Mikroökonomik. Das Haushaltsoptimum. Harald Wiese. Universität Leipzig. Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 1 / 37

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1 Mikroökonomik Das Haushaltsoptimum Harald Wiese Universität Leipzig Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 1 / 37

2 Gliederung Einführung Haushaltstheorie Das Budget Präferenzen, Indi erenzkurven und Nutzenfunktionen Das Haushaltsoptimum Komparative Statik Entscheidungen über Arbeitsangebot und Sparen Unsicherheit Marktnachfrage und Erlöse Unternehmenstheorie Vollkommene Konkurrenz und Wohlfahrtstheorie Marktformenlehre Externe E ekte und ö entliche Güter Pareto-optimaler Rückblick Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 2 / 37

3 Überblick Maximierungsproblem des Haushalts Marginale Zahlungsbereitschaft versus marginale Opportunitätskosten Streng konvexe Präferenzen Lagrange-Ansatz (Exkurs) Konkave Präferenzen Perfekte Komplemente Bekundete Präferenzen Die Ausgabenfunktion Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 3 / 37

4 Maximierungsproblem des Haushalts Haushaltsoptimum = Güterkombination, die den Nutzen des Haushalts unter Einhaltung seines Budgets maximiert: bzw. bei Anfangsausstattung max U (x 1, x 2 ) x 1,x 2 u. d. N. p 1 x 1 + p 2 x 2 m u. d. N. p 1 x 1 + p 2 x 2 p 1 ω 1 + p 2 ω 2 Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 4 / 37

5 Maximierungsproblem des Haushalts x x 1 Problem Welche Güterkombination ist das Haushaltsoptimum? Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 5 / 37

6 Maximierungsproblem des Haushalts x 2 A Haushaltsoptimum: Wähle ein Güterbündel auf der höchsten (Maximierung) erreichbaren (innerhalb des Budgets) Indi erenzkurve! x 1 Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 6 / 37

7 Vier Maximierungsprobleme x 2 A Budgetgerade B Indifferenzkurve (a) x1 x 2 A Budgetgerade Indifferenzkurve (b) x1 Problem Sind die Punkte A oder B bei monotonen Präferenzen optimal? x 2 x 2 Budgetgerade A B Indifferenzkurve Budgetgerade Indifferenzkurve A (c) x1 (d) x1 Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 7 / 37

8 Marginale Zahlungsbereitschaft MZB versus marginale Opportunitätskosten MOC Marginale Zahlungsbereitschaft: Auf wie viele Einheiten von Gut 2 kann der Konsument beim Konsum einer zusätzlichen Einheit von Gut 1 verzichten, damit er zwischen beiden Güterbündeln indi erent ist? Marginale Opportunitätskosten: Auf wie viele Einheiten von Gut 2 muss der Konsument beim Konsum einer zusätzlichen Einheit von Gut 1 aufgrund der Budgetrestriktion verzichten? Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 8 / 37

9 MZB versus MOC Indifferenzkurve Steigung der Budgetgeraden x 2 dx2 MZB = dx 1 IK > dx2 dx 1 BG = MOC MZB Erwerb von... MOC 1 Einheit von Gut 1 1 Einheit von Gut 1 MOC MZB Verzicht auf... x 1 Also: Es lohnt sich, den Konsum um eine Einheit auszudehnen. Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 9 / 37

10 MZB versus MOC MRS > MOC ) erhöhe x 1 (falls möglich) x 2 Budgetgerade Indifferenzkurven Haushaltsoptimum x 1 Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 10 / 37

11 MZB versus MOC Alternativ: der Haushalt möchte U x 1, p m p 1 2 p 2 x 1 maximieren Beim Konsum einer zustäzlichen Einheit von Gut 1 folgt Nutzenerhöhung um U x 1 Verringerung von x 2 um MOC = dx 2 dx 1 = p 1 und daher Nutzenreduktion um U dx 2 x 2 dx 1 (Kettenregel) Erhöhe x 1 solange wie U x 1 {z} Grenznutzen der Erhöhung von x 1 > oder MRS = p 2 U dx 2 x 2 dx 1 {z } Grenzkosten der Erhöhung von x 1 U x 1 U x 2 > dx 2 dx 1 = MOC Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 11 / 37

