9.1 Stammfunktionen: das unbestimmte Integral

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1 Kpitel 9 Integrtion 9. Stmmfunktionen: ds unbestimmte Integrl Die Integrtion ist die Umkehrung der Differentition: zu einer gegebenen Funktion f(x sucht mn eine Funktion F (x, deren Ableitung f(x ist. 9.. Definitionen, Grundintegrle Definition 9.: (Stmmfunktion F (x heißt Stmmfunktion einer (hinreichend gltten Funktion f(x, wenn d dxf (x = f(x gilt. Alterntiv nennt mn F (x uch ds unbestimmte Integrl über f(x und benutzt uch die Nottion F (x = f(x dx. Die Funktion f(x unter dem Integrlzeichen wird ls Integrnd bezeichnet. Bemerkung 9.: Stmmfunktionen sind nicht eindeutig bestimmt. D die Ableitung einer konstnten Funktion überll 0 ist, knn mn zu einer Stmmfunktion eine beliebige Konstnte hinzuddieren, wobei mn eine neue Stmmfunktion erhält. Andererseits, ht f(x keine Singulritäten (Polstellen etc., so sind Stmmfunktionen stetig und die Differenz zweier stetiger Stmmfunktionen ist immer eine Konstnte. Beispiel 9.3: Zu f(x = x sind F (x = x und F (x = x + 7 Stmmfunktionen. Die beliebige dditive Konstnte in Stmmfunktionen (die Integrtionskonstnte wird folgendermßen usgedrückt: x dx = x + c. Dmit ist gemeint: f(x dx stellt die Klsse ller Stmmfunktionen dr (d.h., in der Schreibweise f(x dx steckt die dditive Konstnte sozusgen im -Symbol und 37

2 38 KAPITEL 9. INTEGRATION brucht nicht explizit hingeschrieben zu werden. Sobld ds Integrlzeichen durch einen konkreten Repräsentnten dieser Klsse (hier x ersetzt wird, schreiben wir die beliebige dditive Konstnte explizit dzu. Bemerkung 9.4: Mit dieser Konvention gilt trivilerweise für jede differenzierbre Funktion F (x: F (x dx = F (x + c. Grundintegrle 9.5: Aus der in Stz 6.6 gegebenen (kleinen Liste von Ableitungen erhält mn eine (kleine Liste von Stmmfunktionen für die einfchen Grundfunktionen: x n dx = xn+ + c, (n 0 n + dx = ln( x + c, (Beispiel 6.8 x e x dx = e x + c, sin(x dx = cos(x + c, cos(x dx = sin(x + c. Beispiel 9.6: In MuPAD ist die Funktion int (engl.: integrte für die Integrtion zuständig. Für die Integrtionskonstnte wird dbei vom System utomtisch ein besonders einfcher Wert gewählt: >> int(cos(x, x sin(x >> int(x*sin(x*exp(x, x cos(x exp(x x cos(x exp(x x sin(x exp(x

3 9.. STAMMFUNKTIONEN: DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 39 Für us den einfchen Grundfunktionen ufgebute Funktionen würde mn gern per Rechenregeln die Integrtion komplizierter Funktionen uf die Integrtion einfcher Funktionen zurückführen. Leider ist ds nicht so einfch. In der Tt entspricht jeder Rechenregel der Differentition (Stz 6.6, Stz 6. eine Regel für s Integrieren. Die sich ergebenden Regeln sind ber nicht so, dss mn dmit utomtisch lle Integrtionen uf Grundintegrle zurückführen knn. Zunächst die einfchsten Regeln: Stz 9.7: (Summenregel Für beliebige Konstnten, b und Funktionen f(x, g(x gilt ( f(x + b g(x dx = f(x dx + b g(x dx. Ds ist durch Differenzieren beider Seiten dieser Gleichung unmittelbr klr. Merke: Konstnte Fktoren können stets us dem Integrlzeichen herusgezogen werden. Ds Integrl einer Summe ist die Summe der Integrle. Beispiel 9.8: ( e x + dx = x e x dx + x dx = e x + c + x dx = e x + c + x c = e x + x = e x + x + c = e x + x + c. + c + c c Hierbei wurden die einzelnen Integrtionskonstnten c, c zu einer neuen beliebigen Konstnten c = c + c zusmmengefsst. 9.. Prtielle Integrtion Aus der Produktregel d ( f(x g(x dx = f (x g(x + f(x g (x der Differentition gewinnt mn durch Integrtion f(x g(x + c = f (x g(x dx + f(x g (x dx. Diese Gleichung liefert eine Integrtionsregel, die mn prtielle Integrtion nennt:

4 40 KAPITEL 9. INTEGRATION Stz 9.9: (Prtielle Integrtion f(x g (x dx = f(x g(x f (x g(x dx. Bemerkung 9.0: Diese Regel ist in folgender Sitution nwendbr: Der Integrnd muss ds Produkt zweier Funktionen sein. Von einem Fktor (g (x muss mn die Stmmfunktion g(x kennen. Ein Integrl (über f(x g (x wird in ein nderes Integrl (über f (x g(x überführt, es verbleibt lso die Aufgbe, eine Stmmfunktion zu finden. Allerdings ist mnchml ds Produkt f (x g(x einfcher zu integrieren ls ds Ausgngsprodukt f(x g (x: Sinnvoll ist prtielle Integrtion meist, wenn die Ableitung f (x einfcher ist ls f(x und g(x nicht wesentlich komplizierter ls g (x. Beispiel 9.: Im Integrl x ln(x dx ist f(x = ln(x eine unngenehme Funktion, während f (x = x ls rtionle Funktion wesentlich ngenehmer ist: x ln(x g (x f(x dx = ln(x f(x x g(x x f (x x g(x dx Probe: = ln(x x x x dx = ln(x x 4 + c. d ( ln(x x dx x 4 + c = x x + ln(x x x = ln(x x. Es gibt keine llgemeine Regel, ws einfch und ws kompliziert ist. Im obigen Fll wr f (x = x einfcher ls f(x = ln(x. Im folgenden Beispiel ist f(x = x kompliziert, zumindestens komplizierter ls f (x = : Beispiel 9.: x f(x = x e x e x dx = g (x x f(x e x g(x f (x e x dx g(x e x dx = x e x e x + c = (x e x + c.

