Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen
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- Gerhard Meinhardt
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1 Physikdepartent E13 WS 011/1 Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen Prof. Dr. Peter Müller-Buschbau, Dr. Eva M. Herzig, Dr. Volker Körstgens, David Magerl, Markus Schindler, Moritz v. Sivers Vorlesung enfällt, Übungswoche Blatt 8 1. Gradienten Berechnen Sie für r = + y + z jeweils grad U( r) und grad U( r) für a) U( r) = a r r = y. z NR: b) U( r) = b r a + y + z NR: = a ( + y + z ) 1/ = 1/ a ( + y + z ) 3/ = = grad U( r) = ( b ) + y + z y z a ( + y + z ) 3/ (1) a + y + z = a ( + y + z ) 3/ y = a r r z 3 z grad a = a r r = b ( + y + z ) 1 = 1 b ( + y + z ) = b = ( + y + z ) () grad U( r) = b y + y + z = b r 4 y = b r r z 4 grad b r = b r 3
2 c) Zeigen Sie allgeein, dass für jedes radialsyetrische Feld, d. h. für jedes Feld, bei de die skalare Größe T(r) nur vo Abstand r = + y + z abhängt, gilt: grad T(r) = dt(r) dr Nebenrechnung (analog zu Nachdifferenzieren): T = T r r = T r + y + z = T r r r ( 1 ) 1 + y + z = T r r Also grad T(r) = T(r) = y z T(r) = T(r) y T(r) = dt r dr r z T(r)
3 . Aplitude der erzwungenen Schwingung Laut Vorlesung ist die Aplitude einer erzwungenen Schwingung für lange Zeiten gegeben durch A = K. (ω0 ω e) +( k s ω e) ω 0 k s/ einen Maialwert ein- a) Zeigen Sie, dass die Resonanzaplitude bei ω e = nit. A(ω e ) = K [ ( ) ] (ω 0 ωe ) 1/ + ks ω e notwendige Bedingung für Maiu da(ω 0) dω e = 0 0! = 1 [ ( ) ] K (ω 0 ωe ) 3/ [ + ks ω e ( ] ω0 ωe ) ( ωe )+ k s ω e 1. Faktor ist ier = 0, also uss. Faktor = 0 sein = 4 ( ω0 ωe ) ωe + k s ω e = 0 Gleichung wäre durch ω e = 0 gelöst, dies entspräche de Fall keiner Anregung, also ω e = 0 (ω e = 0 ist uninterressant) Soit darf ω e gekürzt werden = ω 0 ω e = k s Zeigen, dass dies ein Maiu ist: da(ω e ) = 1 dω e K }{{} <0 [ ( (ω 0 ωe ) + ks = ω a e = + ( ) ) ] 3/ ω e } {{ } >0 A(ω e ) streng onoton steigend für ω e < ω a e A(ω e ) streng onoton fallend für ω e > ω a e ω 0 k s [ 4 ( ωe ω0 ) k ] + s }{{ } = 0 für ω e = ωe a < 0 für ω e < ωe a > 0 für ω e > ωe a } ω e }{{} >0 Maiu bei ω a e b) Was uss geschehen, dait es zur sogenannten Resonanzkatastrophe kot? Nenner in A(ω e ) uss gegen 0 gehen wenn k s 0 geht, dann ωe a ω 0 = Resonanzkatastrophe für k s nahe Null und Erregerfrequenz = ω 0. 3
4 3. Brückenversuch Nach ihrer Fertigstellung unterzogen die Bauingenieure die neue Brücke über die Haburger Norder-Elbe eine Großversuch. Unter der Last eines in der Mitte der Brücke zu diese Zweck angehängten Gewichts von = 100 t bog sich die Brücke den Messungen zufolge u 5,0 c durch. Als schließlich die Verbindung der Brücke it de Gewicht schlagartig gelöst wurde, geriet die Brücke wie erwartet in Schwingungen, die viele Sekunden andauerten. Die Frequenz der Schwingung betrug f = 0,6 Hz. Ein Beobachter, der sich itten auf der Brücke befand, berichtete, er habe das Gefühl gehabt, die Brücke habe sich u ca. einen Meter gehoben und gesenkt. a) Wie groß war die Aplitude, it der sich der Augenzeuge