b g b g 3.5 NETZWERKANALYSE MIT SINUSGRÖSSEN

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1 3.5 NETZWERKANALYSE MT SNSGRÖSSEN P rizipill stllt di Aam ir siusförmi Qull für di Ntzwrkaalys ki Eisräku dar, zumal jd priodis Qull dur i äquivalt Kombiatio vo Siusform rstzt wrd ka. Dis ist i fudamtal Aussa ds Fourirs Torms. Bi dr Aalys is RC- bzw. RL-Glids ud dr Quatifiziru dr tsprd Ström- ud Spau, zit si, dass s im iswu Zustad ldili auf di Amplitud ud di Pasutrsid akommt. Für das RC-Glid ribt si: t si t. (3.4) Dr Strom ilt dr Spau um d Paswikl voraus, wobi dr Paswikl frquzabäi ist. Für CR>> ist = ud für CR<< ist =/. Abb. : Pasvrsibu zwis (t) ud (t) bim RC-Glid. Ei ritts Liismt odr i Raumzir, dr mit ir kostat Wiklswidikit rtsädi rotirt, projizirt auf di Vrtikal i Siusfuktio. Abb. : Pasvrsibu zwis ud bim RC-Glid. Di Lä ds Raumzirs tsprit dr Amplitud dr Siuskurv ud dr Wikl zwis zwi Positio ist dr Paswikl zwis d zuöri Pukt dr Siuskurv. Eilt wi bispilswis i im RL-Glid di Spau dm Strom um d Paswikl voraus, da lässt si das dur zwi um d Wikl vrstzt Raumzir darstll. Lt ma di vrtikal Projktiosas auf di imaiär As dr komplx Eb, da lässt si i Raumzir mit Hilf dr komplx Zal darstll. So ilt für i blibi Wslspau: i t t Dr Savralt lässt si vrasauli: (3.4) am Bispil is Kodsators i im siusförmi art Kris

2 Bispil: dalr Kodsator mit siusförmir Aru. Für d Strom, dr bi ir zitli vrädrli Spau am Kodsator dur d Kris flißt, ilt. t C t ic t W i= i/ bträt dr Paswikl zwis Strom ud Spau =9. Dr Strom im Kris bsitzt dma di Darstllu. t C i t odr au t C i it ; mit. (3.4) m zuöri Raumzirdiaramm sid di Zir für Strom ud Spau um 9 vrstzt. Dr Wikl ist positiv, so dass dr Strom dr Spau vorausilt. Abb.3: Pasdru ds Stroms übr dr Spau für i idal Kodsator. Das Vrältis dr Größ dfiirt di komplx mpdaz ds Kodsators: i Z :. (3.43) C C Bispil: dal Spul mit siusförmir Aru. Dr rsultird Strom im Kris folt aus: t z L dt t i L b t W i - = -i/ bträt dr Paswikl zwis Strom ud Spau =-9. Dr Strom im Kris bsitzt dma di Darstllu:

3 t t L i odr au t L i i t ; mit (3.44) m zuöri Raumzirdiaramm sid di Zir für Strom ud Spau um 9 vrstzt. Dr Wikl ist ativ, so dass di Spau dm Strom vorausilt. Abb.4: Pasdru dr Spau übr dm Strom für i idal Spul. Das Vrältis dr lktris Größ dfiirt di komplx mpdaz dr duktivität. Z L i L. (3.45) tr Btratu dr Rrl für komplx Zal ab di mpdaz Z C ud Z L für mit Wslstrom durfloss Kodsator ud Spul dislb Bdutu wi R für i oms Widrstad. Dfiitio: mpdaz. Das Vrältis aus dm Raumzir dr Spau zum Raumzir ds Stroms, ist dfiirt als mpdaz Z, mit: Z: ; mit Z C. (3.46) Bi im Ntzwrk, das mit Hilf frquzabäir, komplxr Größ bsrib wird, sat ma, dass ma im Frquzbri arbitt. Wrd di statioär Zustäd dur Sius- ud Kosiusfuktio bsrib, da arbitt ma im Zitbri. m Frquzbri wrd di Ntzwrklmt dur i Äquivalt-mpdaz rstzt. Di mpdaz is Ntzwrks Z R ix, (3.47) lässt si auftil i d Raltil, dr Rsistaz ud d maiärtil, dr Raktaz. Abb. 5: Zitbri ud Frquzbri bi blibi Ntzwrk. Für mpdaz ist di Bziu =Z formal idtis mit dm oms Gstz =R. Dar lt für di Kombiatio vo mpdaz au dislb Rl wi für Widrstäd. Di Risaltu vo mpdaz ilt: Z Z (3.48)

