Kapitel 2. Mathematische Grundlagen. Koordinatensystem

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1 Kapitel 2 Mathematische Grundlagen 2.1 Koordinatensystem Zumeist werden in diesem Buch rechtwinkelige kartesische Koordinatensysteme verwendet. Sie sind durch drei zueinander orthogonale Koordinatenachsen x 1,x 2,x 3 mit dem Ursprung O sowie durch eine gleiche lineare Maßeinteilung auf den Koordinatenachsen festgelegt. In einem solchen Koordinatensystem wird ein beliebiger Vektor v als Linearkombination dreier linear unabhängiger Basisvektoren e 1,e 2,e 3 wie folgt dargestellt (Abb. 2.1): v = v 1 e 1 +v 2 e 2 +v 3 e 3. (2.1) x 3 v 3 e 3 α v3 O x 2 e 2 v 1 e 1 α v1 α v2 v Abb. 2.1: Darstellung des Vektors v in einem rechtwinkeligen kartesischen Koordinatensystem x 1 v 2 In (2.1) bezeichnen v 1,v 2,v 3 die Komponenten des Vektors v in den Richtungen der Basisvektoren. Die Basisvektoren sind linear unabhängig, wenn die Beziehung a 1 e 1 +a 2 e 2 +a 3 e 3 = 0 (2.2) nur für a 1 = a 2 = a 3 = 0 gilt. Üblicherweise wird die orthonormierte Basis e 1 = 0, e 2 = 1, e 3 = (2.3) H. A. Mang, G. Hofstetter, Festigkeitslehre, DOI / _2, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013

2 6 2 Mathematische Grundlagen verwendet. Die Basisvektoren einer orthonormierten Basis sind zueinander orthogonal. Ihre Länge beträgt 1. Vektoren mit der Länge 1 werden als Einheitsvektoren bezeichnet. Aus (2.3) folgt e 1 e 1 = 1, e 1 e 2 = 0, e 1 e 3 = 0, e 2 e 2 = 1, e 2 e 3 = 0, e 3 e 3 = 1. (2.4) (2.4) enthält Skalarprodukte zweier Vektoren. Das Skalarprodukt oder innere Produkt zweier Vektoren v = v 1 e 1 +v 2 e 2 +v 3 e 3 und w = w 1 e 1 +w 2 e 2 +w 3 e 3 ist zu v w = (v 1 e 1 +v 2 e 2 +v 3 e 3 ) (w 1 e 1 +w 2 e 2 +w 3 e 3 ) = = v 1 w 1 +v 2 w 2 +v 3 w 3 (2.5) definiert. In (2.5) wurde von den Eigenschaften (2.4) einer orthonormierten Basis Gebrauch gemacht. Das äußere Produkt der beiden Vektoren v und w ist zu e 1 e 2 e 3 v w = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 = (v 2w 3 v 3 w 2 )e 1 +(v 3 w 1 v 1 w 3 )e 2 +(v 1 w 2 v 2 w 1 )e 3 (2.6) definiert. Es stellt einen Vektor dar, der normal auf die von den Vektoren v und w aufgespannte Ebene steht. Seine Länge entspricht dem Flächeninhalt eines Parallelogramms, dessen Seitenvektoren v und w sind. Zu beachten ist, dass das äußere Produkt zweier Vektoren nicht kommutativ ist, d. h. v w w v. Bei v 1,v 2,v 3 handelt es sich um die Länge von Vektoren, die aus der Projektion von v in Richtung der Basisvektoren hervorgehen: In (2.7) bezeichnet v 1 = v e 1 = vcosα v1, v 2 = v e 2 = vcosα v2, (2.7) v 3 = v e 3 = vcosα v3. v = v v (2.8) die Länge des Vektors v, α v1 den von v und e 1 eingeschlossenen Winkel, α v2 den von v und e 2 gebildeten Winkel und α v3 den Winkel zwischen v und e 3, d. h. α v1 = (v,e 1 ), α v2 = (v,e 2 ), α v3 = (v,e 3 ). (2.9) Die Kosinus dieser Winkel, cosα v1,cosα v2 und cosα v3, werden als Richtungskosinus bezeichnet. Aus (2.8) folgt unter Berücksichtigung von (2.1), (2.4) und (2.7) v = v1 2 +v2 2 +v3 2 = v cos 2 α v1 +cos 2 α v2 +cos 2 α v3. (2.10) Demnach ist cos 2 α v1 +cos 2 α v2 +cos 2 α v3 = 1. (2.11) Der in die Richtung von v zeigende Vektor mit der Länge 1, e v, ergibt sich durch Einsetzen von (2.7) in (2.1) und Division der erhaltenen Gleichung durch v zu e v = v v = cosα v1e 1 +cosα v2 e 2 +cosα v3 e 3. (2.12)

