11. Gasdynamik Aufgabe 11.1 [2]

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1 Gasdynamik Aufgabe 11.1 [2] Ein punktförmiges Masseteilchen bewegt sich um die Erde auf einem Durchmesser von 13, km mit km/h. Welche Zeit benötigt ein Schallimpuls, der von dem Masseteilchen bei der Umströmung ausgeht bis zum Erreichen der Erdoberfläche? Vernachlässigen Sie die Krümmung der Erdoberfläche, und nehmen Sie T = 339 K an. Der Erddurchmesser beträgt km. Bestimmen Sie weiterhin die Mach-Zahl und den halben Öffnungswinkel α des Machkegels, der bei der Umströmung des Masseteilchens entsteht! Aufgabe 11.2 [3] Berechnen Sie die Schallgeschwindigkeit in a) Luft; b) Wasserstoff; c) Helium in Abhängigkeit von der Temperatur ( -20 C; 0 C; 20 C; 40 C). Aufgabe 11.3 [5] Es soll ein h-s-diagramm für Luft entworfen werden, wobei im betrachteten Bereich vollkommen ideales Gasverhalten angenommen wird (p ρt; c p = const.). Gegeben: c p = 1 kj/(kgk) = const.; R = 288,5 J/(kgK) (feuchte Luft) Gesucht: die Isobaren p = const. = 1 bar bis 8 bar im Bereich 300 h 600 kj/kg Aufgabe 11.4 [9] Wie lautet die Ruhedichte ρ R eines reibungsfrei mit der Geschwindigkeit w strömenden Gases bei der statischen Temperatur T und der Dichte ρ? Gegeben: ρ, w, κ, R, T Aufgabe 11.5 [9] Der Isentropenexponent zweiatomiger Gase ist κ = 1,4. Drücken Sie für die Gase die Stautemperaturerhöhung T = T R - T durch die Machzahl M und die statische Temperatur T aus! Gegeben: T, M, κ = 1,4

2 11-2 Aufgabe 11.6 [9] In einer wärmedichten Strömung herrscht die Gesamttemperatur T R und die Geschwindigkeit w. Man drücke die statische Temperatur T des Gases durch T R, κ und M * aus. Gegeben: w; T R ; R; κ Aufgabe 11.7 [3] In der Praxis werden Strömungen von Gasen mit kleiner Geschwindigkeit wie Strömungen inkompressibler Fluide behandelt. a) Bis zu welcher Geschwindigkeit ist diese Näherung für eine Luftströmung zulässig, wenn bei T 0 = 300 K als zulässige Dichteänderung 2 % der Kesseldichte vorgegeben sind? b) Welcher MACHzahl entspricht diese Geschwindigkeit? c) Vergleichen Sie das Ergebnis mit der als noch zulässig genannten MACHzahl von 0,3! Aufgabe 11.8 [3] Eine Chemieanlage wird mittels Prozeßrechner gesteuert. Zum optimalen Ablauf des Prozesses ist es notwendig, Luft durch eine Düse mit einer Geschwindigkeit von 160 m/s bei einer Temperatur von 293 K und einem Druck von 0,1 MPa zuzuführen. Mit dem Prozeßrechner gekoppelt sind als Meßgeber ein PITOTrohr und ein Thermoelement, die in der Düse angeordnet sind. Welche Werte zeigen diese Geräte an? Aufgabe 11.9 [2] Ein Flugzeug absolviert ein Testprogramm in verschiedenen Höhen und mit verschiedenen Geschwindigkeiten. Dabei wurde u. a. die Temperatur an der Flugzeugnase gemessen und von einem Temperaturschreiber aufgezeigt. Gegeben: H = m, T = 282 K, v = km/h, H = Flugzeughöhe H = m, T = 223 K, v = km/h, T B = 288 K Temperatur in Bodennähe Gesucht: Welche Temperaturen konnten für die angegebenen Höhen und Geschwindigkeiten abgelesen werden?

