i(t) = i(t) i Var(i) = i 0 Rauschgrößen Stochastische Abweichung vom Mittelwert i r

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1 Rauschgrößen Stochastische Abweichung vom Mittelwert i r i(t) = i(t) i r T N 1 1 i = lim i (t)dt = lim i = 0 r r r,j T T N N 0 j1 = Var(i) = i 0 i r r Varianz Standardabweichung von i bzw. Effektivwert der Rauschgröße i r

2 Rauschquellen photoelektronischer Strahlungsmessung 1. Quantenrauschen Zahl der Photonen, die innerhalb einer Zeit T eine Empfangsfläche erreichen, fluktuiert Ankunft der Lichtquanten über der Zeit statistisch verteilt. Hintergrundrauschen Temperaturstrahlung des Detektorhintergrunds fluktuiert 3. Detektorrauschen Schrotrauschen des Dunkelstroms (bei Vorspannung), Funkelrauschen (flicker noise) durch Leckströme etc., thermisches Rauschen (Johnson noise) der Bahnwiderstände, des Lastwiderstands und des äquivalenten Rauschersatzwiderstands des Verstärkers 4. Elektromagnetische Interferenzen Überlagerung elektromagnetischer Störungen kein Rauschen im engeren Sinne

3 Nachweisgrenze durch Quantenrauschen Bedingt durch das Quantenrauschen zeigt der Photostrom ein Schrotrauschen: N q i(t) = j Ladungen, die zu stochastisch verteilten Zeiten t j mit q j δ(t t j) t<t j <t+t am Ausgang des Empfängers auftreten sie j1 = erzeugen während der Messzeit T N unkorrelierte schmale Ladungsimpulse q j Beim idealen Quantendetektor ist die Impulszahl N gleich der Zahl einfallender Photonen. Für eine gegebene (hinreichend kleine) mittlere Impulsrate N/T Impulse durch eine Poisson-Verteilung beschrieben werden: p(n) = (N) N! N e N p(1) / N = p(0) = e N kann die Anzahl der p(n)dn Wahrscheinlichkeit N Impulse zu zählen, wenn im Mittel N Impulse detektiert werden Wahrscheinlichkeit, während T ein Ereignis zu detektieren, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, während T keinen Impuls zu beobachten, für N= 1 p(1) ist maximal für N = 1 : Postulierte Mindestwahrscheinlichkeit, dass während T ein Impuls registriert wird, definiert Nachweisgrenze für gegebenes T. [ p(1) ] max = 0,368

4 SFL signal fluctuation limit Rauschäquivalente ( kleinste ) einfallende Strahlungsleistung für alleiniges Quantenrauschen: NEP=SFL, gegeben durch die Bedingung für die Nachweisgrenze: SFL 1= N=η T h ν Wegen der Signaldrift und zur Anhebung des Signal-Rauschverhältnisses wird i. d. R. das Detektorsignal moduliert und nach Frequenzfilterung innerhalb einer Modulationsübertragungsbandbreite f empfangen: f = 1 T Folglich: Zusammenhang zwischen der Leistungsbandbreite feines integrierenden elektrischen Filters und der Filterzeitkonstanten T h c f SFL = η λ

5 BFL background fluctuation limit T Hintergrund ϑ A Detektor BFL diejenige einfallende Strahlungsleistung von einer mit λ monochromatischen Strahlungsquelle, die dasselbe Ausgangssignal erzeugt wie die Rauschleistung (Standardabweichung) der Hintergrundstrahlung. Annahmen: Hintergrundstrahlung ist die Temperaturstrahlung eine Schwarzen Körpers der Temperatur T, einfallend auf den Detektor mit Empfängerfläche A und unter einem Sehwinkel ϑ Detektor ist aselektiv empfindlich von λ=0 bis λ= λ c. Dann ist BFL = exp( ) ( ) + + sin( / ) ϑ λ h η λckt hc hcλc λc hc f A π kt h c kt kt 1 umso niedriger je kleiner A, f, T und ϑ sind. 1/

6 SFL versus BFL 1E-13 1E-14 1E-15 A = 1 cm f = 1 Hz NEP/W 1E-16 1E-17 SFL BFL λ = λ c ϑ = π 1E-18 1E-19 1E-0 0 0,5 1 1,5 λ/µm Hier: SFL(1 µm) BFL(1 µm) = 6, W ca. 3 Photonen/s SFL dominant im UV und VIS BFL dominant bei längeren Wellenlängen (oberhalb 1 µm)

