Folgendes Röntgenspektrum wurde an einer Röntgenröhre aufgenommen, die mit der Beschleunigungsspannung

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1 Seite Aufgabe : Röntgenspektrum Folgendes Röntgenspektrum wurde an einer Röntgenröhre aufgenommen, die mit der Beschleunigungsspannung U = 30 kv betrieben wurde.. Berechnen Sie aus dem dargestellten Versuchsergebnis das Plancksche Wirkungsquantum h. Die Aufgabenstellung zeigt ein typisches Röntgenspektrum. Man sieht das kontinuierliche Bremsspektrum mit der unteren Grenzwellenlänge λ min = 4.4 pm, und diesem überlagert das Linienspektrum der charakteristischen Strahlung. Hierbei liegt die K β -Linie bei λ β = 63.5 pm und die K α -Linie bei λ α = 72. pm. Die untere Grenzwellenlänge ergibt sich aus der Beschleunigungsspannung, die an der Röntgenröhre anliegt: eu = hc λ min h = euλ min c = As V m m s = Js 2. Bestimmen Sie, aus welchem Material die Anode der verwendeten Röntgenröhre besteht. Zur Bestimmung des Anodenmaterials verwendet man das Moseleysche Gesetz für die K α - Linie, und berechnet die Kernladungszahl des Materials: = 3 R(Z )2 λ α 4 Z = 4 + = 3Rλ α Die Anode besteht also aus dem Element Molybdän m m + = 42

2 Seite 2 3. Wird die Beschleunigungsspannung der Röntgenröhre kontinuierlich gesenkt, so verschwinden unterhalb einer gewissen Spannung die charakteristischen Linien, obwohl die kinetische Energie der auftretenden Elektronen immer noch größer als die Energie ist, die der jeweiligen charakteristischen Linie entspricht. Begründen Sie diesen Sachverhalt qualitativ. Um die charakteristischen Linien entstehen zu lassen, müssen Lücken in der K-Schale geschaffen werden. Die innersten Schalen sind aber vollständig besetzt, so daß dazu nahezu die Ionisierungsenergie für ein K-Elektron nötig ist. Diese Energie ist größer als die freigesetzte Energie der Röntgenquanten der charakteristischen Strahlung und kann bei geringerer Beschleunigungsspannung nicht mehr geliefert werden. Aufgabe 2: Rydbergatome Rydbergatome sind Mehrelektronenatome, bei denen das Atom angeregt wurde und sich ein Elektron auf einer sehr hohen Bahn befindet. Im Weltraum gibt es solche Atome mit riesigem Radius, bei denen sich dieses Elektron in einem Zustand mit der Quantenzahl bis zu n = 350 befinden kann, im Labor erreicht man etwa n = 00.. Begründen Sie, warum solche hochangeregten Zustände des Elektrons die gleichen wie beim Wasserstoffatom sind. Die relativ einfachen Formeln für das Wasserstoffatom sind im Allgemeinen nicht auf Mehrelektronenatome übertragbar, da man die Wechselwirkung der Elektronen untereinander beachten muß. Rydbergatome bilden hier eine Ausnahme. Der Bahnradius des äußersten Elektrons ist sehr groß, so daß die Elektronenwolke der anderen Elektronen weit innen liegt. Diese Wolke schirmt (Z ) Kernladungen ab. Das äußere Elektron sieht also nur eine Kernladung, wie auch das Elektron des H-Atoms. 2. Berechnen Sie nach dem Bohrschen Modell des H-Atoms allgemein den Radius r n der n-ten Quantenbahn und die zugehörige Geschwindigkeit v n. Bedingung für eine Kreisbahn des Elektrons ist: F Coulomb = F Zentripetal e 2 4πε 0 r 2 n = mv2 n r n e 2 4πε 0 r n = mv n v n

