VI. Das Riemann-Stieltjes Integral.

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1 VI. Ds Riemnn-Stieltjes Integrl. Es stellt sich herus, dss der hier entwickelte Integrlbegriff strk von der Ordnungsstruktur von R bhängt. Definition. Sei [, b] ein Intervll in R. Unter einer Prtition P von [, b] versteht mn ein Menge von Punkten P = {x 0, x,..., x n } mit = x 0 x x n = b. Sei x i = x i x i, i =,..., n und für eine beschränkte Funktion f : [, b] R sei M i = sup{f(x) : x [x i, x i ]} sowie m i = inf{f(x) : x [x i, x i ]} für i =,..., n. Als Obersumme S(P, f) von f bezüglich P bezeichnen wir den Ausdruck S(P, f) = M i x i und ls Untersumme s(p, f) von f bezüglich P den Ausdruck s(p, f) = m i x i. Ds obere Riemnn-Integrl von f ist definiert durch f dx = inf S(P, f), wobei ds Infimum über lle Prtitionen P von [, b] genommen wird, und ds untere Riemnn- Integrl von f ist definiert durch f dx = sup s(p, f), wobei ds Supremum über lle Prtitionen P von [, b] genommen wird. Sind die oberen und unteren Integrle gleich, so nennt mn f Riemnnintegrierbr uf [, b], mn schreibt f R. Den gemeinsmen Wert bezeichnet mn dnn ls f dx oder f(x) dx, dies ist ds Riemnn-Integrl von f über [, b]. Flls f 0 und ds obere und untere Riemnn-Integrl übereinstimmen, sgt mn uch, dss f(x) dx den Flächeninhlt ngibt, der zwischen dem Grphen der Funktion f und der x-achse über [, b] liegt. D f beschränkt ist, gilt m f(x) M uf [, b] und dher für jede Prtition P von [, b] : m(b ) s(p, f) S(P, f) M(b ), sodss ds obere und ds untere Riemnn-Integrl immer existiert, die

2 2 Frge nch der Gleichheit der oberen und unteren Integrle ist hingegen viel schwieriger. Wir betrchten eine llgemeinere Sitution: Definition. Sei α : [, b] R eine monoton wchsende Funktion. Für eine Prtition P = {x 0, x,..., x n } von [, b] setzen wir α i = α(x i ) α(x i ), i =,..., n. Es gilt α i 0. Für eine beschränkte Funktion f : [, b] R setzen wir S(P, f, α) = M i α i und s(p, f, α) = m i α i und definieren f dα = inf S(P, f, α) sowie f dα = sup s(p, f, α), wobei inf und sup über lle Prtitionen P von [, b] genommen werden. Stimmen die beiden obigen Integrle überein, so sgt mn f ist bezüglich α Riemnn-integrierbr und schreibt f R(α), den gemeinsmen Wert bezeichnet mn mit Dies ist ds Riemnn-Stieltjes Integrl von f bezüglich α über [, b]. Ds Riemnn-Integrl ist ein Spezilfll des Riemnn-Stieltjes Integrls für α(x) = x. Unser nächstes Ziel ist es, zu zeigen, dss stetige Funktionen f Riemnnintegrierbr bezüglich α sind. Definition. Die Prtition P wird eine Verfeinerung von P gennnt, wenn P P gilt, lso jeder Punkt von P uch zu P gehört. Sind P, P 2 zwei Prtitionen, so nennt mn P = P P 2 ihre gemeinsme Verfeinerung. Stz. Ist P eine Verfeinerung von P, dnn gilt s(p, f, α) s(p, fα) und S(P, f, α) S(P, f, α). Drus erhält mn nun Stz. f dα Für die weiteren Aussgen von besonderer Bedeutung ist ds folgende Cuchy -Kriterium für die Existenz des Riemnn-Stieltjes Integrls Stz. Es gilt f R(α) uf [, b] genu dnn, wenn für jedes ɛ > 0 eine Prtition P von [, b] existiert mit S(P, f, α) s(p, f, α) < ɛ.

