Exkurs: Dualität zwischen Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung

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1 Exkurs: Dualität zwischen Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung Tone Arnold Universität des Saarlandes 29 November November / 14

2 Nutzenmaximierung Beispiel: u(x 1, x 2 ) = x 05 1 x 05 2 Nutzenmaximierung: Gegeben: Preise p 1, p 2 und Einkommen m max x x 1,x 1 05 x 2 05 udn p 1 x 1 + p 2 x 2 = m 2 Ergebnis: Marshall Nachfrage x 1 (p 1, p 2, m) = m, x 2 (p 1, p 2, m) = m 2p 2 29 November / 14

3 Indirekte Nutzenfunktion Die Marshall Nachfrage gibt für jede Kombination von Preisen und Einkommen diejenigen Mengen der beiden Güter an, die den Nutzen maximieren Einsetzen der Marshall Nachfrage in die Nutzenfunktion ergibt die indirekte Nutzenfunktion: u (x 1 (p 1, p 2, m), x 2 (p 1, p 2, m)) = v(p 1, p 2, m) Gibt für alle Kombinationen von Preisen und Einkommen den maximal erreichbaren Nutzen an 29 November / 14

4 Indirekte Nutzenfunktion Unser Beispiel: v(p 1, p 2, m) = x 1 (p 1, p 2, m) 05 x 2 (p 1, p 2, m) 05 = ( ) m 05 ( ) m 05 = 2p 2 ( m 2 4p 1 p 2 ) 05 = m 2 p 1 p 2 29 November / 14

5 Indirekte Nutzenfunktion Annahme: p 1 = p 2 = 1 und das Einkommen sei m = 120 Dann ist der maximal erreichbaren Nutzen v(1, 1, 120) = = 60 Dh, beim Einkommen von 120 e erreicht der Konsument maximal das Nutzenniveau November / 14

6 Ausgabenminimierung Unser Beispiel: u(x 1, x 2 ) = x 05 1 x 05 2 Ausgabenminimierung: Gegeben: Preise p 1, p 2 und Nutzenniveau ū min p 1 x 1 + p 2 x 2 udn x x 1,x 1 05 x 2 05 = ū 2 Ergebnis: Kompensierte (Hicks) Nachfrage ( ) 05 x1 k (p p2 1, p 2, ū) = ū, x2 k (p 1, p 2, ū) = ū p 1 ( p1 p 2 ) November / 14

7 Ausgabenfunktion Die kompensierte Nachfrage gibt für jede Kombination von Preisen und Nutzenniveau ū diejenigen Mengen der beiden Güter an, die die Ausgaben des Konsumenten minimieren Einsetzen der kompensierten Nachfragefunktionen in die Ausgabengleichung ergibt die Ausgabenfunktion: p 1 x k 1 (p 1, p 2, ū) + p 2 x k 2 (p 1, p 2, ū) = e(p 1, p 2, ū) Die Ausgabenfunktion gibt für jede Kombination von Preisen und Nutzenniveau die minimalen Ausgaben an, die nötig sind, um dieses Nutzenniveau zu erreichen 29 November / 14

8 Ausgabenfunktion Unser Beispiel: e(p 1, p 2, ū) = p 1 ū ( p2 p 1 ) 05 + p 2 ū ( p1 p 2 ) 05 = 2ū p 1 p 2 29 November / 14

9 Ausgabenfunktion Annahme: p 1 = p 2 = 1 und das zu erreichende Nutzenniveau beträgt ū = 60 Dann sind die minimalen Ausgaben e(1, 1, 60) = 120 Dh, um das vorgegebene Nutzenniveau von 60 zu erreichen, betragen die minimalen Ausgaben 120 e Anders ausgedrück: Um das vorgegebene Nutzenniveau von 60 zu erreichen, benötigt der Konsument ein Einkommen von mindestens 120e 29 November / 14

