Theoretische Grundlagen eines schnellen Berechnungsverfahrens für den Kontakt rauer Oberflächen

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1 Theoretische Grundlagen eines schnellen Berechnungsverfahrens für den Kontakt rauer Oberflächen vorgelegt von Dipl.-Ing. Thomas Geike aus Berlin von der Fakultät V Verkehrs- und Maschinensysteme der Technischen Universität Berlin zur Erlangung des akademischen Grades Doktor der Ingenieurwissenschaften (Dr.-Ing.) genehmigte Dissertation Promotionsausschuss Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. Henning Jürgen Meyer Gutachter: Prof. Dr. rer. nat. Valentin Popov Prof. Dr.-Ing. Georg-Peter Ostermeyer Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 21. Dezember 27 Berlin, 28 D83

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3 Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fachgebiet Systemdynamik und Reibungsphysik am Institut für Mechanik der Technischen Universität Berlin. Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. rer. nat. Valentin Popov, der diese Arbeit anregte und mich in all den Jahren hervorragend betreute. Ich danke zudem Herrn Prof. Dr.-Ing. Georg-Peter Ostermeyer, Technische Universität Braunschweig, für seine Tätigkeit als Gutachter und die hilfreichen Gespräche während zahlreicher Workshops und Tagungen. Herrn Prof. Dr.-Ing. Henning Jürgen Meyer danke ich für die Übernahme des Vorsitzes im Prüfungsausschuss. Den Kollegen am Institut für Mechanik danke ich für die gute Zusammenarbeit und das angenehme Arbeitsklima während der vergangenen Jahre. Berlin, September 27 Thomas Geike i

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5 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Kontakt- und Reibungsprobleme Stand der Forschung Bowden und Tabor Greenwood und Williamson Persson Numerische Kontaktmechanik selbstaffiner Oberflächen Zielsetzung Anwendungsbeispiele Elastischer Einzelkontakt Dimensionsproblematik Elastische Energie im 3D-Problem Hertzscher Kontakt D-Modell Änderung des Kappenradius Spannungen und Fließkriterium Innere Spannungen Idee Berechnungen Elastischer Kontakt rauer Oberflächen Charakterisierung rauer Oberflächen Eigenschaften von 1D- und 2D-Oberflächen Vorüberlegungen D-Oberflächen D-Oberflächen Umrechnung der Oberflächentopographie Analytische Überlegungen Numerische Experimente Längenumrechnung Überblick Simulation mit rauen Oberflächen Numerische Aspekte Lösung von Differentialgleichungen Übersicht über Verfahren Beispiel Differentialgleichungen mit Rauschen iii

6 iv INHALTSVERZEICHNIS 4.2 Lösung des statischen Kontaktproblems Numerisch approximierte Jacobimatrix Verwendung der expliziten Jacobimatrix Mehrgitter-Verfahren Adhäsiver Kontakt Fazit Adhäsiver Kontakt Einführung Raue Oberflächen und Adhäsion Adhäsion im 1D-Modell Ein erstes Modell Herleitung des Potentials Steifigkeitsstudie Vorgehen Ergebnisse Modell mit zwei Teilchenfreiheitsgraden Aufbau Ergebnisse Simulation mit rauen Oberflächen Wellige Oberflächen Oberflächen mit festem Kappenradius Geschmierte Kontakte Einführung Klassisches Newton-Fluid Vorüberlegungen Wechselwirkungsgesetz im 2D-Fall Wechselwirkungsgesetz im 1D-Fall Ergebnisse Beispiele für andere Schmiermittel Druckabhängige Viskosität Schmiermittel mit Momentenspannungen Kavitation Zusammenfassung Zusammenfassung und Ausblick Erreichtes Offene Fragen und zukünftige Entwicklungen A Simulationsmethoden 89 A.1 Mehrkörpersysteme A.2 Finite Elemente Methode A.3 Molekulardynamik A.4 Teilchenmethoden A.5 Geschmierte Systeme

7 INHALTSVERZEICHNIS v B Bedeutung der Dimension 99 B.1 3D Kontaktprobleme B.1.1 Analytische Lösungen B.1.2 Simulation mit Randelementen B.2 2D Kontaktprobleme B.2.1 Halbraumlösung B.2.2 DQ-Methode B.2.3 Hierarchisches Modell B.3 2D Problem mit veränderlichem Modul B.4 Adhäsiver Normalkontakt B.5 2D Modelle des 3D Problems B.5.1 Idee B.5.2 Ergebnisse C DQM Scheibenproblem 117 C.1 Gleichungen und Diskretisierung C.2 Einfluss des Gitters D Winklerbettung 121 D.1 Isotropes Material D.2 Anisotropes Material E Oberflächengenerierung 125 E.1 Oberflächenerzeugung 1D E.2 2D Oberfläche F Kontaktformulierung mittels LCP 131