3 2.2 Koordinatentransformation Koordinatentransformation Der Übergang von einem rechtwinkeligen kartesischen Koordinatensystem mit der orthonormierten Basis e 1,e 2,e 3 und dem Ursprung O auf ein rechtwinkeliges kartesisches Koordinatensystem mit der orthonormierten Basis e 1,e 2,e 3 und dem Ursprung O setzt sich aus einer Translation der Koordinatenachsen von O nach O und einer anschließenden Rotation der Achsen bei festgehaltenem Ursprung zusammen. Da sich die kartesischen Komponenten eines Vektors bei einer Translation der Koordinatenachsen nicht ändern, genügt es, die Auswirkungen der Rotation dieser Achsen und damit der Basisvektoren zu bestimmen. Mittels (2.12) kann der Basisvektor e 1 durch die Basisvektoren e 1,e 2,e 3 ausgedrückt werden (Abb. 2.2): e 1 = cosα 11 e 1 +cosα 12 e 2 +cosα 13 e 3. (2.13) An die Stelle des Index v in (2.12) ist in (2.13) der Index 1 getreten. (Genau genommen, müsste es eigentlich α 1 1,α 1 2,α 1 3 heißen.) Analog erhält man die Beziehungen e 2 = cosα 21 e 1 +cosα 22 e 2 +cosα 23 e 3, e 3 = cosα 31 e 1 +cosα 32 e 2 +cosα 33 e 3. (2.14) x 3 x 3 x 2 α 13 e 1 e 3 e 3 e 2 O = O e 2 x 2 Abb. 2.2: Rotation des Koordinatensystems (ursprüngliche Basis e i, i=1,2,3; neue Basis e j, j=1,2,3) α 11 e 1 x 1 α 12 x 1 Analog zu (2.1) kann der Vektor v im gedrehten Koordinatensystem zu v = v 1e 1 +v 2e 2 +v 3e 3 (2.15) dargestellt werden. In (2.15) sindv 1,v 2,v 3 die Komponenten des Vektorsvin Richtung der Basisvektoren e 1,e 2,e 3. Einsetzen von (2.13) und (2.14) in (2.15) führt auf v = (v 1cosα 11 e 1 +v 1cosα 12 e 2 +v 1cosα 13 e 3 )+ (v 2cosα 21 e 1 +v 2cosα 22 e 2 +v 2cosα 23 e 3 )+ (v 3cosα 31 e 1 +v 3cosα 32 e 2 +v 3cosα 33 e 3 ). (2.16)

4 8 2 Mathematische Grundlagen Gleichsetzen von (2.1) und (2.16) ergibt v = v 1 e 1 +v 2 e 2 +v 3 e 3 = (v 1cosα 11 +v 2cosα 21 +v 3cosα 31 )e 1 + (v 1cosα 12 +v 2cosα 22 +v 3cosα 32 )e 2 + (v 1cosα 13 +v 2cosα 23 +v 3cosα 33 )e 3. (2.17) Durch Vergleich der vor den einzelnen Einheitsvektoren stehenden Terme in (2.17) erhält man die Beziehung zwischen den Komponenten des Vektors v in den beiden Koordinatensystemen zu v 1 v 2 v 3 = cosα 11 cosα 21 cosα 31 cosα 12 cosα 22 cosα 32 cosα 13 cosα 23 cosα 33 v 1 v 2 v 3. (2.18) Die erste Spalte der Matrix in (2.18) entspricht den auf die Basis e 1,e 2,e 3 bezogenen Komponenten von e 1 (siehe (2.13)). Analoges gilt für die zweite und dritte Spalte dieser Matrix (siehe (2.14)). Aufgrund von (2.11) und der zu (2.4) analogen Beziehungen für die Basis e 1,e 2,e 3 ist die Inverse der Matrix in (2.18) gleich ihrer Transponierten. Dementsprechend führt die Multiplikation der Matrix in (2.18) mit der Transponierten auf die Einheitsmatrix. Somit ergibt sich v 1 v 2 v 3 = cosα 11 cosα 12 cosα 13 cosα 21 cosα 22 cosα 23 cosα 