 : ( ρ 0 r ε 0 r 2 1 r r2 r } {{ 2 } =0 div E = div ) = ρ 0 ε 0 ( ρ0 r ε 0 r 2 e r ) (B.9) (B.10)

115 ANHANG B. ÜBUNGSAUFGABEN 110 Außerhalb der Raumladungskugel ist die Quellendichte gleich Null. Dort liegen also keine Quellen des Feldes vor. 3. Berechnung der Quellendichte: Das elektrische Feld enthält nur eine radiale Komponente E r. Diese Komponente selbst ist nur eine Funktion von r und unabhängig von ϑ und ϕ. Bei Betrachtung der Definition des Rotationsoperators fällt auf, dass alle Ausdrücke Null werden und die Rotation daher im gesamten Raum verschwindet. Damit handelt es sich bei dem elektrischen Feld um ein reines Quellenfeld. rot E = =0 =0 e ( {}}{ r ( E ϕ sin ϑ) {}}{ E ) ϑ r sin ϑ ϑ ϕ =0 + e ( ϑ 1 E r (r {}}{ E ϕ ) ) r sin ϑ ϕ r }{{} =0 (B.11) (B.12) =0 + e ( {}}{ ϕ (r E ϑ ) E ) r (B.13) r r }{{} ϑ =0 = 0 (B.14) B.2 Magnetisches Feld eines stromdurchflossenen Leiters Aufgabe: Berechnen Sie mit Hilfe des Durchflutungsgesetzes die magnetische Feldstärke eines unendlich langen, gleichstromdurchflossenen zylindrischen Leiters mit dem Radius r 0. Berechnen Sie anschließend die Wirbeldichte und die Quellendichte im gesamten Raum. Das Durchflutungsgesetz lautet: C(A) H d s = A ( J D ) + da }{{} t (B.15) =0 Aufgrund der Zeitunabhängigkeit des Stromes (Gleichstrom) verschwindet die zeitliche Ableitung auf der rechten Seite der Gleichung. Aus der Symmetrie der Abordnung und unserem Vorwissen aus dem Kapitel über die physikalischen Grundlagen folgern wir zunächst, dass es nur eine umlaufende (ϕ-)komponente gibt (H r = H ϑ = 0), die den Leiter umwirbelt (siehe Bild B.2). Wollen wir nun das Durchflutungsgesetz anwenden, so müssen wir uns Gedanken um einen Integrationsweg C(A) bzw. um die Fläche A machen auf der die Integrale ausgewertet werden sollen. Eine besonders einfache Lösung der Integrale ergibt sich, wenn längs einer Feldlinie auf einem horizontal liegenden Kreis um den Leiter

116 ANHANG B. ÜBUNGSAUFGABEN 111 Abbildung B.2: Magnetisches Feld um einen Leiter. Abbildung B.3: Integrationsweg. herum integriert wird (siehe Bild B.3). In Zylinderkoordinaten (Wegelement d s = R dϕ e φ ) ergibt sich folgende Lösung der Integrals auf der linken Seite des Durchflutungsgesetzes: H d s = 2π H ϕ R 1 dϕ = R 1 H ϕ 2π (B.16) C(A) ϕ Bei der Auswertung des Integrals auf der rechten Seite muss die Orientierung der Flächennormalen bekannt sein. Zwischen dem Umlaufsinn der Randkurve und der Flächennormalen besteht der Zusammenhang über die Rechte-Hand-Regel, in unserem Fall ist die Flächennormale also in positive z-richtung orientiert. Die rechte Seite des Durchflutungs-