8 vi INHALTSVERZEICHNIS

9 Kapitel 1 Einführung 1.1 Kontaktmechanik und Reibungsphysik Bedeutung, Anwendungen, Probleme Die Bestimmung des Reibungsgesetzes für trockene Reibung als Funktion der Material- und Lastparameter bleibt nach wie vor ein aktuelles und ungelöstes tribologisches Problem. Obwohl wichtige Gesetze der trockenen Reibung, (1) Reibungskraft ist proportional zur Normalkraft, (2) Reibungskraft ist unabhängig von der scheinbaren Kontaktfläche und (3) kinetische Reibungskraft ist nahezu unabhängig von der Gleitgeschwindigkeit, schon seit langem bekannt sind, scheint es so, als ob trockene Reibung zu den am wenigsten verstandenen Gebieten der Technik gehört 1. Reibung wird mittlerweile von vielen Autoren als dynamischer Prozess aufgefasst. Die Formulierung eines geeigneten Modells der Reibungsprozesse setzt Kenntnisse bezüglich der charakteristischen Skalen und der physikalischen Natur der relevanten Prozesse voraus. Experimente zeigen, dass technische Oberflächen häufig in einem großen Bereich von Skalen selbstähnlich sind [14]. Ob jedoch alle Skalen für die Reibungsprozesse relevant sind, ist Gegenstand experimenteller und theoretischer Forschung [1]. Es gibt bis heute keine leistungsfähigen und umfassenden Modelle zur Berechnung der Reibungskraft in Abhängigkeit vom Zustand des Systems, den Material- und den Lastparametern. Der Bedarf nach solchen Modellen wächst jedoch ständig, da das Verständnis und die Berechenbarkeit von Reibungsphänomenen für die Auslegung, Optimierung und Steuerung von Systemen mit Reibkontakten äußerst wichtig sind. Anwendungen reichen von der Fertigungstechnik (Umformtechnik [7], chemisch-mechanisches Polieren [94]) über die Fahrzeugtechnik (Kraftfahrzeugbremsen [85], Verbrennungsmotoren [98], Rad-Schiene-Kontakt [99], Primärfesselung von Güterwagen [59]) bis zur Robotertechnik [1]. Selbst etwas Alltägliches wie Laufen wäre ohne Reibung unmöglich! Aktuelle Bestrebungen bei der Entwicklung mikromechanischer Systeme und die Entwicklung neuer Messmethoden, z. B. Atomkraftmikroskop, geben der tribologischen Forschung neuen Schwung 1 Die klassischen Untersuchungen sind vor allem mit den Namen da Vinci ( ), Amonton ( ) und Coulomb ( ) verbunden [11]. Der Artikel von Dowson [27] gibt Einblick in die geschichtliche Entwicklung der Tribologie. Insbesondere werden die Entwicklungen des 2. Jahrhunderts besprochen. Das Lehrbuch von Ludema [72] wendet sich vor allem an Ingenieure in Konstruktion und Entwicklung und gibt einen aktuellen Überblick über die Themen Reibung und Verschleiß aus Sicht des Anwendungsingenieurs. 1

10 2 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG [88]. Es zeigt sich jedoch, dass der Brückenschlag zwischen den theoretischen Erkenntnissen der letzten zwei Jahrzehnte und den Anwendungen z. B. in der Umformtechnik bisher nicht gelungen ist. Neben der Weiterentwicklung von Schmiermitteln, Additiven, Oberflächenbehandlungen und Messmethoden ist die Entwicklung geeigneter Simulationsmethoden zur Simulation von Mehrkörpersystemen mit Reibkontakten eine der zentralen Aufgaben der tribologischen Forschung. In seinem Ausblick auf die Entwicklung der Tribologie im 21. Jahrhundert prognostiziert Spikes [113] eine weiterhin starke Aktivität im Bereich Modellierung und Simulation. Dabei erwartet er vor allem weitere Fortschritte im Bereich der geschmierten Kontakte (raue Oberflächen, Nichtnewtonsche Fluide, gemischte elastohydrodynamische Schmierung und Grenzflächenschmierung). Zusätzlich prognostiziert Spikes stärkeres Interesse im Bereich Modellierung von Mehrkörpersystemen und Simulation von komplexen tribologischen Systemen wie Motoren oder Getrieben über die Betriebslebensdauer. An die Stelle von aufwendigen Feldversuchen soll nach und nach das virtuelle Testlabor treten 2. Als Folge des Bestrebens, möglichst wartungsfreie technische Systeme (lifetime zero maintenance) zu entwickeln, sieht Spikes einen Trend weg von geschmierten Systemen und hin zu Systemen mit trockener Reibung. Jedes tribologische Probelm ist zuerst auch ein Kontaktproblem. Basis aller Reibungssimulationen ist daher eine sichere Beherrschung des Kontaktproblems. Makroskopische tribologische Systeme sind typischerweise Probleme mit vielen Kontakten (multi-contact systems). Die Mikrokontakte bestimmen zum einen die übertragenen Normalkräfte, die sich makroskopisch als Reaktionskraft (Kontaktkraft) äußern. Zum anderen bestimmen sie die reale Kontaktfläche und damit die Reibungskraft. Die Verteilung der Normal- und Tangentialkräfte sowie die Verteilung der Kontaktgebiete sind die wichtigsten Größen für das Verständnis des tribologischen Systems auf der Mikroskala. Was macht nun die Simulation von Reibungs- und Kontaktproblemen so schwierig? Im wesentlichen gibt es zwei Gründe: den Mehrskalencharakter der Reibung (multi-scale) und die Komplexität bzw. die große Zahl an Parametern und beteiligten physikalischen Prozessen. Mehrskalencharakter Für die meisten Kontakt- und Reibungsprobleme sind viele Längenskalen von der Nano- bis zur Makroskala wichtig. Eine wenige Atomlagen dicke Schmierschicht kann das Reibungsverhalten eines ansonsten trockenen Kontaktes deutlich verändern und muss daher berücksichtigt werden. Auf der anderen Seite erstrecken sich Rauheiten bis zur Makroskala. Komplexität Neben der Elastizität der Kontaktpartner spielen je nach Anwendung auch Adhäsion, Schmierung (einschließlich Kavitation), Plastizität, Bruch, Herauslösen und Wiedereinbau von Teilchen sowie chemische Reaktionen (einschließlich Korrosion) eine Rolle. 2 Einen Überblick über bestehende Simulationsmethoden für trockene und geschmierte Kontakte gibt der Anhang A.