3 Seite 3 Die Bohrsche Quantenbedingung lautet: mr n v n = n mv n = n r n Dies Eingesetzt in die erste Gleichung liefert: e 2 4πε 0 r n = n r n v n v n = e2 4πε 0 n Die Bahngeschwindigkeit kann man nun in die Bohrsche Bedingung einsetzen und erhält den Bahnradius: r n = n = 4πε 0 2 n 2 mv n me 2 3. In welcher Entfernung vom Kernmittelpunkt kreist ein Elektron auf der 350-ten Quantenbahn? Gesucht ist also der Bahnradius mit der Quantenzahl n = 350: 4π As Vm r 350 = ( ) 2 J 2 s kg ( ) 2 A 2 s 2 = 6.5 µm 4. Im Labor stellt man solche hochangeregten Rydbergatome her, indem man z.b. einen verdünnten Lithiumdampfstrahl der Temperatur T = 650 C in eine Vakuumkammer einleitet und mit einem Farbstofflaser variabler Frequenz bestrahlt. Das äußerste Elektron des Lithiumatoms sei durch einen solchen Laser auf die Quantenbahn n = 29 gehoben worden. Berechnen Sie die Arbeit, die nötig ist um das äußere Elektron vom Atom abzulösen. Die Arbeit, die man aufwenden muß um das äußere Elektron vom Atom zu lösen, ist betragsmäßig gleich diejenigen Energie, die es auf der n-ten Quantenbahn besitzt. Sie ist gegeben durch: E n = me4 32π 2 ε 2 = ev 0 2 n2 n 2 E 29 = ev = 6.2 mev 292

4 Seite 4 5. Vergleichen Sie diese Arbeit mit der mittleren kinetischen Energie der Lithiumatome im Dampf der Temperatur 650 C, und begründen Sie, warum der Dampfstrahl sehr verdünnt sein muß, wenn man Emission von Strahlung durch Quantensprung vom angeregten Niveau aus beobachten will. Die mittlere kinetische Energie eines Gases ist gegeben durch: E kin = 3 2 kt = 3.38 J K ( ) K = J = 20 mev Die mittlere kinetische Energie der Lithiumatome ist damit wesentlich größer, als die Bindungsenergie des äußeren Elektrons. Sie reicht daher aus, um das Elektron vom Atom zu lösen. Eine starke Verdünnung des Dampfstrahls ist also notwendig, da durch Stöße zwischen den Atomen die angeregten Zustände zerstört würden. Man versucht also, durch Verdünnung die Zahl der Stöße möglichst gering zu halten. 6. Welche Wellenlänge besitzt die emittierte Strahlung, die beim Quantensprung des Elektrons von n = 29 auf n 2 = 28 auftritt? In welchem Bereich liegt diese Strahlung? Die Energie der Strahlungsquanten entspricht der Energiedifferenz zwischen den Quantenzuständen: ( hc = E = ev λ n 2 ) 2 n 2 λ = evs m s ev ( ) 28 =.06 mm Diese Strahlung liegt im Mikrowellenbereich oder im fernen Infrarot. 7. Zeigen Sie, daß sich zwei benachbarte Quantenbahnen der Quantenzahlen n und n für n durch die Energie E 2Rhc/n 3 (mit der Rydbergkonstante R = me 4 /(8cε 2 0h 3 )) unterscheiden. Allgemein gilt für die Energiedifferenz zwischen zwei Quantenbahnen: ( E = me4 32π 2 ε n 2 ) ( 2 n 2 = Rhc n 2 ) 2 n 2

5 Seite 5 mit der Rydbergkonstante R = me 4 /(8cε 2 0h 3 ) =. 0 7 m. Wir betrachten nun den Fall n = n und n 2 = n : ( E = Rhc (n ) 2 ) n 2 = Rhc n2 (n ) 2 2n n 2 (n ) 2 = Rhc n 2 (n ) 2 Für große n kann man gut nähern 2n 2n und n n. Dann erhält man: E 2Rhc n 3 8. Berechnen Sie nun allgemein die Umlauffrequenz des Elektrons auf der n-ten Quantenbahn, und vergleichen Sie diese mit der Frequenz der emittierten Strahlung beim Quantensprung von n auf n. Die Zeit T n für einen Umlauf des Elektrons auf der n-ten Quantenbahn ist: T n = 2πr n v n Die Umlauffrequenz ist das Reziproke der Umlaufzeit: f n = T n = v n 2πr n = e 2 4πε 0 n 2π 4πε 0 2 n 2 me 2 = me 4 32π 3 ε n 3 = me4 4ε 2 0 h3 n 3 = 2Rc n 3 Die Frequenz eines emittierten Strahlungsquants beim Übergang von n nach n ist: hf n n = E = 2Rhc n 3 f n n = 2Rc n 3 Die Umlauffrequenz des Elektrons um den Kern stimmt also mit der Frequenz der emittierten Strahlung überein. Rydbergatome verhalten sich wegen der hohen Quantenzahlen also weitgehend wie klassische Oszillatoren. Dies nennt man das Bohrsche Korrespondenzprinzip. Aufgabe 3: Franck-Hertz-Versuch Mit dem Franck-Hertz-Versuch kann experimentell gezeigt werden, daß sich Elektronen nur auf diskreten Bahnen um den Atomkern bewegen, also eine Bestätigung des Bohr schen Atommodells.

