Die Laplace-Transformation und ihre Anwendung in der Elektrotechnik

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1 Die Laplace-Transformation und ihre Anwendung in der Elektrotechnik Jürgen Struckmeier struck Vortrag im Rahmen des Winterseminars Aktuelle Probleme der Beschleuniger- und Plasmaphysik des Instituts für Angewandte Physik der Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main Riezlern, März 2008 Laplace-Transformation p. 1

2 Überblick Mathematische Grundlagen der Laplace-Transformation (LT) Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Beispiel 1: LRC-Stromkreis Beispiel 2: Netzwerk-Analyse Ausblicke: Lösung von speziellen Typen von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten Transformation von partiellen Differentialgleichungen in gewöhnliche Differentialgleichungen Zusammenfassung Laplace-Transformation p. 2

3 Mathematische Grundlagen Definition 1: Eine Abbildungsvorschrift T, die jeder gegebenen Funktion f(t) eindeutig eine Funktion F(s) zuordnet, heißt Funktionaltransformation: f(t) T F(s) T {f(t)} = F(s) t bezeichnet die unabhängige Variable im Originalraum, s die unabhängige Variable im Bildraum. Laplace-Transformation p. 3

4 Mathematische Grundlagen Definition 1: Eine Abbildungsvorschrift T, die jeder gegebenen Funktion f(t) eindeutig eine Funktion F(s) zuordnet, heißt Funktionaltransformation: f(t) T F(s) T {f(t)} = F(s) t bezeichnet die unabhängige Variable im Originalraum, s die unabhängige Variable im Bildraum. Definition 2: Eine Funktionaltransformation heißt Laplace- Transformation L, wenn jeder Funktion f(t), t Ê, die für t > 0 definiert ist, eine komplexwertige Funktion F(s), s nach folgendem Muster zugeordnet wird: L {f(t)} = F(s) = f(t) e st dt 0 Laplace-Transformation p. 3

5 Dies ist ein uneigentliches Integral! Für s existiert die Laplace-Transformierte von f(t) nur dann, wenn das Integral konvergiert. Laplace-Transformation p. 4

6 Dies ist ein uneigentliches Integral! Für s existiert die Laplace-Transformierte von f(t) nur dann, wenn das Integral konvergiert. Die Menge dieser Punkte s bildet das Definitionsgebiet der Funktion F(s). Für physikalisch sinnvolle Funktionen f(t) ist dieses Gebiet niemals leer, jedoch muss Rs > 0 gelten. Laplace-Transformation p. 4

7 Dies ist ein uneigentliches Integral! Für s existiert die Laplace-Transformierte von f(t) nur dann, wenn das Integral konvergiert. Die Menge dieser Punkte s bildet das Definitionsgebiet der Funktion F(s). Für physikalisch sinnvolle Funktionen f(t) ist dieses Gebiet niemals leer, jedoch muss Rs > 0 gelten. Als Folge der Konvergenz des Integrals geht in diesem Gebiet der Integrand mit t gegen Null: lim f(t) t e st = 0 Rs >! 0. Laplace-Transformation p. 4

8 Dies ist ein uneigentliches Integral! Für s existiert die Laplace-Transformierte von f(t) nur dann, wenn das Integral konvergiert. Die Menge dieser Punkte s bildet das Definitionsgebiet der Funktion F(s). Für physikalisch sinnvolle Funktionen f(t) ist dieses Gebiet niemals leer, jedoch muss Rs > 0 gelten. Als Folge der Konvergenz des Integrals geht in diesem Gebiet der Integrand mit t gegen Null: lim t f(t) e st = 0 Rs! > 0. Die reellwertige Funktion f(t) stellt i.a. eine messbare Größe dar; die unabhängige Variable t ist dann die Zeit. Ihr wird durch die Laplace-Transformation eine komplexwertige Funktion F(s) zugeordnet, die einer anschaulichen Deutung i.a. nicht zugänglich ist. Laplace-Transformation p. 4

9 Definition 3: Die Umkehroperation bezeichnet man als inverse Laplace-Transformation: L 1 {F(s)} = f(t). Die direkte Berechnung der inversen Laplace- Transformierten von F(s) erfordert i.a. eine aufwändige Integration in der komplexen Ebene. In der Praxis können für die Funktionen F(s) die transformierten Funktionen f(t) aus Tafeln entnommen werden. Laplace-Transformation p. 5