31 cosα 32 cosα 33 v 1 v 2 v 3. (2.19) Die auf der rechten Seite von (2.19) aufscheinende Matrix wird als Transformationsmatrix beim Übergang von der Basis e 1,e 2,e 3 auf die Basis e 1,e 2,e 3 bezeichnet. In Matrizenschreibweise lautet (2.18): v = Q T v. (2.20) Die Komponenten der Vektoren v und v sowie die Koeffizienten der Transponierten Q T der Transformationsmatrix Q ergeben sich durch Vergleich mit (2.18). Q ist im Allgemeinen nicht symmetrisch, d. h. α ij α ji. Prämultiplikation von (2.20) mit Q ergibt v = Q v. (2.21) Dabei wurde von Gebrauch gemacht, wobei Q 1 = Q T Q Q T = 1 (2.22) 1 = (2.23) die Einheitsmatrix bezeichnet.

5 2.3 Indexschreibweise Indexschreibweise In Indexschreibweise können die Gleichungen (2.1) bis (2.19) in wesentlich kürzerer Form angeschrieben werden. Bei Beschränkung auf rechtwinkelige kartesische Koordinaten werden generell tiefgestellte (untere) Indizes verwendet. Die orthonormierte Basis e 1,e 2,e 3 wird in Indexnotation zu e i, i = 1,2,3, angeschrieben. Der Index i ist eine natürliche Zahl, die im dreidimensionalen euklidischen Raum die Werte 1, 2, 3 annimmt. Im zweidimensionalen Fall ist i auf die Werte 1 und 2 beschränkt. Tritt ein Index in einem Term zweimal auf, so ist über seinen gesamten Wertebereich zu summieren. Diese Vereinbarung wird als Einstein sche Summationskonvention bezeichnet. Indizes, über die summiert wird, werden auch als stumme Indizes bezeichnet. Indizes, über die nicht summiert wird, werden freie Indizes genannt. In Indexschreibweise erhält man bei Berücksichtigung der Einstein schen Summationskonvention für den Vektor v anstelle von (2.1) v = v i e i (2.24) und für das Skalarprodukt der Vektoren v und w anstelle von (2.5) Die sechs Gleichungen (2.4) werden in Indexnotation zu v w = v i w i. (2.25) e i e j = δ ij (2.26) geschrieben, wobei δ ij das Kroneckersymbol bezeichnet. Dieses ist wie folgt definiert: δ ij = { 1 für i = j 0 für i j. (2.27) Für die orthonormierte Basis e 1,e 2,e 3 gilt die zu (2.26) analoge Beziehung e i e j = δ ij. (2.28) Für den Einheitsvektor e v in Richtung von v erhält man anstelle von (2.12) mit e v = cosα vi e i (2.29) α vi = (e v,e i ). (2.30) Die drei Gleichungen (2.13) und (2.14) können in Indexschreibweise zu einer Gleichung zusammengefasst werden: e i = cosα ij e j. (2.31) In (2.31) ist i ein freier Index, der die Werte 1, 2, 3 annimmt. Der Index j tritt in dem Term auf der rechten Seite von (2.31) zweimal auf. Er ist also ein stummer Index, über den summiert wird. (2.15) lautet in Indexschreibweise: v = v ie i. (2.32) Einsetzen von (2.31) in (2.32) führt auf die zu (2.16) analoge Gleichung in Indexschreibweise: v = v i cosα ij e j. (2.33)

