Mikroökonomie - Zusammenfassung und Formeln

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1 Mikroökonomie - Zusammenfassung und Formeln 5. Januar Angebot und Nachfrage 1.1 Gleichgewicht in Wettbewerbsmärkten Gesetz der Nachfrage: Marktnachfragefunktion ist streng fallend. Gesetz des Angebots: Angebotsfunktion ist streng steigend. Im Wettbewerbsgleichgewicht gilt: Marktnachfrage D(p ) = S(p ) Marktangebot, bzw. inverse Marktnachfrage D(q ) = S(q ) inverses Marktangebot Ausserdem gilt: Veränderung Konsum/Veränderung Preis = Preiselastizität. 1.2 Komparative Statik Lösung der Gleichung D(p (a), a) = S(p (a)) mit q (a) = S(p (a)) = D(p (a), a) Veränderungen in Abhängigkeit von einem Parameter (a,b), wenn die Funktionen p (a, b) und q (a, b) nicht vorhanden sind: Preisveränderung Mengenveränderung Nachfrage, a dp (a) da dq (a) da = δd δa ds dp δd δp = dp (a) ds da dp a Angebot,b dp (b) db dq (b) db = δs δb dd dp δs δp = dp (b) dd db dp b 1.3 Elastizitäten Preiselastizität Elastizität bzgl. a,b Nachfrage, a ε(p) = dd(p) dp ε(a) = dd(a) da p D(p) a D(a) Angebot,b η(p) = ds(p) dp η(b) = ds(b) da p S(p) b S(b) Preisänderung bzgl. a, b (p) = ε(a) η(b) η(p) ε(p) a (p) = ε(p) η(p) b Mengenänderung bzgl. a, b (q) = (p) η(p) (q) = (p) ε(p) Dabei gilt für die Ausgabenelastizität: ρ(p) = 1 + ε(p) 1

2 1.4 Auswirkungen einer Steuer Nachfrage und Angebotsfunktionen vorhanden Konsumentenpreis unter Steuer τ: D(p d ) = S(p d τ) Produzentenpreis unter Steuer τ: p s = p d τ Gleichgewichtsmenge unter Steuer τ: q = D(p d ) = S(p s) Veränderungen der Preise und Menge aufgrund der Steuer bestimmen: p d, p s, q mit τ multiplizieren. Ohne Funktionen mithilfe von Elastizitäten Aufteilung der Steuerlast: ε(p η(p ) η(p ) Änderung des Preises durch Steuer (Nachfrage): η(p ) ε(p ) τ ε(p ) Änderung des Preises durch Steuer (Angebot): η(p ) ε(p ) τ ε η q Änderung der Menge durch Steuer: η ε p τ 2

3 2 Konsumententheorie 2.1 Präferenzen Es gilt unter der Annahme, dass x und y Güterbündel sind (x = (x 1, x 2 ) und y = (y 1, y 2 )): x y (x wird y streng vorgezogen) y x (y wird x streng vorgezogen) x y (x und y sind indifferent) Eine Präferenzrelation gibt für jedes Paar von Gütern x und y an, ob die Beziehung x y oder y x (oder keine) gilt. Ist solch eine Beziehung erfüllt, nennt man die Präferenzrelation vollständig. Gilt ausserdem x y und y z und man kann daraus folgern, dass x z so ist die Präferenzrelation transitiv. Vollständige und transitive Präferenzrelationen sind rational. Weitere Annahmen zu artigen Präferenzrelationen: ist stetig und differenzierbar. ist streng monoton ( mehr ist besser ). ist streng konvex (Mischungen sind besser als Extreme). Die Präferenzrelationen lassen sich als Indifferenzkurven darstellen, auf welcher alle Güterbündel liegen, die den gleichen Nutzen erbringen. Die Steigung der Indifferenzkurve I(x) an der Stelle x heisst die Grenzrate der Substitution an der Stelle x (GRS(x)). 2.2 Die Grenzrate der Substitution Für eine artige Präferenzrelation gilt: Die Grenzrate der Substitution ist streng negativ: GRS(x) < 0 Die marginale Zahlungsbereitschaft ist streng fallend entlang einer Indifferenzkurve. 2.3 Nutzendarstellung von Präferenzrelationen Rationale Präferenzrelationen lassen sich durch eine Nutzenfunktion darstellen (Güterbündeln wird ein Wert zugeordnet). Es ist nur wichtig, dass die Nutzenfunktion die Güter genauso ordnet wie die Präferenzrelation, die Grössenverhältnisse spielen keine Rolle. Somit ist diese transformierbar, es kann also eine Funktion v(x) existieren für welche gilt: v(x) = f(u(x)) (streng monotone Transformation). Aus solch einer Nutzenfunktion lassen sich die Indifferenzkurven ableiten: diese entsprechen den Niveaulinien der Nutzenfunktion. Die Ableitung der Nutzenfunktion beschreibt den Grenznutzen: u(x) x i u(x) x Mit Hilfe des Grenznutzen kann die GRS(x) bestimmt werden: GRS(x) = 1 u(x) und ist somit x 2 gleich dem (negativen) Verhältnis der Grenznutzen der beiden Güter. Eine Nutzenfunktion ist somit artig, wenn sie streng quasikonkav ist und die Grenznutzen beider Güter streng positiv sind. 3