10 Definition 3: Die Umkehroperation bezeichnet man als inverse Laplace-Transformation: L 1 {F(s)} = f(t). Die direkte Berechnung der inversen Laplace- Transformierten von F(s) erfordert i.a. eine aufwändige Integration in der komplexen Ebene. In der Praxis können für die Funktionen F(s) die transformierten Funktionen f(t) aus Tafeln entnommen werden. Folgerung 1: Aus der Linearität der Integrationsoperation ergibt sich die Linearität der Laplace-Transformation: L {af(t) + bg(t)} = a L {f(t)} + b L {g(t)}. Man kann jeden Summanden einer Gleichung einzeln für sich transformieren. Konstante Faktoren bleiben unverändert. Laplace-Transformation p. 5

11 Folgerung 2: Als Laplace-Transformierte der abgeleiteten Funktion f (t) folgt mittels partieller Integration: L {f (t)} = 0 f (t) e st dt = f(t) e st t=0 + s 0 f(t) e st dt = lim t f(t) e st f(0) + s L {f(t)}. Laplace-Transformation p. 6

12 Folgerung 2: Als Laplace-Transformierte der abgeleiteten Funktion f (t) folgt mittels partieller Integration: L {f (t)} = 0 f (t) e st dt = f(t) e st t=0 + s 0 f(t) e st dt = lim t f(t) e st f(0) + s L {f(t)}. Der Grenzwertterm verschwindet im Definitionsgebiet von F(s), wie oben festgestellt. Als Endergebnis erhält man somit: L {f (t)} = s L {f(t)} f(0) = sf(s) f(0). Laplace-Transformation p. 6

13 Folgerung 3: Die Laplace-Transformierte der zweifach abgeleiteten Funktion f (t) folgt durch zweifaches Anwenden dieser Regel: L {f (t)} = s 2 L {f(t)} sf(0) f (0). Entsprechend können die Laplace-Transformierten aller höheren Ableitungsfunktionen gebildet werden. Die Anzahl der eingehenden Anfangsbedingungen ist gleich dem Grad der Ableitung der zu transformierenden Funktion. Laplace-Transformation p. 7

14 Folgerung 3: Die Laplace-Transformierte der zweifach abgeleiteten Funktion f (t) folgt durch zweifaches Anwenden dieser Regel: L {f (t)} = s 2 L {f(t)} sf(0) f (0). Entsprechend können die Laplace-Transformierten aller höheren Ableitungsfunktionen gebildet werden. Die Anzahl der eingehenden Anfangsbedingungen ist gleich dem Grad der Ableitung der zu transformierenden Funktion. Folgerung 4: Als Laplace-Transformierte des Einheitssprungs Θ(t) = 0,t 0, Θ(t) = 1,t > 0 erhalten wir: L {Θ(t)} = 0 1 e st dt = 1 s e st = 1 t=0 s für Rs > 0. Laplace-Transformation p. 7

15 Folgerung 5: Die Laplace-Transformierte der Integralfunktion von f(t) kann aus den Folgerungen 2 und 4 ermittelt werden. Mit φ (t) = f(t) folgt einerseits: L {φ(t)} = 1 s L {f(t)} + 1 s φ(0). Andererseits folgt aus der Linearität der LT: t L f(τ)dτ = L {φ(t) φ(0)θ(t)} 0 = L {φ(t)} φ(0) L {Θ(t)} }{{} =s 1 L t 0 = 1 s L {f(t)} + 1 s φ(0) 1 s φ(0) f(τ)dτ = 1 F(s) L {f(t)} = s s. Laplace-Transformation p. 8

16 Die Ableitung und das Integral einer gegebenen Funktion f(t) erscheint im Raum der Laplace-transformierten Funktionen als Multiplikations- bzw. Divisionsoperation. Wir können dies bei der Lösung von Differentialgleichungen auszunutzen, d.h. sie mittels Laplace- Transformation in algebraische Gleichungen überführen: g ( f(t),f (t),...,f (n) (t) ) = 0 L ( ) h s,f(s) Letztere lassen sich i.a. leicht nach der Funktion F(s) auflösen. Die gesuchte Lösungsfunktion f(t) der Dgl. ergibt sich daraus durch die inverse LT: f(t) = L 1 {F(s)}. = 0. Hierbei wird die Tatsache ausgenutzt, dass die inverse Laplace-Transformierte eindeutig bestimmt ist, wenn wir Null-Funktionen ausschließen. Laplace-Transformation p. 9