bewegt hat in Wirklichkeit? Wie groß war seine aiale Geschwindigkeit? = 100 t; 0 = 0,05 (t) = 0 cos(ωt) = 0 cos(π f t) (da zu Zeitpunkt t = 0 gilt: (0) = 0,05 und ẋ(0) = 0) = Aplitude der Bewegung des Augenzeugen ebenfalls 0,05 ẋ(t) = π f c sin(π f t) = aiale Geschwindigkeit v a = π f 0 = π 0,6 1 s 0,05 = 0,19 s b) Bei welcher Auslenkung erfuhr obiger Beobachter die aiale Beschleunigung und wie groß war diese? ẍ(t) = 4π f 0 cos(π f t) wird aial für cos(π f t) = 1, also z.b. für t = 0 aiale Beschleunigung a a = 4π f 0 = 4π ( 0,6 1 s) 0,05 = 0,76 s c) U wie viel Prozent scheint sich sein Gewicht während einer solchen Schwingungsbewegung zu ändern? a a = 0,76 s, a in = 0,76 s Dies entspricht etwa(±)7,7% des Ortsfaktors und dait seiner gefühlten Gewichtsänderung. 4
5 d) Wie groß ist die Energie, die it der beschriebenen Schwingbewegung der Brücke verbunden ist? Federkonstante D der Brücke über Ausgangssituation D = F 0 = g 0 Betrachte Punkt der aialen potentiellen Energie. An de gilt: E a = E pot = 1 D 0 = 1 g 0 = kg 9,81 N kg 0,05 =,5 104 J e) Ein Steinchen der Masse,0 g liegt neben de Beobachter. Bleibt dieses Steinchen a Boden liegen? Und wenn nicht, wie hoch wird es i Vergleich zur unausgelenkten Brücke geschleudert? a a und a in gelten für das Steinchen genauso. Da a in < g ist, bleibt das Steinchen a Boden liegen. 5
6 4. U-Rohr L Wir betrachten eine reibungsfreie Flüssigkeitssäule in eine U-Rohr. Sind beide Enden auf gleicher Höhe so ist das Syste i Gleichgewicht. Ist die Säule u y verschoben, so entsteht eine rücktreibende Gewichtskraft F. Hierbei sei L = 85,0 c die Länge der Flüssigkeitssäule, A = 35,0 c die Querschnittsfläche und ρ = 1,00 kg die Dichte der Flüssigkeit (Wasser). d 3 a) Geben Sie die Forel für die Rückstellkraft F an. rücktreibende Kraft = Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule it der Höhe y F = ρ V (Säule it Höhe y) g = ρ A y g b) Stellen Sie eine Differentialgleichung auf, die die Bewegung beschreibt. U welche Art von Bewegung handelt es sich? Mÿ = ρayg (Newton) it M = Masse der kopletten Flüssigkeit, also M = ρal = ρalÿ+ρayg = 0 = ÿ+ L y = 0 (Schwingungsgleichung, For: ÿ+ω 0y = 0) c) Lösen Sie die Differentialgleichung unter der Voraussetzung, dass bei t = 0 die Wassersäule u y = 10 c ausgelenkt ist und dass dies gleichzeitig auch die aiale Auslenkung ist. Wir kennen die Lösung dieser DGL bereits: y(t) = y 0 cos(ω 0 t+ ϕ 0 ) = y 0 cos ( ) L t+ ϕ 0 haben Anfangsbedingungen y(0) = 0,1 und ẏ(0) = 0 ) ẏ(t) = y 0 L sin ( L t+ ϕ 0 0 = ẏ(0) = y 0 sin(ϕ 0 ), wähle ϕ 0 = 0 }{{ L } =0 0,1 = y(0) = y 0 ( ) = y(t) = 0,1 cos L t 9,81 = 0,1 cos s 0,85 t = 0,1 cos (4,8 1s ) t 6
7 d) Wie groß üsste die Fadenlänge eines atheatischen Pendels sein, das die gleiche Schwingungsfrequenz hat wie unser U-Rohr? aus Vorlesung: ω Fadenpendel = g l g l = L = l = L Es üsste eine Fadenlänge von 4,5 c haben. e) Was würde sich ändern wenn wir eine andere Flüssigkeit it einer dreial so hohen Dichte einfüllen würden? Nichts, da die Dichte in der Bewegungsgleichung nicht vorkot. 7
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