4 2.4 Beispiele für Nutzenfunktionen Eine wichtige Funktion ist die Cobb-Douglas Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 mit c, d > 0 Diese wird häufig auch als u(x 1, x 2 ) = x a 1 x 1 a 2 geschrieben, wobei a eine ökonomische Bedeutung hat. Die Grenznutzen einer Cobb Douglas Funktion: u(x) x 1 = a x 1 und u(x) x 2 = 1 a x 2 Eine weitere wichtige Funktion ist die quasilineare Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = v(x 1 )+x 2. Hieraus ergibt sich eine Indifferenzkurve welche sich vertikal verschiebt (Achsenabschnitt). Die Grenznutzen einer quasilinearen Nutzenfunktion: u(x) x 1 = v (x 1 ) und u(x) x 2 = Die Budgetbeschränkung Die Ungleichung p 1 x 1 + p 2 x 2 m beschreibt die Budgetbeschränkung. Daraus lässt sich die Gleichung der Budgetgeraden ableiten: p 1 x 1 + p 2 x 2 = m. Umformen ergibt: x 2 = m p 2 p1 p 2 x 1, wobei m p 2 den vertikalen Achsenabschnitt und p1 p 2 die (negative) Steigung der Geraden. Der relative Preis entspricht somit den Opportunitätskosten für ein zusätzliche Einheit von Gut 1. Setzt man den Preis von Gut 2, p 2 = 1 so bezeichnet man dies als Numeraire. 2.6 Optimale Güterbündel und Nutzenmaximierung Ein Güterbündel x ist dann optimal wenn es allen anderen Güterbündeln einer Budgetmenge vorgezogen wird: x x. Ist eine Präferenzrelation artig, gibt es in einer Budgetmenge genau ein optimales Güterbündel, welches auf der Budgetgeraden liegen muss: p 1 x 1 + p 2 x 2 = m. Weiterhin muss gelten, dass die Grenzrate der Substitution der Steigung der Budgetgerade entspricht: GRS(x) = p1 p 2. ACHTUNG: gibt es keine Güterbündel welche diese beiden Bedingungen erfüllen, gibt es keine innere Lösung. Es muss sich also um eine Randlösung handeln: x = (m/p 1, 0) oder x = (0, m/p 2 ). 2.7 Beispiele für Nutzenmaximierung Die Lösung der Nutzenmaximierung für eine Cobb Douglas Funktion: x 1 = am/p 1 und x 2 = (1 a)m/p 2, wobei der Parameter a den Anteil beschreibt, welcher der Konsument für Gut 1 ausgibt. Die Lösung der Nutzenmaximierung für eine quasilineare Nutzenfunktion: ein Güterbündel muss die Bedingungen v ( x 1) = p 1 /p 2 und x 2 = (m p 1 x 1)/p 2 erfüllen, ansonsten gibt es nur eine Randlösung. 2.8 Die Nachfragefunktion eines Konsumenten Die Nachfragefunktion beschreibt, welches Güterbündel der Konsument bei gegebenen Preisen und Budget nachfragt. Dabei gilt: Einkommenselastizität: ξ i (p, m) = f 1(p, m) m 4 m f i (p, m)

5 Ausgabenanteil für das Gut i: θ(p, m) = p 1f ( p, m) m Eigenpreiselastizität: ε ii (p, m) = f i(p, m) p i p i f i (p, m) Kreuzpreiselastizität: ε ij (p, m) = f i(p, m) p j p j f i (p, m) Ein Gut heisst normal, wenn die nachgefragte Menge des Gutes mit steigendem Einkommen zunimmt (marginale Zahlungsbereitschaft steigt in der Menge, ξ i > 0). Nimmt sie ab heisst das Gut inferior (marginale Zahlungsbereitschaft sinkt in der Menge, ξ i < 0). Gilt ξ i (p, m) = 0 so ist die Nachfrage nach Gut i einkommensunabhängig (immer bei quasilinearen Präferenzrelationen). Analog heisst das Gut i gewöhnlich, wenn die nachgefragte Menge im steigenden Preis abnimmt (ε ii 0). Nimmt diese zu, handelt es sich um ein giffen Gut (ε ii > 0). Nimmt die nachgefragte Menge für Gut i zu, wenn der Preis von Gut j ansteigt, so ist i ein Substitut für j (ε ij > 0). Nimmt diese ab bei einem Preisanstieg handelt es sich um ein Komplement (ε ij < 0). Zusammengefasst: normal: ξ i > 0 inferior: ξ i < 0 gewöhnlich: ε ii 0 giffen: ε ii > 0 Substitut: ε ij > 0 Komplement: ε ij < 0 Die Nachfragefunktion für eine Cobb Douglas Nutzenfunktion: f 1 (p 1, p 2, m) = a m p 1 und f 2 (p 1, p 2, m) = (1 a) m p 2 Ausserdem sind die Einkommenselastizitäten ξ 1 = ξ 2 = 1, beide Güter sind normal. Ausgabenanteile sind konstant: θ 1 = a und θ 2 = (1 a) Eigenpreiselastizitäten: ε 11 = ε 22 = 1 beide Güter sind gewöhnlich. Kreuzpreiselastizität: ε 12 = ε 21 = 0 Güter sind weder Komplemente noch Substitute. 2.9 Eigenschaften artiger Nachfragefunktionen Budgetidentität: θ 1 ξ 1 + θ 2 ξ 2 = 1 es ist unmöglich, dass alle Güter inferior sind. Homogenität vom Grad Null: ε i1 + ε i2 + ξ i = 0 ist Gut 1 gewöhnlich und inferior muss es ein Substitut für Gut 2 sein. Negativer Substitutionseffekt: ε ii := ε ii + θ i ξ i 0 bei einer Einkommenskompensierten Erhöhung des Preises von Gut i muss die nachgefragte Menge fallen. Allgemein: normale Güter sind gewöhnlich und Giffen Güter sind inferior (Umkehrschluss nicht gültig!). Prüfungsgleichung: Gesamteffekt = Substitutionseffekt + Einkommeneffekt bzw. mit den beschriebenen Kürzeln: ε ii = ε ii θ iξ i 5