5 9.. STAMMFUNKTIONEN: DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 4 Mnchml brucht mn einfch Erfhrung um zu sehen, dss prtielle Integrtion hilfreich ist: Beispiel 9.3: sin(x dx = sin(x f(x sin(x g (x dx = sin(x ( cos(x f(x g(x = sin(x cos(x + cos(x dx. cos(x f (x ( cos(x dx g(x Ds wr bislng nicht sehr erfolgreich: sin(x dx wurde durch cos(x dx usgedrückt. Allerdings gilt sin(x +cos(x =, sodss ds verbleibende Integrl wiederum durch ds Ausgngsintegrl usgedrückt werden knn: cos(x dx = dx sin(x dx = x sin(x dx. Dies liefert eine Gleichung für sin(x dx: sin(x dx = sin(x cos(x + cos(x dx = sin(x cos(x + x sin(x dx sin(x dx = x sin(x cos(x + c sin(x dx = ( x sin(x cos(x + c (mit einer neuen Integrtionskonstnte c = c/ Substitution Aus der Kettenregel der Differentition (mit y = g(x d ( d ( d dx F (g(x = dy F (y dx g(x = F (g(x g (x gewinnt mn durch Integrtion F (g(x + c = F (g(x g (x dx. Diese Gleichung liefert mit f = F eine Integrtionsregel, die mn Integrtion durch Substitution nennt: Stz 9.4: (Substitution Sei F (y eine Stmmfunktion von f(y. Mit y = g(x gilt f(g(x g (x dx = f(y dy = F (y + c = F (g(x + c. dy

6 4 KAPITEL 9. INTEGRATION Hierbei läuft die Substitution uf Folgendes hinus. Aus y = g(x folgt dy dx = g (x, lso forml dy = g (x dx. Eine Substitution bietet sich uf jeden Fll n, wenn der Integrnd einen Fktor g (x enthält, der die Ableitung eines Teilusdrucks g(x im nderen Fktor ist: Beispiel 9.5: In cos(x e sin(x dx bietet es sich n, y = g(x = sin(x zu substituieren, denn die Ableitung g (x = cos(x tucht ls Fktor im Integrnden uf. Es ergibt sich cos(x e sin(x dx = y=g(x {}}{ e sin(x cos(x dx = g (x dx=dy e y dy = e y + c = e sin(x + c. Beispiel 9.6: Wir kennen y dy = ln( y. Wie steht es mit x+b dx? Dies ist ein Fll für die Substitution. Wir setzen y = g(x = x + b (lso dy = dx und erweitern mit, sodss dx = dx = dy uftucht: x + b dx = dy x + b {}}{ dx = g (x y dy = ln( y + c = ln( x + b + c. Beispiel 9.7: In g (x g(x dx bietet sich die Substitution y = g(x n: g (x g(x dx = dy = ln( y + c = ln( g(x + c. y Bemerkung 9.8: Es bietet sich llgemein n, eine Substitution y = g(x in einem Integrl h(x dx technisch folgendermßen durchzuführen: Setze y = g(x und berechne die Ableitung dy dx = g (x. Forml gilt dy = g (x dx. dy g (x Ersetze dx durch jedes x durch y us.. Drücke im neuen Integrnden h(x dx = h(x g (x dy

7 9.. STAMMFUNKTIONEN: DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 43 Es entsteht ein Ausdruck h(x dx = h(x(y g (x(y f(y dy = f(y dy. Versuche, eine Stmmfunktion F (y = f(y dy zu finden. Rücksubstitution : Setze y = g(x in F (y ein. Die gesuchte Stmmfunktion des ursprünglichen Ausdrucks ist F (g(x. Mnchml ist es nicht offensichtlich, ws mn substituieren sollte. Hier hilft nur Erfhrung oder ein guter Hinweis: Beispiel 9.9: Substituiere y = x, dy dx = x ( dy = x dx in x e x dx = y e y x dy = y e y dy. dx Ds verbleibende Integrl in y knn durch zweifche prtielle Integrtion gelöst werden: y e y dy = y e y y e y dy f(y g (y f(y g(y f (y g(y = y e y 4 y F (y e y G (y dy = y e y 4 y F (y e y = y e y 4 y e y + 4 e y + c. G(y +4 Rücksubstitution y = x liefert letztlich: x e x dx = x e x 4 x e x + 4 e x + c. F (y e y G(y dy 9..4 Rtionle Integrnden: Prtilbruchzerlegung Rtionle Integrnden lssen sich über die Technik der Prtilbruchzerlegung immer so umformulieren, dss mn eine Stmmfunktion bestimmen knn. Hier der Spezilfll, wenn ds Nennerpolynom nur einfche Nullstellen ht:

8 44 KAPITEL 9. INTEGRATION Stz 9.0: (Prtilbruchzerlegung Betrchte f(x = p(x q(x mit Polynomen p(x und q(x, wobei grd(p(x < grd(q(x gelte. Ht ds Nennerpolynom q(x nur einfche Nullstellen x,..., x n, so gibt es Konstnten c,..., c n, sodss p(x q(x = c + + c n. x x x x n Dmit folgt dnn p(x q(x dx = c ln( x x + + c n ln( x x n + c. Beispiel 9.: Die technische Durchführung geschieht folgendermßen: Anstz: 3 x + 4 (x (x + = c x + c x +. Bringe die rechte Seite uf den Huptnenner: 3 Ordne den Zähler nch Potenzen von x: 4 Der Anstz lutet nun: c x + c x + = c (x + + c (x (x (x + c (x + + c (x (x (x + = (c + c x + ( c c. (x (x + 3 x + 4 (x (x + = (c + c x + ( c c. (x (x + Die Nenner stimmen nch Konstruktion überein. Es verbleibt, die Konstnten c, c so zu bestimmen, dss uch die Zähler für lle x übereinstimmen. Vergleiche dzu im Zähler die Koeffizienten vor jeder x-potenz: 3 = c + c, 4 = c c. 4 Löse ds entstndene linere Gleichungssystem für die unbeknnten Koeffizienten: c = 7 3, c = 3. Ergebnis: 3 x + 4 ( 7 (x (x + dx = 3 x + 3 dx = 7 x + 3 ln( x + 3 ln( x + + c.

