Neuronalen Netzen. Jens Lehmann. 1. März Institut für Künstliche Intelligenz Fakultät Informatik Technische Universität Dresden
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- Elsa Schmitz
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1 Institut für Künstliche Intelligenz Fakultät Informatik Technische Universität Dresden 1. März 2005
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3 Neurosymbolische Integration versucht künstliche neuronale Netze und Logikprogrammierung zu vereinen künstliche neuronale Netze: + parallel, flexibel, bekannte Lernalgorithmen - in neuronalen Netzen kodiertes Wissen nicht direkt lesbar Logikprogrammierung: + können leicht verstanden werden, bekannte Beweisverfahren - nicht parallel, Lernproblem schwierig
4 Neurosymbolische Integration - Einbettung Idee (u.a. Hölldobler, Kalinke, Störr 1999): gegeben: Programm P Darstellung des Konsequenzoperators TP als neuronales Netz Beispiel für Anwendung des T P -Operators: add(x,0,x). add(x,s(y),s(z)) :- add(x,y,z). T P ({add(0, 0, 0)}) = {add(s n (0), 0, s n (0)) n 0} {add(0, s(0), s(0))}
5 Neurosymbolische Integration - Lernzyklus Logikprogramm einbetten neuronales Netz lernen gelerntes Logikprogramm extrahieren gelerntes neuronales Netz 1. (induktive Logikprogrammierung) 2. exakte Programmextraktion mit speziell dafür entwickelten Algorithmen für Aussagenlogik
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7 zu ILP Hintergrundwissen B positive Beispiele E + negative Beispiele E korrekte Theorie Σ: Σ B = E + (Vollständigkeit) Σ B E erfüllbar (Konsistenz) Abbildung: Aufgabe der ILP-Systeme: Erstellen einer Theorie
8 Programm P? neuronales Netz T P Beispiele liefern Programm Q ILP- Algorithmen ILP-System Abbildung: Setup für Tests der ILP-Systeme
9 Generierung von Beispielen: der gegebene T P -Operator sei monoton beginnend mit der leeren Interpretation iterative Anwendung des T P -Operators man erhält eine Teilmenge des kleinsten Herbrandmodells, deren Elemente positive Beispiele sind T P I 1 T P I2 T P I3
10 Beispiel: Lernen von add add(x,0,x). add(x,s(y),s(z)) :- add(x,y,z). Generierte Beispiele: add(0,0,0). add(s(0),0,s(0)). add(s(s(0)),0,s(s(0))). add(s(s(s(0))),0,s(s(s(0)))). add(0,s(0),s(0)). add(s(0),s(0),s(s(0))). add(s(s(0)),s(0),s(s(s(0)))). add(s(s(s(0))),s(0),s(s(s(s(0))))). add(0,s(s(0)),s(s(0))). add(s(0),s(s(0)),s(s(s(0)))). add(s(s(0)),s(s(0)),s(s(s(s(0))))). add(s(s(s(0))),s(s(0)),s(s(s(s(s(0)))))). ein ILP-System (CProgol) findet mit diesen Beispielen die korrekte Theorie
11 zur Verwendung von ILP zur Extraktion negativ: außer CProgol war keines der fünf getesteten ILP-Systeme für die Aufgabe geeignet Systeme können meistens keine nicht-definiten Programme lernen Korrektheit, d.h. Erhalt des TP -Operators, spielt für ILP-Systeme keine Rolle Paare (I, TP (I )) liefern unendlich viele Beispiele, von denen man intelligent gute Beispiele wählen muss positiv: ILP konnte für Aufgabenstellung angewandt werden mit CProgol konnte erfolgreich eine Extraktionsaufgabe gelöst werden
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13 Ziele: Extraktion, bei der Konsequenzoperator des extrahierten Programmes genau dem Konsequenzoperator entspricht, den das neuronale Netz repräsentiert Schwerpunkt: extrahierte Programme sollen möglichst klein sein (im Idealfall minimal) Größe = Anzahl der Literale eines Programmes entwickelte Algorithmen: Extraktion definiter Programme Extraktion normaler Programme α-, β-, γ-reduktion Intelligente Programmsuche
14 Extraktion definiter Programme Es seien C 1 und C 2 beliebige Klauseln mit: C 1 : h p 1,..., p a, q 1,..., q b C 2 : h r 1,..., r c, s 1,..., s d {p 1,..., p a } {r 1,..., r c } {q 1,..., q b } {s 1,..., s d } Dann subsummiert die Klausel C 1 die Klausel C 2. Konstruktion eines korrekten Programms Q: alle Interpretationen werden nach Anzahl der Elemente geordnet durchlaufen für jede solche Interpretation I mit I = {p 1,..., p n } und jedes Element q T P (I ) wird q p 1,..., p n zu Q hinzugefügt, falls diese Klausel nicht bereits von einer Klausel in Q subsummiert wird.