117 ANHANG B. ÜBUNGSAUFGABEN 112 gesetzes ergibt für den Fall R 1 R 0 also: J A = R 1 2π J z df z (B.17) A = 0 0 R 1 2π J z R dϕ dr (B.18) 0 0 R 1 = J z 2π R dr (B.19) 0 = J z 2π 1 2 R2 R 1 0 (B.20) = πr 2 1J z (B.21) Für den Fall R 1 R 0 fließt der gesamte Strom I durch die Fläche und das Integral ergibt: J A = I (B.22) A Mit diesen Vorüberlegungen können wir nun relativ einfach das magnetische Feld innerhalb und außerhalb des Leiters berechnen. 1. Berechnung innerhalb des Leiters (R R 0 ): Daraus folgt H ϕ 2πR = J z πr 2 (B.23) 2. Berechnung außerhalb des Leiters (R > R 0 ): H ϕ = J z 2 R für R R 0 (B.24) Daraus folgt H ϕ 2πR = J z πr 2 0 = I (B.25) H ϕ = J zr 2 0 2R = I 2πR für R > R 0 (B.26) 3. Berechnung der Rotation innerhalb des Leiters (R R 0 ):

118 ANHANG B. ÜBUNGSAUFGABEN 113 =0 {}}{ H z rot H ( 1 = e R R ϕ + e ϕ ( =0 {}}{ H R z H ) ϕ } z {{ } =0 =0 {}}{ H z R 1 ( (RHϕ ) + e z R R ) =0 {}}{ H R ϕ ) (B.27) (B.28) (B.29) Daraus folgt: rot H = e z 1 R e z 1 R ( (RHϕ ) ) R ( (R J )) R 2 R } {{ } = J 2 } {{ R2 } =JR (B.30) (B.31) } {{ } =J = J e z (B.32) Die Wirbeldichte des magnetischen Feldes im Bereich des Leiters ist die in z-richtung fließende Stromdichte J. (Die Stromdichte ist die Ursache des magnetischen Wirbelfeldes.) 4. Berechnung der Rotation außerhalb des Leiters (R > R 0 ): rot H 1 ( (RHϕ ) ) = e z R R 1 ( ( e z R I )) 0 R R } 2πR {{ } (B.33) (B.34) } = I 0 2π {{ } =0 = 0 (B.35) Die Wirbeldichte verschwindet also außerhalb des Leiters. (Hier liegen also keine Ursachen für das Wirbelfeld.) 5. Berechnung der Divergenz:

119 ANHANG B. ÜBUNGSAUFGABEN 114 Abbildung B.4: Zylinderspule mit Integrationsweg. div H = 1 R =0 ( R (R {}}{ ) H R ) + 1 R H ϕ ϕ } {{ } =0 + =0 {}}{ H z z (B.36) = 0 (B.37) Quellendichte ist überall gleich Null. Es handelt sich also um eine quellenfreies Feld. Die Wirbeldichte ist im Bereich R R 0 von Null verschieden, es ist als ein Wirbelanteil vorhanden. Insgesamt ergibt sich also ein reines Wirbelfeld. B.3 Magnetisches Feld und Induktivität einer langgestreckten Zylinderspule Wir wollen anhand eines weiteren Beispiels zeigen, wie sich mit Hilfe des Durchflutungsgesetzes das magnetische Feld einer gleichstromdurchflossenen Leiteranordnung berechnen lässt. Aufgabe: Berechnen Sie das magnetische Feld und die Induktivität einer langgestreckten, luftgefüllten Zylinderspule mit Hilfe des Durchflutungsgesetzes (Windungszahl n, Länge l, Durchmesser d mit l >> d). Berechnen Sie anschließend die gesamte im magnetischen Feld gespeicherte Energie und geben Sie eine Formel für die Induktivität an. Das Durchflutungsgesetz lautet im zeitunabhängigen Fall: ( H d s = J da. (B.38) C(A) A Es soll von folgender Vereinfachung ausgegangen werden: Das Feld H i innerhalb der Spule sei konstant. Das Feld H a außerhalb der Spule verschwinde (H a = 0).