9 9.. STAMMFUNKTIONEN: DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 45 Beispiel 9.: In MuPAD ist die Funktion prtfrc (engl.: prtil frction für die Prtilbruchzerlegung zuständig: >> prtfrc((3*x + 4 / ((x - *(x +, x (x - 3 (x + Bemerkung 9.3: Die Prtilbruchzerlegung hben wir schon früher beim Summieren rtionler Ausdrücke kennengelernt: siehe Beispiel 3.3. Bemerkung 9.4: Ht mn einen rtionlen Integrnden p(x q(x, bei dem der Grd des Zählerpolynoms nicht kleiner ist ls der Grd des Nennerpolynoms (dies wird in Stz 9.0 vorusgesetzt, so ist dies uch kein Problem. Durch Polynomdivision knn mn einen polynomilen Anteil bsplten, z.b.: x 3 + x + x = x + + x + 3 x. Die Division wird dbei wie mit Zhlen durchgeführt (mn zieht sukzessiv den führenden Term durch ein geeignetes Vielfches des Nenners b: x 3 + x + : x = x + x 3 x x + x + x x + 3 (der Rest Der verbleibende Rest knn durch Prtilbruchzerlegung dditiv zerlegt werden, ds Ergebnis ist: >> prtfrc((*x^3 + x^ + /(x^ -, x Es folgt x 3 + x + 5 x (x - (x + (x dx = ( x x dx x + Probe mit MuPAD: = x + x + 5 ln( x ln( x + + c.

10 46 KAPITEL 9. INTEGRATION >> int((*x^3 + x^ + /(x^ -, x 5 ln(x - ln(x + x + x (MuPAD verzichtet druf, innerhlb des ln Betrgszeichen einzutrgen, denn MuPAD knn mit komplexen Zhlen umgehen. Für positives x gilt ln( x = π +ln(x, d.h., ln( x und ln(x stimmen bis uf eine dditive (komplexe Konstnte überein. Diese knn in die Integrtionskonstnte bsorbiert werden. Bemerkung 9.5: Für die Prtilbruchzerlegung brucht mn die Fktorisierung q(x = (x x (x x n des Nennerpolynoms, d.h., mn muss die Nullstellen x,..., x n von q(x finden Ds bestimmte Integrl Die grundsätzliche Idee des Integrls ist geometrischer Ntur: Berechne die Fläche unter einem Funktionsgrphen f(t. Betrchte für die folgende Motivtion positive Funktionen f(t. Zerlege ein Intervll [, b] uf der t-achse in n Teilintervlle [t i, t i+ ]. Dnn pproximiere den Flächeninhlt durch die Flächen der durch die Punkte (t i, 0, (t i, f(t i, (t i, f(t i, (t i, 0 gegebenen Rechtecke (mit der Breite b n : f(t = t 0 t t... t i t i b n... t n = b Die Summe der n Rechteckflächen ist b n n f(t i. Im Grenzwert n i=0 liefert dies die Fläche unter dem Grphen. t

11 9.. DAS BESTIMMTE INTEGRAL 47 Um zu einem mthemtisch suberen Begriff zu kommen, sollte mn die Approximtion der Fläche durch Summen von Rechteckflächen nicht nur uf äquidistnte Zerlegungen des Integrtionsintervlls einschränken. Stttdessen betrchtet mn beliebige Zerlegungen in Teilintervlle, deren Feinheit letztlich gegen 0 streben soll. Definition 9.6: (Prtition eines Intervlls Eine Prtition P = {t 0, t,..., t n } eines endlichen Intervlls [, b] R ist eine monoton ngeordnete Menge von Zwischenpunkten = t 0 < t <... < t n < t n = b. Die Feinheit der Prtition ist δ(p = mx i=..n (t i t i. Sttt der in der obigen Motivtion betrchteten Summtion über Auswertungen der Funktion f n den Zwischenpunkten t i betrchtet mn Abschätzungen nch oben und unten: Definition 9.7: (Ober- und Untersummen Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion, sei P = {t 0, t,..., t n } eine Prtition des Intervlls [, b]. Definiere n U f,p = (t i t i inf f(t ( Untersumme, t i t t i O f,p = i= n i= (t i t i sup t i t t i f(t ( Obersumme. Bemerkung 9.8: Für jede Prtition P eines gegebenen Intervlls gilt offensichtlich U f,p O f,p. b Eine Prtition P = { t 0,..., tñ} heißt Verfeinerung von P = {t 0,..., t n }, wenn P P gilt (d.h., P besteht us den Gitterpunkten von P plus weiteren Gitterpunkten. c Für eine Verfeinerung P von P gilt offensichtlich U f,p U f, P und O f, P O f,p, denn z.b. gilt für die Summnden der Obersummen: (t i t j sup f(t t j t t i + ( t j t i sup (t i t j sup f(t t i t t i + ( t j t i sup = (t i t i sup f(t, t i t t i t i t t j f(t t i t t i f(t

