Einführung in die theoretische Physik 1

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1 Mathey Einführung in ie theor. Physik 1 Einführung in ie theoretische Physik 1 Prof. Dr. L. Mathey Dienstag 15:45 16:45 un Donnerstag 1:45 12: Beginn: Jungius 9, Hörs 2 1

2 Mathey Einführung in ie theor. Physik 1 2 Arbeit un Existenz eines Potenzials Wir betrachten ie Newtonsche Bewegungsgleichung m ~r(t) = ~ F (~r(t), ~r(t), t) Wir integrieren m ~r(t) ~r(t) = ~ F (~r(t), ~r(t), t) ~r(t) über t. Linke Seite: Z t t m ~r(t ) ~r(t ) = t Z t t t t m 2 ~r(t ) 2 = T (t) T (t ) wobei T = m 2 ~r 2 ie kinetische Energie ist.

3 Mathey Einführung in ie theor. Physik 1 3 Rechte Seite: Z t t t ~ F (~r(t), ~r(t), t) ~r(t ) = W W ist ie Arbeit, ie von er Kraft an em Teilchen verrichtet wure. Wenn zusätzlich gilt F ~ (~r(t), ~r(t), t) = F ~ (~r(t)), kann man schreiben W = Z t t t ~ F (~r(t), ~r(t), t) ~r(t )= ~F (~r ) ~r W C (~r,~r) Die Arbeit W C (~r,~r) ist unabhängig vom zeitlichen Verlauf er Bewegung, aber abhängig von ~r un ~r un em Weg C. Ein Integral er Form ~F (~r ) ~r über ein beliebiges Vektorfel, heißt Weg-, oer Linien- oer Kurvenintegral.

4 Mathey Einführung in ie theor. Physik 1 4 Zur Berechnung eines Wegintegrals kann man folgenermaßen vorgehen. 1) Parametrisierung es Wegs C, also ~r = ~r( ), mit ~r( )=~r un ~r( 1 )=~r 1, un 2 [, 1]. 2) Man berechne ~F (~r ) ~r =,C ~F (~r( )) ~r Dies ist ein gewöhnliches Integral. Es ist unabhängig von er gewählten Parametrisierung. Beispiel. Sei F ~ (~r) = ( y, x, ) = (,, ) (x, y, z) = ~e z ~r. Der Weg C 1 sei ie geralinige Verbinung von ~r =(,, ) nach ~r =(1, 1, ). Wir parametrisieren ~r =(,, ) + (1, 1, ). Darum: ~r( ) =(1, 1, ).

5 Mathey Einführung in ie theor. Physik 1 5 Dann gilt ~F (~r ) ~r = =,C ~F (~r( )) ~r (,, ) (1, 1, ) = Beispiel. Der Weg C 2 gehe von ~r =(,, ) nach ~r =(1, 1, ), entlang er Parabel y = x 2. Wir parametrisieren ~r =(, 2, ). =(1, 2, ). Dann gilt Dann: ~r( ) ~F (~r ) ~r = = ( ( 2,, ) (1, 2, ) ) = = /3 Also ist as Wegintegral i.a. abhängig vom Weg C, nicht nur von en Enpunkten.

6 Mathey Einführung in ie theor. Physik 1 6 Eigenschaften es Wegintegrals. Linearität: ( 1 ~ F1 (~r )+ 2 ~ F2 (~r )) ~r = 1 ~F 1 (~r ) ~r + 2 ~F 2 (~r ) ~r Aitivität: 2 1 +C 2 ~ F (~r ) ~r = Wegintegrale sin gerichtet: 1 1 ~ F (~r ) ~r + 2 ~r 1,C 2 ~ F (~r ) ~r 1 ~F (~r ) ~r = ~r 1, C ~F (~r ) ~r

7 Mathey Einführung in ie theor. Physik 1 7 Wegintegral entlang einer geschlossenen Kurve, also ~r 1 = ~r. I ~F (~r ) ~r = ~F (~r ) ~r C (unabhängig von ~r ) Beispiel. F ~ (~r) = ( y, x, ). C sei ein Kreis um ~, mit Raius R, un positiv orientiert. Parametrisierung ~r( ) = R(cos, sin, ). Wir wählen als Anfangspunkt er Parametrisierung ~r( = ) = (R,, ). Dann ist ~r =( R sin, R cos, ). Also: I C ~F (~r ) ~r = = Z 2 Z 2 ~F (~r( )) ~r = 2 R 2 6= ( R sin, R cos, ) ( R sin, R cos, )

8 Mathey Einführung in ie theor. Physik 1 8 Arbeit eines konservativen Kraftfeles Für ie an einem Teilchen verrichtete Arbeit W C (~r,~r) = ~F (~r ) ~r gilt: W C (~r,~r) =T (t 1 ) T (t ),.h. ie Arbeit entspricht er Di erenz er kinetischen Energie. Wir nehmen nun an, ass ~ F (~r) konservativ ist,.h. es existiert ein skalares Fel V (~r), so ass ~F (~r) = rv (~r). Dann gilt für jeen Weg C: = W C (~r,~r) = ~F (~r ) ~r = rv (~r( )) ~r( ) = ~F (~r( )) ~r( ) V (~r( )) = V (~r ) V (~r 1 )

9 Mathey Einführung in ie theor. Physik 1 9 Also gilt für eine konservative Kraft, ass ie verrichtete Arbeit wegunabhängig ist, W C (~r 1,~r )= W (~r 1,~r )=V (~r ) V (~r 1 ) Weil auch gilt W (~r 1,~r )=T (~r 1 ) T (~r ), ist E = T (t)+v (~r(t)) eine Erhaltungsgröße. Beispiel. Die Gravitationskraft er Sonne ist konservativ. Daher ist ie von er Gravitationskraft verrichtete Arbeit für jeen geschlossenen Weg null. Existenz eines Potenzials. Wie urch ie Definition gegeben, beeutet, ass wenn ~ F (~r) konservativ ist, ass ein Potenzial existiert, essen Graient ~ F ist. Wie oben gezeigt, folgt araus, ass jees Wegintegral nur von en Enpunkten abhängt, un nicht vom Weg. Wir zeigen jetzt ie Umkehrung: Wenn jees Wegintegral R C ~ F (~r)~r wegunabhängig ist, ann ist ~ F (~r) konservativ.

10 Mathey Einführung in ie theor. Physik 1 1 Beweis. Wir wählen einen Ursprung ~r un efinieren V (~r) = ~r ~ F (~r ) ~r Diese Definition is wohlefiniert, a as Wegintegral nach Definition nicht vom Weg C abhängt. Jetzt ist zu zeigen, ass rv (~r) = ~ F (~r). (~r) = lim x! = lim x! 1x 1 + ~r F ~ (~r ) ~r x ~r + ~r ~r ~F (~r ) ~r F ~ (~r ) ~r ~r wobei ~r =( x,, ).

11 Mathey Einführung in ie theor. Physik 1 11 Wir parametrisieren en Weg: ~r( )=~r + ~r, mitapple apple 1. Mit ~r =( x,, ) (~r) = lim x! = lim x! 1 x ~F (~r + ~r) ( x,, ) F x (~r + ~r) = F x (~r) = F x (~r) Dasselbe (~r) gezeigt weren. qe. Damit haben wir jetzt ein Kriterium für ie Existenz eines Potenzials: Jees Wegintegral hängt nur von en Enpunkten ab. Dieses Kriterium ist aber im allgemeinen umstänlich anzuwenen. Als nächstes geben wir ein Kriterium an, as nur auf Di erentiation es Feles beruht.