3 11-3 Aufgabe [4] Aus einer Schattenbeobachtung in einem Strömungskanal wurde die Neigung einer Machschen Linie zu 65 bestimmt. Wievielmal ist an dieser Stelle die Geschwindigkeit größer als die örtliche Schallgeschwindigkeit? Aufgabe [9] Die bei kompressiblen Strömungen praktische Näherung für die Berechnung des Gesamtdruckes p R = p + (ρ/2) w² (l + M²/4) ist mit der für inkompressible Strömungen gültige Beziehung p Ri = p + (ρ/2) w² zu vergleichen. Bilde das Verhältnis p R /p Ri! Gegeben: M; κ Aufgabe [3] Ein Luftverdichter erzeugt für 2 verschiedene Betriebspunkte einen Druck von 0,15 und 0,3 MPa nach der letzten Stufe. Wie groß sind in beiden Fällen die Spaltverluste,wenn die Abdichtung gegen die Atmosphäre durch die skizzierte berührungsfreie Dichtung erfolgt? Die Temperatur nach der letzten Stufe beträgt in beiden Fällen 320 K. Aufgabe [3] Luft mit dem Kesselzustand T 0 = 500; p 0 = 1 MPa strömt reversibel durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt, das an der engsten Stelle den Wert A * = 0,1 m² besitzt. a) Wie groß sind p, T, v in der Strömung bei einem Querschnitt von 0,15 m²? b) Welche Bedeutung haben die verschiedenen Lösungen? Aufgabe [3] Ein Flugzeugbauteil soll in einem Windkanal bei Ma = 2,0 untersucht werden. Die Einregelung der gewünschten MACHzahl erfolgt bei konstanten Kesselwerten p 0 = 2 MPa, T 0 = 288 K durch Veränderungen am Windkanal. Die Kontrolle erfolgt optisch dadurch, daß Störlinien, die von der an einer Stelle leicht aufgerauhten Oberfläche der Meßstrecke ausgehen, beobachtet werden. Welcher Winkel zwischen Störlinie und Oberfläche muß abgelesen werden, damit die gewünschte MACHzahl eingehalten wird? Wie groß ist dann die Geschwindigkeit in der Meßstrecke?

4 11-4 Aufgabe [3] Aus einem Druckbehälter, in dem eine Temperatur von 310 K gemessen wird, strömt 1 kg/s Luft durch eine Düse mit dem Durchmesser 0,1 m. Der Druck am Düsenaustritt beträgt 41 kpa. Wie groß sind Geschwindigkeit und MACHzahl? Aufgabe [3] Auf welche maximale Geschwindigkeit kann eine Luftströmung beschleunigt werden, die an einer Stelle in der Düse folgende Parameter besitzt? Gegeben: Druck von Pa, Temperatur von 216 K, Geschwindigkeit von 180 m/s Wie groß ist die kritische Geschwindigkeit der Strömung? Aufgabe [5] In einem großen Druckluftkessel entsteht ein 1 cm² großes Leck. Gegeben: im Kessel: p 0 = 2,5 bar; T 0 = 293 K; Umgebung: p a = 1 bar; T a = 288 K Gasdaten: R = 287 J/(kgK); k = 1,4 const. Gesucht: der Leckmengenstrom. Aufgabe [9] In einer adiabaten Gasströmung bleibt die Gesamttemperatur T R = const. und es gilt dabei: RdT = κ 1 c w dw = v ( κ 1 ) w dw κ c p Man bestätige diese Beziehung. Gegeben: R, T, w, c v, c p, κ 2 w Anleitung: Beziehung für die Gesamttemperatur Tt = T + = const. differenzieren 2cp und Gaskonstante R = c p - c v sowie κ = c p /c v einführen.