7 Schrotrauschen des Photostroms N/ η Φ= h ν N Impulszahl am Detektorausgang während T T h ν h ν h ν f h c Φ Φ = = = Φ= Φ ηt ηt ηt η λ ( ) ( ) (N N) ( ) N Var( ) ( ) SFL S Φ Φ ( ) Eingang = = 1für Φ SFL S Var( Φ) SFL r Φ = Φ Φ = Φ r,ph i = s( λ)( Φ Φ ) = s ( λ)sfl Φ = s( λ)sfl i η q s( λ ) = ir,ph = q f iph h c/ λ i = q f i r,d d Signal-Rauschverhältnis am Detektoreingang, bedingt durch Quantenrauschen ph Schottky-Formel Analoger Ausdruck für den Rauschbeitrag des Dunkelstroms i d des Detektors

8 Thermisches Rauschen (Johnson noise) Die statistisch ungeordnete Bewegung von Ladungsträgern erzeugt eine fluktuierende räumliche Verteilung der Träger über dem Leitervolumen. Über dem Leiter entstehen Rauschspannungen; umgesetzt wird dabei nach Nyquist eine Rauschleistung P = kt f r,th i = 4kT f /R r,th u = 4kT f R r,th R - Widerstand des Leiters in einer Stromrichtung Beispiel: R f=10 10 Ω/s (u r,th ) eff = 13 µv bei T = 300 K Auch das nicht thermische Rauschen vieler elektronischer Bauelemente wird unter Verwendung eines Rauschersatzwiderstandes (im Ersatzschaltbild) durch obige Ausdrücke beschrieben! Wesentliche Gegenmaßnahmen: Kühlen des Detektors und des Verstärkers sowie Bandbegrenzung.

9 Signal-Rauschverhältnis bei weißem Rauschen Tragen nur das frequenzunabhängige (weiße) Rauschen des Photo- und Dunkelstroms des Detektors und das thermische Rauschen des Lastwiderstandes R L und des äquivalenten Rauschersatzwiderstandes R äq des Verstärkers zum Rauschsignal bei, so erhält man als Signal-Rauschverhältnis am Detektorausgang: S iph e ( ) Ausgang = mit q= Sr f q(i eg ph + i d ) + 4kT/(RL + R äq ) für PD η q Dieses Signal-Rauschverhältnis wird zu 1 für iph = NEP h c/ λ Folglich beträgt die rauschäquivalente Strahlungsleistung bei weißem Rauschen: für APD, PM h c f q id + 4kT /(R L + R eq) NEP = SFL η λ q f für T 0 K und verschwindenden Dunkelstrom NEP klein für hohe Strahlungsempfindlichkeit und kleine elektrische Bandbreite!

10 Detektivitäten verschiedener Strahlungsempfänger Detektivität=NEP -1 als Funktion der Wellenlänge von verschiedenen Photodetektoren für f = 1 Hz: CdS-, CdSe-, Si-, Ge- und wechselspannungsbetriebene Ge-Photoleiter (PC) mit Flächen von 1, 1, 0,5, 0,0 bzw., cm ; Si-Schottky Diode, Si- p-n Photodiode und Si-Lawinenphotodiode mit Fläche von 0,03, 0,5 bzw. 0,07 cm ; Photomultiplier (PM) mit Flächen von 1,0 cm. Im UV und im kürzerwelligeren VIS werden mit Photomultipliern die höchsten Nachweisvermögen erzielt, auch wenn sie um mindestens den Faktor 10 weniger detektiv sind wie der ideale Detektor. Dem idealen Detektor kommt die gekühlte lichtempfindliche CCD sehr nahe.

11 Normierte Detektivitäten verschiedener Strahlungsempfänger D* = D A f 300 K, K,... 4, K FL Photoleiter, FD Photodiode. D* ideal bestimmt durch das Rauschen des Photostroms, im IR i.w. erzeugt durch die Hintergrundstrahlung bei ϑ = 90.