15 Extraktion definiter Programme I T P (I ) {p} {r} {q} {r} {p, q} {p, r} {p, r} {r} {q, r} {p, r} {p, q, r} {p, q, r}
16 Extraktion definiter Programme I T P (I ) {p} {r} {q} {r} {p, q} {p, r} {p, r} {r} {q, r} {p, r} {p, q, r} {p, q, r} r p
17 Extraktion definiter Programme I T P (I ) {p} {r} {q} {r} {p, q} {p, r} {p, r} {r} {q, r} {p, r} {p, q, r} {p, q, r} Programm: r p
18 Extraktion definiter Programme I T P (I ) {p} {r} {q} {r} {p, q} {p, r} {p, r} {r} {q, r} {p, r} {p, q, r} {p, q, r} Programm: r p p p, q
19 Extraktion definiter Programme I T P (I ) {p} {r} {q} {r} {p, q} {p, r} {p, r} {r} {q, r} {p, r} {p, q, r} {p, q, r} Programm: r p p p, q
20 Extraktion definiter Programme I T P (I ) {p} {r} {q} {r} {p, q} {p, r} {p, r} {r} {q, r} {p, r} {p, q, r} {p, q, r} Programm: r p p p, q r p, q
21 Extraktion definiter Programme I T P (I ) {p} {r} {q} {r} {p, q} {p, r} {p, r} {r} {q, r} {p, r} {p, q, r} {p, q, r} Programm: r p p p, q r p, r
22 Extraktion definiter Programme I T P (I ) {p} {r} {q} {r} {p, q} {p, r} {p, r} {r} {q, r} {p, r} {p, q, r} {p, q, r} Programm: r p p p, q p q, r
23 Extraktion definiter Programme I T P (I ) {p} {r} {q} {r} {p, q} {p, r} {p, r} {r} {q, r} {p, r} {p, q, r} {p, q, r} Programm: r p p p, q p q, r
24 Extraktion definiter Programme I T P (I ) {p} {r} {q} {r} {p, q} {p, r} {p, r} {r} {q, r} {p, r} {p, q, r} {p, q, r} Programm: r p p p, q p q, r r q, r
25 Extraktion definiter Programme I T P (I ) {p} {r} {q} {r} {p, q} {p, r} {p, r} {r} {q, r} {p, r} {p, q, r} {p, q, r} Programm: r p p p, q p q, r r q, r
26 Extraktion definiter Programme I T P (I ) {p} {r} {q} {r} {p, q} {p, r} {p, r} {r} {q, r} {p, r} {p, q, r} {p, q, r} Programm: r p p p, q p q, r r q, r p p, q, r
27 Extraktion definiter Programme I T P (I ) {p} {r} {q} {r} {p, q} {p, r} {p, r} {r} {q, r} {p, r} {p, q, r} {p, q, r} Programm: r p p p, q p q, r r q, r q p, q, r
28 Extraktion definiter Programme I T P (I ) {p} {r} {q} {r} {p, q} {p, r} {p, r} {r} {q, r} {p, r} {p, q, r} {p, q, r} Programm: r p p p, q p q, r r q, r q p, q, r
29 Extraktion definiter Programme I T P (I ) {p} {r} {q} {r} {p, q} {p, r} {p, r} {r} {q, r} {p, r} {p, q, r} {p, q, r} Programm: r p p p, q p q, r r q, r q p, q, r r p, q, r
30 Extraktion definiter Programme I T P (I ) {p} {r} {q} {r} {p, q} {p, r} {p, r} {r} {q, r} {p, r} {p, q, r} {p, q, r} Programm (vollständig): r p p p, q p q, r r q, r q p, q, r
31 Konstruktion eines korrekten Programms: für jede Interpretation I mit I = {r 1,..., r a } und B P \ I = {s 1,..., s b } und jedes Element p T P (I ) wird eine Klausel p r 1,..., r a, s b,..., s m generiert (top-down Ansatz) für jedes Mapping von (endlichen) Interpretationen auf (endliche) Interpretationen lässt sich Programm konstruieren, dessen Konsequenzoperator dieses Mapping ist