12 48 KAPITEL 9. INTEGRATION wo t i, t i gemeinsme Gitterpunkte von P und P sind und t j ein zusätzlicher Gitterpunkt von P zwischen t i und t i ist. d Insgesmt folgt hierus: für jedes Pärchen P, P von Prtitionen gilt U f,p O f,p, denn mit der Verfeinerung P = P P gilt U f,p U f,p O f,p O f,p. Die Untersummen sind dmit durch die Obersummen beliebiger (nderer Prtitionen nch oben beschränkt, die Obersummen sind durch die Untersummen beliebiger (nderer Prtitionen nch unten beschränkt. Dmit existieren sup { U f,p ; P ist Prtition von [, b] } inf { O f,p ; P ist Prtition von [, b] }. Definition 9.9: (Ds bestimmte Integrl Eine beschränkte Funktion f : [, b] R heißt Riemnn-integrierbr, wenn es zu jedem ɛ > 0 eine Prtition P des Intervlls [, b] gibt mit O f,p U f,p ɛ. In diesem Fll gilt { } sup U f,p ; P ist Prtition von [, b] = inf { } O f,p ; P ist Prtition von [, b]. Dieser Wert wird dnn ds bestimmte (Riemnn-Integrl von f gennnt: b f(t dt := sup {U f,p ; P ist Prtition von [, b]} Die Funktion f(t heißt Integrnd. = inf {O f,p ; P ist Prtition von [, b]}. Diese Definition ls (bstrktes Supremum von Untersummen/Infimum von Obersummen über lle Prtitionen ist wenig konstruktiv. Der folgende Stz besgt, dss dieses Supremum/Infimum speziell von den Prtitionen mit Feinheiten erzeugt werden, die gegen 0 konvergieren: Stz 9.30: (Ds Integrl über Prtitionen mit gegen 0 konvergierender Feinheit Sei f : [, b] R beschränkt und Riemnn-integrierbr. Dnn gilt für jede Folge P n von Prtitionen, deren Feinheit δ(p n gegen Null konvergiert: b f(t dt = lim n O f,p n = lim n U f,p n.

13 9.. DAS BESTIMMTE INTEGRAL 49 Beweis: (für technisch Interessierte Vorüberlegung: Zu zwei Prtitionen P und P betrchten wir die Verfeinerung P P. Sei P die Anzhl der Zerlegungspunkte von P. Seien I k die von der Zerlegung P erzeugten Teilintervlle von [, b], in deren Innerem Punkte us P liegen (diese sind die Teilintervlle von P, die durch die Verfeinerung mittels P weiter zerlegt werden. Jedes dieser Intervlle I k ht mximl die Länge δ(p, wo δ(p die Feinheit von P ist. Insgesmt knn es mximl P solcher Intervlle I k geben. Also gilt für die Summe der Intervlllängen I k : k I k P δ(p. Sei K f eine Schrnke für den Integrnden f, lso f(t K f für lle t [, b]. Es folgt für beliebige Zerlegungen P, P : O f,p O f,p P k K f I k K f P δ(p, Ende der Vorüberlegung. U f,p P U f,p k K f I k K f P δ(p. Sei nun ɛ > 0 gegeben. Wird f ls Riemnn-integrierbr vorusgesetzt, gibt es eine Prtition P mit O f,p U f,p ɛ. Nch der obigen Vorüberlegung gilt O f,p U f,p {}}{ O f,pn U f,pn = O f,pn O f,p Pn + O f,p Pn U f,p Pn + U f,p Pn U f,pn K f P δ(p n + ɛ + K f P δ(p n. D die Feinheiten δ(p n gegen 0 konvergieren, gibt es (bei fixiertem P ein n 0, so dss K f P δ(p n ɛ für lle n n 0 gilt, lso ɛ O f,pn U f,pn ɛ + ɛ + ɛ = 3 ɛ. Also folgt O f,pn U f,pn 0 für n. Hierus folgt unmittelbr: O f,pn b f(t dt O f,pn U f,pn n 0, b f(t dt U f,pn O f,pn U f,pn n 0. Q.E.D.

14 50 KAPITEL 9. INTEGRATION Bemerkung 9.3: Gilt für irgendeine Zerlegungsfolge P n von [, b] lim O f,p n n = lim U f,p n n, so folgt hierus bereits die Riemnn-Integrierbrkeit von f gemäß Definition 9.9, denn lim n (O f,pn U f,pn = 0, d.h., zu jedem ɛ > 0 gibt eine Prtition P n mit O f,pn U f,pn ɛ. Stz 9.3: (Integrbilitätskriterium Eine beschränkte Funktion f : [, b] R mit höchstens endlich vielen Unstetigkeitspunkten in [, b] ist Riemnn-integrierbr über [, b]. Beweisskizze: (technisch Wir betrchten zunächst den Fll, dss f keinen Unstetigkeitspunkt in [, b] ht. Mn knn zeigen, dss eine stetige Funktion uf einem bgeschlossenen Intervll [, b] gleichmäßig stetig ist, d.h., zu jedem ɛ > 0 gibt es ein δ > 0 mit f(x f(y ɛ für lle x, y [, b] mit x y δ. Wähle n so, dss (b /n δ gilt. Für die äquidistnte Prtition P n = {t 0,..., t n } mit t i = + (b i n gilt dnn O f,pn U f,pn = n (t i t i mx{f(x f(y; x, y [t i, t i ]} i= n i= b n ɛ = (b ɛ. Nch Definition 9.9 ist f dmit Riemnn-integrierbr. Betrchte nun den Fll, dss es einen Unstetigkeitspunkt x von f in [, b] gibt. Zerlege [, b] in die drei Teilintervlle [, x n ], [x n, x + n ], [x + n, b]. Für die Teilintervlle [, x n ] und [x + n, b], uf denen f stetig ist, läßt sich nlog zu den obigen Überlegungen die Differenz zwischen Ober- und Untersumme beliebig klein mchen, indem mn diese Teilintervlle hinreichend fein äquidistnt zerlegt. Für den Beitrg des Intervlls [x n, x + n ] gilt mit f(t K: sup {f(t; t [x n, x + } n ] inf {f(t; t [x n, x + } n ] 4 K n. Dieser Beitrg zur Differenz zwischen Ober- und Untersumme ist ebenflls beliebig klein zu mchen, in dem mn n hinreichend gross wählt. Nch Definition 9.9 ist f dmit Riemnn-integrierbr. Allgemeiner: Die Funktion f hbe N Unstetigkeitspunkte. Zerlege [, b] in kleine Teilintervlle der Länge n um die Unstetigkeitspunkte herum, zerlege den Rest des Intervlls äquidistnt. Anlog zu oben ist die Differenz zwischen Ober- und