5 11-5 Aufgabe [9] A * /A einer isentropen Strömung ist eine Funktion von M * und κ. Man ermittle a) die Beziehung für den Massenstrom m in Abhängigkeit von A * /A und b) den Ausdruck für die Strömungsgeschwindigkeit w im Querschnitt A c) Man drücke!m durch p, M *, A, κ, R, T R, aus. Gegeben: p; p R ; ρ; A; A * /A; T R ; T; R; M * ; κ Aufgabe [9] Von einer isentrop durchströmten Stromröhre mit bekanntem Querschnittsverlauf A 1, A 2, A 3... sind der Massenstrom!m und überdies die Machzahl M * 1 in A 1 sowie p R und T R gegeben: a) Wie lautet der statische Druck p in den betrachteten Querschnitten? b) Wie groß ist dort die Strömungsgeschwindigkeit? c) Wie groß ist der kritische Querschnitt A *? d) Wie lautet das Querschnittsverhältnis A 1 /A 2, A 1 /A 3 usw. in Abhängigkeit von M * und κ? Gegeben: A 1 ; A 2 ; A 3 ;...;!m; p R ; M * 1; T R ; R; κ Aufgabe [9] In einer reibungsfreien Diffusorströmung wird Luft verzögert. Gesucht sind die Werte M * 2, p 2, p 1, T 1, T 2, w 1 und w 2. Gegeben: p lr = 27 bar; M * 1 = 0,80; A 2 /A 1 = 3; η D = p 2R /p lr = 0,90; T lr = 800 K = T 2R = const.; c p = J/kgK; κ = 1,35. Aufgabe [9] Im Querschnitt A strömt ein Gas isentrop mit der Machzahl M * = M * max. Wie lautet das Verhältnis A * /A, wenn A * derjenige Querschnitt der Stromröhre bedeutet, in welchem der Massenstrom!m mit der Machzahl M * = M = l strömt oder strömen würde? Aufgabe [9] In einer isentropen Strömung fließen sekündlich durch den Querschnitt A die Masse!m beim Druck p, der Gesamttemperatur T R, dem Gesamtdruck p R und der Ruhedichte ρ R. Wie groß ist A? Gegeben:!m; p; p R ; ρ R ; T R ; κ

6 11-6 Aufgabe [9] Eine kompressible reibungsfreie Strömung fließt im Querschnitt l mit der Geschwindigkeit w 1 und dem statischen Druck p 1 bei der Temperatur T 1. Im Querschnitt 2 beträgt die Strömungsgeschwindigkeit w 2. a) Wie groß ist dort der statische Druck p 2? b) Man forme die Bernoulli-Gleichung für kompressible Strömungen so um, daß eine Verbindung zwischen p, ρ, p R, ρ R und der dortigen Strömungsgeschwindigkeit w entsteht. c) Die Bernoulli-Gleichung ist so umzuformen, daß sich eine Beziehung zwischen den Schallgeschwindigkeiten a und a R ergibt. d) Es ist eine weitere Form der Bernoulli-Gleichung zu finden, in der M, T R, und T vorkommt (Vernachlässigung des Druckverlustes durch Verdichtungsstöße beim Übergang von Überund Unterschall). Gegeben: w 1 ; w 2 ; p 1 ; T 1 ; κ; R bzw. p; ρ; w; p R ; T R ; T; M; κ; ρ R Aufgabe [9] Ein Fluid strömt mit der Geschwindigkeit w bei der Temperatur T. Durch isentropen Stau auf w = 0 steigt die Temperatur um T. Das Verhältnis der Stautemperaturerhöhung T = w²/(2c p ) zur statischen Temperatur der Anströmung ist w²/(2c p T). Man zeige, daß w²/(2c p T) = ((κ-1)/2) M² = T/T ist. Aufgabe [9] Ein isentrop strömendes Gas ändert seine Enthalpie von Punkt 1 bis 2 um h s. Im Querschnitt l ist die Strömungsgeschwindigkeit w 1. Wie groß ist die Geschwindigkeit im Querschnitt 2? Gegeben: w 1 ; h s h-s-diagramm, isentrope Srömung a) Verzögerungsströmung b) Beschleunigungsströmung