11 1.2. STAND DER FORSCHUNG 3 Dem Mehrskalencharakter kann mit vollständigen dreidimensionalen Modellen nur schwer Rechnung getragen werden, weil die Zahl der Freiheitsgrade das rechentechnisch Mögliche oft weit überschreitet. Beispiel: Die Diskretisierung eines makroskopischen Kontaktbereichs mit linearer Abmessung von 1 mm mit einer Auflösung von 1 nm erfordert ungefähr 1 18 Freiheitsgrade. Rechentechnisch möglich sind Freiheitsgrade. Es können drei verschiedene Ansätze zur Simulation von solchen Problemen unterschieden werden. Beim seriellen Ansatz werden Simulationen auf der Mikroskala benutzt, um Konstanten für Simulationen auf einer Mesoskala zu gewinnen. Diese Simulationen dienen wiederum, um andere Konstanten für die nächst höhere Skala zu erhalten. Als Beispiel sei die Arbeit von Clementi [23] erwähnt, bei der mit den Methoden der Quantenmechanik (kleinste Skala) die Wechselwirkungspotentiale bei Wassermolekülen für eine Molekulardynamiksimulation (größere Skala) gewonnen wurden. Mittels Molekulardynamik konnte dann die Viskosität des Wassers bestimmt werden. Die Viskosität wurde anschließend in einer CFD- Simulation 3 zur Berechnung des makroskopischen Strömungsproblems eingesetzt. Dieser serielle Ansatz wird z. B. auch für die Simulation des Werkstoffverhaltens eingesetzt, wobei atomistische Simulationen Eingangsgrößen für Versetzungssimulationen liefern, deren Ergebnisse wiederum für Simulationen makroskopischer Festigkeitsprobleme genutzt werden können [19]. Alternativ kann ein paralleler Ansatz verfolgt werden. Dabei werden verschiedene Methoden innerhalb eines Simulationsmodells verbunden. Zur Simulation von Kontakt- und Reibungsphänomenen werden dazu z. B. Molekulardynamik und die Finite Elemente Methode (FEM) miteinander verbunden. Der Kontakbereich wird dann mittels Molekulardynamik auf atomarer Skala aufgelöst, während der Grundkörper deutlich gröber mit der FEM beschrieben wird [62, 71]. Die Herausforderung liegt in der korrekten Kopplung der Methoden. Die Simulation innerhalb einer Methode hat gewiss Vorteile, denn Übergangsbedingungen müssen dann nicht formuliert werden. Zudem werden alle Skalen berücksichtigt und nicht nur die kleinste und die größte. Ein Ansatz zur Reduzierung der Zahl der Freiheitsgrade ist ein hierarchischer Aufbau (Abschnitt A.4). In der Nähe der Oberfläche wird sehr fein diskretisiert, im Innern gröber. Neben hierarchischen Modellen sind Modelle mit reduzierter Dimension besonders Erfolg versprechend. Insbesondere eindimensionale Modelle erlauben die Simulation über viele Größenordnungen bei gleichzeitiger Möglichkeit, viele physikalische Phänomene zu berücksichtigen. In der vorliegenden Arbeit werden solche Modelle entwickelt. Wie bereits erwähnt, muss für die Simulation des Reibungsproblems zuvor das Kontaktproblem beherrscht werden. Thema der vorliegenden Arbeit ist daher die Entwicklung eines effizienten Simulationsmodells für Kontaktprobleme. 1.2 Stand der Forschung Im folgenden werden die heute verwendeten Kontakttheorien kurz vorgestellt. Für viele Berechnungen und Überlegungen sind nach wie vor die Modellvorstellungen von Bowden und Tabor [1, 11] ausreichend; daher beginnt die Darstellung mit diesem Klassiker. 3 CFD... computational fluid dynamics