6 Seite 6 Das Schema der Versuchsanordnung ist in der Abbildung dargestellt. In einer Quecksilberdampf enthaltenden Röhre treten Elektronen aus einer Glühkathode aus und werden durch eine zwischen Kathode K und Anodengitter G angelegte, variable Spannung U beschleunigt. Zwischen dem Anodengitter und der Auffängerelektrode A ist eine kleine Gegenspannung von etwa 0.5 V angelegt. Die rechte Abbildung zeigt den beobachteten Auffängerstrom I in Abhängigkeit von der Beschleunigungsspannung U.. Was versteht man unter einem elastischen und einem inelastischen Stoß? Mit dem Franck-Hertz-Versuch war es erstmals unter Laborbedingungen gelungen, das Bohrsche Atommodell experimentell zu bestätigen. Bohr postulierte nämlich, daß die Hüllenelektronen den Atomkern nur auf bestimmten Bahnen strahlungslos umlaufen können. Diese Bahnen sind durch Quantenbedingungen festgelegt. Genauer gesagt sollte auf solchen Bahnen der Bahndrehimpuls ein ganzzahliges Vielfaches von, dem Drehimpulsquantum sein. Daraus ergibt sich dann eine Quantisierung der Bahnradien und Umlaufgeschwindigkeiten. Zudem postulierte Bohr, daß jeder nach der Quantenbedingung zulässigen Elektronenbahn ein Energieniveau entspricht, und daß der Übergang zwischen den Niveaus sprunghaft erfolgt. Bevor wir nun den Franck-Hertz-Versuch genau verstehen können ist etwas Vorarbeit nötig. Wir betrachten Stoßprozesse von Elektronen mit Quecksilberatomen. Schon in der Mechanik hatten wir elastische und inelastische Stöße kennengelernt. Das wesentliche Unterscheidungsmerkmal zwischen beiden ist die Energiebetrachtung. Beim elastischen Stoß bleibt die Summe der Bewegungsenergie aller Stoßpartner erhalten. Beim inelastischen Stoß jedoch wird ein Teil dieser Bewegungsenergie in eine andere Energieform umgewandelt. Also fassen wir zusammen: Elastischer Stoß: Ekin,i vor i i E nach kin,i = 0 Inelastischer Stoß: Ekin,i vor i i E nach kin,i = E > 0

7 Seite 7 2. Warum kann ein Elektron bei einem elastischen Stoß mit einem Atom nur wenig Energie übertragen? Wir betrachten den elastischen Stoß eines Elektrons mit einem Hg-Atom. Vor dem Stoß besitze das Elektron die Geschwindigkeit v e, nach dem Stoß die Geschwindigkeit v e, analog dazu das Hg-Atom vorher die Geschwindigkeit v Hg und nachher v Hg. Die Geschwindigkeit des Hg-Atoms nach dem Stoß lässt sich durch die aus der Mechanik bekannte Formel berechnen: v Hg = (m Hg m e )v Hg + 2m e v e m Hg + m e = m Hg m e m e v Hg + v e m Hg + m e m Hg + m e Diese Geschwindigkeit hängt also wesentlich vom Massenverhältnis der Stoßpartner ab. Die Masse des Quecksilbers ist im wesentlichen die Kernmasse, der aus 80 Protonen und im Mittel aus 20 Neutronen besteht. Die Masse eines Protons oder Neutrons ist etwa GeV /c 2, also wiegt der Hg-Kern ungefähr m Hg = 200 GeV /c 2. Die Masse des Elektrons ist etwa m e = 0.5 MeV /c 2. Also ist das Hg-Atom etwa mal so schwer wie das Elektron. Da also m Hg m e gilt, kann man gut nähern: m Hg m e m Hg + m e und m e m Hg + m e 0 v Hg v Hg Die Geschwindigkeit des Hg-Atoms vor und nach dem Stoß ist also ungefähr gleich, also auch dessen kinetische Energie. Somit überträgt das Elektron beim elastischen Stoß kaum Energie auf das Hg-Atom. 3. Was passiert bei einem inelastischen Stoß zwischen einem Elektron und einem Hg-Atom? Bei dem inelastischen Stoß zwischen Elektron und Hg-Atom wird ein Großteil der Energie des Elektrons dazu verwendet, um ein Hüllenelektron des Hg-Atoms auf ein höherliegendes Energieniveau zu heben. Das Elektron besitzt also nach dem Stoß fast keine kinetische Energie mehr, und das Hg-Atom befindet sich in einem angeregten Zustand. 4. Erklären Sie nun die beobachtete Messkurve des Auffängerstromes I in Abhängigkeit von der Beschleunigungsspannung U.

