1.4 Sozialer Überschuß und potentielle Pareto-Verbesserung

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1 .4 Sozialer Überschuß und otentielle Pareto-Verbesserung Bewertung von Preissystemen und Allokationen.4. Sozialer Überschuß Erster Schritt: "Robinson-Crusoe-Wirtschaft": Ein Konsument, ein Unternehmen, 2 Güter In diesem Kontext bedeutet Zulässigkeit einer Allokation ( x, y ): 0 x y + w und y Y Die Konsumententeile einer Allokation x müssen also in Y + w liegen. x 2 Y + w x In diesem Umfeld ist die Entscheidung einfach, ob eine durchführbare Allokation besser ist als eine andere. Die durchführbare Allokation ( x, y ) ist dann besser als ( x', y' ), wenn u( x ) > u( x' ) Beim Übergang von ( x', y' ) zu ( x, y ) entsteht dann der soziale Überschuß u( x ) - u( x' ) Nimmt man die Ausgangsallokation ( w, 0 ) als Bezugsunkt, so ist mit der Allokation ( x, y ) der soziale Überschuß u( x ) - u( w ) verbunden. Dies hat eine sehr entfernte Ähnlichkeit zu der in der Literatur üblichen Definition des sozialen Überschusses. Wir werden daher zunächst einige Annahmen treffen, die zu einer einfachen Überführung zu den üblichen Definitionen führt.

2 2 Annahmen: u( 0 ) = 0; u ist quasilinear: u( x, x 2 ) = x + v( x 2 ), w = ( ω, 0 ), Y ist durch Produktionsfunktion f gegeben: Y = { (-x, y ) f ( x ) y, x 0 }. Wir betrachten nur Allokationen, die technologisch effizient sind: f ( x ) = y. Damit läßt sich der soziale Überschuß schreiben als: u( x, x 2 ) - u( ω, 0 ) = x + v( x 2 ) - ω = -x + v( f( x )) da die Durchführbarkeit der Allokation x = -x + ω x 2 = y und die technologische Effizienz y = f ( x ) fordert. Die Funktion f - gibt gerade die realen Kosten der Produktion (in Einheiten von Gut ) von y Einheiten von Gut 2 an: C ( y ) = f - ( y ) = x. Damit läßt sich der Überschuß schreiben als v( x 2 ) - C ( x 2 ) Dies legt nun natürlicherweise eine Interretation als sozialen Überschuß nahe. Um nun der üblichen Definition ein weiteres Stück näher zu kommen, werden wir nun auf das Nachfrageverhalten bei quasilinearen Nutzenfunktionen eingehen: Dazu sei das erste Gut das Numerairegut. Dann läßt sich das Nutzenmaximierungsroblem schreiben als max x + v( x ) u.d.n. x + x m, x 0, x Wenn λ der Lagrangemultilikator zur Budgetrestriktion ist, sind die Bedingungen erster Ordnung u.a.: = λ v ' ( x 2 ) = λ also v ' ( x 2 ) =

3 3 Für gegebenes bestimmt diese Gleichung die nachgefragte Menge x 2 (die Budgetgleichung liefert die nachgefragte Menge x ). Beachte, daß x 2 unabhängig von m ist. Umgekehrt legt die Gleichung für jede Menge x 2 den Preis fest, zu dem diese Menge nachgefragt wird. ( x 2 ) = v ' ( x 2 ) ist also die inverse Nachfragefunktion (= Preis-Absatzfunktion) für quasilineare Präferenzen. v( x 2 ) läßt sich nun durch diese Funktion ausdrücken: x x 2 2 v( x 2 ) = v'( x) dx = ( x) dx 0 0 x 2 x 2 Bezeichnen wir mit X 2 ( ) die Nachfrage nach Gut 2 beim Preis, so können wir auch schreiben: Der Term x2 v( x 2 ) = ( x) dx = X 2( ) d + X 0 ( x2) ( ( x )) 2 2 X ( ) d = v( x ( x ) 2 2 ) - X 2( ( x2)) heißt in der Literatur Konsumentenrente. Die Konsumentenrente 2 KR ( ) = X ( q) dq ( x ) gibt also an, um wieviel der Nutzen des Gutes bei einem Preis die Ausgaben übersteigt. Damit kann man den sozialen Überschuß schreiben als: v( X 2 () ) - C ( X 2 () ) = KR ( ) + X 2 ( ) - C ( X 2() ) 2