12 4 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG Es sei an dieser Stelle schon auf den Anhang A verwiesen. Dort wird eine etwas andere Sicht auf den Stand der Forschung dargeboten. Die dortigen Ausführungen geben einen Überblick über verschiedene Simulationsmethoden und die besonderen Schwierigkeiten und Herausforderungen, die Kontakt- und Reibungsprobleme bei der Anwendung der jeweiligen Methode verursachen Bowden und Tabor Bowden und Tabor verdanken wir das Konzept der wahren Kontaktfläche. Zuvor war man davon ausgegangen, dass der Kontakt über die gesamte sichtbare Kontaktfläche geschieht. Eine Adhäsionstheorie der Reibung konnte sich vor Bowden und Tabor nicht durchsetzen, weil schon aus Da Vinci s Experimenten bekannt war, dass die Reibungskraft nicht von der (scheinbaren) Kontaktfläche abhängt. Den Unterschied zwischen realer und scheinbarer Kontaktfläche zu erkennen, ist ein wichtiges Ergebnis von Bowden und Tabor. Das Gesetz von Amonton Reibungskraft proportional zur Normalkraft ist aus der Annahme erklärbar, dass die Reibungskraft proportional zur realen Kontaktfläche ist. Nach Bowden und Tabor [11] kommt es bei Metallen in den Kontaktpunkten zu Kaltverschweißungen, die für eine Gleitbewegung geschert werden müssen. Je größer die reale Kontaktfläche, desto größer die notwendige Kraft zum Scheren der Kaltverschweißungen. Bowden und Tabor lieferten auch eine Begründung, warum die reale Kontaktfläche A real proportional zur Normalkraft F N ist. Unter der Annahme, dass sich alle Asperiten plastisch verformen, stellt sich die reale Kontaktfläche gerade so ein, dass F N = HA real (1.1) gilt. Der Fließdruck entspricht näherungsweise der Härte H der Oberflächenschicht 4. Die Oberflächentopographie tritt in Gleichung (1.1) nicht auf. Zudem ist keine Aussage möglich, wie groß die einzelnen Kontakte sind bzw. wie viele Kontakte zur realen Kontaktfläche betragen. Aus (1.1) lässt sich jedoch abschätzen, dass die reale Kontaktfläche meist sehr viel kleiner als die scheinbare Kontaktfläche ist und dass für viele raue Oberflächen die Einzelkontakte weit voneinander entfernt sind. Die Annahme plastischer Deformation aller im Kontakt befindlichen Asperiten kann jedoch nicht stets richtig sein. Reibkontakte in Maschinen werden oft über Jahre beansprucht. Die Deformationen müssen dann elastisch sein, denn ständige plastische Deformation würde unweigerlich zu Ermüdung führen. Elastische Deformationen können mit der Theorie von Hertz (siehe Abschnitt 2.3) beschrieben werden. Es ergibt sich dann ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen Normalkraft und Kontaktfläche. Die Lösung dieses Widerspruchs elastische Deformationen müssen in vielen Kontaktproblemen dominieren und gleichzeitig soll direkte Proportionalität zwischen Normalkraft und Kontaktfläche bestehen ist vor allem mit den Namen Archard und Greenwood verbunden. 4 siehe dazu Kommentar von Akkurt in [41]

13 1.2. STAND DER FORSCHUNG Greenwood und Williamson Archard [2, 81] schlägt ein Modell vor, bei dem immer kleinere Hügel auf bestehende gesetzt werden 5. Heutzutage würde man eine solche Oberfläche fraktal nennen. Um so komplexer das Modell gewählt wird, um so deutlicher tritt folgendes Ergebnis hervor: die Zahl der Kontakte nimmt proportional zur Normalkraft zu, die Größe eines einzelnen Kontaktes ist nahezu unabhängig von der Normalkraft. Eine wesentliche Schwierigkeit im Modell von Archard besteht in der Zuordnung von gemessenen Rauheiten zu Größen des Modells. Ein Modell, das sich leichter an gemessene Größen anpassen lässt, wurde 1966 von Greenwood und Williamson (GW-Modell) [43] vorgestellt. Es weist die folgenden Eigenschaften auf [41, 44]: Die Asperiten haben eine Höhenverteilung, die sich im relevanten Bereich der Höhen durch eine Exponentialfunktion approximieren lässt. Die in Experimenten häufig gemessene Normalverteilung kann durch eine Exponentialfunktion approximiert werden. Greenwood und Wu [44] merken zudem an, dass die Höhen der höheren Abschnitte der Oberfläche selbst dann als normalverteilt angesehen werden können, wenn die Höhenverteilung im ganzen hochgradig schief ist. Die höheren Abschnitte sind für den Kontakt relevant. Die Asperiten werden als Kugelkappen behandelt, die bis auf ihre Höhen identisch sind. Greenwood und Wu merken dazu an, dass weder durch die Betrachtung von Ellipsoiden anstelle von Kugeln noch durch die Einführung einer Verteilung von Asperitengrößen viel hinzu gewonnen wird. Wie gelangt man aus den Messungen zu Informationen über die Asperiten? Greenwood und Williamson entschieden sich dafür, Spitzen 6 des gemessenen Oberflächenprofils als Asperiten zu identifizieren. Spitzen sind Punkte, die bei dem verwendeten Abtastintervall höher als ihre direkten Nachbarn sind. Sie studieren die Höhenverteilung dieser Spitzen und berechnen die zugeordnete Krümmung (peak curvature) durch Anpassen einer Parabel durch die Spitze und ihre zwei Nachbarn [41]. Greenwood und Wu [44] revidieren diesen Punkt teilweise. Die Untersuchungen von Greenwood und Williamson zeigten, dass eine zufällige Verteilung der Höhen bei elastischer Deformation zu einem linearen Zusammenhang zwischen Normalkraft und Kontaktfläche führt (zumindest bei kleinen Lasten). Für eine exponentielle Verteilung folgt dieses Ergebnis exakt, für die Normalverteilung näherungsweise. Damit war A real F N gezeigt, sowohl bei plastischer Deformation (Bowden und Tabor), als auch bei elastischer Deformation (Greenwood und Williamson). Im allgemeinen werden einige Kontakte plastisch deformiert sein, andere hingegen elastisch. Greenwood und Williamson führen einen Plastizitätsindex 7 ψ = E H 4 h2 5 Im englischen Original: protuberances on protuberances on protuberances. 6 peaks bzw. speziell 3-point-peaks 7 Der Plastizitätsindex wird von verschiedenen Autoren unterschiedlich eingeführt. R 2