120 ANHANG B. ÜBUNGSAUFGABEN 115 Wenn wir mit Hilfe des Durchflutungsgesetzes das magnetische Feld berechnen wollen, müssen wir wie zuvor einen Integrationsweg C(A) finden auf dem das magnetische Feld konstant - und möglichst in Wegrichtung orientiert - ist. Wir wählen den in Bild B.4 eingezeichneten Weg. Mit dem Weg ist sogleich auch die Fläche A festgelegt. Umlaufsinn des Integrationsweges C(A) und Flächennormale da sind über die Rechte-Hand-Regel miteinander verknüpft. Die linke Seite des Durchflutungsgesetzes liefert H d s = H i l. (B.39) C(A) Die rechte Seite des Durchflutungsgesetzes liefert J da = ni, (B.40) da der Strom I n-mal durch die Fläche fließt! Somit ergibt sich mit schließlich A H i = ni l H i l = ni (B.41) für R R 0 (B.42) Wir wollen nun die im magnetischen Feld gespeicherte Energie und die Induktivität der Spule berechnen. Die magnetische Energiedichte w m ist gegeben durch w m = 1 H 2 B = 1 2 µ 0 H 2 = 1 2 µ 0H 2 (B.43) Die magnetische Gesamtenergie W m ergibt sich durch Integration der Energiedichte im gesamten Raum. W m = w m dv (B.44) = V V = 1 2 µ 0Hi 2 }{{} Al =V = 1 2 µ n 2 I 2 0 = 1 2 µ n 2 A 0 } {{ l } =L 1 2 µ 0H 2 i dv (B.45) mit A = π ( ) 2 d (B.46) 2 l 2 Al (B.47) I 2 (B.48)

121 ANHANG B. ÜBUNGSAUFGABEN 116 Die neue Größe L ist die Induktivität der langgestreckten, luftgefüllten Zylinderspule und ist ein Maß für die im Feld gespeicherte Energie. L = µ 0 n 2 A l (B.49) Die Einheit der Induktivität ist [L] = Vs/A = H (Henry). B.4 Magnetisches Feld einer teilweise gefüllten langgestreckten Zylinderspule Die zuvor gegebene langgestreckte Zylinderspule sei nun teilweise mit einem (ferromagnetischen) Kern (µ r >> 1) gefüllt (siehe Bild. B.5). Abbildung B.5: Teilweise gefüllte langgestreckte Zylinderspule. Es gelten die gleichen Vereinfachungen wie im Fall der luftgefüllten Spule: Das magnetischen Feld außerhalb der Spule verschwinde (H a = 0). Die magnetische Feldstärke in den den verschiedenen Materialien sein konstant. Zu berechnen ist die magnetische Feldstärke H L im luftgefüllten Bereich und die magnetische Feldstärke H K im Bereich des Kernmaterials. Die Berechnung soll mit Hilfe des Durchflutungsgesetzes erfolgen. Wir wählen den gleichen Integrationsweg wie zuvor und erhalten auf der linken Seite des Durchflutungsgesetzes: H d s = sh K + (l s) H L. (B.50) C(A) Die rechte Seite des Durchflutungsgesetzes liefert J da = ni, (B.51) A