12 Farbiges Rauschen log (In/A)² flicker log f/hz Mittleres Rauschstromquadrat eines Photoleiters für f=1 Hz generation - recombination thermal Funkelrauschen (flicker noise), bei Vorspannung erzeugt durch Leckströme und Potentialbarrieren an der Oberfläche oder Kontakten von Halbleitern. Auch als 1/f- Rauschen bezeichnet, ist es dominant unterhalb 1 khz: n i ir,fl = const n = 0..., m = 0,8...1,5 f m Generations-Rekombinationsrauschen ein Nichtgleichgewichtsrauschen (nur bei äußerer Spannung) entsteht durch die Statistik der Generation und Rekombination von Ladungsträgern in Halbleitern g f G - Gewinn ir,gr = q G 1 ( + ω τg ) τ g Zeitkonstante der Generation Trägerlebensdauer g thermische Generationsrate Farbiges Rauschen ist durch Hochpassfilterung oder Wahl der Modulationsfrequenz oberhalb von ca. 1 khz unterdrückbar!

13 U t k Anheben des Signal-Rauschverhältnisses durch Mittlung U k U k+1 pt k th signal t t k+1 pt (k+1) th signal k k+ 1 k+ m m m Voraussetzung: Das eigentliche Messsignal ist zeitlich konstant oder streng wiederholbar (nicht unbedingt periodisch). Verfahren: Das gemessene Signal u(t) = s(t) + n(t) zusammengesetzt aus dem eigentlichen Signal s(t) und der überlagerten Rauschkomponente n(t) wird m-fach abgetastet zu Zeiten t k +pt, t k+1 +pt,..., zu denen dieselben Signalamplituden anstehen: s(t + pt) = s(t + pt) = s(t + pt) =... s(pt) k = 1,...m,0 < p < 1 u(t + pt) = s(pt) + n(t + pt) = m s(pt) + (m ρ ) k k= 1 k= 1 k= 1 k 1/ ρ ist der Effektivwert der Rauschgröße einer einzelnen Abtastung und die Summe der Rauschbeiträge von m Abtastungen ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate von ρ.

14 Boxcar-Integrator und Multichannel Averager S m s(pt) S ( ) = = m ( ) N (m ρ ) N u(t) Trigger 1/ m 1/ 1 Gate Delay Signal-Rauschverhältnis (S/N) m, erhalten durch Mittlung von m Messwerten, ist um den Faktor m 1/ gegenüber dem der Einzelmessung angehoben. Boxcar-Integrator: Tor schaltet empfangenes Signal für eine gewisse Zeit T g und verzögert um eine gewählte Zeit p T m-fach wiederholt auf einen Tiefpass mit Zeitkonstanter R C. Es wird dimensioniert T g R C! Damit wird ein sog. gewichtetes Mittel (kein arithmetischer Mittelwert) gebildet: Signal- Rauschverhältnis ist dadurch angehoben um den Faktor (m R C/T g ) 1/. Scan-Mode: Um den ganzen zeitlichen Verlauf eines i. d. R. zeitlich kurzen, wiederholbaren Signals zu erfassen, wird das Delay nach jeweils m Abtastungen stückweise erhöht. Vielkanal-Mittlung : n unterschiedliche Signalamplituden werden gleichzeitig abgetastet und dies wird m-mal wiederholt. Vorteil: kürzere Messzeit! Einsatz digitaler Signalerfassung ermöglicht driftfreie Speicherung und Akkumulation und Division in einem Zyklus.

15 Korrelation bei endlicher Bandbreite Φ Φ uu u(t)=s(t)+n(t) Kreuzkorrelation zwischen zwei Signalen, die zu den Zeiten t und t+τ im Zeitintervall [-T,T] erfasst wurden,: + T 1 Φ 1 τ 1 ( ) = u ( t) u ( t + τ) dt T T Φ nn Φ ss τ Sind u 1 und u gleiche Signale, so heißt Φ 11 Autokorrelationsfunktion des Signals u 1. Die Autokorrelation Φ nn statistischen Rauschens ist bei Signalerfassung mit unendlicher Bandbreite gleich Null bis auf die Stelle τ=0, hat aber endliche Breite, wenn das Rauschband begrenzt ist, und zwar eine um so größere Breite je schmaler f eingestellt wurde. Ein periodisches Signal s(t) hat eine periodische Autokorrelationsfunktion Φ ss (τ) derselben Periode, wobei s(t) und Φ ss (τ) völlig unterschiedliche Formen haben können, bei Sinusgestalt aber gleiche Form haben. Ein verrauschtes Sinussignal u(t)=s(t)+n(t) hat die Autokorrelation Φ = Φ + Φ Für hinreichend großes τ kann also Φ ss (τ) extrahiert werden! uu ss nn