6 2.10 Ausgabenfunktion und kompensierte Nachfrage Analog zum Nutzemaximierungsproblem kann man das Ausgabenminimierungsproblem definieren. Übersicht: Nutzenmaximierung Ausgabenminimierung Maximiere/Minimiere u(x 1, x 2 ) p 1 x 1 + p 2 x 2 Nebenbedingung: p 1 x 1 + p 2 x 2 m u(x 1, x 2 ) ū Lösung x = f(p, m), unkompensierte Nachfragefunktion Sonstige indirekte Nutzenfunktion: U(p, m) = u(f 1 (p, m), f 2 (p, m)) x = h(p, ū), kompensierte Nachfragefunktion Ausgabenfunktion: E8p, ū) = p 1 h 1 + p 2 h 2 Eigenschaften: E(p, U(p, m)) = m bzw. U(p, E(p, ū)) = ū für gegebene Preise sind Ausgaben- und indirekte Nutzenfunktion invers. Für gegebene Preise stimmen kompensierte und unkompensierte Nachfrage überein. Gegenseitig aus der vorhanden Lösung bestimmbar! Kompensierte Nachfragefunktion für Cobb Douglas Funktion: ( ) 1 a ( a p 2 1 a p 1 h 1 = ū und h 2 = ū 1 a p 1 a p 2 Die kompensierte Nachfragefunktion von Gut i ist gleich der partiellen Ableitung der Ausgabenfunktion nach p i : = h i (p, ū). E(p, ū) p i Weiter entspricht die Eigenpreiselastizität der kompensierten Nachfragefunktion der Substitutionselastizität der unkompensierten Nachfragefunktion Kompensierende und äquivalente Variation Kompensierende Variation: Geldbetrag welcher der Konsument nach einer Preisänderung bekommen muss um dasselbe Nutzenniveau zu erreichen. CV = E(p 1, p 2, ū) E(p 1, p 2, ū) Äquivalente Variation: Geldbetrag welcher abgezogen werden kann, damit der Nutzen um den gleichen Betrag wie durch die Preisänderung fällt: EV = E(p 1, p 2, u ) E(p 1, p 2, u ) Diese stimmen in der Regel nicht überein, eine Ausnahme ist die quasilineare Präferenzrelation (unkompensierte und kompensierte Nachfragefunktion sind gleich). Die Änderung der Konsumentenrente ist eine approximative Lösung des Problems und kann oft als das Wohlfahrtsmass für die Preisänderung betrachtet werden Konsumentenrente Die Differenz zwischen Zahlungsbereitschaft und Ausgaben für ein Gut heisst Konsumentenrente: kr = v(x 1 ) z. Eine Kopfsteuer stellt den Konsumenten immer besser als eine Mengensteuer (gilt ebenso für Subventionen): U(p 1 + t, 1, m) < U(p 1 )1, m tx 1) ) a 6