122 ANHANG B. ÜBUNGSAUFGABEN 117 da der Strom I n-mal durch die Fläche fließt! Somit ergibt sich insgesamt sh K + (l s) H L = ni. (B.52) Diese Gleichung enthält die zwei Unbekannten H K und H L. Um diese Unbekannten bestimmen zu können, benötigen wir noch eine weitere Gleichung. Diese liefern uns die Stetigkeitsbedingungen: die Normalenkomponente der magnetischen Flussdichte ist stetig: B K,n = B L,n. (B.53) Da die magnetische Flussdichte nur eine Normalkomponente hat gilt also: Für das magnetische Feld ergibt sich damit B K = B L. (B.54) µ 0 µ K H K = µ 0 H L. (B.55) Nun haben wir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Einsetzen ergibt: sh K + (l s) µ K H K = ni. (B.56) Und somit erhalten wir für die magnetische Feld im Luftbereich und im Kernmaterial: H K = ni s + µ r (l s) H L = µ r ni µ r H K = s + µ r (l s) (B.57) (B.58) Am Ende der Rechnung können wir noch schnell eine Plausibilitätsprüfung durchführen. Für den Fall s 0 (kein Kernmaterial) müsste die Lösung für H L in das Ergebnis der letzten Aufgabe übergehen, was sie auch tut. H L = ni l für s 0. (B.59) B.5 Anwendung des Biot-Savart schen Gesetzes auf einen Kreisstrom Gegeben sei eine von dem Gleichstrom I durchflossene kreisförmige Zylinderspule in der Ebene z = 0 (Radius R 0 ). Berechnen Sie das magnetische Feld H auf der z-achse mit Hilfe des Biot-Savart schen Gesetzes. Das Biot-Savart sche Gesetz lautet: B ( r) = µ H = µi 4π C d s ( r r ) r r 3. (B.60) Die Bedeutung der einzelnen Größen ist in Bild 4.1 dargestellt und.

123 ANHANG B. ÜBUNGSAUFGABEN 118 Abbildung B.6: Kreisförmige Ringspule in der Ebene z = 0. I Strom im Linienleiter. r Aufpunktsvektor: Ort an dem das Feld berechnet wird. r Quellpunktsvektor: Ort an dem der Strom fließt. (Es wird über die gestrichenen Größen integriert.) d s Wegelement über das integriert wird. Aufgrund der Geometrie des Problems ist die Verwendung von Zylinderkoordinaten anzuraten. Für den Aufpunktsvektor (Orte auf der z-achse) erhalten wir dann: r = Für den Quellpunktsvektor (Orte auf dem Kreis) ergibt sich: 0 0 z = z e z. (B.61) r = R 0 e R. (B.62) (Achtung: Der Vektor ist natürlich nicht konstant, da der radiale Einheitsvektor eine Funktion des Ortes ist!) Für das Wegelement erhalten wir: d s = R 0 dϕ e ϕ. (B.63) Hieraus können wir nun das Integral zusammensetzen. Es ergibt sich: Für das Kreuzprodukt erhalten wir: r r = z e z R 0 e R (B.64) r r = z 2 + R0 2. (B.65) d s ( r r ) = R 0 dϕ e ϕ (z e z R 0 e R ) (B.66) = R 0 dϕ e ϕ z e z R 0 dϕ e ϕ R 0 e R (B.67) = R 0 z dϕ e ϕ e z } {{ } = e R R 2 0 dϕ e ϕ e R } {{ } = e z (B.68) = R 0 z dϕ e R + R 2 0 dϕ e z (B.69)

124 ANHANG B. ÜBUNGSAUFGABEN 119 Einsetzen in das Biot-Savart sche Gesetz: H ( r) = I d s ( r r ) 4π r r 3 = I 4π = I 2 C 2π R 0 zdϕ (z 2 + R 2 0 0) 3/2 e R } {{ } =0 + I 2π 4π 0 (B.70) R 2 0dϕ (z 2 + R 2 0) 3/2 e z (B.71) R 2 0 (z 2 + R 2 0) 3/2 e z (B.72) Um das erste der beiden Integrale zu lösen, müssen wir auf kartesische Koordinaten übergehen, wie wir es bereits in Kapitel A auf Seite 105 über das Integrale getan haben. Dort hatten wir uns aber bereits überlegt, dass das Integral immer Null ergibt, da bei Superposition aller Vektoren das Ergebnis verschwindet (siehe Bild A.23 auf Seite 107.) 2π 0 R 0 dϕ e R = 0. (B.73) Der Verlauf des magnetischen Feldes H z auf der z-achse ist in Bild B.7 dargestellt. Abbildung B.7: Magnetisches Feldes H z auf der z-achse.