12 Streng konvexe Präferenzen Cobb-Douglas-Nutzenfunktion x 2 A I 3 I 2 I 1 x 1 1 MRS! = MOC 2 p 1 x 1 + p 2 x 2! = m Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 12 / 37

13 Streng konvexe Präferenzen Cobb-Douglas-Nutzenfunktion Bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen U (x 1, x 2 ) = x1 ax1 2 lautet das Verhältnis der Grenznutzen MRS = U x 1 U a 1 1 x 1 a 2 = ax (1 a) x a x 2 1 x 2 a = x 2 a x 1 1 a Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten liefern das Haushaltsoptimum: a x 1 = a m p 1 x 2 = (1 a) m p 2 Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 13 / 37

14 Streng konvexe Präferenzen Cobb-Douglas-Nutzenfunktion Problem Olaf hat die Nutzenfunktion U (D, C) = p DC D = Anzahl der Diskobesuche pro Monat und C = Anzahl der Konzertbesuche pro Monat Das Budget ist durch p D = C= 2, 00/Diskobesuch, p C = C= 4, 00/Konzertbesuch und m = C= 64, 00 gegeben. Anstelle von U (D, C) = p DC auch (U (D, C)) 2 = DC möglich? Bestimmen Sie die von Olaf nachgefragten Mengen! Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 14 / 37

15 Streng konvexe Präferenzen Cobb-Douglas-Nutzenfunktion 1. Gossen sches Gesetz U x 1 x 1 = 2 U ( x 1 ) 2 < 0 Der Grenznutzen nimmt mit jeder konsumierten Einheit ab. Interpretation nur bei kardinaler Nutzentheorie möglich! 2. Gossen sches Gesetz MU 1 p 1 = MU 2 p 2 Auch bei ordinaler Nutzentheorie sinnvolle Aussage! Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 15 / 37

16 Lagrange-Ansatz (Exkurs) Nebenbedingung als Gleichung ist ein Verfahren zur Lösung von Optimierungsproblemen bei Nebenbedingungen. Annahme: monotone und konvexe Präferenzen Maximiere unter der Nebenbedingung U (x 1, x 2 ) m (p 1 x 1 + p 2 x 2 ) = 0 Bei m p 1 x 1 p 2 x 2 0 muss das so genannte Kuhn-Tucker-Verfahren gewählt werden. Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 16 / 37

17 Lagrange-Ansatz (Exkurs) Lagrangefunktion L (x 1, x 2, λ) = U (x 1, x 2 ) + λ (m p 1 x 1 p 2 x 2 ) Wenn man x 1 erhöht, hat dies einen direkten (positiven) Ein uss auf den Nutzen, U x 1 > 0, und einen indirekten (negativen): Der reduzierte Budgetüberschuss (m p 1 x 1 p 2 x 2 ) x 1 = p 1 < 0 wird von λ > 0 in reduzierten Nutzen übersetzt, insgesamt also λ ( p 1 ). Optimum: U x 1! = λp 1. Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 17 / 37

18 und MRS =! MOC. Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 18 / 37 Lagrange-Ansatz (Exkurs) Optimalitätsbedingungen L (x 1, x 2, λ) = U (x 1, x 2 )! λp 1 = 0, x 1 x 1 L (x 1, x 2, λ) = U (x 1, x 2 )! λp 2 = 0, x 2 x 2 L (x 1, x 2, λ)! = m p 1 x 1 p 2 x 2 = 0. λ Daher 2. Gossen sches Gesetz: U(x 1,x 2 ) x 1 p 1! = λ! = U(x 1,x 2 ) x 2 p 2

19 Lagrange-Ansatz (Exkurs) Grenznutzen des Einkommens Interpretation λ kann als Grenznutzen des Einkommens interpretiert werden λ = du dm. Dadurch ergibt sich für die Optimierungsbedingung U (x 1, x 2 ) x 1! = du dm p 1. aber: U hat m nicht als Argument... Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 19 / 37

20 Lagrange-Ansatz (Exkurs) Indirekte Nutzenfunktion V (p 1, p 2, m) := U (x 1 (p 1, p 2, m), x 2 (p 1, p 2, m)). x 1 (p 1, p 2, m) ist die bei den Preisen p 1 und p 2 und beim Einkommen m nutzenmaximal nachgefragte Menge von Gut 1. Problem Bestimmen Sie die indirekte Nutzenfunktion für die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion U (x 1, x 2 ) = x1 ax1 2 a (0 < a < 1)! Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 20 / 37