3 Stz. () Gilt S(P, f, α) s(p, f, α) < ɛ für ein P und ein ɛ > 0, dnn gilt diese Aussge mit demselben ɛ für jede Verfeinerung von P. (b) Gilt die Aussge von () für P = {x 0,..., x n } und sind s i, t i [x i, x i ], dnn gilt f(s i ) f(t i ) α i < ɛ. (c) Ist f R(α) und sind die Vorussetzungen von (b) erfüllt, dnn ist f(t i ) α i f dα < ɛ. In den drei nächsten Resultten werden hinreichende Bedingungen für die Existenz des Riemnn-Stieltjes Integrls erstellt. Stz. Ist f stetig uf [, b], dnn ist f R(α) uf [, b]. Stz. Ist f monoton uf [, b] und ist α stetig uf [, b], dnn folgt f R(α). Stz. Sei f beschränkt uf [, b]. Ferner hbe f nur endlich viele Unstetigkeitsstellen uf [, b] und α sei in jedem Punkt stetig, wo f unstetig ist. Dnn folgt f R(α). Der folgende Stz ist für Anwendungen von besonderer Bedeutung Stz. Sei f R(α) uf [, b] und m f M. Sei ferner Φ stetig uf [m, M] und es sei h(x) = Φ(f(x)) für x [, b]. Dnn folgt h R(α) uf [, b]. Nun stellen wir die wichtigsten Eigenschften des Integrls zusmmen: Stz. () Sind f, f 2 R(α) uf [, b], so gilt f + f 2 R(α) und cf R(α) für jede Konstnte c, ferner gilt (f + f 2 ) dα = f dα + f 2 dα, cf dα = c Ds bedeutet: R(α) ist ein Vektorrum über R und die Abbildung f f dα ist ein lineres Funktionl uf R(α). (b) Gilt f, f 2 R(α) und f (x) f 2 (x) uf [, b], so folgt f dα f 2 dα. (c) Ist f R(α) uf [, b] und ist < c < b, so ist f R(α) uf [, c] und uf [c, b], und es gilt c f dα + c f dα = 3

4 4 (d) Ist f R(α) uf [, b] und gilt f(x) M uf [, b], so folgt f dα M(α(b) α()). (e) Für f R(α ) und f R(α 2 ) gilt f R(α + α 2 ) und f d(α + α 2 ) = f dα + f dα 2 ; ist f R(α) und ist c eine positive Konstnte, dnn folgt f R(cα) und f d(cα) = c Wichtig für lles weitere ist der folgende Stz. Seien f, g R(α) uf [, b]. Dnn gilt: () fg R(α); (b) f R(α) und f dα f dα. Der Zusmmenhng zwischen Riemnn- und Riemnn-Stieltjes-Integrl wird im folgenden Stz erläutert Stz. Sei α monoton wchsend und α R uf [, b]. Sei ferner f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Dnn gilt: f R(α) fα R. In diesem Fll ist f dα = f(x)α (x) dx. Stz (Substitutionsregel). Sei φ : [A, B] [, b] eine streng monoton wchsende, stetige Funktion. Sei α : [, b] R monoton wchsend und f R(α) uf [, b]. Definiere β, g : [A, B] R durch β(y) = α(φ(y)) und g(y) = f(φ(y)) für y [A, B]. Dnn ist g R(β) und es gilt B A g dβ = Spezilfll: α(x) = x und β = φ mit φ R uf [A, B] : f(x) dx = B A f(φ(y))φ (y) dy.

5 5 Integrtion und Differentition Stz. Sei f R uf [, b]. Für x [, b] setze mn F (x) = x f(t) dt. Dnn ist F stetig uf [, b]. Ist drüber hinus f n einer Stelle x 0 [, b] stetig, dnn ist F in x 0 differenzierbr und es gilt F (x 0 ) = f(x 0 ). Stz (Huptstz der Differentil-und Integrlrechnung,.Version). Ist f R uf [, b] und gibt es eine differenzierbre Funktion F uf [, b] mit F = f uf [, b], dnn gilt f(x) dx = F (b) F (). Stz (Huptstz der Differentil-und Integrlrechnung, 2.Version). Ist f : [, b] R stetig uf [, b], dnn ist die Funktion F (x) = x f(t) dt, x [, b] differenzierbr uf [, b], es gilt F (x) = f(x) und f(x) dx = F (b) F (). Definition. Eine differenzierbre Funktion F uf [, b] heißt Stmmfunktion von f uf [, b], wenn F = f uf [, b] gilt. Eine Funktion F uf [, b] heißt unbestimmtes Integrl von f, wenn für je zwei Punkte x, x 2 [, b] gilt x2 x f(x) dx = F (x 2 ) F (x ). Es gilt: sind F und F 2 Stmmfunktionen (unbestimmte Integrle) von f, so ist F F 2 konstnt. Mit F ist uch F + c, c R, eine Stmmfunktion von f. Ist f stetig uf [, b], dnn besitzt f eine Stmmfunktion F uf [, b].