15 9.. DAS BESTIMMTE INTEGRAL 5 Untersumme beliebig klein zu mchen, in dem mn einerseits n hinreichend gross wählt und ndererseits den Rest des Intervlls hinreichend fein unterteilt. Q.E.D. Bemerkung 9.33: Mn knn für integrierbres f ds Integrl ls Grenzwert spezieller Riemnn-Summen bekommen, indem mn ds Intervll [, b] speziell äquidistnt unterteilt: b n b f(t dt = lim n n i=0 f(t (n i, t (n i = + i (b. n Beweis: Für die äquidistnten Zerlegungen P n = {t (n 0,..., t(n n } mit den obigen Zwischenstellen t (n i gilt mit R f,pn = b n n f(t (n i i=0 offensichtlich U f,pn R f,pn O f,pn. Nch Stz 9.30 gilt und dmit uch b f(t dt = lim n O f,p n = lim n U f,p n b f(t dt = lim n R f,p n. Q.E.D. Definition 9.9 und uch die Konstruktionen nch Stz 9.30 oder uch Bemerkung 9.33 sind zur konkreten Berechnung des Integrls völlig ungeeignet. Die wirkliche Berechnung geschieht über Stmmfunktionen von f(t, sobld der Zusmmenhng zwischen dem bestimmten Integrl und dem unbestimmten Integrl geklärt ist (nächster Abschnitt. Bemerkung 9.34: Ds bestimmte Integrl knn uch negtive Werte nnehmen (z.b., wenn überll f(t < 0 gilt. Die Interprettion ls Fläche unter dem Grphen gilt nur für positive Funktionen. Aus der Drstellung in Bemerkung 9.33 ergibt sich z.b., dss ds Integrl negtiv ist, wenn überll f(t < 0 gilt...03

16 5 KAPITEL 9. INTEGRATION Bemerkung 9.35: Aus der Drstellung 9.33 des Integrls ls Grenzwert von Riemnn-Summen R f,pn folgen unmittelbr einige elementre Eigenschften des Integrls: Linerität: b b Monotonie: (α f(t + β g(t dt = α b wenn f(t g(t gilt t [, b], b f(t dt f(t dt + β b c Ist f integrierbr, so uch f und es gilt: b g(t dt, b b f(t dt f(t dt. g(t dt, α, β R, Zu c: Die Integrierbrkeit von f folgt unmittelbr durch die umgekehrte Dreiecksungleichung O f,p U f,p = ( sup{ f(t, t [t i, t i ]} inf{ f(t, t [t i, t i ]} (t i t i = ( sup{ f(x f(y, x, y [t i, t i ]} (t i t i ( sup{ f(x f(y, x, y [t i, t i ]} (t i t i = O f,p U f,p mittels Definition 9.9 us der Integrierbrkeit von f. Die Abschätzung b b f(t dt f(t dt ergibt sich dnn us der Dreiecksungleichung ngewendet uf die Riemnn- Summen us Bemerkung Stz 9.36: (Der Mittelwertstz der Integrlrechnung Ist f : [, b] R stetig uf [, b], so gibt es einen Punkt ξ (, b mit b f(t dt = f(ξ (b.

17 9.. DAS BESTIMMTE INTEGRAL 53 Beweis: Sei m = min{f(t; t [, b]}, M = mx{f(t; t [, b]} (für stetige Funktionen werden uf einem bgeschlossenen Intervll nch Stz 4.5 n gewissen Stellen t min bzw. t mx Minimum bzw. Mximum ngenommen. Nch Bemerkung 9.35.b gilt lso m (b = b m dt b m b f(t dt b b f(t dt M. M dt = M (b, Nch dem Zwischenwertstz 4. ngewendet uf ds Intervll zwischen t min und t mx nimmt f lle Werte zwischen m und M n, d.h., es gibt ein ξ (zwischen t min und t mx mit f(ξ = b b f(t dt. Q.E.D. Bestimmte Integrle können dditiv zerlegt werden. Mn stelle sich dzu eine positive Funktion f(t vor, d.h., ds Integrl von bis b ist die Fläche unter dem Grphen von t = bis t = b. Diese Fläche setzt sich zusmmen us der Fläche unter dem Grphen von t = bis t = c und der Fläche von t = c bis t = b, wobei der Zerlegungspunkt c beliebig gewählt werden knn: Stz 9.37: (Zerlegung bestimmter Integrle Für beliebiges, b, c gilt: c f(t dt + b c f(t dt = b f(t dt. Beweisskizze: Zerlegungen von [, c] und [c, b] lssen sich offensichtlich zu einer Zerlegung des Gesmtintervlls [, b] zusmmensetzen. Eine Riemnn-Summe für c zusmmen mit einer Riemnn-Summe für b c ergibt eine Riemnn-Summe für b. Q.E.D. Konvention 9.38: Wir setzen womit wir in b b f(t dt = b f(t dt, f(t dt nun uch b < zulssen können. Speziell gilt f(t dt = f(t dt = 0.