7 11-7 Aufgabe [9] Bei der isentropen Entspannung eines idealen Gases von der Temperatur T R (Ruhetemperatur) ins Vakuum stellt sich die theoretisch größtmögliche Strömungsgeschwindigkeit w max = Grenzgeschwindigkeit ein. Man berechne w max. Gegeben: κ; R; T R Aufgabe [9] Welche Beziehung besteht zwischen der Strömungsgeschwindigkeit w, der Schallgeschwindigkeit a, der Grenzgeschwindigkeit w max und dem Isentropenexponent κ? Gegeben: w; κ; R; T Aufgabe [9] 2 Man ermittle aus der Beziehung w + a = w κ max die kritische Schallgeschwindigkeit a* = Gegeben: R; T R ; κ 2κ RT κ + 1 R Aufgabe [9] Formuliere die Verhältnisse T/T R, p/p R, ρ/ρ R in Funktion der Machzahl M und der kritischen Machzahl M *. Gegeben: T/T R ; p/p R ; ρ/ρ R in Funktion von w, T, R, κ Aufgabe [9] Als kritische Machzahl wird M * = c/a * festgelegt. Welchen Größtwert kann M * annehmen? Gegeben: R; T R ; κ Aufgabe [9] Eine isentrope Fadenströmung wird von der Geschwindigkeit w 1 auf die Geschwindigkeit w 2 verzögert. Im Querschnitt mit w 1 hat das Gas die statische Temperatur T 1. Wie groß ist die statische Temperatur T 2 am Ort mit der Geschwindigkeit w 2? Gegeben: w 1 ; w 2 ; R; T 1 ; κ

8 11-8 Aufgabe [9] Das Verhältnis der Massenstromdichte ρc zur maximalen Massenstromdichte ρ * c * im kleinsten Querschnitt einer Stromröhre, in der M * = 1 erreicht wird, beträgt 1 1 κ 1 κ 1 ρc κ +1 * * = ρ c * κ -1. M ( M 2 * ) κ Bestätigen Sie dieses Ergebnis und vergleichen Sie mit A * /A! Aufgabe [9] In einer wärmeisolierten Strömung bleibt die Totaltemperatur T R (Gesamttemperatur) unverändert. Wie verhalten sich bei isentroper Zustandsänderung die statischen Temperaturen T 2 /T 1 in den Punkten 1 und 2 einer Stromröhre in Funktion der zugehörigen kritischen Machzahl M *? Gegeben: κ; M * 1; M * 2; T R = w Aufgabe [2] Luft strömt aus einem Kessel reversibel durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt. Gegeben: T w = 500 K P R = 1 MPa A * = 0,10 m² A = 0,15 m² Gesucht: 1. Wie groß sind p, T, v, in der Strömung in einem Querschnitt A? 2. Welche Bedeutung haben die verschiedenen Lösungen?

9 11-9 Aufgabe [3] Der Überschallteil der LAVALdüse eines Überschallwindkanals soll so ausgelegt werden, daß folgende Bedingungen erfüllt sind: Druck und Temperatur im Austrittsquerschnitt betragen 0,1 MPa und 288 K; A * = 1 m²; die Geschwindigkeit im Überschallteil soll bis Ma = 2 linear zunehmen. Die Länge des Überschallteiles ist 1. a) Wie groß sind p R und T R? b) Wie muß der Querschnitt in Abhängigkeit von der Lauflänge erweitert werden (punktweise)? Aufgabe [6] Für den Betrieb einer Überschallmeßstrecke wird eine Luftströmung unter dem Druck p 1 mit der Temperatur T 1 und der Machzahl M 1 durch ein Rohr mit der Querschnittsfläche A 1 geleitet und einer Lavaldüse zugeführt. Sie entspannt die Strömung auf den Druck p 2 der Meßstrecke. Folgende Zahlenwerte sind gegeben: p 1 = 6,5 bar; T 1 = 440 K, M 1 = 0,5; A 1 = 160 cm² p 2 = 1,0 bar; R 287 m 2 = s K, = 1,4 2 κ (R - spezifische Gaskonstante, κ - Isentropenexponent) Für die Versuchsanlage sollen die nachfolgend aufgelisteten Größen ermittelt werden: a) Welche Machzahl M 2 wird in der Meßstrecke erreicht? b) Wie groß müssen die Flächen A * und A 2 gewählt werden? c) Wie groß ist der Massenstrom durch die Versuchsanlage? Hinweis: Die Strömung durch die Anlage soll isentrop angenommen werden.