6 6 f f dx Def.ber. x k x, k k+ x R, x 0(k < 0) k+ log x x 0 x x x, R, + x > 0 + rctn x x R +x 2 x 2 rcsin x x < e x e x x R sin x cos x x R cos x sin x x R cot x x kπ, k Z sin 2 x tn x x (k + /2)π, k Z cos 2 x sinh x cosh x x R cosh x sinh x x R Beispiele zur Substitutionsegel: () β ( + α bu)n du b 0 : setze x = φ(u) = + bu und f(x) = x n, dnn ist φ (u) = b und β α ( + bu) n du = b = β α ( + bu) n b du = b φ(β) φ(α) b(n + ) (( + bβ)n+ ( + bα) n+ ) x n dx (b) Es sei φ(u) > 0 und stetig differenzierbr uf [, b], dnn gilt für x = φ(u) und f(x) = /x : φ (u) φ(u) du = φ(b) φ() dx x = log φ(b) φ(). (c) r 2 x 2 dx : hier setze mn x = r sin t, dnn ist dx = r cos t dt und r 2 x 2 dx = r 2 ( sin 2 t) r cos t dt = r 2 cos 2 t dt (d) r 2 + x 2 dx : hier setze mn x = r sinh t, dnn ist dx = r cosh t dt und r 2 + x 2 dx = r 2 ( + sinh 2 t) r cosh t dt = r 2 cosh 2 t dt.

7 Stz (Prtielle Integrtion). Seien F, G differenzierbr uf [, b] mit F = f R und G = g R uf [, b]. Dnn gilt : F (x)g(x) dx = F (b)g(b) F ()G() Prtilbruchzerlegung : f(x)g(x) dx. 7 Ist r(x) = p(x) q(x) Gestlt eine rtionle Funktion, wobei der Nenner von der q(x) = c(x x ) r... (x x k ) r k (x 2 + x + b ) s... (x 2 + m x + b m ) sm ist, dnn knn mn durch Koeffizientenvergleich r(x) in der Form r(x) = + A + A 2 x x (x x ) + + A r 2 (x x ) +... r A k + A k2 x x k (x x k ) + + A kr k 2 (x x k ) r k + B x + C x 2 + x + b + + B s x + C s (x 2 + x + b ) +... s + B mx + C m + + B ms m x + C msm x 2 + m x + b m (x 2 + m x + b m ) sm schreiben, und die einzelnen Summnden dnn einfcher integrieren. Uneigentliche Integrle Erweiterung des Riemnn-Integrls uf unendliche Intervlle. Definition. Sei f : [, t] R in R uf [, t] für jedes t >. Konvergiert t f(x) dx gegen I bei t, so sgt mn ds uneigentliche Integrl f(x) dx konvergiert und ht den Wert I : f(x) dx = lim t t f(x) dx = I. Nichtkonvergente Integrle nennt mn divergent. Stz (Cuchy-Kriterium). f(x) dx ist genu dnn konvergent, wenn für jedes ɛ > 0 ein s 0 existiert mit t f(x) dx < ɛ, für lle t > s > s 0. s Stz (Montonie-Kriterium). Sei f 0 uf [, ). Dnn gilt: f(x) dx konvergiert K > 0 mit t f(x) dx K, t >.