14 6 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG ein, der eine Aussage über die Zahl plastisch deformierter Asperiten erlaubt [41]. Dabei bezeichnet H wiederum die Härte. Eine Aussage zum Zustand (elastisch oder plastisch) der Asperiten ist u. a. deshalb von Interesse, weil bei rein elastischer Deformation ein Aufbrechen der Oberflächenschicht (Oxide) unwahrscheinlich ist. Bush und Gibson[15] untersuchten, basierend auf den Vorstellungen von Greenwood und Williamson, den Fall ellipsenförmiger Kappen. Zudem verzichteten Sie auf die Gleichheit aller Kappen. In diesem Fall wird der lineare Zusammenhang zwischen Normalkraft und Kontaktfläche exakt erzielt. Es ergibt sich für den dimensionslosen Parameter κ der Zusammenhang κ = E ha real F N 2,51, (1.2) mit dem (effektiven) elastischen Modul E, der rms-steigung h der Oberfläche, der realen Kontaktfläche A real und der Normalkraft F N. Die Erweiterung der Modellvorstellungen von Greenwood und Williamson für den elasto-plastischen Kontakt erfolgte durch eine Vielzahl von Autoren [54, 55, 68, 124]. Fuller und Tabor [34] wandten die Ideen von Greenwood und Williamson auf den adhäsiven Fall an (siehe Abschnitt 5.2) Persson Fraktale Beschreibungen rauer Oberflächen werden mittlerweile von vielen Autoren für kontaktmechanische Berechnungen genutzt, u. a. [63, 74, 76, 12]. Perssons Beiträge zur Kontaktmechanik stochastischer Oberflächen (mit und ohne Adhäsion) sind in einer Vielzahl von Veröffentlichungen dargelegt [89, 9, 91]. Viele Oberflächen sind in guter Näherung selbstaffin, d.h. eine Vergrößerung eines Teils der Oberfläche sieht genauso aus wie die Oberfläche selbst: z = λ H h (x/λ, y/λ) sieht so aus wie z = h (x, y), d.h. bei einer selbstaffinen Oberfläche bleiben die statistischen Eigenschaften der Oberfläche invariant unter einer Skalentransformation. Dabei sind unterschiedliche Skalierungsfaktoren für die Transformationen in lateraler Richtung und senkrechter Richtung zulässig. Der Hurst-Exponent 8 H charakterisiert diesen Unterschied der Skalierungsfaktoren. Bei selbstaffinen Oberflächen folgt das Leistungsspektrum einem Potenzgesetz C (q) q 2(H+1). (1.3) Ein Potenzgesetz gemäß (1.3) gilt nur in einem bestimmten Wellenzahlbereich q < q < q 1. Unterhalb des Wellenvektors q (roll-off) ist das Leistungsspektrum konstant. Der kleinstmögliche Wellenvektor q L = 2π ist durch die laterale Ausdehnung der untersuchten Oberfläche gegeben. Das Leistungsspektrum C (q) ist L für 8 Zwischen fraktaler Dimension D f und Hurst-Exponent H besteht der Zusammenhang H = 3 D f. Für den Hurst-Exponent gilt H 1, wobei H = 1 für eine selbstähnliche Oberfläche steht.