18 54 KAPITEL 9. INTEGRATION Mit dieser Konvention gilt Stz 9.37 uch für Zerlegungspunkte c, die ußerhlb des Intervlls [, b] liegen. Bemerkung 9.39: In MuPAD ist die Funktion int sowohl für bestimmte ls uch für unbestimmte Integrle zuständig: >> int(exp(-*x, x exp(x >> int(exp(-*t, t = 0..5 / exp(5 >> flot(% Bemerkung 9.40: Mn bechte, dss ds unbestimmte Integrl f(x dx eine Funktion in x ist, während ds bestimmte Integrl b f(t dt für konkrete Zhlenwerte, b einen Zhlenwert drstellt. Diesen knn mn numerisch pproximieren, indem mn z.b. die in der Bemerkung 9.33 gegebene Summe für großes n usrechnet. Alterntiv zur Riemnn-Summe b f(t dt b n n i=0 ( f + i b n ist es günstiger, stttdessen die Trpez-Summe ( b f(t dt b n f( ( + f n zu berechnen, die sich mit t i = + i b n i= b n uch ls n b n f(t i + f(t i+ i=0 n ( f + i b n i= + i b n + f(b schreiben lässt. Hierbei ist b n f(t i+f(t i+ die Fläche des durch die 4 Punkte (t i, 0, (t i, f(t i, (t i+, f(t i+, (t i+, 0

19 9.3. DER HAUPTSATZ 55 definierten Trpezes (d.h., die Fläche unter dem Grphen von f(t wird nicht durch Rechtecke, sondern durch Trpeze ngenähert. f(t f(ti+ f(t i Trpezfläche t i t i+ t Bemerkung 9.4: In MuPAD ist die Funktion numeric::int für die numerische Berechnung von bestimmten Integrlen zuständig. Sie rbeitet uch dnn, wenn der symbolische Integrtor kein Ergebnis liefert (weil er keine Stmmfunktion findet: >> int(exp(sqrt(t*sqrt(t, t = 0..0 / / int(t exp(t, t = 0..0 >> numeric::int(exp(sqrt(t*sqrt(t, t = Der Huptstz: Zusmmenhng zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integrl Es verbleibt ds Problem, wie mn effektiv bestimmte Integrle b f(t dt ohne den grstigen Grenzwert von Riemnn Summen berechnen knn. Hier kommt die wesentliche Beobchtung ins Spiel, dss mn mit unbestimmten Integrlen (Stmmfunktionen bestimmte Integrle usrechnen knn. Stz 9.4: (Der Huptstz der Differentil und Integrlrechnung, Version Betrchte F (x = x f(t dt. Für stetiges f ist F differenzierbr, und es gilt d dx F (x = f(x,

20 56 KAPITEL 9. INTEGRATION d.h., F (x ist eine Stmmfunktion von f(x. Beweis: Es gilt F = F (x + h F (x = x+h Nch dem Mittelwertstz 9.36 gilt f(t dt F = f(ξ h x f(t dt (9.37 = mit einem Zwischenwert ξ zwischen x und x + h. Dmit gilt x+h x f(t dt. d dx F F (x = lim h 0 h = lim f(ξ = f(x, h 0 d für h 0 der Zwischenwert ξ zwischen x und x + h gegen x streben muss. Q.E.D. Bemerkung 9.43: Stmmfunktionen sind nur bis uf dditive Konstnten bestimmt. Dies wird in der Drstellung einer Stmmfunktion über F (x = x f(t dt ddurch deutlich, dss die untere Grenze beliebig wählbr ist. Die Konstnte ist hier durch die Bedingung F ( = f(t dt = 0 festgelegt. Bei unterschiedlicher Whl der unteren Grenze ist die Differenz der entsprechenden Stmmfunktionen in der Tt eine Konstnte: (9.37 = x x F (x F (x = f(t dt f(t dt x x f(t dt + f(t dt f(t dt = f(t dt. } {{} unbhängig von x ( Bestimmte Integrle sind lso Stmmfunktionen, wenn mn sie ls Funktion der oberen Grenze uffsst. Umgekehrt, kennt mn ein Stmmfunktion, so liefert sie ein bestimmtes Integrl, denn lle Stmmfunktionen F (x von f(x unterscheiden sich nur um eine dditive Konstnte, d.h., es muss gelten F (x = x f(t dt = F (x + c. Es verbleibt nur, die Integrtionskonstnte c zu identifizieren. Für x = folgt lso 0 = f(t dt = F ( + c c = F (, x f(t dt = F (x F (. Dies liefert nun eine effektive Methode, bestimmte Integrle uszurechnen, indem mn sich zunächst eine Stmmfunktion des Integrnden verschfft:

21 9.3. DER HAUPTSATZ 57 Stz 9.44: (Der Huptstz der Differentil und Integrlrechnung, Version Sei F (x eine beliebige stetige Stmmfunktion von f(x. Dnn gilt b f(t dt = F (b F (. Die dditive Konstnte der Stmmfunktion fällt dbei bei Differenzbildung herus. Bemerkung 9.45: Mn bechte die Vorussetzung, dss die Stmmfunktion F (x stetig zu sein ht! Bei unstetigen Stmmfunktionen (flls der Integrnd eine Singulrität ht, muss mn vorsichtig sein! Gegenbeispiel: Zum Integrnden f(t = /t gehört die Stmmfunktion F (x = ln( x, die jedoch m Nullpunkt unstetig ist. In der Tt: dx x ln( ln( = ln(. (Ds Integrl dx x existiert gr nicht. Beispiel 9.46: Zur Berechnung von ln(t dt berechnet mn zunächst eine Stmmfunktion von ln(x. Anlog zu Beispiel 9. ergibt sich durch prtielle Integrtion: ln(x dx = ln(x dx = ln(x x x x dx f(x g (x f(x g(x g(x f (x = x ln(x dx = x ln(x x + c. Mit der Stmmfunktion F (x = x ln(x x + c ergibt sich ds bestimmte Integrl ln(t dt = F ( F ( = ( ( ln( + c ln( + c = ln(. Bemerkung 9.47: Aus dem Zusmmenhng mit dem unbestimmten Integrl folgt sofort, dss die Rechenregeln us Abschnitt 9. uch für bestimmte Integrle gelten, z.b. (Stz 9.7: b ( c f (t + c f (t dt = c b Prtielle Integrtion gilt in der folgenden Form: f (t dt + c b f (t dt.