8 8 Definition. Ds uneigentliche Integrl f(x) dx heißt bsolut konvergent, wenn ds uneigentliche Integrl f(x) dx konvergiert. Stz. Ein bsolut konvergentes uneigentliches Intgrl ist konvergent und es gilt f(x) dx f(x) dx. Ist f g uf [, ) und konvergiert bsolut konvergent. g(x) dx, dnn ist f(x) dx Definition. Wie oben führt mn die folgenden uneigentlichen Integrle ein: und für ein R : f(x) dx = f(x) dx = lim t t f(x) dx + f(x) dx Integrle und Reihen. Definition. I(x) := 0, x 0 und I(x) :=, x > 0. f(x) dx. Stz. Ist < s < b, ist f beschränkt uf [, b] und stetig n der Stelle s und ist α(x) = I(x s), dnn gilt f dα = f(s). Stz. Sei c n 0 für lle n N und n c n sei konvergent. Ferner sei {s n } eine Folge von verschiedenen Punkten in (, b) und α(x) = c n I(x s n ). Sei f stetig uf [, b]. Dnn gilt n= f dα = c n f(s n ). n= Stz (Integrlkriterium für Reihen). Sei f positiv und monoton fllend uf [m, ). Dnn gilt : k=m f(k) und f(x) dx hben dsselbe m Konvergenzverhlten. Beispiel. k=2 ist genu dnn konvergent, wenn α >. k(log k) α

9 9 Integrle von unbeschränkten Funktionen. Definition. Sei f : [, b) R unbeschränkt (bei t b ). Gilt t f(x) dx J bei t b, so heißt ds uneigentliche Integrl f(x) dx konvergent und ht den Wert J. Wir schreiben uch f(x) dx. Anloges gelte bei der unteren Grenze. Wir schreiben dnn + f(x) dx. Beispiel. 0 dx x 2 = π 2, 0 + log x dx =. Definition. Ist f sowohl bei ls uch bei b unbeschränkt, so setzen wir für ein c (, b) : f(x) dx = c + f(x) dx + c f(x) dx, flls die rechte Seite existiert. Ist f uf [, b] mit Ausnhme eines Punktes c (, b) erklärt und existieren so setzen wir c f(x) dx = f(x) dx und c f(x) dx + c + f(x) dx, c + f(x) dx. Integrtion von vektorwertigen Funktionen Definition. Seien f,..., f k : [, b] R, und f = (f,..., f k ) : [, b] R k. Ist α uf [, b] monoton wchsend, so schreiben wir f R(α), wenn f j R(α) uf [, b] für j =,..., k gilt. In diesem Fll definieren wir ( ) f dα = f dα,..., f k dα. Anlog zum Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung erhlten wir

10 0 Stz. Seien f, F : [, b] R k und f R uf [, b] und gilt F = f. Dnn folgt: f(x) dx = F(b) F(). Mit Hilfe der Cuchy-Schwrz schen Ungleichung beweist mn Stz. Es sei f : [, b] R k und f R(α). Dnn gilt f R(α) und f dα f dα. Rektifizierbre Kurven Definition. Eine stetige Abbildung γ : [, b] R k heißt Kurve in R k mit Prmeterintervll [, b]. Ist γ injektiv, dnn wird γ ein Bogen gennnnt. Gilt γ() = γ(b), dnn heißt γ eine geschlossene Kurve. Eine Kurve ist ls Abbildung definiert, und nicht ls Teilmenge von R k. Verschiedene Kurven können ein und denselben Bildbereich hben. Definition. Sei γ : [, b] R k eine Kurve und P = {x 0,..., x n } eine Prtition von [, b]. Λ(P, γ) = γ(x i ) γ(x i ) ist die Länge des Polygonzuges mit den Ecken γ(x 0 ), γ(x ),..., γ(x n ). Es sei Λ(γ) = sup Λ(P, γ), P wobei ds Supremum über lle Prtitionen P von [, b] genommen wird. Ist Λ(γ) <, so nennt mn γ rektifizierbr. Stz. Ist γ : [, b] R k eine stetig differenzierbre Kurve, dnn ist γ rektifizierbr und es gilt Λ(γ) = γ (t) dt. Beispiel. Sei γ(t) = (cos t, sin t), t [0, 2π]. Es gilt γ (t) = cos 2 t + sin 2 t = und dher Λ(γ) = 2π 0 dt = 2π. Die Abbildung t e it, t [0, 2π) beschreibt genu den Einheitskreis in C.