32 I T P (I) {p} {p, r} {q} {r} {r} {p, q} {p} {p, r} {r} {q, r} {p} {p, q, r}
33 I T P (I) {p} {p, r} {q} {r} {r} {p, q} {p} {p, r} {r} {q, r} {p} {p, q, r} p p, q, r r p, q, r r p, q, r p p, q, r r p, q, r p p, q, r
34 : Angenommen es existieren Klauseln C 1 und C 2, so dass C 2 von C 1 subsummiert wird. Dann entferne C 2. Angenommen es existieren Klauseln C 1 und C 2 mit: C1 : p q, r 1,..., r a, s 1,..., s b C2 : p q, t 1,..., t c, u 1,..., u d {r1,..., r a} {t 1,..., t c} {s1,..., s b } {u 1,..., u d } Dann entferne q aus C 2. analog auch für den Fall, dass q und q in den Klauseln vertauscht sind, wobei dann q entfernt wird
35 1. Reduktionsschritt: p p, q, r p p, q, r p p, q, r r p, q, r r p, q, r r p, q, r 24 Literale p p, r p p, q, r p p, q, r r p, q, r r p, q, r r p, q, r 23 Literale
36 2. Reduktionsschritt: p p, r p p, q, r p p, q, r r p, q, r r p, q, r r p, q, r 23 Literale p p, r p p, q, r r p, q, r r p, q, r r p, q, r 19 Literale
37 3. Reduktionsschritt: p p, r p p, q, r r p, q, r r p, q, r r p, q, r p p, r p p, q, r r p, q r p, q, r r p, q, r 19 Literale 18 Literale
38 4. Reduktionsschritt: p p, r p p, q, r r p, q r p, q, r r p, q, r p p, r p p, q, r r p, q r p, q, r 18 Literale 14 Literale
39 5. Reduktionsschritt: p p, r p p, q, r r p, q r p, q, r p p, r p p, q, r r p, q r q, r 14 Literale 13 Literale
40 Funktionsweise (grob): Unterteilung in Unterprogramme für jedes Prädikat Berechnung von erlaubten Klauselkörpern für jedes Prädikat schrittweise Konstruktion eines Unterprogramms mittels der score-heuristik diese Schritte werden informell anhand eines Beispiels erklärt
41 Erlaubte Klauselkörper für p I T P (I ) {p} {p} {p} {q} {r} {r} {p, q} {r} {p, r} {p, r} {q, r} {p} {p, q, r} {p, r} Kl.körper Erlaubt für p?
42 Erlaubte Klauselkörper für p I T P (I ) {p} {p} {p} {q} {r} {r} {p, q} {r} {p, r} {p, r} {q, r} {p} {p, q, r} {p, r} Kl.körper Erlaubt für p? p T P ({q})
43 Erlaubte Klauselkörper für p I T P (I ) {p} {p} {p} {q} {r} {r} {p, q} {r} {p, r} {p, r} {q, r} {p} {p, q, r} {p, r} Kl.körper Erlaubt für p? p T P ({q}) p p T P ({p, q})
44 Erlaubte Klauselkörper für p I T P (I ) {p} {p} {p} {q} {r} {r} {p, q} {r} {p, r} {p, r} {q, r} {p} {p, q, r} {p, r} Kl.körper Erlaubt für p? p T P ({q}) p p T P ({p, q}) q p T P ({q})
45 Erlaubte Klauselkörper für p I T P (I ) {p} {p} {p} {q} {r} {r} {p, q} {r} {p, r} {p, r} {q, r} {p} {p, q, r} {p, r} Kl.körper Erlaubt für p? p T P ({q}) p p T P ({p, q}) q p T P ({q}).. p, r OK.
46 Erlaubte Klauselkörper für p I T P (I ) {p} {p} {p} {q} {r} {r} {p, q} {r} {p, r} {p, r} {q, r} {p} {p, q, r} {p, r} Kl.körper Erlaubt für p? p T P ({q}) p p T P ({p, q}) q p T P ({q}).. p, r OK. q, r OK. p, q OK. q, r OK.