22 58 KAPITEL 9. INTEGRATION wobei b f(t g (t dt = [ ] t=b f(t g(t t= b [ ] t=b f(t g(t ls Abkürzung für t= [ ] t=b f(t g(t = f(b g(b f( g( t= dient. Substitution gilt in der folgenden Form: b f(g(t g (t dt = g(b g( f(y dy. f (t g(t dt, Beispiel 9.48: Prtielle Integrtion: 0 t f(t [ cos(t dt = g (t = t f(t ] t= sin(t t=0 0 g(t [ ] t= [ ] t= t sin(t cos(t t=0 t=0 f (t sin(t dt g(t = sin( 0 sin(0 + cos( cos(0 = sin( + cos(. Beispiel 9.49: Substitution y = t, dy = t dt: π 0 t cos(t dt = π 0 cos(t } {{ t dt } = dy π = [ ] y=π sin(y = ( y=0 sin(π sin(0 = 0. 0 cos(y dy Mn bechte hierbei, wie sich im Substitutionsschritt die Grenzen ändern: Für t = 0 folgt y = t = 0, für t = π folgt y = t = π. 9.4 Uneigentliche Integrle Bestimmte Integrle b f(t dt sind zunächst nur für endliche Intervlle [, b] definiert. Wir erweitern die Definition:

23 9.4. UNEIGENTLICHE INTEGRALE 59 Definition 9.50: (Uneigentliche Integrle b f(t dt = lim b f(t dt = f(t dt = (flls die Grenzwerte existieren. lim b b lim lim b f(t dt, b f(t dt, f(t dt Beispiel 9.5: 0 e t dt = lim b b 0 [ e t dt = lim e t] t=b = lim b t=0 b ( e b + = lim b e b =. Beispiel 9.5: Substitution y = t, dy dt = t = y, dt = y dy: 0 e t dt = 0 0 e y y dy (9.38 = e y y dy. Mn chte hierbei uf die Trnsformtion der Grenzen: t = 0 entspricht y = t = 0, t = entspricht y = t =. Ds verbleibende Integrl wr bereits in Beispiel 9. gelöst worden: 0 e y y dy = lim [(y e y] y=0 ( = lim Der verbleibende Grenzwert ist 0: lim ( e = ( ( e (b= = lim b lim y= ( ( e. ( ( + b e b ( b + = lim b e b. D mit e b = + b + b + die Exponentilfunktion für b stärker steigt ls jedes Polynom, ist der Grenzwert 0. Endergebnis: 0 e t dt =. Mn geht ähnlich vor, wenn der Integrnd eine Singulrität ht:

24 60 KAPITEL 9. INTEGRATION Definition 9.53: (Uneigentliche Integrle bei singulären Integrnden Ht der Integrnd f(t n der Stelle oder b eine Singulrität, so definiert mn bzw. b b f(t dt = f(t dt = (flls die Grenzwerte existieren. lim ɛ 0+0 b ɛ f(t dt, b lim f(t dt ɛ 0+0 +ɛ Beispiel 9.54: Im folgenden Fll existiert ds uneigentliche Integrl: 0 t dt = lim ɛ 0+0 [ = lim t] t= = ɛ 0+0 t=ɛ ɛ t dt = lim ɛ 0+0 lim ɛ 0+0 [ t ] t= t=ɛ ( ɛ =. Beispiel 9.55: Im folgenden Fll existiert ds uneigentliche Integrl nicht (bzw. ist : 0 t dt = lim ɛ 0+0 ɛ t dt = [ ] t= lim ln(t = ɛ 0+0 t=ɛ ( lim 0 ln(ɛ =. ɛ Die Dircsche Delt-Funktion Physiker und Ingenieure betrchten oft Signle, die kurze ber intensive Impulse zu einem Zeitpunkt t 0 drstellen: 0 für t t 0 < ɛ, Impuls(t t 0 = für ɛ ɛ t t 0 ɛ, 0 für t t 0 > ɛ. Für 0 < ɛ ist dies ein Signl mit der grossen Amplitude /ɛ, ber kurzer Lebensduer ɛ. Die durch Impuls(t t 0 dt

25 9.5. DIE DIRACSCHE DELTA-FUNKTION 6 gegebene Gesmtenergie des Signls ist im obigen Fll. Betrchtet mn den Grenzwert ɛ 0, so ergibt sich punktweise die Grenzfunktion { 0 für t t0, δ(t t 0 = für t = t 0. Wegen des Funktionswerts bei t = t 0 ist dies nicht wirklich ein Funktion von R nch R, sondern eine sogennnte verllgemeinerte Funktion oder uch Distribution. Ihre wesentliche Eigenschft ist: δ(t t 0 dt =. Die Dircsche δ-funktion mcht eigentlich nur unter einem Integrlzeichen Sinn, wo für stetiges f(t ihr Verhlten durch b δ(t t 0 f(t dt = { f(t0 flls t 0 (, b, 0 flls t 0 [, b] definiert wird. (Für t 0 = oder t 0 = b knn mn sich selbst ussuchen, ws ds Ergebnis sein soll. Dieser Grenzfll ist für die Prxis nicht interessnt. Diese Vereinbrung führt zu x { 0 für x < t0, Heviside(x t 0 = δ(t t 0 dt = für x > t 0. Dmit ist die Hevisidesche Sprungfunktion forml die Stmmfunktion der δ- Funktion. Rein forml ergibt dies: die δ-funktion ist die Ableitung der Sprungfunktion: d dx Heviside(x x 0 = δ(x x 0. In vielen physiklischen Anwendungen gibt es Formeln, die Feldgrößen ls Integrl drstellen, z.b. Grvittionspotentil(x = ρ(t x t dt, wo ρ(t eine Mssenverteilung drstellt. Wie stellt mn nun eine Punktmsse m Punkt x 0 dr? Als normle Funktion mit ρ(t = 0 für lle t x 0 würde ds obige Integrl immer 0 ergeben. Mittels ρ(t = Msse δ(t x 0 ergibt sich ds gewünschte Grvitionspotentil Grvittionspotentil(x = ρ(t Msse dt = x t x x 0.