4 Bi dr Paralllsaltu ilt: (3.49) Z Z Dr Krwrt dr mpdaz ißt Admittaz Y. Aalo zur mpdaz ist di Admittaz i komplx Zal Y G ib (3.5) wobi dr Raltil Koduktaz ud dr maiärtil Suszptaz ißt. Für di Risaltu vo Admittaz ilt: (3.5) Y Y Bi dr Paralllsaltu ilt: Y Y (3.5) Risaltu kö dma am ifast übr di mpdaz bsrib wrd, wärd bi Paralllsaltu i Aalys übr di zuöri Admittaz am ifast ist. Di Torm vo Tévi ud Norto lt au für komplx mpdaz, w di zuöri Spau ud Ström dur di Raumzir it ud it rstzt wrd. Aalos ilt für d Übrlarussatz. Für di Masaalys vo Ntzwrk mit komplx mpdaz lt dislb Bziu, wobi di mpdazmatrix Z u komplx ist. Bispil: Tifpass. Dr Tifpass ist i Saltu, di Wslspau idrir Frquz o rößr Abswäu übrträt, Wslspau or Frquz da stark dämpft. Mit Kodsator lässt si i Tifpassfiltr wi folt ralisir: Di Eiasspau si siusförmi. Für di Wslspau stllt di Kapazität i Blidwidrstad dar, mit dr mpdaz: Z R i C Für d Strom ilt dma: Z R ic Für di Ausasspau a ilt: a ic i ic

5 Das Vrältis aus Ausasspau zur Eiasspau dfiirt i dimsioslos Größ, di Übrtrausfuktio, mit: a Hb: (3.53) Es lässt si u xplizit di Btrasfuktio ab: H i ic icr b Dr Btra dr Übrtrausfuktio ist dma b dur: H dr afold Abbildu ist dr zuöri Kurvvrlauf skizzirt: Di Bdiu E CR= dfiirt di Ekfrquz E ds Tifpassfiltrs. E :. (3.54) RC Es ilt: H b E. Di Pasvrsibu lässt si aus dr Darstllu dr Übrtrausfuktio H()=a()+ib() wi: b H a ib icr bb ta a CR Folli ilt: arta CR dr afold Abbildu ist dr zuöri Kurvvrlauf skizzirt:

6 Ma bat ir das ativ Vorzi ds Paswikls. Bispil: Wi-Brük aus RC-Glidr Di Wi-Brük ist i Kombiatio aus Hopass ud Tifpass ud dit dazu, Wslspau mit ir bstimmt Ekfrquz E durzulass. Wslspau mit ör odr tifr Frquz soll irbi dämpft wrd. Di Eiasspau si widr siusförmi. Das Ntzwrk lässt si mit Hilf dr mpdazmatrix ifa bsrib. Mit Hilf dr mpdazmatrix Z lässt si di Übrtrausfuktio H() ud di Pasvrsibu bstimm. Es ilt: F R R Z G i C J R R HG i C KJ F Z R R R HG i CK JF dt HG i CK J R R C i C R 3 F 3R R C K J ic HG F i CR H G i C K J 3 Dr Strom ist b dur: R i C dtbz R R dt Z Di Ausasspau ist:

7 a ic R ic dtbz Folli ist di Übrtrausfuktio b dur: R H ic dt Z icr 3iCR CR 9 Dr Btra ribt si u mit: H CR 9 3CR i dr afold Abbildu ist dr zuöri Kurvvrlauf skizzirt: j Di Pasvrsibu lässt si aus dr Darstllu dr Übrtrausfuktio H()=a()+ib() wi: H a ib CR 9 b ta a 3CR Folli ilt: F H G arta 3CR K J 3CR i j