17 Der direkte Weg zur Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten besteht aus drei Schritten: Bestimmung der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Laplace-Transformation p. 10

18 Der direkte Weg zur Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten besteht aus drei Schritten: Bestimmung der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Berechnung einer speziellen Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (z.b. mit der Methode der Variation der Konstanten). Die Linearkombination dieser beiden Lösungen stellt die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung dar. Laplace-Transformation p. 10

19 Der direkte Weg zur Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten besteht aus drei Schritten: Bestimmung der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Berechnung einer speziellen Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (z.b. mit der Methode der Variation der Konstanten). Die Linearkombination dieser beiden Lösungen stellt die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung dar. Einsetzen der Anfangsbedingungen, d.h. Anpassen der Integrationskonstanten der allgemeinen Lösung der Differentialgleichung. Laplace-Transformation p. 10

20 Der Weg über die Laplace-Transformation verläuft demgegenüber folgendermaßen: Die Differentialgleichung wird zusammen mit den Anfangsbedingungen in eine algebraische Gleichung überführt. Schon im ersten Schritt wird die Lösung somit im Hinblick auf die Anfangsbedingungen spezialisiert. Laplace-Transformation p. 11

21 Der Weg über die Laplace-Transformation verläuft demgegenüber folgendermaßen: Die Differentialgleichung wird zusammen mit den Anfangsbedingungen in eine algebraische Gleichung überführt. Schon im ersten Schritt wird die Lösung somit im Hinblick auf die Anfangsbedingungen spezialisiert. Das Auflösen der Gleichung im Bildraum, d.h. die explizite Darstellung der Funktion F(s), ist nur ein algebraisches Problem. Laplace-Transformation p. 11

22 Der Weg über die Laplace-Transformation verläuft demgegenüber folgendermaßen: Die Differentialgleichung wird zusammen mit den Anfangsbedingungen in eine algebraische Gleichung überführt. Schon im ersten Schritt wird die Lösung somit im Hinblick auf die Anfangsbedingungen spezialisiert. Das Auflösen der Gleichung im Bildraum, d.h. die explizite Darstellung der Funktion F(s), ist nur ein algebraisches Problem. Die Rücktransformationen müssen i.a. nicht zu Fuß berechnet werden, da die rücktransformierten Funktionen f(t) für gegebenes F(s) in Tafeln nachgeschlagen werden können. Laplace-Transformation p. 11

23 Lineare Schaltungen bestehen aus parallel und hintereinander geschalteten Kombinationen von Ohmschen Widerständen R, Induktivitäten L und Kapazitäten C: u(t) = R i(t), u(t) = L di(t) dt, u(t) = 1 C t 0 i(τ)dτ. Laplace-Transformation p. 12

24 Lineare Schaltungen bestehen aus parallel und hintereinander geschalteten Kombinationen von Ohmschen Widerständen R, Induktivitäten L und Kapazitäten C: u(t) = R i(t), u(t) = L di(t) dt, Im s-raum heißt das: u(t) = 1 C t 0 i(τ)dτ. U(s) = R I(s), U(s) = sli(s), U(s) = I(s) sc. Als Impedanzen, also den Quotienten von Spannung und Strom, haben wir somit: Z R (s) = R, Z L (s) = sl, Z C (s) = 1 sc. Laplace-Transformation p. 12

25 Lineare Schaltungen bestehen aus parallel und hintereinander geschalteten Kombinationen von Ohmschen Widerständen R, Induktivitäten L und Kapazitäten C: u(t) = R i(t), u(t) = L di(t) dt, Im s-raum heißt das: u(t) = 1 C t 0 i(τ)dτ. U(s) = R I(s), U(s) = sli(s), U(s) = I(s) sc. Als Impedanzen, also den Quotienten von Spannung und Strom, haben wir somit: Z R (s) = R, Z L (s) = sl, Z C (s) = 1 sc. Alle diese Schaltungselemente können nun auf gleiche Weise nach den Kirchhoffschen Gesetzen (Knoten- und Maschenregel) behandelt werden. Laplace-Transformation p. 12