125 ANHANG B. ÜBUNGSAUFGABEN 120 B.6 Paralleldrahtleitung Gegeben ist eine Paralleldrahtleitung bestehend aus einem linienförmigen Hin- und einem linienförmigen Rückleiter im Abstand b (siehe Bild B.8). Das magnetische Feld im Abstand R von einem Leiters ist: Abbildung B.8: Paralleldrahtleiter. H = I 2πR. (B.74) Bei dieser Aufgabe handelt es sich um zwei Leiter, die nun jeweils um +b/2 bzw. b/2 verschoben sind. Das magnetische Feld des linken Leiters H 1 (x) auf der x-achse lautet unter Berücksichtigung der Stromflussrichtung: H 1 (x) = I 2π ( x + b 2 ) e y. (B.75) Das magnetische Feld des rechten Leiters H 2 (x) auf der x-achse lautet unter Berücksichtigung der Stromflussrichtung: H 2 (x) = I 2π ( x b 2 ) e y. (B.76) Das Gesamtfeld auf der x-achse gewinnt man durch Superposition der beiden Feldanteile: H = H 1 + H 2 (B.77) [ ] I = 2π ( I ) x + b 2π ( ) e x b y (B.78) 2 2 [ = I x b ( )] x + b 2 2 e y (B.79) 2π x 2 b2 4 = I 2π [ b x 2 b2 4 ] e y (B.80) Bild B.9 zeigt den Verlauf auf der x-achse für eine Stromstärke I = 1 A und einen Leiterabstand b = 8 cm. Die rote Kurve stellt die oben berechnete analytische Lösung dar. Die blaue Kurve stelle eine numerische Näherungslösung dar.

126 ANHANG B. ÜBUNGSAUFGABEN 121 Abbildung B.9: Magnetisches Feldes H y auf der x-achse. Das numerische Modell wurde mit dem 3D-Simulationsprogramm Microwave Studio der Firma CST berechnet. Bild B.10 zeigt zusätzlich noch die Leiteranordnung im Modell und die magnetische Feldverteilung in einer transversalen Ebene.Die leichten Abweichungen ergeben sich durch numerische Ungenauigkeiten, so wie durch die endlichen Durchmesser der Leiter in der Simulation.

127 ANHANG B. ÜBUNGSAUFGABEN 122 Abbildung B.10: Numerisches Modell (oben), Vektorplot des magnetisches Feldes (Mitte) und Contourplot des magnetisches Feldes (unten).

128 ANHANG B. ÜBUNGSAUFGABEN 123 B.7 Koaxialleitung Berechnung des magnetischen Feldes einer Koaxialleitung mit dem Durchflutungsgesetz. Der Querschnitt der Koaxialleitung ist in Bild B.11 gezeigt. Da wir bereits das magnetische Abbildung B.11: Koaxialleitung. Feld eines langen zylindrischen Leiters auf diese Art berechnet haben, können wir ein paar Erkenntnisse und Gedankengänge übernehmen: Berechnung in Zylinderkoordinaten. Aufgrund der Symmetrie ist H Z = H R = 0 Aus der Symmetrie ist weiterhin ersichtlich, dass H ϕ auf Kreisen um die z-achse konstant ist und nur eine Funktion des Radius ist H ϕ (R). Wir wollen bei der Berechnung vier Fälle unterscheiden: 1. Im Inneren des Innenleiters (R R i ) 2. Im Luftraum zwischen Innen- und Außenleiter (R i R R a ) 3. Im Inneren des Außenleiters (R a R R 0 ) 4. Jenseits des Außenleiters (R R 0 ) Für die weitere Berechnung wird noch die Stromdichte J i im Innenleiter und die Stromdichte J a im Außenleiter benötigt. Die Stromdichten ergeben sich einfach als Quotient der Stromstärke und der Fläche, auf dem sich der Strom gleichmäßig verteilt. J i = J a = I πr 2 i I πr 2 0 πr 2 a (B.81) (B.82) 1. Berechnung des Feldes im Innenleiter (R R i ):