7 3 Unternehmenstheorie 3.1 Produktionsfunktion Die Produktionsfunktion f ordnet jeder Inputkombination (x 1, x 2 ) die maximale Outputmenge y = f(x 1, x 2 ), die mit dieser Inputmenge produziert werden kann. Die partielle Ableitung wird als Grenzprodukt (analog zum Grenznutzen aus der Konsumententheorie) von i bezeichnet: MP i (x 1, x 2 ). Abnehmende Grenzprodukte: Die zweite Ableitung nach dem gleichen Input ist streng fallend: MP 11 (x 1, x 2 ) < 0 und MP 22 (x 1, x 2 ) < 0 Komplementäre Inputs: Die zweite Ableitung nach dem anderen Input ist steigend oder konstant: MP 12 (x 1, x 2 ) = MP 21 (x 1, x 2 ) Kurzfristige Produktion Bei der kurzfristigen Produktion wird ein Input als Fix vorgegeben (üblicherweise Input 2): f(x 1, x 2 ).Diese Funktion: ist steigend in der Einsatzmenge des variablen Faktors (x 1 ): MP 1 (x 1, x 2 ) > 0 hat eine fallende Steigung: MP 11 (x 1, x 2 ) < 0 beginnt im Nullpunkt wenn der variable Faktor unverzichtbar (f(0, x 2 ) = 0) ist (bei Cobb- Douglas der Fall). verschiebt sich nach oben bei Erhöhung der Einsatzmenge des fixen Faktors. wird aufgrund komplementärer Inputs steiler. 3.3 Durchschnittsprodukte und Produktionselastizität Das Durchschnittsprodukt AP i (x 1, x 2 ) entspricht dem Verhältnis f(x 1, x 2 )/x 1 und ist in der Praxis oft ein Mass für die Produktivität eines Inputs. AP i (x 1, x 2 ) ist steigend in der Einsatzmenge des anderen Inputs: AP ij (x 1, x 2 ) > 0. AP i (x 1, x 2 ) ist streng fallend in der Einsatzmenge des eigenen Inputs: AP ii (x 1, x 2 ) < 0 Bei abnehmenden Grenzprodukten ist das Durchschnittsprodukt streng grösser als das Grenprodukt: AP i (x 1, x 2 ) > MP i (x 1, x 2 ). Die Produktionselastizität beschreibt das Verhältnis der relativen Änderungen bei einer Erhöhung der Einsatzmenge: ε i (x 1, x 2 ) = f(x 1, x 2 ) x i x i f(x 1, x 2 ) = MP i(x 1, x 2 ) AP i (x 1, x 2 ) > 0. Bei abnehmenden Grenzprodukten sind die Produktionselastizitäten beider Inputs stets kleiner als 1: ε i (x 1, x 2 ) < 1. Bei einer Cobb-Douglas Funktion sind die beiden Produktionselastizitäten konstant. 3.4 Grenzrate der technischen Substitution Hier analog zu den Indifferenzkurven und der Grenzrate der Substitution: Isoquanten I(y), geben alle Kombinationen von Inputmengen (x 1, x 2 ) an, welche die Produktion von y ermöglichen. 7

8 Die Grenzrate der technischen Substitution gibt die Steigung einer Isoquante an: GRT (x 1, x 2 ) = MP1(x1,x2) MP 2(x 1,x 2) < 0 Auch die Isoquanten verlaufen streng fallend und streng konvex, während die GRT streng negativ ist. Der Absolutwert der GRT ist streng fallend entlang einer Isoquante, man spricht auch von der fallenden Grenzrate der technischen Substitution. 3.5 Skalenelastizität und Skalenerträge Die Skalenelastizität ist die Summe der Produktionselastizitäten: ε s = ε 1 + ε 2. Dabei gilt: ε s < 1 = lokal fallende Skalenerträge, gilt global wenn: f(tx 1, tx 2 ) < t f(x 1, x 2 ) ε s = 1 = lokal konstante Skalenerträge, gilt global wenn: f(tx 1, tx 2 ) = t f(x 1, x 2 ) ε s > 1 = lokal steigende Skalenerträge, gilt global wenn: f(tx 1, tx 2 ) > t f(x 1, x 2 ) Gilt eine der obigen Eigenschaften für alle (x 1, x 2 ) > 0 so ist die Eigenschaft global. Man spricht von global fallenden, global steigenden oder global konstanten Skalenerträgen. 3.6 Die Kostenfunktion Die Kostenfunktion gibt die minimalen Kosten an, die für die Produktion einer Outputmenge erforderlich sind: Gesamtkosten = Fixkosten + variable Kosten (C(y) = F C + V C(y)). Analog zum Grenzprodukt entspricht die erste Ableitung der Kostenfunktion nach der Outputmenge y den Grenzkosten: MC(y) = C (y). Dabei gilt MC(y) = V C (y). Die Durchschnittskosten setzen sich aus durchschnittlichen variablen Kosten und durchschnittlichen Fixkosten zusammen: AC(y) = C(y) y = F C y + V C(y) y = AF C(y) + AV C(y). Dabei gilt: Die Durchschnittskosten liegen stets oberhalb der durchschnittlichen variablen Kosten: AC(y) AV C(y). Die durchschnittlichen Fixkosten nehmen mit der Outputmenge ab: AF C (y) 0. Die Steigung der Durchschnittskosten ist kleiner als die Steigung der durchschnittlichen variablen Kosten: AC (y) AV C (y). Die Ableitung der Durchschnittskostenfunktion: AC (y) = MC(y) AC(y) y. Dadurch gilt: M C(y) > AC(y) = Durchschnittskosten steigend. M C(y) = AC(y) = Durchschnittskosten konstant. M C(y) < AC(y) = Durchschnittskosten fallend. Bei u-förmigen Durchschnittskosten schneiden sich die Grenz- und Durchschnittskosten im Minimum der Durchschnittskosten. Die Grenzkosten sind an der Stelle streng steigend. Entsprechend für die Ableitung der durchschnittl. variablen Kosten: AV C (y) = Somit: M C(y) > AV C(y) = durchschnittlichen variablen Kosten steigend. M C(y) = AV C(y) = durchschnittlichen variablen Kosten konstant. M C(y) < AV C(y) = durchschnittlichen variablen Kosten fallend. MC(y) AV C(y) y. Für einen u-förmigen Verlauf gelten dieselben Aussagen wie bei den Durchschnittskosten. 8