6 10 2 Mathematische Grundlagen In (2.33) ist sowohl über den Index i als auch über den Index j zu summieren, weil beide Indizes im Term auf der rechten Seite von (2.33) zweimal aufscheinen. Als stumme Indizes verwendete Buchstaben können durch andere Buchstaben ersetzt werden. So kann z. B. der Buchstabe i für den stummen Index in (2.24) durch den Buchstaben j ersetzt werden, d. h. v = v j e j. (2.34) Die Beziehungen (2.24) und (2.34) sind gleichwertig, weil der jeweils zweimal aufscheinende Index nur die Summation über den gesamten Wertebereich ausdrückt. Der Wechsel des stummen Index von i auf j in (2.24) ermöglicht den Vergleich der rechten Seiten von (2.33) und (2.34): v j = cosα ij v i. (2.35) (2.35) entspricht (2.18) bzw. (2.20). Den Kosinus des von den Basisvektoren e i und e j eingeschlossenen Winkels α ij kann man kürzer mit n ij bezeichnen: n ij = cosα ij = cos[ (e i,e j )]. (2.36) Die Größen n ij sind also die Komponenten der Transformationsmatrix Q. Mit Hilfe von (2.36) lassen sich (2.31) und (2.35) zu bzw. anschreiben. Einsetzen von (2.37) in (2.28) ergibt Wegen (2.26) folgt aus (2.39) e i = n ij e j (2.37) v j = n ij v i (2.38) (n ik e k ) (n jl e l ) = δ ij. (2.39) n ik n jl δ kl = δ ij. (2.40) Aus (2.27) resultiert, dass δ kl nur für l = k gleich 1 ist. Deshalb gilt n ik n jk = δ ij. (2.41) Die Gleichungen (2.41) entsprechen der zweiten der beiden Beziehungen (2.22). Ersetzen des Index j durch k und des Index i durch j in (2.38) ergibt v k = n jk v j. Multiplikation der so erhaltenen Gleichung mit n ik ergibt Wegen (2.41) und (2.27) folgt aus (2.42) (2.43) entspricht (2.19) bzw. (2.21). n ik v k = n ik n jk v j. (2.42) v i = n ik v k. (2.43)

7 2.4 Tensoren Tensoren Im Unterkapitel 2.2 wurde gezeigt, dass der Vektor v in verschiedenen rechtwinkeligen kartesischen Koordinatensystemen dargestellt werden kann. Aus (2.1) bzw. (2.24) und (2.15) bzw. (2.32) folgt v = v i e i = v je j. (2.44) Der Vektor v ist also vom gewählten Koordinatensystem unabhängig. Er hat eine bestimmte Länge und eine bestimmte Richtung. Die koordinatenfreie Schreibweise, v, soll diese Unabhängigkeit sowie die physikalische Bedeutung des Vektors verdeutlichen. In einem bestimmten Koordinatensystem kann ein Vektor durch Angabe seiner Komponenten in den Richtungen der gewählten Basisvektoren dargestellt werden. Physikalische Sachverhalte müssen derart beschrieben werden, dass verschiedene Koordinatensysteme zur mathematischen Beschreibung ein und desselben physikalischen Sachverhalts auf dieselbe Beurteilung dieses Vorgangs führen. Bei Verwendung des Koordinatensystems mit der Basis e i, i = 1,2,3, wird der Vektor v mittels Gleichung (2.1) und bei Verwendung des Koordinatensystems mit der Basis e j, j = 1,2,3, mittels Gleichung (2.15) beschrieben. Obwohl die Komponenten des Vektors v in diesen beiden Koordinatensystemen verschieden sind, wird jeweils derselbe Vektor v beschrieben. Folglich ist das Maß für die Länge dieses Vektors in beiden Fällen gleich. Die Länge eines Vektors ist also eine Invariante, d. h. eine vom gewählten Koordinatensystem unabhängige Größe. Zur Transformation der Komponenten eines Vektors von einem Koordinatensystem in ein anderes wurden die Gleichungen (2.19) bzw. (2.18) hergeleitet. Werden diese Gleichungen bei einer Koordinatentransformation zur Transformation der Komponenten eines Vektors von einer bestimmten Basis in eine andere Basis verwendet, so ist sichergestellt, dass