15 1.2. STAND DER FORSCHUNG 7 isotrope Oberflächen ausschließlich eine Funktion des Betrags q des Wellenvektors q. Der quadratische Mittenrauwert R q (root-mean-square roughness) wird durch die längste Wellenlänge dominiert sofern q 1 q, die mittlere Neigung und Krümmung hingegen werden durch die kürzeste Wellenlänge dominiert. Persson baut seine Kontaktmechanik auf der fraktalen Beschreibungsweise der Oberflächen auf. Als Eingangsgröße wird nur das Leistungsspektrum C (q) benötigt. Die beobachtete reale Kontaktfläche hängt dann von der Vergrößerung ζ ab. Persson gelangt für kleine Normalkräfte ebenfalls zu einem linearen Zusammenhang zwischen Normalkraft und Kontaktfläche. Die dimensionslose Größe κ hat jedoch einen anderen Wert: κ 1,6. Die eine Sorte von Ansätzen (Greenwood, Bush) geht von einer statistischen Verteilung der Asperiten aus und vernachlässigt die Wechselwirkungen zwischen ihnen. Die Kontaktfläche ist dann die Summe der Teilkontaktflächen der unabhängigen Asperiten. Perssons Theorie benutzt das Skalierungsverhalten der Oberflächen. Trotz der Verschiedenartigkeit der Ansätze ergibt sich stets strukturell die gleiche Formel und der Wert κ ist in beiden Fällen von gleicher Größenordnung Numerische Kontaktmechanik selbstaffiner Oberflächen Campañá und Müser [18] benutzen eine auf der Greenschen Funktion basierende Molekulardynamik (GFMD) für kontaktmechanische Berechnungen. Sie untersuchen den reibungsfreien Kontakt zwischen glatten elastischen Körpern (ν =,25) mit starren rauen Unterlagen. Die benutzten rauen Oberflächen entstammen entweder Messungen mit einem Atomkraftmikroskop oder werden als selbstaffine Oberflächen numerisch erzeugt. Hauptziel der Untersuchungen ist die Bestimmung der Verteilung der Drücke im Kontakt, genauer die Wahrscheinlichkeitsdichte P (p). Zudem wird die Abhängigkeit der wahren Kontaktfläche von der Normalkraft untersucht, insbesondere wird der Koeffizient κ mit den analytischen Ergebnissen von Persson und Bush verglichen. Für kleine Normalkräfte (besser A real /A,1) besteht eine lineare Abhängigkeit zwischen Normalkraft und (wahrer) Kontaktfläche. Wird die Diskretisierung so fein wie die kleinsten Rauheiten gewählt, wird die wahre Kontaktfläche geringfügig zu groß berechnet. Hyun et al. [51, 52] untersuchen den elastischen, reibungsfreien, nicht-adhäsiven Kontakt mit der Finite Elemente Methode (FEM). Dabei untersuchen sie den Einfluss des betrachteten Wellenzahlbereichs. Der Koeffizient κ unterscheidet sich kaum für (synthetische) selbstaffine Oberflächen und reale Oberflächen; die räumliche Verteilung der Kontaktfläche unterscheidet sich jedoch deutlich. Sowohl bei Campañá und Müser als auch bei Hyun et al. hängt der Koeffizient κ vom Hurst-Exponenten ab und liegt stets zwischen den analytisch bestimmten Werten von Persson und Bush. Es ergibt sich zudem eine (grobe) Übereinstimmung zwischen den numerischen Ergebnissen der beiden Gruppen. Liu et al. [69] untersuchen thermische Effekte beim Kontakt gemessener rauer Oberflächen mit der FEM. Insbesondere wird die Veränderung des mittleren Druckes in Abhängigkeit von der zugeführten Wärme untersucht. Die Oberflächen

16 8 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG werden nicht spezifiziert, der Einfluss der Oberflächentopographie auf die Kontaktmechanik wird nicht untersucht. Neben den oben angeführten Berechnungen gibt es auch numerische Simulationen, bei denen aus einer selbstaffinen Oberfläche ein Modell mit sphärischen Asperiten erzeugt wird, z. B. von Komvopoulos und Ye [63]. Das elasto-plastische Verhalten eines Asperiten wird mit der FEM ermittelt; das Gesamtverhalten folgt dann aus statistischen Betrachtungen. 1.3 Zielsetzung Im Abschnitt 1.1 wurde bereits erläutert, dass der Mehrskalencharakter eine wesentliche Hürde für die Simulation des Kontaktes rauer Oberflächen darstellt. Eine erhebliche Reduzierung des Rechenaufwandes kann offensichtlich erzielt werden, wenn zur Simulation dreidimensionaler Kontaktprobleme Modelle niedrigerer Dimension benutzt werden. Das Problem bei der Reduktion von Modellen zur Kontaktsimulation besteht nun darin, dass Modelle niedrigerer Dimension u. U. nicht die korrekten Zusammenhänge wiedergeben. Als Beispiel seien die Systeme Kugel- Ebene und Zylinder-Ebene genannt. Die Hertzsche Theorie liefert im ersten Fall für die Abplattung d und die Normalkraft F den Zusammenhang F d 3/2, im zweiten Fall hingegen F d [56]. D. h. der Kontakt Kugel-Ebene kann nicht einfach durch den Kontakt Zylinder-Ebene ersetzt werden 9. In der vorliegenden Arbeit wird ein einfaches eindimensionales Modell vorgestellt, mit dem einige Aspekte des dreidimensionalen Kontaktproblems korrekt simuliert werden können. Das Modell wird ausführlich in den folgenden Kapiteln vorgestellt. Zur Motivation soll eine zentrale Überlegung schon an dieser Stelle dargelegt werden: Beim Hertzschen Kontakt 1 gilt für die Kontaktsteifigkeit beim Normalkontakt k norm k norm = 2E a, (1.4) mit dem effektiven elastischen Modul E und dem Kontaktradius a. Das Ergebnis ist bemerkenswert, weil die Steifigkeit k norm linear vom Kontaktradius a abhängt und nicht von der Kontaktfläche. Das Verhalten ist Ausdruck der vorhandenen Korrelationen im Kontinuumsmodell. Zudem tritt der Krümmungsradius R in Gl. (1.4) nicht auf. Welche Konsequenz hat Gl. (1.4) für die Simulation von Kontaktproblemen? Die Proportionalität zur linearen Abmessung (Kontaktradius) statt zur Fläche bedeutet, dass sich die gleiche Steifigkeit in einem Modell erreichen lässt, bei dem unabhängige Federn entlang einer Linie angeordnet sind. Wie sieht es mit dem Tangentialkontaktproblem aus? Für die Steifigkeit beim Tangentialkontakt k tang zweier Körper aus gleichem Material ergibt sich k tang = 4 Ga, (1.5) 2 ν mit dem Schubmodul G und der Querkontraktionszahl ν. Auch beim Tangentialkontakt ergibt sich die Proportionalität zum Kontaktradius a. Somit ist ein Weg zur Dimensionsreduktion aufgezeigt! 9 Im Kapitel 2 und im Anhang B wird die Dimensionsproblematik ausführlich behandelt. 1 Für weitere Informationen siehe Abschnitt 2.3, Seite 15ff.