9 3.7 Kurzfristige Kostenfunktion Erneut wird ein Input als fix vorgegeben und es wird die minimale Einsatzmenge des variablen Inputs gesucht, um einen gegebene Output y zu produzieren. Dies ist durch die Umkehrfunktion der kurzfristigen Produktionsmöglichkeiten gegeben: y = f(x 1(y, x 2 ), x 2 ). Für diese gegebene Einsatzmenge ergibt sich somit für die kurzfristige Kostenfunktion: C s (y) = w 1 x 1(y, x 2 ) + w 2 x 2, wobei F C(y) = w 2 x 2 und V C(y) = w 1 x 1(y, x 2 ). Die Grenzkosten berechnen sich: MC(y) = C s(y) = w 1. In der kurzen Frist sind die Grenzkosten streng steigend. Für die durchschnittlichen variablen Kosten gilt: AV C(y) = w1 AP 1 y MP 1. Auch diese Kosten sind streng steigend. Die kurzfristigen Durchschnittskosten AC(y) verlaufen u-förmig. Es AV C(y) folgt: MC(y) = MP1 AP 1 = ε Das langfristige Kostenminimierungsproblem Analog zur Konsumententheorie gilt es das Bündel (x 1, x 2) zu bestimmen, welches das Problem minw 1 x 1 + w 2 x 2 unter der Nebenbedingung f(x 1, x 2 ) = y löst. Ein Hilfsmittel sind die Isokostenlinien (=Budgetgeraden) mit Steigung w1 w 2. Somit müssen die Gleichungen MP1 MP 2 = w1 w 2 und f(x 1, x 2) = y gelöst werden. Die Funktionen welche diese Lösungen zuordnen werden als bedingte Faktornachfragefunktionen (=kompensierte Nachfragefunktionen) bezeichnet. 3.9 Langfristige Kostenfunktionen Nun gibt es keinen fixen Faktor mehr und die Kostenfunktion lautet: C(y) = w 1 x 1 + w 2 x 2. Die Grenzkosten lassen sich nun für jeden Input bestimmen: MC i (y) = wi MP i. AC(y) Für langfristige Kostenfunktionen gilt: MC(y) = ε S. Daraus lässt sich ableiten, dass bei der Kostenminimierenden Lösung (x 1, x 2 ) gilt: sind die lokalen Skalenerträge bei (x 1, x 2 ) fallend, so sind die Durchschnittskosten bei y steigend. konstant, so sind die Durchschnittskosten bei y konstant. steigend, so sind die Durchschnittskosten bei y fallend. Treten global steigende Skalenerträge auf gilt: AC (y) < 0 und MC(y) < AC(y) Treten global konstante Skalenerträge auf gilt: AC(y) = MC(y) = k mit C(y) = ky. Treten global fallende Skalenerträge auf gilt: AC (y) > 0 und MC(y) > AC(y) Kosten in der langen und der kurzen Frist In der kurzen Frist gibt es keine Anpassungsmöglichkeiten, deswegen müssen bei gegebenen Faktorpreisen die kurzfristigen Kosten mindestens so hoch sein wie die langfristigen Kosten. Diese stimmen überein, wenn die fixe Einsatzmenge der langfristig kostenminimierenden Einsatzmenge entspricht. In diesem Fall gilt ausserdem: MC(y) = MC S (y, x 2). Stimmen diese nicht überein, dann: x 2 > x 2 = MC(y) > MC s (y, x 2 ) x 2 < x 2 = MC(y) < MC s (y, x 2 ) 3.11 Angebot in Wettbewerbsmärkten Unternehmen sind Preisnehmer, haben also keinen auf den Preis p und erzielen den zu maximierenden Gewinn p y. Wir gehen von der Kostenfunktion C(y) als gegeben aus und betrachten nur Fälle mit entweder steigenden oder u-förmigen Grenzkosten. Dann lässt sich das Problem durch Erfüllung dieser drei Bedingungen erfüllen: 9