21 Lagrange-Ansatz (Exkurs) Grenznutzen des Einkommens so richtig V (p 1, p 2, m) := U (x 1 (p 1, p 2, m), x 2 (p 1, p 2, m)) ergibt V m = U x 1 x 1 m + U x 2 x 2 m = (λp 1 ) x 1 m + (λp 2) x 2 m x 1 = λ p 1 m + p x 2 2 m p 1 x 1 (p 1, p 2, m) + p 2 x 2 (p 1, p 2, m) = m führt zu also exakter x 1 p 1 m + p x 2 2 m = 1 V m = λ. Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 21 / 37

22 Konkave Präferenzen x 2 MZB < MOC MZB > MOC x 1 MRS > MOC ) erhöhe x 1 (falls möglich) MRS < MOC ) reduziere x 1 (falls möglich) Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 22 / 37

23 Konkave Präferenzen konkretes Beispiel U (x 1, x 2 ) = x x2 2 Die Erhöhung des Konsums von Gut 1 erhöht den Nutzen, falls x 1 x 2 = 2x 1 2x 2 = U x 1 = MRS > MOC = p 1 U p x 2 2 gilt. Also (fast immer) Randlösungen: 8 mp1 ><, 0, p 1 < p 2 n o x (m, p) = mp1, 0, 0, m p p2 1 = p 2 >: 0, m p p2 1 > p 2 Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 23 / 37

24 Perfekte Substitute graphische Lösung x 2 MZB < MOC A I 3 I 2 I 1 x 1 MRS < MOC ) reduziere x 1 (falls möglich) Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 24 / 37

25 Perfekte Substitute analytische Lösung U (x 1, x 2 ) = ax 1 + bx 2 mit a > 0 und b > 0 Die Erhöhung des Konsums von Gut 1 erhöht den Nutzen, falls a b = MRS > MOC = p 1 p 2 gilt. Also (fast immer) Randlösungen: 8 mp1 ><, 0 a, b > p 1 n h io p 2 x (m, p) = x 1, p m p 1 2 p 2 x 1 2 R 2 + : x 1 2 0, p m ab 1 = p 1 p 2 >: 0, m p2 a b < p 1 p 2 Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 25 / 37

26 Perfekte Komplemente x 2 B I 3 A I 2 I 1 x 1 1 Eckpunkte bestimmen! 2 p 1 x 1 + p 2 x 2! = m Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 26 / 37

27 Perfekte Komplemente Eckpunkte Budgetgleichung U(x 1, x 2 ) = min(ax 1, bx 2 ) ax 1! = bx 2 oder x 2! = a b x 1 m! = p 1 x 1 + p 2 x 2 = p 1 x 1 + p 2 a b x 1 = x 1 (p 1 + a b p 2) Für das erste Gut erhält man so x 1 = m p 1 + b a p. 2 Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 27 / 37

28 Haushaltsoptima Problem Bestimmen Sie Haushaltsoptima bei variablem Einkommen m für die Nutzenfunktion U (x 1, x 2 ) = 1 2 x2 1 + x2 2 und die Preise p 1 = 1 und p 2 = 2; für lexikographische Präferenzen mit 1 als wichtigem Gut und die Preise p 1 = 2 und p 2 = 5; für die Nutzenfunktion U (x 1, x 2 ) = x 1 + 2x 2 und die Preise p 1 = 1 und p 2 = 3; für die Nutzenfunktion U (x 1, x 2 ) = min (x 1, 2x 2 ) und die Preise p 1 = 1 und p 2 = 3! Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 28 / 37

29 Bekundete Präferenzen Üblicher Weg: Budget und Päferenzen ) Haushaltsoptimum Alternative: tatsächliche Entscheidungen der Haushalte ) Präferenzen. =) Diese Präferenzen nennt man bekundet. (SH 18) Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 29 / 37

30 Bekundete Präferenzen x 2 x 2 B B A A x 1 x 1 Problem Sind die angedeuteten Entscheidungen bei der acheren Budgetgeraden Güterbündel B und bei der steileren Budgetgeraden Güterbündel A mit Monotonie vereinbar? Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 30 / 37