in beiden Koordinatensystemen derselbe Vektor beschrieben wird. Sind also die Komponenten eines Vektors in einem Koordinatensystem festgelegt, so sind die Komponenten dieses Vektors auch in jedem anderen Koordinatensystem durch die Gleichungen (2.19) bzw. (2.18) festgelegt. Bei der Transformation physikalischer Größen von einem Koordinatensystem in ein anderes ist darauf zu achten, dass Gleichungen zur Beschreibung physikalischer Sachverhalte für beide Koordinatensysteme gelten ( Invarianz der Gleichungen bei einer Koordinatentransformation). Größen, die diesem Grundsatz entsprechen, werden Tensoren genannt. Vektoren sind Tensoren 1. Stufe. Die Komponenten von Tensoren 1. Stufe sind durch einen Index gekennzeichnet. Sie gehorchen dem Transformationsgesetz (2.19) bzw. (2.18). Tensoren, die in einem rechtwinkeligen kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden, bezeichnet man als kartesische Tensoren. Skalare Größen, wie z. B. die Temperatur oder die Dichte, sind Tensoren 0. Stufe. Skalaren Größen ist nur ein Zahlenwert, jedoch keine Richtung zugeordnet. Daher ändern sie sich beim Übergang von einem in ein anderes Koordinatensystem nicht. Ein Tensor 2. Stufe kann als dyadisches Produkt (Tensorprodukt) zweier Vektoren definiert werden. Dementsprechend erhält man den Tensor 2. Stufe T als dyadisches Produkt der beiden Vektoren a und b zu T = a b = (a i e i ) (b j e j ) = a i b j e i e j = T ij e i e j. (2.45)

8 12 2 Mathematische Grundlagen Setzt man im Ausdruck für das dyadische Produktbeispielsweise i = 1 und j = 2, so erhält man e 1 e 2 = e 1 e T 2 = = (2.46) In (2.45) und (2.46) bezeichnet das Symbol das dyadische Produkt und T ij = a i b j, i,j = 1,2,3, die Komponenten des Tensors 2. Stufe T. Zu beachten ist, dass das dyadische Produkt zweier Vektoren nicht kommutativ ist, d. h. a b b a. Tensoren 2. Stufe spielen in der Kontinuumsmechanik eine wesentliche Rolle. Analog zu den Tensoren 0. und 1. Stufe sind sie vom Koordinatensystem unabhängig. Ihre Darstellung in einem rechtwinkeligen kartesischen Koordinatensystem mit der Basis e i, i = 1,2,3, führt auf die neun Komponenten T ij. Jede dieser Komponenten weist zwei Indizes auf. Jeder Index bezieht sich auf eine Richtung. Als Beispiel sei der Spannungstensor angeführt. Er wird im Kapitel 3 vorgestellt. Ein Index bezieht sich auf die Lage der Ebene, in der die betreffende Tensorkomponente wirkt, und der andere Index auf die Wirkungsrichtung dieser Komponente. Tensoren 2. Stufe können auch als lineare Operatoren einer linearen Vektorfunktion definiert werden. Mit Hilfe des Tensors T ergibt sich die lineare Transformation des Vektors v in den Vektor w zu Einsetzen von (2.45) in (2.47) ergibt Die rechte Seite von (2.48) ist zu w = T v. (2.47) w = (a b) v. (2.48) (a b) v = (b v)a (2.49) definiert. Demgemäß führt T den Vektor v in einen Vektor w über. Durch Vergleich von (2.49) mit (2.48) erkennt man, dass die Richtung von w durch a gegeben ist. Das innere Produkt b v stellt einen skalaren Faktor dar. Setzt man (2.24) und (2.45) in (2.47) ein