17 PSfrag replacements 1.3. ZIELSETZUNG 9 Elastischer Kontakt 2 Einzelkontakt 3 Raue Oberflächen Hauptteil Erweiterungen 5 Adhäsion 6 Schmierung Technische Anm. 4 Numerik Einordnung A Simulationsmethoden B Dimensionsproblematik Abbildung 1.1: Überblick über die vorliegende Arbeit Mit dem Modell soll der Brückenschlag von den theoretischen Erkenntnissen auf dem Gebiet der Reibungsphysik zu den Anwendungen gelingen. Kurz gefasst lautet das Ziel der Arbeit: Entwickle ein Modell, das im Detail grob ist, dafür aber die Simulation von Kontaktproblemen über viele Skalen und unter Einbeziehung vieler physikalischer Phänomene erlaubt. Dass es gelingt, Kontaktprobleme mit einem eindimensionalen Modell unter enormer Einsparung von Rechenzeit zu simulieren, ist die gute Botschaft der vorliegenden Arbeit. Im Kapitel 2 werden erste Ideen zum Aufbau des 1D-Modells entwickelt (Abbildung 1.1). Die dort dargestellten Erkenntnisse sind Motivation, solche eindimensionalen Federmodelle eingehender auf ihre Eignung zur Simulation von Kontaktproblemen zu untersuchen. Im Kapitel 3 werden raue Oberflächen ausführlich untersucht. Die zentrale Frage ist, wie die 2D-Oberflächentopographie auf eine 1D-Oberflächentopographie umgerechnet werden kann. Kapitel 4 gibt einen Überblick über numerische Aspekte. Simulationen mit dem vorgestellten Modell sollen erheblich Rechenzeit gegenüber herkömmlichen 3D- Modellen einsparen. Dabei kommt den numerischen Lösungsverfahren eine bedeutende Rolle zu. Auch die Wahl des Lösungsverfahrens entscheidet über Erfolg oder Misserfolg. Schließlich wird in den Kapiteln 5 und 6 das Modell auf adhäsive bzw. geschmierte Kontakte erweitert. Diese Ausführungen sind als Basis für weiter gehende Untersuchungen zu verstehen. Damit ist die Entwicklung eines möglichst einfachen Modells zur Berechnung von Kontakt- und Reibungsproblemen unter Berücksichtigung von rauen Oberflächen, Elastizität, Adhäsion und Schmierung vorerst abgeschlossen. Die Anhänge A und B dienen der Einordnung der Methode und sollen dem Leser eine bessere Orientierung ermöglichen.

18 1 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 1.4 Anwendungsbeispiele Bei der Herstellung von Festplatten und Computerchips wachsen die Anforderungen an die Qualität der Oberflächenbearbeitung beständig [27]. Ein typisches Herstellungsverfahren, mit dem qualitativ hochwertige Oberflächen erzeugt werden können, ist das chemisch-mechanische Polieren (CMP). Das zum Einsatz kommende Schmiermittel enthält häufig abrasive Teilchen. In einem beim CMP typischen Regime gibt es keinen direkten Kontakt zwischen den abrasiven Teilchen und der zu polierenden Oberfläche. Vielmehr wird die irreversible Veränderung der Oberfläche durch Druckänderungen im dünnen Schmierfilm zwischen Teilchen und Oberfläche hervorgerufen. Um auch in Zukunft den wachsenden Anforderungen an die Qualität der Oberflächen gerecht zu werden, ist die Entwicklung von Simulationsprogrammen notwendig. Am Fachgebiet wurde von Popov, Filippov und Herbrich auf Basis dieser Untersuchungen ein Simulationsmodell für das CMP im oben beschriebenen Regime entwickelt. Erst die Reduktion auf ein 1D-Modell macht hier die Simulation über lange Zeiträume unter Berücksichtigung vieler physikalischer Phänomene möglich. In diesem Anwendungsfall erfolgt die gesamte Simulation des Polierprozesses innerhalb des eindimensionalen Modells. Ein anderer Anwendungsfall ist die Simulation in der Umformtechnik, z. B. in der Kaltmassiv- und Blechumformung. Die Simulation des eigentlichen Umformprozesses würde wie gehabt mittels Finiter Elemente durchgeführt werden. Das Reibungsgesetz 11 bzw. das Zusammenspiel von Reibungskraft und Änderung der Oberflächentopographie hingegen könnte mit dem hier entwickelten Modell bestimmt werden. 11 Zur Zeit wird in den Simulationen der Umformtechnik das Coulombsche Gesetz verwendet. Die experimentelle Bestimmung der Reibungskoeffizienten ist dabei durchaus problematisch; i. d. R. kann nur eine Rangfolge zwischen verschiedenen Kontaktkonfigurationen angegeben werden.

