Änderungen der kinetischen Energien sind ausschließlich in der Düse zu berücksichtigen.

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1 Thermodynamik II - Lösung 3 Aufgabe 5: Auf den windreichen Kanarischen Inseln ist eine Kühlanlage geplant, die Kaltwasser (Massenstrom ṁ w = 5 kg/s) von t aus = 18 C liefern soll. Das Wasser wird der Umgebung entnommen und hat eine Temperatur t ein = 26 C. Die Kühlanlage soll nach folgendem Prinzip arbeiten: Die in die Kühlanlage (Eintrittsquerschnitt A 1 = 1,2 m 2 ) mit der Geschwindigkeit c 1 einströmende Luft der Umgebung (p 1 = p u = 1 bar, t 1 = t u = 28 C) soll zunächst mit einem Gebläse reversibel adiabatisch komprimiert und anschließend isobar auf die Umgebungstemperatur t u abgekühlt werden. In einer adiabaten Düse soll die Luft dann reversibel auf p 4 = p u entspannt werden und die Kühlanlage nach der Kühlung des Wassers in einem vollkommen isolierten Wärmeübertrager mit der Temperatur t 5 = 16 C verlassen. a) Skizzieren Sie die Zustandsänderung der Luft in einem T,s- und einem p,h- Diagramm. b) Welche Temperatur t 4 muss die Luft beim Eintritt in den Wärmeübertrager mindestens angenommen haben, wenn für die Auslegung eine Luftgeschwindigkeit c 1 = 72 km/h zugrunde gelegt werden soll? c) Auf welchen Druck p 2 muss die Luft dafür komprimiert werden? d) Mit welcher Geschwindigkeit c 5 verlässt die Luft die Kühlanlage? Weitere Angaben: Luft ist als perfektes Gas mit c p,l = 1, kj/(kgk) und R L =,287 kj/(kgk) zu behandeln. Die spezifische Wärmekapazität von Wasser beträgt c w = 4,2 kj/(kgk). Änderungen der kinetischen Energien sind ausschließlich in der Düse zu berücksichtigen. Änderungen der potentiellen Energien sind zu vernachlässigen. Wasser soll als inkompressibles Fluid betrachtet werden Hinweis: Bei komplexen Aufgabenstellungen mit mehreren Zustandsänderungen empfiehlt es sich, immer eine Übersicht mit allen gegebenen Größen und Zusammenhängen zu erstellen. Zustand 1: p 1 = p u = 1 bar t 1 = t u = 28 C Zustand 2: Zustand 3: t 3 = t u = 28 C Zustand 4: p 4 = p u = 1 bar Zustand 5: p 5 = p u = 1 bar t 5 = 16 C 1 2 rev. adiabate Verdichtung 2 3 isobare Kühlung 3 4 rev. adiabate Entspannung 4 5 isobare Erwärmung 1

2 Thermodynamik II - Lösung 3 a ) Skizzieren Sie die Zustandsänderung der Luft in einem T,s- und einem p,h- Diagramm. Die Verläufe der einzelnen Zustandsänderungen sind den jeweiligen Diagrammen zu entnehmen. ( ) dt Steigung der Isobaren: = T ds p c p Es ergeben sich für diese Aufgabe folgende Diagramme: Beim p-h-diagramm ist darauf zu achten, dass die Zustände 1 und 3 direkt übereinander liegen, da gilt: perf. Gas: h = c p T h 1 = h 3 Im T-s-Diagramm müssen die Temperaturen T 3 und T 1 auf einer Höhe liegen, da T 3 = T 1. b ) Welche Temperatur t 4 muss die Luft beim Eintritt in den Wärmeübertrager mindestens angenommen haben, wenn für die Auslegung eine Luftgeschwindigkeit c 1 = 72 km/h zugrunde gelegt werden soll? gesucht: Temperatur t 4 Hier gilt: p,v aus einem Zustand sind nicht bekannt Polytropenexponent ist nicht bekannt isentrope Wirkungsgrade ebenfalls nicht bekannt es bleibt nur die Lösungsmöglichkeit über den 1. HS übrig 1 Systemgrenzen festlegen: Wie aus Thermodynamik I bekannt, können Systemgrenzen beliebig gelegt werden diese Teilaufgabe kann über 2 verschiedene Rechenwege gelöst werden. Möglichkeit 1: Betrachtung des Prozesses mit 2 Subsystemen (Luft, Wasser): Wärmestrom Q Luft von System II(Wasser) in System I(Luft); (siehe Skizze) 2