und berücksichtigt (2.49) und (2.26), so erhält man w = (T ij e i e j ) (v k e k ) = T ij v k (e i e j ) e k = T ij v k δ jk e i = T ij v j e i. (2.50) Analog zu (2.24) ergeben sich die Komponenten w i von w zu w i = T ij v j. (2.51) (2.51) stellt eine lineare Transformation der Vektorkomponenten v j in die Vektorkomponenten w i dar. Sie wird mittels der Komponenten T ij des kartesischen Tensors 2. Stufe, T, bewerkstelligt. Bei Verwendung rechtwinkeliger kartesischer Koordinaten werden bei Tensoren 1. oder höherer Stufe zumeist die Basisvektoren weggelassen. Man schreibt z. B. anstelle von v i e i und T ij e i e j nur die Komponenten v i und T ij an. Bei diesen Koordinaten ist das deswegen möglich, weil die Basisvektoren normiert sind und unveränderliche Richtungen aufweisen. Ableitungen von Tensoren ergeben sich deshalb durch Ableitung der Komponenten. Das gilt nicht für Gauß sche (krummlinige) Koordinaten.

9 2.4 Tensoren 13 Tabelle 2.1: Transformationsgesetze für Tensoren von 0. bis 4. Stufe Stufe des Tensors Anzahl der Komponenten Transformationsgesetz = 1 c = c = 3 v i = n ik v k = 9 T ij = n ik n jl T kl = 27 A ijk = n iln jm n kn A lmn = 81 C ijkl = n imn jn n kp n lq C mnpq In diesem Fall sind im Allgemeinen sowohl die Längen als auch die Richtungen der Basisvektoren veränderlich. Ableitungen eines Tensors umfassen dann sowohl seine Komponenten als auch seine Basisvektoren. Im Folgenden werden die Regeln für die Transformation der Komponenten eines Tensors 2. Stufe beim Wechsel von der Basis e i, i = 1,2,3, zur Basis e j, j = 1,2,3, abgeleitet. Die Transformation der Vektorkomponenten w i in (2.51) ist gemäß (2.43) zu w i = n ik w k (2.52) gegeben. Einsetzen von (2.38) in (2.51) und Eintragen des erhaltenen Ergebnisses in (2.52) ergibt w i = n ik T kj n lj v l = T ilv l (2.53) mit T il = n ik n lj T kj. (2.54) (2.54) stellt das Transformationsgesetz für die Komponenten eines Tensors 2. Stufe dar. Für die Umkehrtransformation erhält man T ij = n ki n lj T kl. (2.55) Zu Vergleichszwecken werden die Gleichungen (2.52) bis (2.55) auch in Matrizenschreibweise dargestellt. (2.52) lautet in Matrizenschreibweise w = Q w. Einsetzen von (2.47) in diese Gleichung ergibt w = Q T v. Mit Hilfe von (2.20) erhält man w = Q T Q T v. (2.53) lautet in Matrizenschreibweise: w = T v. Ein Vergleich der beiden letzten Beziehungen führt auf T = Q T Q T, woraus T = Q T T Q folgt. Vergleicht man die Transformationsgesetze für Tensoren 1. und 2. Stufe, so stellt man fest, dass jeder Index eines solchen Tensors eine Richtungsinformation betrifft. Sie manifestiert sich als Richtungskosinus im Transformationsgesetz. Dieser enthält jeweils einen Index, über den zu summieren ist. Auf analoge Weise lassen sich Tensoren von höherer als 2. Stufe definieren. In der Kontinuumsmechanik sind insbesondere Tensoren 4. Stufe von Bedeutung. Sie ermöglichen eine lineare Transformation eines Tensors 2. Stufe in einen anderen Tensor derselben Stufe. Die Transformationsregeln für Tensoren 0. bis 4. Stufe sind in Tabelle 2.1 zusammengefasst.