19 Kapitel 2 Elastischer Einzelkontakt 2.1 Bedeutung der räumlichen Dimension bei Kontaktproblemen, Reduktion der Dimension zu Simulationszwecken Ein wesentlicher Gedanke der vorliegenden Arbeit zur Entwicklung von Simulationsmodellen für Kontaktprobleme ist die Reduktion der räumlichen Dimension von drei auf eins bei Erhaltung einiger wichtiger Eigenschaften. Bei Kontaktproblemen ist die Dimension des Problems von großer Bedeutung. Wie aus den klassischen Arbeiten der Kontaktmechanik bekannt ist, liefern z. B. die Untersuchung der Kontaktprobleme Zylinder-Ebene bzw. Kugel-Ebene sehr unterschiedliche Resultate [56]. Abbildung 2.1 zeigt drei verschiedene Kontaktprobleme: Kugel-Kugel, Zylinder-Zylinder und den Kontakt zwischen zwei starren Zylindern mit dünner elastischer Schicht. Beim dreidimensionalen Problem ist die elastische Energie im Kontaktbereich lokalisiert; die Deformation beschränkt sich im wesentlichen auf einen räumlichen Bereich, dessen lineare Dimension von der Größenordnung des Kontaktradius ist. Beim dreidimensionalen Kontaktproblem kommt es daher nicht auf die genauen Abmaße bzw. die Form des Körpers an; lediglich der unmittelbare Kontaktbereich entscheidet. Das berühmte Ergebnis von Hertz für den Kugelkontakt wird in der Tat aus einer Halbraumbetrachtung hergeleitet. Beim zweidimenisonalen Problem hingegen ist die Geometrie des gesamten Körpers von Bedeutung. Es ergibt sich eine direkte Proportionalität zwischen Normalkraft F und Abplattung d. Das ist abweichend vom Ergebnis des dreidimensionalen Problems. Dementsprechend kann eine (normale) zweidimensionale Simulation (z. B. mit Finiten Elementen) nicht den korrekten Zusammenhang zwischen Normalkraft und Abplattung wiedergeben. Wird nun das Kontaktproblem zwischen zwei starren Zylindern mit elastischer Schicht betrachtet, ergibt sich das bekannte Ergebnis des dreidimensionalen Problems 1. Es sei darauf hingewiesen, dass nicht nur der Zusammenhang zwischen Normalkraft F und Abplattung d korrekt ist, sondern auch die Abhängigkeit vom Krümmungsradius R in beiden Fällen übereinstimmt. Erst das macht die in den folgenden Kapiteln vorgestellte Simulationsmethode so robust. Es sei zudem an die Ausführungen des Abschnittes 1.3 (Seite 8f) erinnert. Danach sind im dreidimensionalen Problem die Steifigkeiten k norm, k tang des Normal- 1 Genauere Ausführungen dazu erfolgen in Abschnitt 2.3, Seite

20 12 KAPITEL 2. ELASTISCHER EINZELKONTAKT Kugel PSfrag replacements F Zylinder Zylinder mit elastischer Rd 3 F d F Schicht Rd 3 elastisch starr elastisch Abbildung 2.1: Vergleich verschiedener Kontaktprobleme bzw. Tangentialkontaktes vom Kontaktradius a und nicht von der Kontaktfläche abhängig. Das ist Ausdruck der Korrelationen zwischen benachbarten Regionen im elastischen Kontinuum. Die direkte Proportionalität zwischen den Steifigkeiten und dem Kontaktradius ermöglicht den Übergang auf das eindimensionale Modell! Eine Anmerkung zur Oberflächentopographie soll schon an dieser Stelle erfolgen: Zweidimensionale Modelle behandeln die Körper als unendlich ausgedehnt in eine Richtung. Raue (eindimensionale) Oberflächen solcher zweidimensionalen Modelle unterstellen somit eine Aneinanderreihung von unendlich ausgedehnten Strukturen. Statt Kugelkappen werden zylindrische Strukturen modelliert. Bei der Verwendung von Modellen mit zweidimensionaler Oberfläche kann die gemessene Oberflächentopographie direkt verwendet werden. Bei Modellen mit eindimensionaler Oberfläche hingegen müssen, falls überhaupt möglich, Umrechnungsvorschriften gefunden werden. Abbildung 2.2 zeigt vier verschiedene Möglichkeiten, dass dreidimensionale Kontaktproblem zu simulieren: 3D Modell Das nahe liegendste Modell ist ein vollständiges dreidimensionales Modell z.b. auf Basis der FE-Methode. Dazu wird das gesamte Volumen mit geeigneten Elementen diskretisiert; üblicherweise hat jeder Knoten 3 Freiheitsgrade. Zur Untersuchung des Kontaktes zwischen rauen Oberflächen ist eine sehr feine Diskretisierung der Oberflächenschichten nötig. Unter Umständen muss die Diskretisierung an der Oberfläche von der Größenordnung 1 nm sein. Im Innern kann gröber diskretisiert werden. Vorteile dieses Modells sind die Verwendung der Originalgeometrie (Dimension, Oberflächentopographie) und die Möglichkeit, Deformationen an der Oberfläche und im Innern der Körper bestimmen zu können. Zudem ist die Methode vielen Ingenieuren bekannt und es sind eine Vielzahl kommerzieller Programme verfügbar. Nachteilig wirkt sich die sehr hohe Rechenzeit aus, vor allem vor dem Hintergrund, dass mit den Simulationsmodellen nicht nur

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