16 Lock-in (kohärente) Detektion Teil 1 U S C V R RA U A U S U R U S U R U R R wave shaper + phase shifter C A U A T ϕ = 0 ϕ = 90 T A >>T U A T T A <<T T A >>T Phasenempfindliche Detektion durch square-wave mixing: Abhängig von der Phase eines steuernden Referenzsignals U R wird das Messsignal U S unverändert oder invertiert auf einen mittelwertbildenden Tiefpass (T A >>T) gegeben. Das sinusförmige Signal habe die Frequenz m ω R, wobei m ein Vielfaches der Frequenz des rechteckförmigen Referenzsignals ist. Dann ist U A = U S (arithm. Mittelwert) für m = 1 und ϕ 1 = 0! U A = m U Sm m m= 1 π, cosϕ wenn m ungerade Ausgangssignal U A abhängig von der Phasenverschiebung U A = 0 wenn m gerade ϕ m von U S gegen U R! T A <<T

17 DIFFERENTIAL VOLTAGE INPUTS CURRENT INPUT REFERENCE INPUT Lock-in (kohärente) Detektion Teil Rauschäquivalente Bandbreite des Lock-in: 1 NEBW = + frc df 1 Lock-in wirkt wie ein Filter. Ordnung, dessen = Mittenfrequenz auf die Modulationsfrequenz ω 1 4RC 0 ( π ) R verriegelt ist. Wenn das Signal mit derselben Frequenz wie das Referenzsignal moduliert wird, kann die Filterbandbreite im Gegensatz zu (aktiven) LRC-Filtern sehr klein, die Güte Q ( 100) sehr hoch eingestellt werden. Nachteil des square-wave mixer: Alle ungeradzahligen Harmonischen der Referenzfrequenz werden auch übertragen. Abhilfe: LOW NOISE AUTO-TRACKING DIFFERENTIAL AMP BANDPASS FILTER sine-wave-mixer CURRENT TO VOLTAGE CONVERTER PLL HIGH GAIN AC AMP LINEAR PHASE- SENSITIVE DETECTOR SIGNAL MONITOR OUTPUT LOW PASS FILTER CHOPPER STABILIZED DC AMP Rcosφ OUTPUT Heterodyn-Verfahren: Phasenbezogenes Referenzsignal wird in einen Sinus umgesetzt und mit dem Signal multipliziert und die Summenfrequenz f S +f R mit einem Tiefpass herausgefiltert. INPUT PHASE-LOOK PHASE SHIFTER PRECISION DISCRIMINATOR LOOP SINE CONVERTER

18 Digitale Lock-in Technik U e signal experiment S + H A /D data conversion 16 U e (t) f s τ 1 status input enable A 1 A A 3 A 4 A 5 A 6 wave shaper phase compare 1 10 V C O f = 10f T s 16 bit parallel interface t 1 =0 t t 3 t 4 t 5 t 6 1/f T t s =1/f S t 7 t 8 t 9 t 10 A 7 A 8 A 9 A 10 PLL-Technik im Referenzkanal zur Generierung von äquidistanten Abtastzeiten t i mit fester Phasenbeziehung zum Signal Digitalisierung der Amplituden A i und Speicherung im Rechner; u.u. Berechnung der Fourier-Amplituden (diskrete Fourier-Transformation) und analytische Signaldarstellung Vielfaches Messen jeder Signalamplitude und Mittlung Anhebung des Signal-Rauschverhältnisses t

19 Photonenzähler HIGH-VOLTAGE POWER SUPPLY Photonenzähler mit Dunkelsignalsubtraktion PMT BASE PMT Anode PREAMPLIFIER AMPLIFIER AC Coupled or DC Coupled AMPLIFIER/ DISCRIMINATOR DISCRIMINATOR Pulse pile-up Fehler: 1- e -r τ r Photonenrate, τ Impulsbreite am Ausgang d Dunkelrate, t Zählzeit S N Single-Photon Pulses = IN A IN B rt 1+ d / r DUAL COUNTER and TIMER GATE B GATE A Signal-Rauschverhältnis Beispiel: Für eine relative Messunsicherheit von 10% bei r = 5/s und d = 50/s ist eine Zählzeit t = 40 s erforderlich! DC LIGHT SOURCE Light Chopper Sample Reference Signal Input ALARM CONTROL Disc B Output REF Disc A REF Output PERSONAL COMPUTER