31 Maximierungs- und Minimierungsproblem Maximierung: Finde das Güterbündel, das den Nutzen bei gegebener Budgetlinie maximiert! Minimierung: Finde das Güterbündel, das die Ausgaben, die für ein vorgegebenes Nutzenniveau notwendig sind, minimiert. x 2 Indifferenzkurve mit Nutzenniveau U A C B Budgetgerade mit Einkommen m x 1 Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 31 / 37

32 Die Ausgabenfunktion e p 1, p 2, U := min (p x 1,x 1 x 1 + p 2 x 2 ) 2 mit U=U(x 1,x 2 ) Haushaltsoptimum: kompensierte Nachfrage χ 1 p 1, p 2, U und χ 2 p 1, p 2, U Kompensiert: Um bei Preiserhöhungen das Nutzenniveau zu halten, ist das Einkommen kompensierend zu erhöhen. Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 32 / 37

33 Die Ausgabenfunktion Funktion Argumente Optimum Nutzenfunktion Ausgabenfunktion Gütermengen Nutzenniveau, Preise x 1 (p 1, p 2, m), x 2 (p 1, p 2, m) χ 1 p 1, p 2, U, χ 2 p 1, p 2, U Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 33 / 37

34 Die Ausgabenfunktion χ 1 und χ 2 = Hicks sche Nachfrage (kompensierte Nachfrage): gibt an, mit welchem Güterbündel ein angestrebtes Nutzenniveau mit geringstmöglichen Ausgaben erreicht wird. x 1 und x 2 = Marshall sche Nachfrage: gibt an, mit welchem Güterbündel das maximale Nutzenniveau bei gegebenem Einkommen erreicht wird. Fast immer gilt: x 1 p 1, p 2, e p 1, p 2, U = χ 1 p 1, p 2, U. Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 34 / 37

35 Die Ausgabenfunktion Problem Bestimmen Sie die Ausgabenfunktion für die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion U (x 1, x 2 ) = x1 ax1 2 a mit 0 < a < 1! Geben Sie auch die Gütermengen an, die bei einem vorgegebenen Nutzenniveau die Ausgaben minimieren! Hinweis: Sie können mit den Gütermengen x1 = a p m 1 und x2 = (1 a) p m 2 arbeiten. Wählen Sie den Ansatz U = U (x1, x 2 ) und ermitteln Sie das Budget m = e p 1, p 2, U, das für den vorgegebenen Nutzen U notwendig ist! Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 35 / 37

36 Zentrale Hörsaalübungen I Aufgabe D.9.1. Ein Viehzüchter lebt von Milch (Gut 1) und Brot (Gut 2). Er melkt jeden Tag seine Kuh und erhält dabei 10 Liter Milch, mit denen er auf den Markt geht, um Brot einzutauschen. Seine Nutzenfunktion ist U(x 1, x 2 ) = ln x ln x 2, wobei x 1 und x 2 den Konsum an Milch und Brot bezeichnen. Auf dem Markt beträgt der Preis für einen Liter Milch 1 Taler, für einen Laib Brot 5 Taler. Wie viel Milch und wie viel Brot konsumiert der Viehzüchter täglich? Aufgabe D.9.2. Ein Haushalt mit der Nutzenfunktion U(x 1, x 2 ) = p x p x 2 gibt sein gesamtes Einkommen m = 16 für die beiden Güter mit den Preisen p 1 = 1 und p 2 = 4 aus. Bestimmen Sie das Haushaltsoptimum! Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 36 / 37

37 Zentrale Hörsaalübungen II Aufgabe D.9.3. U(x 1, x 2 ) = min x 1, 1 2 x 2 m = 15, p 1 = 2 und p 2 = 4 Haushaltsoptima! Aufgabe D.9.4. U(x 1, x 2 ) = 2x 1 + 4x 2 m = 8, p 1 = 2 und p 2 = 4 Haushaltsoptima! Aufgabe D.9.5. U (x 1, x 2 ) = ln x 1 + x 2 m, p 1 und p 2 mit m p 2 > 1 Haushaltsoptima! Ausgabenfunktion! Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 37 / 37

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