10 11-10 Aufgabe [5] Stationäre, eindimensionale, adiabate, reibungsfreie Düsenströmung. Gegeben: A 1 /A 2 = A 3 /A 2 = 1,33 (A 2 = A min ) p R1 = 1,15 bar ideales Gas mit κ = 1,4 = const. Gesucht: a) Die statischen Drücke p 1, p 2, p 3 für M 2 = 0,7 und M 2 = 1,0. b) Bei welchem Gegendruck p geg ist M 2 = 0,7? c) Bei welchen Gegendrücken ist M 2 = 1.0, wenn eine stetige Expansion in der Düse bis p 3 = p geg vorausgesetzt wird? Aufgabe [5]!m RTR p a Es soll die Ausflußfunktion = f κ p R A für das Ausströmen aus einem großen Kessel (p 0, T 0, w 0 = 0) durch eine konvergente Düse in die Umgebung (Gegendruck p a ) analog zur p R Abbildung dargestellt werden. Annahme: isentrope Strömung (ideales Gas), also T R = const. = T 0 und p R = const. = p 0 κ = 1,4 const.

11 11-11 Aufgabe [9] In einer idealen Überschalldüse expandiert CO 2. Gesucht sind die Werte: M * 2, p R, p 2, p *, A 1 /A 2 (A 1 ist Querschnitt vor A *, A * ist engster Querschnitt, A 2 ist Austrittsfläche), A * /A 2, A * /A 1, w 1, w 2, w * = a *. Gegeben: p 1 = 15 bar; T R = K; M * 1 = 0,4; κ = 1,19; R = 188,9 J/kgK; c p = J/kgK; T 2 = 500 K. Aufgabe [4] Eine rotationssymmetrische Lavaldüse, deren Kontur r = f (x) mit den Zahlenwerten der Tabelle festgelegt ist, beschleunigt Luft auf Überschallgeschwindigkeit. Die Ruhetemperatur beträgt T R = 288 K. Der Druck im Austrittsquerschnitt der Düse sei p A = 10 5 Pa. Zu berechnen sind: a) Ruhedruck p R, Austrittstemperatur T A, Durchsatz!m kg/s. Zu zeichnen ist: b) der Verlauf von p, ρ, T, M, M * längs der Düsenachse. Schließlich sollen bestimmt werden: c) Strömungsgeschwindigkeit w sowie Schallgeschwindigkeit a im Einlauf (x = 0), im engsten Querschnitt (x = 35 mm) und im Auslauf (x = 70 mm). x/l 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 r 71,4 67,3 64,3 63,0 62,0 61,6 62,3 63,6 66,9 72,7 80,1 mm

12 11-12 Aufgabe [2] Für die Schubdüse einer Rakete ist eine kreisrunde Lavaldüse zu entwerfen, die der Rakete beim senkrechten Start vom Erdboden die Anfangsbeschleunigung a erteilt. Gegeben: m s = 100,9 kg;!m = 4 kg/s a = 49,05 m/s² P R = 5 Mpa (in der Brennkammer) T R = K (in der Brennkammer) R = 387 J/kg κ = 1,4 P b = 10 5 Pa Gesucht: 1. Austrittsgeschwindigkeit v A im Auslegungspunkt und kritische Machzahl Ma * A. 2. Kritische Werte p *,ρ *, A *, d * im engsten Querschnitt. 3. Austrittswerte p A, T A, A A, d A. Aufgabe [2] Bei einem aufgeladenen Dieselmotor wird die Verbrennungsluft von einem Abgasturbolader in den Zylinder gedrückt. Wie groß ist der augenblickliche Massendurchsatz durch den Ventilspalt bei einem Ventilhub von 8 mm, wenn der Druck, die Temperatur und die Geschwindigkeit der Luft im Zuströmrohr 0,3 MPa, 330 K und 100 m/s betragen und der Zylinderdruck 0,15 MPa beträgt? Anmerkung: Das Problem ist quasistationär zu behandeln; Verluste sind zu vernachlässigen. Gegeben: d = 50 mm h v = 8 mm α = 60 p = 0,3 MPa T = 330 K v = 100 m/s p zyl = 0,15 MPa Gesucht:!m