26 6 KAPITEL 9. INTEGRATION Bemerkung 9.56: In MuPAD stehen δ-funktion und Sprungfunktion ls dirc und heviside zur Verfügung: >> int(dirc(t - t0*f(t, t = -infinity.. infinity >> diff(heviside(x - x0, x f(t0 dirc(x - x Einige spezielle Anwendungen Stz 9.57: (logrithmische Divergenz der hrmonischen Reihe n Die Folge ln(n konvergiert monoton fllend gegen k k= einen Grenzwert C (die Eulersche Konstnte : n ln(n + C. k k= Beweis: Sei C n = n k= ln(n. Mit k gilt k+ k dx = ln(k + ln(k x C n > n k= n ln(n + = k = k= n ( k+ k dx = x k= k n+ k x dx = n k= k+ k n k= n k k= k+ k ( k x dx > 0, x dx denn für die monoton fllende Funktion x gilt k x uf dem Intervll [k, k +]. Weiterhin gilt C n C n+ = ( ln(n + ln(n n+ n + = n x dx n +

27 9.6. EINIGE SPEZIELLE ANWENDUNGEN 63 = n+ n ( x dx 0, n + denn es gilt x n+ für x [n, n+]. Dmit ist die Folge (C n monoton fllend und nch unten durch 0 beschränkt. Sie konvergiert lso gegen einen Grenzwert C. Q.E.D. Als weitere Anwendung der Integrtion versuchen wir, relistische Abschätzungen von n! für n zu ermitteln. Zunächst beobchtet mn ln(n! = ln( 3 n = ln(+ln(+ln(3+ +ln(n = n ln(k = Diese Summe lässt sich ls Riemnn Summe interpretieren, die bei n ln(x dx = k= [ ] x=n x (ln(x = n ln(n n + x= n ln(k. nfällt, wenn mn ds Integrtionsintervll [, n] in die n Teilintervlle [, ], [, 3],..., [n, n] zerlegt. Wegen der Monotonie von ln(x gilt lso lso n ln(k k= n n ln(x dx = k= k+ k ln(x dx ln((n! n ln(n n + ln(n!, (n! n n e n+ n!, lso (in der linken Ungleichung wird n durch n + ersetzt: lso n n e n+ n! (n + n+ e n, ( n n ( n + n+. e n! e e e n ln(k, Hiermit ist ds Wchstumsverhlten von n! chrkterisiert. Diese Abschätzung lässt sich jedoch noch wesentlich verfeinern: k= k=

28 64 KAPITEL 9. INTEGRATION Stz 9.58: (Die Stirling Formel Für lle n N gilt folgende Abschätzung von n!: ( n n ( n n π n n! π n e 4 n. e e Für großes n gilt e 4 n = + 4 n +, d.h., ds Verhältnis der oberen Schrnke zur unteren Schrnke ist für großes n dicht bei (d.h., die führenden Stellen der oberen und unteren Schrnke sind gleich und stimmen mit den führenden Stellen von n! überein. Merke: n! ( n n. π n e Diese Stirling-Approximtion für n! ist schon b n = 4 uf etw Prozent genu! Beispiel: n π n ( n e n n! π n ( n e n e 4 n Beweis: (für technisch Interessierte Es ist zu zeigen: n! π n ( n = n! e n n n+ }{{ e n } n Wir zeigen zunächst, dss die Folge n! n = n n+ e n π e 4 n konvergiert. Für die Quotienten ufeinnder folgender Elemente bekommt mn n = ( n+ e + n+ n und dmit ( n ( ln = n + ( ln +. (# n+ n Betrchte die Integrtion der Funktion f(x = /x über dem Intervll [n, n+]:

29 9.6. EINIGE SPEZIELLE ANWENDUNGEN 65 f(x = /x n n + n + Ds Integrl wird nch oben bgeschätzt durch ds Trpez durch die Punkte (n, f(n und (n +, f(n +. Die Trpezfläche ist Breite mittlere Höhe = (f(n + f(n + : n+ n ( x dx = ln(n + ln(n = ln + ( n n +. n + Ds Integrl wird nch unten bgeschätzt durch ds Trpez, dessen obere Knte die Tngente n f(x im Mittelpunkt ist. Die Trpezfläche ist Breite mittlere Höhe = f(n + : n+ n ( x dx = ln(n + ln(n = ln + n n +. Diese Abschätzungen liefern die Ungleichungskette ( n + ln + n lso lso 0 ( n + n + ( n + ( ln + ( n + ( n n +, n + ( n + ( ln + ( n + n = Eingesetzt in (# erhält mn: lso /4 n (n + = ( 4 n. n + ( n 0 ln ( n+ 4 n, n + n n+ e 4 n e 4 (n+., ( n + n +

30 66 KAPITEL 9. INTEGRATION Es folgt e 4 n e 4 (n+ n n+k = n n+ e 4 (n+ e n+ n (n+ = e 4 n e 4 (n+k e 4 n n+k n+k... e 4 (n+k e 4 (n+k für lle k. Für fixiertes n ist die Folge ( n+k (im Folgenindex k dmit monoton fllend und nch unten beschränkt, d.h., es existiert der Grenzwert = lim n+k = lim n, für den gilt: k n n e 4 n n e 4 n. Es verbleibt dmit lediglich, = π zu zeigen. Ds ist wesentlich ufwendiger, und wir verzichten hier druf. Q.E.D.