10 14 2 Mathematische Grundlagen 2.5 Tensoroperationen In diesem Unterkapitel werden einige häufig verwendete Tensoroperationen beschrieben. Die koordinatenfreie Schreibweise wird der Indexschreibweise für Tensorkomponenten in rechtwinkeligen kartesischen Koordinaten gegenübergestellt. Im Folgenden bezeichnen a und c skalare Größen, u,v,w Vektoren bzw. Tensoren 1. Stufe mit den Komponenten u i,v i,w i, i = 1,2,3, und A,P,S,T Tensoren 2. Stufe mit den Komponenten A ij,p ij,s ij,t ij ; G bezeichnet einen Tensor 3. Stufe mit den Komponenten G ijk und D einen Tensor 4. Stufe mit den Komponenten D ijkl. Das tensorielle Produkt zweier Tensoren gleicher oder verschiedener Stufe ist eine Verallgemeinerung des in (2.45) definierten dyadischen Produkts zweier Tensoren 1. Stufe. Es ergibt einen Tensor, dessen Stufe gleich der Summe der Stufen der beiden Tensoren ist. Es gilt z. B. u, v u v = S, u i v j = S ij, S, w S w = G, S ij w k = G ijk, S, T S T = D, S ij T kl = D ijkl. (2.56) Unter der Kontraktion eines Tensors versteht man das Gleichsetzen zweier Indizes. Es bewirkt laut Einstein scher Summationskonvention die Summierung über den Wertebereich des betreffenden Index. Die Stufe des Tensors wird durch diese Operation um zwei reduziert. Diesem Umstand trägt die Bezeichnung Kontraktion Rechnung. Das Ergebnis einer Tensorkontraktion wird in Analogie zum inneren Produkt zweier Vektoren auch als inneres Produkt zweier Tensoren bezeichnet. Setzt man im Tensorprodukt u i v j in (2.56) den Index i gleich dem Index j, so erhält man u i v i = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3, also das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v. Setzt man im Tensorprodukt S ij w k den Index k gleich dem Index j, so erhält man einen Vektor mit den Komponenten S ij w j. In diesem Fall ist S ein linearer Operator, dessen Anwendung auf w einen Vektor ergibt (siehe auch (2.47) bis (2.51)). Gleichsetzen der Indizes j und k im Tensorprodukt S ij T kl ergibt S ij T jl, also einen Tensor 2. Stufe. Einige Möglichkeiten der Bildung innerer Produkte sind im Folgenden zusammengestellt: u, v u v = c, u i v i = c, S, w S w = v, S ij w j = v i, S, T S T = P, S ik T kj = P ij, D, v D v = G, D ijkl v l = G ijk. (2.57) Doppelte Kontraktion von S ij T kl durch Gleichsetzen der Indizes i und k sowie der Indizes j und l ergibt die skalare Größe a = S ij T ij, a = S : T. (2.58) (2.58) wird auch als das Skalarprodukt zweier Tensoren 2. Stufe bezeichnet. Die doppelte Kontraktion des Tensorprodukts D ijkl S mn durch Gleichsetzen der Indizes k und m sowie der Indizes l und n ergibt einen Tensor 2. Stufe: A ij = D ijkl S kl, A = D : S. (2.59)

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