10 1. MC(y ) = p Bedingung erster Ordnung: Grenzkosten stimmen mit dem Preis überein. 2. MC (y ) 0 Bedingung zweiter Ordnung: die Grenzkosten bei y sind steigend. 3. AV C(y ) p Durchschnittskostenbedingung: die durchschnittlichen variablen Kosten sind geringer als der Preis. Gibt es keine Menge welche diese Bedingungen erfüllt, ist es optimal y (Stilllegungsbedingung). = 0 zu produzieren Gewinnmaximierung bei steigenden Grenzkosten: bei steigenden Grenzkosten und MC(y ) = p ist dies die einzige Lösung des Gewinnmaximierungsproblems. Gilt MC(0) p ist y = 0) die einzige Lösung. Gewinnmaximierung bei u-förmigen Grenzkosten: mit ŷ als Minimum der durchschnittlichen variablen Kosten muss gelten, dass y > ŷ die Bedingung MC(y ) = p erfüllt um die Lösung des Gewinnmaximierungsproblems zu sein. Für p < AV C(ŷ) ist y = 0 die Lösung. Für p = AV C(ŷ) sind y = 0 und y = ŷ die Lösungen Die Angebotsfunktion eines Unternehmens Die Angebotsfunktion eines Unternehmens ordnet einem Outputpreis p diejenige Outputmenge s(p) zu welche das Gewinnmaximierungsproblem bei Preis p löst und ist steigend in p. Für p > M C(0) ist die Angebotsfunktion gleich der Umkehrfunktion der Grenzkosten (Angebot ist bestimmt durch p = MC) Komparative Statik der Angebotsfunktion Ein Anstieg des Preises des fixen Faktors hat keinen Einfluss auf das kurzfristige Angebot. Ein Anstieg des Preises des variablen Faktors führt zu einem geringerem kurzfristigen Angebot. Für den Zusammenhang zwischen lang- und kurzfristigem Angebot gilt, dass das langfristige Angebot elastischer ist Produzentenrente Die Produzentenrente (= Deckungsbeitrag) ist definiert als Differenz zwischen Erlös r und den variablen Kosten V C(y): pr = r V C(y) und ist somit für ein gewinnmaximierendes Unternehmen: pr = p s(p) V C(s(p)). Diese kann aus der Angebotsfunktion berechnet werden: pr(p) = p 0 s( p)d p. 10

11 4 Gleichgewicht und Effizienz in Wettbewerbsmärkten 4.1 Marktnachfrage und aggregierte Konsumentenrente Die Marktnachfragefunktion ergibt sich aus der Addition aller individueller Nachfragefunktionen: D(p) = n i=1 d i(p). Achtung: Die Nachfragefunktionen werden horizontal addiert! Nicht die inversen Nachfragefunktionen addieren! Analog ergibt sich die aggregierte Konsumentenrente aus der Addition der individuellen Konsumentenrenten: KR = n i=1 kr i = n i=1 v i(x i ) n i=1 z i, mit v i als Zahlungsbereitschaft z i als tatsächlich erfolgte Zahlung. Somit kann diese mithilfe der Nachfragefunktion D(p) bestimmt werden und es folgt: KR(p) = D( p)d p. p 4.2 Marktangebot und aggregierte Produzentenrente Ebenso wie die Marktnachfragefunktion errechnet sich auch die Marktangebotsfunktion durch Addition der individuellen Angebotsfunktionen: S(p) = n i=1 s i(p). Analog ergibt sich die aggregierte Produzentenrente: P R = m j=1 pr j = m j=1 r j m j=1 V C j(y j ), mit V C j (y j ) als variable Kosten für y j produzierte Einheiten und r j als dem daraus resultierenden Erlös. Aufgrund der Marktangebotsfunktion ergibt sich: P R(p) = p 0 S( p)d p. 4.3 Allokationen, Effizienz und Wettbewerb Eine Allokation (A) beschreibt die Aufteilung der Mengen eines Gutes welche die einzelnen Käufer erhalten, deren geleisteten Zahlungen sowie die Mengen, welche die einzelnen Verkaufen bereitstellen und deren erhaltenen Zahlungen. Da es hier weder Steuern noch Subventionen gibt, muss die Gesamtmenge des Gutes, welche die Käufer erhalten mit der Gesamtmenge, welche die Verkäufer bereitstellen, übereinstimmen. Gleiches gilt für die Summe der Zahlungen. Die Summe der aggregierten Konsumentenrente und aggregierten Produzentenrente bezeichnet man als die aggregierten Handelsgewinne. Dieses Wohlfahrtsmass ignoriert die Frage der Verteilung auf die einzelnen Marktteilnehmer. Eine Pareto Verbesserung einer Allokation setzt vorraus, dass alle Käufer und Verkäufer durch die Veränderung besser gestellt werden. Eine Allokation heisst Pareto-ineffizient, wenn es zu ihr eine Pareto Verbesserung gibt. Sie heisst Pareto-effizient, wenn es zu ihr keine Pareto Verbesserung gibt. Ist eine Pareto Verbesserung möglich, so gilt, dass die aggregierten Handelsgewinne in der neuen Verteilung höher sind. Der Umkehrschluss gilt nicht! Eine Allokation A ist genau dann Pareto-effizient, wenn sie die aggregierten Handelsgewinne maximieret, d.h. für alle Allokationen  gilt: HG ĤG. Die Wettbewerbsallokation A ist immer pareto-effizient, da durch keine bilaterale Transaktion zwischen zwei Marktteilnehmern ihre jeweiligen Handelsgewinne vergrössert werden können. Es kann sehr viele Pareto-effiziente Allokationen geben, da diese vom Preis unabängig sind (die individuellen Zahlungen haben keinen Einfluss auf die Effizienz). Die aggregierten Handelsgewinne im Wettbewerb HG entsprechen der Summe von KR(p ) und P R(p ) und können somit über die Marktnachfragefunktion und die Marktangebotsfunktion bestimmt werden. 11