8 Seite 8 Was passiert also genau beim Franck-Hertz-Versuch, wenn man langsam die Beschleunigungsspannung erhöht? Solange U kleiner ist als die Gegenspannung zwischen Anodengitter G und Auffängerelektrode A wird man keinen Elektronenstrom messen, da sie zu wenig Energie haben um die Gegenspannung zu überwinden. Erhöht man aber U weiter, so werden Elektronen von der Kathode K zur Anode G beschleunigt und stoßen auf ihrem Weg elastisch mit den Hg-Atomen. Bei diesen elastischen Stößen verlieren die Elektronen aber kaum Energie, so daß mit steigender Spannung immer mehr Elektronen pro Zeiteinheit von der Auffängerelektrode registriert werden, was zu einem nahezu linearen Anstieg des beobachteten Stromes I führt. Bei weiterer Erhöhung der Beschleunigungsspannung tritt dann der Punkt ein, an dem die Elektronen soviel Energie besitzen, daß sie auch inelastisch mit den Hg-Atomen stoßen können. Hierbei heben sie Hüllenelektronen in weiter außen liegende Schalen des Hg-Atoms. Bei diesem inelastischen Stoß verlieren die Elektronen aber fast ihre gesamte Energie, so daß sie dann nicht mehr in der Lage sind, die Gegenspannung zu überwinden. Der beobachtete Strom an der Auffängerelektrode wird also einbrechen. Fährt man die Beschleunigungsspannung noch weiter hoch, so kann es sein, daß die Elektronen nach dem ersten inelastischen Stoß wieder so weit nachbeschleunigt werden, daß sie einen zweiten inelastischen Stoß mit den Hg-Atomen durchführen können. Also wird nach dem ersten Minimum des Elektronenstroms zunächst dieser wieder ansteigen, bis er ein zweites Mal einbricht. Dieses Spiel kann man nun so lange weiter treiben, bis man mehrere Maxima und Minima in der Messkurve erkennt. Der Abstand zwischen den Maxima, bzw. zwischen den Minima entspricht dann gerade der Anregungsenergie der Hg-Atome. In der Praxis kann man mit einer solchen Anordnung etwa 5 bis 6 Maxima und Minima erzeugen. Natürlich kann die Beschleunigungsspannung nicht unendlich erhöht werden. Es kommt der Punkt, an dem die Elektronen die Hg-Atome ionisieren würden, die zusätzlich frei werdenden Elektronen würden dann weitere Atome ionisieren, was einen Lawineneffekt zur Folge hätte. Die Röhre würde dann durchzünden und die Elemente innerhalb beschädigen. 5. Das Quecksilberatom gibt die beim inelastischen Stoß übertragene Energie durch Emission eines Lichtquants wieder ab. Berechnen Sie die Wellenlänge λ dieses Lichtes! Das durch Elektronenstoß angeregte Hg-Atom versucht wieder in den Grundzustand, das ist der energetisch niedrigste Zustand, zu gelangen. Dies kann das Atom durch Aussendung eines Lichtquants erreichen. Nach dem Bohrschen Postulat entspricht die Energie dieses Lichtquants exakt der Energiedifferenz des angeregten und des Grundzustands. Aus der Messkurve kann man ablesen, daß diese Energiedifferenz E = 4.9 ev beträgt. Also gilt: hf = h c hc = E λ = λ E = 2π c E 2π 97 MeV fm = = 253 nm 4.9 ev Tatsächlich konnten Franck und Hertz bei ihrem Versuch diese im Ultravioletten liegende Spektrallinie beobachten. Damit war zweifelsfrei nachgewiesen, daß die Spektrallinien als Elektronenübergänge zwischen diskreten Energiezuständen gemäß dem Bohrschen Atommodell zu verstehen sind.