47 Erlaubte Klauselkörper für p I T P (I ) {p} {p} {p} {q} {r} {r} {p, q} {r} {p, r} {p, r} {q, r} {p} {p, q, r} {p, r} Kl.körper Erlaubt für p? p T P ({q}) p p T P ({p, q}) q p T P ({q}).. p, r OK. q, r OK. p, q OK. q, r OK... p, q, r p, r ist kleiner.
48 Erlaubte Klauselkörper für p I T P (I ) {p} {p} {p} {q} {r} {r} {p, q} {r} {p, r} {p, r} {q, r} {p} {p, q, r} {p, r} Kl.körper Erlaubt für p? p T P ({q}) p p T P ({p, q}) q p T P ({q}).. p, r OK. q, r OK. p, q OK. q, r OK... p, q, r p, r ist kleiner.. p, q, r. q, r ist kleiner. S p = {p, r; q, r; p, q; q, r}
49 Erlaubte Klauselkörper für p I T P (I) {p} {p} {p} {q} {r} {r} {p, q} {r} {p, r} {p, r} {q, r} {p} {p, q, r} {p, r} Interpretation {p} {p, r} {q, r} {p, q, r} Schritt
50 Berechnung des Unterprogramms Q p Kl.körper q, r p, q p, r q, r Interpretation {p} {p, r} {q, r} {p, q, r} Schritt
51 Berechnung des Unterprogramms Q p Kl.körper I q, r 2 p, q 2 p, r 2 q, r 2 Interpretation {p} {p, r} {q, r} {p, q, r} Schritt
52 Berechnung des Unterprogramms Q p Kl.körper I q, r 2 p, q 2 p, r 2 q, r 2 Interpretation {p} {p, r} {q, r} {p, q, r} Schritt I I Unterprogramm Q p : p q, r
53 Berechnung des Unterprogramms Q p Kl.körper I II q, r 2 p, q 2 1 p, r 2 2 q, r 2 2 Interpretation {p} {p, r} {q, r} {p, q, r} Schritt I I Unterprogramm Q p : p q, r
54 Berechnung des Unterprogramms Q p Kl.körper I II q, r 2 p, q 2 1 p, r 2 2 q, r 2 2 Interpretation {p} {p, r} {q, r} {p, q, r} Schritt I I II II Unterprogramm Q p : p q, r p p, r
55 Berechnung des Unterprogramms Q p Kl.körper I II III q, r 2 p, q p, r 2 2 q, r Interpretation {p} {p, r} {q, r} {p, q, r} Schritt I I II II Unterprogramm Q p : p q, r p p, r
56 Berechnung des Unterprogramms Q p Kl.körper I II III q, r 2 p, q p, r 2 2 q, r Interpretation {p} {p, r} {q, r} {p, q, r} Schritt I I II III II Unterprogramm Q p : p q, r p p, r p q, r
57 Berechnung des Unterprogramms Q r I T P (I ) {p} {p} {p} {q} {r} {r} {p, q} {r} {p, r} {p, r} {q, r} {p} {p, q, r} {p, r} erlaubte Klauselkörper: S r = {r, q; p, q; p, r} Unterprogramm Q r : r r, q r p, q
58 Ergebnis I T P (I ) {p} {p} {p} {q} {r} {r} {p, q} {r} {p, r} {p, r} {q, r} {p} {p, q, r} {p, r} extrahiertes Programm: p q, r p p, r p q, r r r, q r p, q
59 Zusammenfassung zur exakten Extraktion Extraktion definiter Programme: korrekter Algorithmus, der minimales Programm liefert weiteres Resultat: es gibt zu einem monotonen Operator genau ein minimales definites Programm Extraktion normaler Programme: für jedes Mapping M : 2 B P 2 B P existiert Programm P, so dass M = T P (B P endlich) α-, β-, γ-reduktion: korrekt, top-down, Resultat nicht minimal : korrekt, bottom-up, Resultat nicht minimal Programmsuche: korrekt, Resultat minimal weiteres Resultat: es kann zu einem Operator mehrere verschiedene minimale normale Programme geben
60 Danke für Ihre Aufmerksamkeit
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