12 4.4 Wohlfahrtsauswirkungen einer Mengensteuer Im Fall einer Steuer betragen die aggregierten Handelsgewinne: HG (τ) = KR (τ) + P R (τ) + T (τ) Die Steuereinnahmen T (τ) sind für kleine τ steigend und für grosse τ fallend. Sowohl Konsumentenrente als auch Produzentenrente sind fallend mit steigendem τ. Das gleiche gilt auch für die aggregierten Handelsgewinne. Diese Veringerung der aggregierten Handelsgewinne wird als Zusatzlast bezeichnet. Das Wettbewerbsgleichgewicht mit Besteuerung ist somit ineffizient. Eine Möglichkeit für eine Pareto-Verbesserung wäre die Mengensteuer mit einer Kopfsteuer zu ersetzen, welche zu gleich grossen Steuereinnahmen führt. ( ) 2 Die aggregierte Konsumentenrente ist: a A τ 2 a+b ( A τ a+b Die aggregierte Produzentenrente ist: b 2 Die Steuereinnahmen betragen: τ A τ a+b Die aggregierten Handelsgewinne sind: 1 A 2 τ 2 2 a+b Die Zusatzlast der Besteuerung beträgt: 1 τ 2 2 a+b ) Wohlfahrtsauswirkungen anderer Markteingriffe Beispiel 1 Staat setzt Stützungspreis p > p fest: die aggregierten Handelsgewinne fallen und betragen KR(p) + P R(p) T, wobei T = [S(p) D(p)] p. Beispiel 2 Liegt der Marktpreis p unterhalb von p > p erhalten die Produzenten pro verkaufter Einheit den Betrag p p ausgezahlt. Hier bieten die Produzenten unabhängig vom Marktpreis S(p) an, wodurch Staatsausgaben von S(p) (p p ) entstehen. 4.6 Langfristiges Marktgleichgewicht und Marktzutritt Kurze und lange Frist spielt eine Rolle, da die langfristige Marktangebotsfunktion normalerweise elasitischer ist als die kurzfristige. Eine Verschiebung der Nachfragekurve hat eine kleinere Auswirkung auf den Wettbewerbspreis in der langen Frist als in der kurzen. Für die Wettbewerbsmenge gilt das umgekehrte. 4.7 Ein Modell des freien Marktzutritts Das kurzfristige Angebot s(p) eines aktiven Unternehmens entspricht der Inversen der Grenzkostenfunktion: M C(s(p)) = p. Das langfristige Angebot ist wie folgt bestimmt: für p < ˆp ist 0 die eindeutige gewinnmaximierende Menge. für p = ˆp sind 0 und ŷ gewinnmaximierende Mengen. für p > ˆp ist s(p) > ŷ die eindeutige gewinnmaximierende Menge. wobei ŷ die Menge der minimalen Durchschnittskosten der aktiven Unternehmen bezeichnet. Diese entsprechen: ˆp = AC(ŷ) 12

13 4.8 Kurz- und langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht kurzfristig: Die Anzahl der aktiven Unternehmen ist gegeben. Das Angebot entspricht: S m (p) = m (p). Der kurzfristige Wettbewerbspreis p m und die kurzfristige Wettbewerbsmenge q m sind durch gegeben. langfristig: D(p m) = S m (p m) = q m Der einzige Kandidat für einen langfristigen Wettbewerbspreis ist p = ˆp. Die dazugehörige Wettbewerbsmenge ist q = D(ˆp). Für die Anzahl (m) Unternehmen muss gelten: m = D(ˆp) ŷ. Im langfristigen Wettbewerbsgleichgewicht erzielen alle Unternehmen Nullgewinne. 13

14 5 Marktmacht und Marktstruktur 5.1 Das Monopolproblem Preissetzungsproblem: Maximiere pd(p) c(d(p)) mit bedingung erster Ordnung: MR(y ) = MC(y ). Daraus ergibt sich als Lösung: Monopolmenge y = a c 2b Monopolpreis: p = a+c 2 Monopolgewinn: π = (a c)2 4b F mit a (Achsenabschnitt), b (Steigung) und c (Grenzkosten. Der Grenzerlös des Monopolisten liegt im Gegensatz zur Wettbewerbssituation stets unterhalb des Preises. Dadurch ist auch die Monopolmenge kleiner als die Wettbewerbsmenge, für den Preis gilt das umgekehrte. 5.2 Wohlfahrtsanalyse des Monopols Die Monopollösung ist pareto-ineffizient, da die aggregierten Handelsgewinne durch ein höheres Angebot gesteigert werden könnten. Dies wird als Wohlfahrtsverlust des Monopols bezeichnet. Regulierung wäre eine Möglichkeit, diese Wohlfahrtsverluste zu reduzieren. Alternativen dazu wäre eine staatliche Bereitstellung des Monopolgutes oder Förderung des Wettbewerbs. 5.3 Monopol und die Elastizität der Marktnachfrage Der Preis des Monopolisten liegt immer oberhalb seiner Grenzkosten. Für den Monopolpreis gilt (Lerner Index): p MC(D(P )) p = 1 ε(p ) Die Marktnachfrage muss beim Monopolpreis also elastisch sein. Alternativ kann die Bedinung erster Ordnung auch so geschrieben werden: p = /ε(p ) MC(D(p )) Bei konstanten Grenzkosten c und konstanter Preiselastiziät ε kann man so unmittelbar den Monopolpreis ablesen: p 1 = 1 + 1/ε c Je elastischer die Marktnachfrage, desto niedriger ist der Monopolpreis. Bei einer unendlich elastischen Nachfrage konvergiert der Preis gegen die Grenzkosten. 5.4 Komparative Statik im Monopol Eine Steuer τ entspricht der Erhöhung der Grenzkosten um den Betrag τ. Somit fällt bei einer Steuer die Monopolmenge und der Monopolpreis steigt. Der Preis berechnet sich: p (τ) = 1 [c + τ] 1 + 1/ε 14