3 Thermodynamik II - Lösung 3 Für die beiden Subsysteme gilt: Q Luft = Q ein,aus um die beiden Systeme miteinander verknüpfen zu können betrachtet man diesmal nicht den massenspez. 1. HS, sondern den allg. 1. HS 2 Massenströme bestimmen: Massenstrom Wasser: aus Aufgabenstellung bekannt; ṁ w = 5 kg/s Massenstrom Luft: System Luft: ṁ L = 3 1. Hauptsatz aufstellen: ṁ = ρ A c Dichte aus id. Gasgl.: p = ρ R T ρ 1 = p 1 R L T 1 ṁ L = ρ 1 A 1 c 1 = p 1 R L T 1 A 1 c P a 287 J/(kgK) ( , 15)K 1, 2 m2 2 m/s = 27, 77 kg/s stationär (ṁ L = const.) de dτ = Q i i (τ) + j Ẇ j (τ) + k ṁk(τ) h tot,k (τ) = Q c Luft + ṁ L (h g z c 4 (h g z 5 )) Es gilt: Q Luft = Q 45 ; + Q 45, da System I zugeführt = Q 45 + ṁ L (h 4 h 5 ) 4 spez. Enthalpie bestimmen: behandeln h = c p T Luft ist als perfektes Gas zu 5 nach gesuchter Größe umstellen: = Q 45 + ṁ L (h 4 h 5 ) = Q 45 + ṁ L c p,l (T 4 T 5 ) Q 45 T 4 = + T 5 ṁ L c p,l (1*) T 5 > T 4, plausibel einzige Unbekannte: Q 45 Q 45 über zweites Subsystem (System Wasser) bestimmen System Wasser: 3 1. Hauptsatz aufstellen: stationär (ṁ w = const.) de dτ = Q i i (τ) + j Ẇ j (τ) + k ṁk(τ) h tot,k (τ) = Q c ein,aus + ṁ w (h e + 2 e 2 + g z c e (h a + 2 a 2 + g z a )) Es gilt: Q ein,aus = Q 45 ; Q 45, da System II entzogen = Q 45 + ṁ w (h e h a ) 3

4 Thermodynamik II - Lösung 3 4 spez. Enthalpie bestimmen: reale Fluide Wasser wird als inkompressibles Medium angenommen (siehe Angaben) Es ergibt sich also: Annahme: dp =. ( ) h dh = dt + T p }{{} c w =const. ( ) h p dp = c w dt T h e h a = c w (T e T a ) = Q 45 + ṁ w (h e h a ) = Q 45 + ṁ w c w (T e T a ) 5 nach gesuchter Größe umstellen: Q 45 = ṁ w c w (T e T a ) (2*) Q 45 >, plausibel da vorherige Annahme Q ein,aus = Q 45 und somit Q ein,aus < (2*) in (1*) einsetzen: T 4 = ṁw c w (T e T a ) ṁ L c p,l + T 5 5 kg/s 42 J/(kgK) (26 18)K T 4 = + (273, )K 27, 77 kg/s 1 J/(kgK) T 4 = 283, 1 K = 9, 95 C Möglichkeit 2: Betrachtung des Prozesses als ein nach außen adiabates System: kein Wärmestrom ins System (siehe Skizze) gleiches Vorgehen wie in Möglichkeit 1 2 Massenströme bestimmen (siehe Möglichkeit 1): Massenstrom Wasser: ṁ w = 5 kg/s; Massenstrom Luft: ṁ L = 27, 77 kg/s 3 1. Hauptsatz aufstellen: de dτ = i Q i (τ) + j Ẇ j (τ) + k ṁk(τ) h tot,k (τ) = ṁ L (h 4 h 5 ) + ṁ w (h e h a ) 4 spez. Enthalpie bestimmen (siehe Möglichkeit 1): Wasser: h w = c w T ; Luft: h L = c p,l T 4

5 Thermodynamik II - Lösung 3 5 nach gesuchter Größe umstellen: = ṁ L (h 4 h 5 ) + ṁ w (h e h a ) = ṁ L c p,l (T 4 T 5 ) + ṁ w c w (T e T a ) c w (T e T a ) 5 kg/s 42 J/(kgK) (26 18)K T 4 = ṁw + T 5 = + ( , 15)K ṁ L c p,l 27, 77 kg/s 1 J/(kgK) T 4 = 283, 1 K = 9, 95 C c) Auf welchen Druck p 2 muss die Luft dafür komprimiert werden? Gesucht: p 2 Gegeben: p 2 = p 3 ; T 3 = 31, 15 K p 4 = 1 bar T 4 = 283, 1 K Die Zustandsänderung von Zustand 2 nach Zustand 3 ist rev. adiabat, also isentrop n = κ Drücke werden über die Polytropengleichungen bestimmt. Bestimmung von κ: κ = T 4 T 3 = ( p4 p 3 ) κ 1 κ mit p 2 = p 3 folgt p 2 = p 3 = p 4 ( T3 T 4 ) κ κ 1 c p,l 1 J/(kgK) = c p,l R L 1 J/(kgK) 287 J/(kgK) = 1, 4 ( ( , 15)K p 2 = 1 bar 283, 1 K p 2 = 1, 24 bar ) 1,4 1,4 1 d) Mit welcher Geschwindigkeit c 5 verlässt die Luft die Kühlanlage? Entsprechend der Aufgabenstellung findet eine Änderung der kin. Energie, also der Geschwindigkeiten, lediglich in der Düse (3 4) statt. c 4 = c 5 und c 1 = c 2 = c 3 Für die Zustände 3 und 4 sind die Temperaturen bekannt Bestimmung der Geschwindigkeit c 5 mit Hilfe des 1. Hauptsatzes. q 34 + w c 2 t,34 = 34 h g 34 z 1 2 (c2 4 c 2 3) = 34 h = c p,l (T 4 T 3 ) = c p,l (T 3 T 4 ) c 5 = c 4 = 2 c p,l (T 3 T 4 ) + c 2 3 c 5 = 2 1 J/(kgK) (31, 15 K 283, 1 K) + (2 m/s) 2 = 191, 4 m/s Nachbetrachtung: 5

6 Thermodynamik II - Lösung 3 c für Düse 1 2 rev. adiabate Kompression p 1 = 1 bar ; p 2 = 1, 24 bar ( ) κ 1 T 1 = 31, 15 K ; T 2 =? T 2 = T 1 p2 κ p 1 = 32, 33 K 6