Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 24. November 2016 HSD. Physik. Rotation

Transkript

1 Physik Rotation

2 Schwerpunkt

3 Schwerpunkt Bewegungen, Beschleunigungen und Kräfte können so berechnet werden, als würden Sie an einem einzigen Punkt des Objektes angreifen. Bei einem Körper mit homogener Dichte ist dies der geometrische Mittelpunkt. Bei Kugeln ist dies der Mittelpunkt. X Für Planeten kann man näherungsweise den Mittelpunkt nehmen. ~S = 1 M i m i ~x i

4 Schwerpunkt m i M = X i m i Ein Objekt der Masse M sei in viele einzelne Massteile m i zerlegt. Für jedes einzelne Masseteil gelten die Newton schen Gesetze, insbesondere das 2.: Die gesamte Kraft auf das Objekt ist die Summe aller Kräfte auf jedes Einzelteil. Summe und Differentiation dürfen vertauscht werden. Mit der Definition des Schwerpunkts kann die resultierende Kraft auf den Körper geschrieben werden als: ~F i = m i d 2 X i ~S = 1 M dt 2 ~x i ~F i = F ~ X d 2 = m i dt 2 ~x i i! ~F = d2 X dt 2 m i ~x i X i i m i ~x i ) ~ F = M d2 dt 2 ~ S

5 Schwerpunkt Natürlich wird die Summe für differentiell kleine Massestücke zum Integral. Anschaulicher wird das mit der Dichte. Dann ist jedes Massestück ein Volumen mal die Dichte am Ort. ~S = lim m i!0 = 1 M = 1 M 1 X m i ~x i M i Z Körper Z Körper dm = (~x )dv ~x dm ~x (~x )dv

6 Schwerpunkt Für homogene Körper (bei denen die Dichte überall gleich ist) ist der Schwerpunkt gleich dem geometrischen Mittelpunkt! ~S = 1 Z ~x (~x )dv M Körper Z = 1 M 0 ~x dv Körper

7 Schwerpunkt Ein Objekt setzt sich aus vielen (Größenordnung ) Atomen zusammen, die alle aneinander ziehen, drücken, schieben... Innere Kräfte gleichen sich paarweise wegen actio = reactio aus. Nur äußere Kräfte verändern den Bewegungszustand des gesamten Objekts. Die Kraft greift am Schwerpunkt an (s. Vorlesung 08 - Gravitation). Die Flugbahn wird durch die Flugbahn des Schwerpunkts beschrieben: ~F = M d2 dt 2 ~ S

8 Rotation

9 Starrer Körper Ein starrer Körper verformt sich nicht auch wenn eine äußere Kraft an ihm angreift. Alle Masseteile mi behalten ihre relative Position zueinander. ~x i m i ~xi

10 Rotation Zusätzlich zur Bahnbewegung kann sich ein ausgedehnter Körper drehen: Rotation. Auch dieser Fall wird komplett nur mit dem 2. Newton schen Gesetz behandelt. Es ergibt sich ein neuer Satz von physikalischen Größen und Formeln zur Drehbewegung. Diese Größen und Formeln sind völlig analog zu der Bahn- Bewegung im Raum.

11 Bewegung und Drehbewegung Bewegung Drehbewegung Name Symbol Symbol Name Ort ~x Winkel Geschwindigkeit ~v! Winkelgeschwindigkeit Beschleunigung ~a Winkelbeschleunigung Kraft ~F ~M Drehmoment Masse m I Trägheitsmoment

12 Drehbewegung Drehachse Winkel ~r(t 2 ) ~r(t 1 ) Winkelgeschwindigkeit! = d dt Winkelbeschleunigung = d! dt = d2 dt 2

13 Drehmoment skalar

14 Drehmoment Das Drehmoment ist für die Drehbewegung das, was die Kraft für die Bewegung ist. Ein Drehmoment ist also eine Kraft, die die Winkelgeschwindigkeit beschleunigen oder bremsen kann. Von der angesetzten Kraft wirkt nur der Teil tangential zur Kreisbahn. ~F tangential ~F radial ~F

15 Energieerhaltung Die Energieerhaltung gilt natürlich auch für Drehbewegungen. W = Z F dx Auch für das Drehmoment soll Kraft x Weg gelten, nur eben als Drehmoment x Winkel. = F x =! M =??