15 5.5 Preisdiskriminierung 1. Grades Hier handelt es sich um die perfekte Preisdiskriminierung, welche davon ausgeht, dass der Monopolist die Zahlungsbereitschaft v i (q) jedes Konsumenten kennt. Er produziert die Wettbewerbsmenge und teilt diese effizient unter den Konsumenten auf (somit keine Ineffizienz). Jegliche Handelsgewinne kommen dem Monopolisten zueigen. 5.6 Preisdiskriminierung 2. Grades Auch Mengendiskriminierung: der zu zahlende Preis hängt von der nachgefragten Menge ab. Beispiel 1: Identische Konsumenten Sind die Grenzkosten konstant und alle Konsumenten identisch in ihrer Zahlungsbereitschaft so ergeben sich Preis (p) und Zutrittspreis (Z) wie folgt: p = c, Z = v(q ) pq Auch in diesem Fall tritt keine Ineffizienz auf. Beispiel 2: Konsumenten nicht identisch Perfekte Preisdiskriminierung durch Mengendiskriminierung wie in Beispiel 1 ist nun nicht mehr möglich. Dennoch lassen sich die Monopolgewinne durch Mengendiskriminierung steigern: wie sind p und Z festzulegen, damit der Gewinn des Monopolisten maximiert wird? Es gibt zwei Lösungen: 1. Setze p = c und Z = kr i (c), dann kauft nur Konsument i Der resultierende Gewinn ist kr i (c). 2. Setze p als die Lösung von: max 2 kr 1 (p) + (p c)(d 1 (p) + d 2 (p)) und Z = kr 1 (p ). Der resultierende Gewinn ist: 2kr 1 (p ) + (p c)(d 1 (p ) + d 2 (p )). 5.7 Preisdiskriminierung 3. Grades Von unterschiedlichen Gruppen von Konsumenten werden unterschiedliche Preise verlangt. Die Preise für Gruppe i werden wie folgt festgelegt: p i c p i = 1 ε i (p i ) Daraus folgt, dass der Monopolist von der Gruppe den höheren Preis verlangt, deren Nachfrage wenigre Preiselastisch ist. 5.8 Oligopol: Cournot-Modell Zwei (oder mehr) Teilnehmer entscheiden simultan über ihre abzusetzende Menge und wollen den Gewinn maximieren. Zur Übersicht zuzüglich die Situation bei Monopol und Wettbewerb: Wettbewerb Monopol Cournot Oligopol Preis c (a + c)/2 c + a c n+1 1 Menge (a c)/b (a c)/2b n+1 a c b Gewinn F (a c) 2 /4b F 1 (1+n) Oligopol: Bertrand-Modell (a c)2 b Hier bestimmen die Uunternehmer simultan über die Preise. Die Konsumenten kaufen bei dem Unternehmen, welches den niedrigsten Preis gesetzt hat. Dies führt zu genau einem Nash-Gleichgewicht, bei dem alle Unternehmen den Wettbewerbspreis setzen: p 1 = p 2 = p i = c. F 15

16 5.10 Produktdifferenzierung Bisher wurde von identischen Produkten ausgegangen. Wie verändert sich nun die Situation z.b. betreffend Marktmacht, wenn differenzierte Produkte angeboten? Der Vorteil der Produktdifferenzierung liegt in einer besseren Befriedigung der Kundenbedürfnisse, während der Nachteil durch die höheren Kosten besteht. Wieviele Produkte N sollen nun angeboten werden? Es gilt: L =Grösse des Marktes F =Kosten ein zusätzliches Produkt in der Markt einzuführen t =Intensität der Konsumentenpräferenz für differenzierte Produkte Dann ist die optimale Menge differenzierter Produkte: t L N = 2F Der Gleichgewichtspreis bei mehreren Unternehmen ist (Achtung, hier ist N =Anzahl Unternehmen): p = c + 2t N Insgesamt wird sich die Anzahl der im Markt aktiven Unternehmen belaufen auf: Es gilt ausserdem: 2 L t ˆN = F ˆN = 2N 16