10 Dualität von Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung Es gelten vier Identitäten: x M i (p 1, p 2, e(p 1, p 2, ū)) x k i (p 1, p 2, ū) x k i (p 1, p 2, v(p 1, p 2, m)) x M i (p 1, p 2, m) v (p 1, p 2, e(p 1, p 2, ū)) ū e (p 1, p 2, v(p 1, p 2, m)) m 29 November / 14

11 1 Identität x M i (p 1, p 2, e(p 1, p 2, ū)) x k i (p 1, p 2, ū) Beispiel: x M 1 (p 1, p 2, m) = m Einsetzen von e(p 1, p 2, ū) = 2ū p 1 p 2 für m ergibt x M i (p 1, p 2, e(p 1, p 2, ū)) = 2ū p 1 p 2 = ū ( p2 p 1 ) 05 = x k 1 (p 1, p 2, ū) 29 November / 14

12 1 Identität x M i (p 1, p 2, e(p 1, p 2, ū)) x k i (p 1, p 2, ū) Beispiel: x M 1 (p 1, p 2, m) = m Einsetzen von e(p 1, p 2, ū) = 2ū p 1 p 2 für m ergibt x M i (p 1, p 2, e(p 1, p 2, ū)) = 2ū p 1 p 2 = ū ( p2 p 1 ) 05 = x k 1 (p 1, p 2, ū) 29 November / 14

13 1 Identität x M i (p 1, p 2, e(p 1, p 2, ū)) x k i (p 1, p 2, ū) Beispiel: x M 1 (p 1, p 2, m) = m Einsetzen von e(p 1, p 2, ū) = 2ū p 1 p 2 für m ergibt x M i (p 1, p 2, e(p 1, p 2, ū)) = 2ū p 1 p 2 = ū ( p2 p 1 ) 05 = x k 1 (p 1, p 2, ū) 29 November / 14

14 2 Identität x k i (p 1, p 2, v(p 1, p 2, m)) x M i (p 1, p 2, m) Beispiel: x k 1 (p 1, p 2, ū) = ūp 05 2 p 05 1 ergibt Einsetzen von v(p 1, p 2, m) = x k 1 (p 1, p 2, v(p 1, p 2, m)) = = m m 2p1 05p05 2 = x M 1 (p 1, p 2, m) m 2p1 05p05 2 p 05 2 p November / 14

15 2 Identität x k i (p 1, p 2, v(p 1, p 2, m)) x M i (p 1, p 2, m) Beispiel: x k 1 (p 1, p 2, ū) = ūp 05 2 p 05 1 ergibt Einsetzen von v(p 1, p 2, m) = x k 1 (p 1, p 2, v(p 1, p 2, m)) = = m m 2p1 05p05 2 = x M 1 (p 1, p 2, m) m 2p1 05p05 2 p 05 2 p November / 14

16 2 Identität x k i (p 1, p 2, v(p 1, p 2, m)) x M i (p 1, p 2, m) Beispiel: x k 1 (p 1, p 2, ū) = ūp 05 2 p 05 1 ergibt Einsetzen von v(p 1, p 2, m) = x k 1 (p 1, p 2, v(p 1, p 2, m)) = = m m 2p1 05p05 2 = x M 1 (p 1, p 2, m) m 2p1 05p05 2 p 05 2 p November / 14

17 3 Identität v (p 1, p 2, e(p 1, p 2, ū)) ū Beispiel: v(p 1, p 2, m) = m 2 p 1 p 2 Einsetzen von e(p 1, p 2, ū) = 2ū p 1 p 2 für m ergibt v (p 1, p 2, e(p 1, p 2, ū)) = 2ū p 1 p 2 2 p 1 p 2 = ū 29 November / 14

18 4 Identität e (p 1, p 2, v(p 1, p 2, m)) m Beispiel: e(p 1, p 2, ū) = 2ū p 1 p 2 Einsetzen von v(p 1, p 2, m) = m/(2 p 1 p 2 ) für ū ergibt e (p 1, p 2, v(p 1, p 2, m)) = 2m p 1 p 2 2 p 1 p 2 = m 29 November / 14