16 Drehmoment (skalar) r =2 r 1 2 r = r r

17 Drehmoment (skalar) r =2 r = r 1 2 r W = Z F dx r = F x = F r! = M Hebel mal Kraft ) M = r F

18 Drehmoment (skalar) ) M = r F F Drehachse r Welche Richtung hat die Drehachse?

19 Drehmoment vektoriell

20 Drehmoment (vektoriell) rx y ~r = r y ~F = Fx F y ~ F ~r x

21 Drehmoment (vektoriell) rx ~F ~r = r y ~F = Fx F y ~r r x r y ~r = rx r y ~r

22 Drehmoment (vektoriell) r x = ~r sin = ~r ry ~r = r y ~F r x r y = ~r cos = r x ~r r y ~r = = ry r x ry r x ~r

23 Drehmoment (vektoriell) Arbeit bei Drehung um die z-achse ~F W z = F ~ ~r = Fx F y Bahnbewegung ry r x =( F x r y + F y r x ) ~r r x r y = M z Drehbewegung Drehmoment bei Drehung um die z-achse ~r M z =(r x F y r y F x )

24 Drehmoment (vektoriell) ~M = M x M y 1 A = r y F z r z F x r z F y r x F z 1 A = ~r F ~ M z r x F y r y F x Kreuzprodukt ~M = ~r ~ F

25 Kreuzprodukt

26 Vektormultiplikation Typ Name Schreibweise Resultat Skalar mal Vektor Produkt mit einem Skalar ~a 0 = c ~a Vektor Vektor mal Vektor Skalarprodukt (inneres Produkt) s = ~a ~b Skalar Vektor mal Vektor Kreuzprodukt (äußeres Produkt) (Vektorprodukt) ~c = ~a ~ b Vektor

27 Kreuzprodukt Komponenten ~c = ~a ~ b c x c y 1 A = a x a y 1 A b x b y 1 A = a y b z a z b x a z b y a x b z 1 A c z a z b z a x b y a y b x

28 Kreuzprodukt Geometrische Bedeutung Der resultierende Vektor steht senkrecht auf der Ebene, die von den beiden Produktvektoren aufgespannt wird. Die drei Vektoren folgen der Rechte-Hand-Regel. Die Länge des resultierenden Vektors ist: ~c = ~a ~ b sin

29 Kreuzprodukt Rechenregeln Linear (~a + ~ b) ~c = ~a ~c + ~ b ~c Nullvektor ~a ~a =0 Antikommutativ ~a ~ b = ~ b ~a Merken: beim Kreuzprodukt ist alles etwas anders => lieber nachschlagen!

30 Drehmoment mit Kreuzprodukt

31 Drehmoment Richtig vektoriell ~F ~ F sin ~M = ~r ~ F ~r ~ M = ~r ~ F sin ~M Die Projektion von F in die tangentiale Richtung ist bereits im Vektorprodukt enthalten!

32 Trägheitsmoment

33 Bewegung und Drehbewegung Bewegung Drehbewegung Name Symbol Symbol Name Ort ~x Winkel Geschwindigkeit ~v! Winkelgeschwindigkeit Beschleunigung ~a Winkelbeschleunigung Kraft ~F ~M Drehmoment Masse m I Trägheitsmoment

34 Trägheitsmoment Gesucht: das 2. Newton sche Gesetz für Drehbewegungen. Ansatz: stelle a durch dar. F = m a M = I

35 Tangentialgeschwindigkeit r = r ) dr dt = r d dt r v = r! r

36 Tangentialbeschleunigung r = r v = r! a = dv dt = r d! dt r a = r r

37 Trägheitsmoment Das Drehmoment für jedes Masseteil ist Hebel mal Kraft Die Beschleunigung ist Radius mal Winkelbeschleunigung M i = r i F i = r i m i a i = m i r 2 i i Das Gesamtdrehmoment ist die Summe über alle einzelnen Drehmomente. M = X i M i = X i m i r 2 i Daraus ergibt sich das Trägheitsmoment: ) I = X i m i r 2 i M = I