26 Beispiel 1: LRC-Stromkreis gegeben : u(t), sowie die Konstanten L, R, C gesucht : i(t) 1. Schritt: Aufstellen der Dgl. für i(t) mittels Maschenregel. u(t) = 30 V, t > 0 C = 1 50 F L = 2 H R = 16 Ω Für die Summe aller Spannungsabfälle u i (t) entlang einer Masche gilt: u i (t) = 0. i i(t) Laplace-Transformation p. 13

27 Für den Fall des Fall LRC-Stromkreises heißt das: L di(t) dt + R i(t) + 1 C t 0 i(τ)dτ u(t) = 0. Der Zeitpunkt t = 0 wird so definiert, dass als Anfangsbedingung gesetzt werden kann: i(t) = 0 für t 0. Laplace-Transformation p. 14

28 Für den Fall des Fall LRC-Stromkreises heißt das: L di(t) dt + R i(t) + 1 C t 0 i(τ)dτ u(t) = 0. Der Zeitpunkt t = 0 wird so definiert, dass als Anfangsbedingung gesetzt werden kann: i(t) = 0 für t Schritt: Die Laplace-Transformation der obigen Dgl. ergibt mit den Bezeichnungen I(s) = L {i(t)} und U(s) = L {u(t)}: L [si(s) i(0) ] + R I(s) + 1 }{{} Cs =0 I(s) = U(s). Laplace-Transformation p. 14

29 Im Bildraum erhält man also eine Gleichung von der Form des Ohmschen Gesetzes: Z(s)I(s) = U(s), wenn mit Z(s) die Summe der Impedanzen bezeichnet wird: Z(s) = Ls + R + 1 Cs. Laplace-Transformation p. 15

30 Im Bildraum erhält man also eine Gleichung von der Form des Ohmschen Gesetzes: Z(s)I(s) = U(s), wenn mit Z(s) die Summe der Impedanzen bezeichnet wird: Z(s) = Ls + R + 1 Cs. 3. Schritt: Die gesuchte Stromfunktion i(t) ergibt sich schließlich durch die inverse Laplace-Transformation: { } i(t) = L 1 U(s). Ls + R + 1/Cs Laplace-Transformation p. 15

31 Zahlenbeispiel: L = 2 H, R = 16 Ω, C = 1 50 F, u(t) = { 30 V für t > 0 0 V für t 0. Laplace-Transformation p. 16

32 Zahlenbeispiel: L = 2 H, R = 16 Ω, C = 1 50 F, u(t) = { 30 V für t > 0 0 V für t 0. Hieraus folgt für die transformierten Größen Z(s) und U(s) und somit für I(s): Z(s) = 2s s = 2 s (s2 + 8s + 25) U(s) = 30 s 15 = I(s) = s 2 + 8s + 25 = 15 (s + 4) Laplace-Transformation p. 16

33 Aus einer Tafel für (inverse) Laplace-Transformationen entnehmen wir: 1 F(s) = f(t) = 1 (s b) 2 + a 2 a ebt sin at. Laplace-Transformation p. 17

34 Aus einer Tafel für (inverse) Laplace-Transformationen entnehmen wir: 1 F(s) = f(t) = 1 (s b) 2 + a 2 a ebt sin at. Im hier gewählten Beispiel haben wir: a = 3 und b = 4, als Endergebnis schließlich: i(t) = 5 e 4t sin 3t A Laplace-Transformation p. 17

35 Aus einer Tafel für (inverse) Laplace-Transformationen entnehmen wir: 1 F(s) = f(t) = 1 (s b) 2 + a 2 a ebt sin at. Im hier gewählten Beispiel haben wir: a = 3 und b = 4, als Endergebnis schließlich: i(t) = 5 e 4t sin 3t A Der maximale Strom fließt zum Zeitpunkt t max = 1 3 tan s 0, 2145 s und hat den Wert: i(t max ) = 5 e 4t max sin 3t max A 1, A. Laplace-Transformation p. 17