13 11-13 Aufgabe [6] Ein großer Druckluftkessel (Kesseldruck p K, Kesseltemperatur T K ) besitzt eine Ablaßöffnung mit der Austrittsquerschnittsfläche A 1. Es soll der sekündlich in die Atmosphäre (der Atmosphärendruck ist p 0 ) ausfließende Massenstrom!m berechnet werden. Dazu soll angenommen werden, daß a) die Strömung reibungslos und inkompressibel sei, b) die Strömung isentrop und kompressibel sei. Vor die Ablaßöffnung mit der Querschnittsfläche A 1 wird ein Erweiterungsstück mit der Austrittsquerschnittsfläche A 2 gesetzt. Wie groß ist mit dem Erweiterungsstück der sekündlich ausfließende Massenstrom, wenn wieder angenommen werden soll, daß c) die Strömung reibungslos und inkompressibel sei. d) die Strömung isentrop und kompressibel sei. Folgende Zahlenwerte sind für die Rechnung gegeben: p k = 3.7 bar; p 0 = 1 bar; T K = 300 K; A 1 = 17 cm²; A 2 = 20 cm²; spezifische Gaskonstante R = 287 m²/(s². K); Isentropenexponent κ = 1.4. Aufgabe [5] Gesucht ist die Schubkraft einer Laval-Düse. Die Ebene 1 sei eine gedachte Schnittstelle; die gesuchte Kraft ist also die "Schnittgröße" N im Schnitt 1-1 durch das Rohr. Beachte: im Beispiel ist A 1 = A 3 Gegeben: A 3 /A min = A 1 /A min = 2; (A min = A 2 ); χ = 1,3; M 3 > 1 Fw Gesucht: die dimensionale Kraft nach der Größe und Richtung p A R1 Annahmen: stationäre, reibungsfreie, adiabate Strömung; vollkommen ideales Gas. min

14 11-14 Aufgabe [3] Die Schubdüse einer Rakete ist als LAVALdüse mit einem Flächenverhältnis A Austritt /A * = 3 (A * = 10-2 m²) ausgelegt. a) Wie groß müssen p 0 und T 0 sein, wenn der Druck und Temperatur im Austrittsquerschnitt 0,1 MPa und 303 K betragen? b) Wie groß ist die Stromdichte in der Austrittsfläche und der von der Rakete erzeugte Schub in einer Höhe von m bei einem Luftdruck von 0,03 MPa? c) Durch erhöhte Energiezufuhr steigt die Ruhetemperatur um 200 K. Wie ändern sich die berechneten Größen, wenn die Erwärmung einmal isobar und einmal isochor angenommen wird? Aufgabe [5] Ausströmen aus einem großen Kessel Annahmen: isentrope Strömung; vollkommen ideales Gas Gegeben: p R1 = 1,45 bar; T R1 = 293 K R = 287 J/(kgK); κ = 1,4 Fall α): konvergent - divergenter Stromfaden; A 2 = A min = 0,4 A 3 Fall β): konvergenter Stromfaden (Düse α bei A 2 abgeschnitten; kontraktionsfreies Ausströmen) Gesucht: a) das h-s-diagramm der isentropen Düsenströmung für den Fall α) mit den Isobaren p R1 und p a, der Isenthalpe h t ; wenn "Mündungsdruck = Gegendruck" b) desgleichen für den Fall β); vorausgesetzt wird c)!m β /!m α ; d) In welchem Gegendruckbereich (... p a <...) ist sowohl im Fall α) als auch im Fall β) der Mündungsdruck gleich dem Gegendruck? (p 3 ) α = p a = (p 2 ) β e) Das Verhältnis!m β /!m α bei Gegendrücken im Bereich 0 < p a 0,766. Wie groß sind dann (p 2 ) β und (p 2 ) α? Zeichne p(x) qualitativ!