129 ANHANG B. ÜBUNGSAUFGABEN 124 Das Durchflutungsgesetz lautet für den Gleichstromfall ( / t = 0) C(A) H d s = Hieraus folgt wegen d f = e z und J = J i e z = const.: schließlich A ( J D ) + da }{{} t. (B.83) =0 H ϕ 2πR = πr 2 J i (B.84) H ϕ = J ir 2 = IR 2πR 2 i für R R i (B.85) 2. Luftraum zwischen Innen- und Außenleiter (R i R R a ): Aus dem Durchflutungsgesetz folgt: H ϕ 2πR = I (B.86) schließlich H ϕ = I 2πR = J iri 2 2R für R i R R a (B.87) 3. Im Bereich des Außenleiters (R a R R 0 ): Aus dem Durchflutungsgesetz folgt: schließlich H ϕ 2πR = I H ϕ = 2π R Ja df z mit df z = R dϕ dr e z (B.88) 0 R a R = I J a 2π RdR (B.89) R a [ ] R 1 = I J a 2π 2 R2 (B.90) Ra [ 1 = I J a 2π 2 R2 1 ] 2 R2 a (B.91) I ( = I πr 2 πr πr0 2 πr a) 2 (B.92) a 2 I ( ) 1 R2 Ra 2 2πR R0 2 Ra 2 für R a R R 0 (B.93)

130 ANHANG B. ÜBUNGSAUFGABEN 125 An den Grenzen ergibt sich 4. Im Außenbereich (R R 0 ): Somit: Aus dem Durchflutungsgesetz folgt: R = R 0 H ϕ = 0 (B.94) R = R a H ϕ = I 2πR a. (B.95) H ϕ 2πR = 0 (B.96) H ϕ = 0 für R R 0 (B.97) Fügt man die Lösungen für die vier Bereiche zusammen, so ergibt sich in Abhängigkeit der radialen Variable R der in Bild B.12 gezeigte Verlauf für die ϕ-komponente des magnetisches Feldes. Die rote Kurve stellt die oben berechnete analytische Lösung dar. Die blaue Kurve stelle eine numerische Näherungslösung dar. Abbildung B.12: Magnetische Feldstärke H ϕ als Funktion des Abstandes R von der z- Achse. Das numerische Modell wurde mit dem 3D-Simulationsprogramm Microwave Studio der Firma CST berechnet. Bild B.13 zeigt zusätzlich noch die Leiteranordnung im Modell und die magnetische Feldverteilung in einer transversalen Ebene. Die leichten Abweichungen ergeben sich durch numerische Ungenauigkeiten, so wie durch die Approximation der zylindrischen Flächen durch eckige Volumenelemente.

131 ANHANG B. ÜBUNGSAUFGABEN 126 Abbildung B.13: Numerisches Modell (oben), Vektorplot des magnetisches Feldes (Mitte) und Contourplot des magnetisches Feldes (unten). B.8 Selbst- und Gegeninduktivität von zwei Zylinderspulen Gegeben seien zwei sehr lange koaxiale Zylinderspulen (l 1 >> R 1 und l 2 >> R 2 ) mit den Windungszahlen n 1 bzw. n 2. In Spule 1 fließe der Strom I 1 und in Spule 2 der Strom I 2. Die Anordnung ist in Bild B.14 dargestellt. a) Berechnen Sie die gesamte magnetische Feldenergie unter der Annahme, dass das Feld im Inneren einer langgestreckten Spule konstant ist und außerhalb der Spule verschwindet (H a = 0). b) Berechnen Sie die Selbstinduktionskoeffizienten L 1 und L 2 so wie den Gegeninduktionskoeffizient M.