36 i(t) [A] t [s] Zeitlicher Verlauf der Stromfunktion i(t). Laplace-Transformation p. 18

37 Beispiel 2: Netzwerk-Analyse Allgemeines Netzwerk aus drei Maschen mit beliebigen Impedanzen Z i : Z 1 Z 3 Z 5 U e (s) Z 2 Z 4 Z 6 Ua (s) I 1 (s) I 2 (s) I 3 (s) Laplace-Transformation p. 19

38 Beispiel 2: Netzwerk-Analyse Allgemeines Netzwerk aus drei Maschen mit beliebigen Impedanzen Z i : Z 1 Z 3 Z 5 U e (s) Z 2 Z 4 Z 6 Ua (s) I 1 (s) I 2 (s) I 3 (s) Die Maschenregel führt im Bildraum zu dem linearen System von Gleichungen U e (s) = a 11 (s)i 1 (s) + a 12 (s)i 2 (s) + a 13 (s)i 3 (s) 0 = a 21 (s)i 1 (s) + a 22 (s)i 2 (s) + a 23 (s)i 3 (s) 0 = a 31 (s)i 1 (s) + a 32 (s)i 2 (s) + a 33 (s)i 3 (s). Laplace-Transformation p. 19

39 Der Zusammenhang zwischen den Koeffizienten a nm und den Impedanzen Z i ist: a 11 = Z 1 + Z 2, a 12 = Z 2, a 13 = 0 a 21 = Z 2, a 22 = Z 2 + Z 3 + Z 4, a 23 = Z 4 a 31 = 0, a 32 = Z 4, a 33 = Z 4 + Z 5 + Z 6. Laplace-Transformation p. 20

40 Der Zusammenhang zwischen den Koeffizienten a nm und den Impedanzen Z i ist: a 11 = Z 1 + Z 2, a 12 = Z 2, a 13 = 0 a 21 = Z 2, a 22 = Z 2 + Z 3 + Z 4, a 23 = Z 4 a 31 = 0, a 32 = Z 4, a 33 = Z 4 + Z 5 + Z 6. Das Gleichungssystem kann nun mit Hilfe der Cramerschen Regel nach den Strömen I j (s) aufgelöst werden. Zwei charakteristische Systemgrößen sind die Eingangsimpedanz Z e (s) und die dimensionslose Übertragungsfunktion Z T (s) wobei Z e (s) = U e(s) I 1 (s), U a (s) = Z 6 (s)i 3 (s). Z T(s) = U a(s) U e (s), Laplace-Transformation p. 20

41 Pol-Nullstellen Diagramm Die Systemfunktionen, z.b. die Stromfunktionen I j (s), werden üblicherweise als Pol-Nullstellen-Diagramm (PN-Plan) dargestellt. Pole bestimmen das Zeitverhalten des Systems. Für Strom-Funktionen I j (s) bedeutet: einfacher Pol am Ursprung: stationärer Gleichstrom Laplace-Transformation p. 21

42 Pol-Nullstellen Diagramm Die Systemfunktionen, z.b. die Stromfunktionen I j (s), werden üblicherweise als Pol-Nullstellen-Diagramm (PN-Plan) dargestellt. Pole bestimmen das Zeitverhalten des Systems. Für Strom-Funktionen I j (s) bedeutet: einfacher Pol am Ursprung: stationärer Gleichstrom imaginäre Pole: Sinuswelle konstanter Amplitude Laplace-Transformation p. 21

43 Pol-Nullstellen Diagramm Die Systemfunktionen, z.b. die Stromfunktionen I j (s), werden üblicherweise als Pol-Nullstellen-Diagramm (PN-Plan) dargestellt. Pole bestimmen das Zeitverhalten des Systems. Für Strom-Funktionen I j (s) bedeutet: einfacher Pol am Ursprung: stationärer Gleichstrom imaginäre Pole: Sinuswelle konstanter Amplitude komplexe Pole in der linken Halbebene: exponentiell abklingende Sinuswelle (Einschwingvorgänge) Laplace-Transformation p. 21

44 Pol-Nullstellen Diagramm Die Systemfunktionen, z.b. die Stromfunktionen I j (s), werden üblicherweise als Pol-Nullstellen-Diagramm (PN-Plan) dargestellt. Pole bestimmen das Zeitverhalten des Systems. Für Strom-Funktionen I j (s) bedeutet: einfacher Pol am Ursprung: stationärer Gleichstrom imaginäre Pole: Sinuswelle konstanter Amplitude komplexe Pole in der linken Halbebene: exponentiell abklingende Sinuswelle (Einschwingvorgänge) Nullstelle: bei der Übertragungsfunktion bewirkt eine Nullstelle einen Anstieg des Betrages, sowie eine Phasendrehung um +90 bei der zu der Nullstelle gehörenden Frequenz. Laplace-Transformation p. 21

45 Spezielle variable Koeffizienten Folgerung 6: Als Laplace-Transformierte der Funktion tf(t) folgt mittels Differentiation unter dem Integralzeichen: df(s) ds = d ds = 0 f(t) e st dt = 0 s f(t) e st dt [ tf(t) ] e st dt = L {tf(t)} L {tf(t)} 0 = df(s) ds. Laplace-Transformation p. 22

46 Spezielle variable Koeffizienten Folgerung 6: Als Laplace-Transformierte der Funktion tf(t) folgt mittels Differentiation unter dem Integralzeichen: df(s) ds = d ds = 0 0 f(t) e st dt = 0 s f(t) e st dt [ tf(t) ] e st dt = L {tf(t)} L {tf(t)} = df(s) ds. Differentialgleichungen mit Koeffizienten, welche die unabhängige Variable t in der Form t n f(t) enthalten, können somit in einfachere Dgln. mit konstanten Koeffizienten transformiert werden. Laplace-Transformation p. 22

47 Partielle Differentialgln. Folgerung 7: Für eine Funktion f(x, t) folgt: { } f(x,t) s.o. L = sf(x,s) f(x, 0) t { } f(x,t) f(x,t) L = e st dt x x 0 = d dx 0 f(x,t) e st dt = df dx. s Laplace-Transformation p. 23

48 Partielle Differentialgln. Folgerung 7: Für eine Funktion f(x, t) folgt: { } f(x,t) s.o. L = sf(x,s) f(x, 0) t { } f(x,t) f(x,t) L = e st dt x x 0 = d dx 0 f(x,t) e st dt = df dx Partielle Differentialgleichungen können somit in gewöhnliche transformiert werden (bei festgehaltenem s). Durch Rücktransformation der Lösung der gewöhnlichen Dgl. erhalten wir die Lösung der partiellen Dgl.. s Laplace-Transformation p. 23

49 Zusammenfassung Die konventionelle komplexe Wechselstromrechnung gilt nur für den Spezialfall sinusartiger Schwingungen von Erregungen und Antworten. Laplace-Transformation p. 24

50 Zusammenfassung Die konventionelle komplexe Wechselstromrechnung gilt nur für den Spezialfall sinusartiger Schwingungen von Erregungen und Antworten. Für die Theorie der Laplace-Transformationen bedeutet dies, die Variable s durch iω, also einen rein imaginären Wert, zu ersetzen. Laplace-Transformation p. 24

51 Zusammenfassung Die konventionelle komplexe Wechselstromrechnung gilt nur für den Spezialfall sinusartiger Schwingungen von Erregungen und Antworten. Für die Theorie der Laplace-Transformationen bedeutet dies, die Variable s durch iω, also einen rein imaginären Wert, zu ersetzen. Die Laplace-Transformation beschreibt beliebige Erregungen und Antworten. Sie liefert die allgemeinste Lösung des Problems, welche sowohl den Einschwingvorgang, als auch den stationären Zustand umfasst. Laplace-Transformation p. 24

52 Zusammenfassung Die konventionelle komplexe Wechselstromrechnung gilt nur für den Spezialfall sinusartiger Schwingungen von Erregungen und Antworten. Für die Theorie der Laplace-Transformationen bedeutet dies, die Variable s durch iω, also einen rein imaginären Wert, zu ersetzen. Die Laplace-Transformation beschreibt beliebige Erregungen und Antworten. Sie liefert die allgemeinste Lösung des Problems, welche sowohl den Einschwingvorgang, als auch den stationären Zustand umfasst. Dieser Vortrag kann heruntergeladen werden von struck Laplace-Transformation p. 24