4 4 Die letzten beiden Terme sind zusammen gerade der Gewinn des Unternehmens, der in diesem Kontext meist Produzentenrente π( ) genannt wird. Dies ist die übliche Definition: Der soziale Überschuß ist die Summe aus Konsumenten- und Produzentenrente. Übung: Stellen Sie den sozialen Überschuß mit seinen Bestandteilen Konsumenten- und Produzentenrente in einer Grahik dar, in der vertikal und horizontal x 2 abgetragen wird. Weisen Sie darüber hinaus nach, daß der soziale Überschuß bei der Pareto-effizienten Menge maximal wird. Wie ist diese hier charakterisiert? Der soziale Überschuß bezieht sich nach der obigen Argumentation auf die Bereitstellung der Menge X 2 ( ) gegenüber dem Status quo x 2 = 0. Man kann aber auch den sozialen Überschuß zweier Preissysteme (hier zweier Preise 0 und für das zweite Gut) betrachten. Wenn man von dem Preissystem 0 zum Preissystem übergeht, ist damit der soziale Überschuß KR ( ) - KR ( 0 ) + π( ) - π( 0 ) 0 = X 2( ) d + π( ) - π( 0 ) verbunden. Falls das Ergebnis negativ ist, ist der soziale Überschuß als ein sozialer Verlust zu interretieren. Als Fazit können wir festhalten, daß das Konzet des sozialen Überschusses geeignet ist, ein Paar von Preissystemen relativ zu bewerten. Es ist daher auch ein zentrales Konzet in der Kosten-Nutzen-Analyse von Projekten. In der obigen Situation ist das Preissystem besser als 0, wenn der soziale Überschuß des Übergangs ositiv ist und vice versa. Das Konzet hat darüber hinaus den Vorteil, auf im Prinzi beobachtbaren Größen aufzubauen. Bei der Entwicklung haben wir jedoch folgende Annahmen gemacht, deren Auswirkung im folgenden zu untersuchen ist: Wir betrachten 2 Güter. Wir betrachten nur einen Konsumenten. Wir gehen von quasilinearen Präferenzen aus. Die Verallgemeinerung auf mehr Güter und mehr Konsumenten ist, wie wir sehen werden, bei quasilinearen Präferenzen nicht schwierig. Die Annahme quasilinearer Präferenzen ist jedoch

5 5 kritisch. Zum Schluß dieses Unterkaitels werden wir sehen, unter welchen Umständen die Annahme kritisch ist und wann nicht. Zweiter Schritt: Verallgemeinerung auf mehrere Güter Der Einfachheit halber 3 Güter, mehr Güter sind aber kein Problem. Nutzenfunktion: u( x, x 2, x 3 ) = x + v ( x 2, x 3 ) Das erste Gut ist immer Inut für die beiden anderen Güter. Die Produktion ist charakterisiert durch die Kostenfunktion: C ( x 2, x 3 ). Im Hinblick auf die Anwendungen, die wir betrachten werden, ist dies eine sinnvolle Annahme. Wir werden sofort den sozialen Überschuß, der mit einer Preisänderung verbunden ist, betrachten. Das erste Gut wird als Numerairegut gewählt. Sei 0 = (, 0 2, 0 3 ) das ursrüngliche und = (, 2, 3 ) das neue Preissystem. Bei 0 fragt der Konsument x ( 0, ω + π( 0 )) nach und erreicht das Nutzenniveau u (x ( 0, ω + π( 0 ))) = : V ( 0, ω + π( 0 )) = : u 0 und analog bei u (x (, ω + π( ))) = : V (, ω + π( )) = : u Aufgrund der Quasilinearität der Präferenzen gilt für (, m ) mit x (, m ) > 0: V (, m ) = v ( ) - 2 x 2 (, ) - 3 x 3 ( ) + m mit v ( ) = v ( x 2 ( ), x 3 ( ) ). Man beachte, daß x i ( ) für i = 2, 3 nicht von m echt abhängen (Warum?). Der soziale Überschuß des Übergangs von 0 nach läßt sich dann schreiben:

6 6 V (, ω + π( )) - V ( 0, ω + π( 0 )) = v ( ) - 2 x 2 ( ) - 3 x 3 ( ) + ω + π( ) - [ v ( 0 ) - 2 x 2 ( 0 ) - 3 x 3 ( 0 ) + ω + π( 0 ) ] Um zu den üblichen Definitionen zu gelangen, ist es nützlich, zunächst die folgende Definition der komensierenden Variation (comensating variation) zu besrechen. Dazu sei u > u 0. Die definierende Frage ist: Wieviel können wir von dem Einkommen des Konsumenten bei, ω + π( ), abziehen, so daß der Konsument sich gerade so gut stellt, wie in der alten Situation 0? Diesen Betrag nennen wir komensierende Variation, CV, und dieser ist durch V (, ω + π( ) - CV ) = V ( 0, ω + π( 0 )) = u 0 definiert. Man beachte, daß die komensierende Variation im Fall quasilinearer Präferenzen mit dem sozialen Überschuß übereinstimmt: V (, ω + π( )) - V ( 0, ω + π( 0 )) = V (, ω + π( )) - V (, ω + π( ) - CV ) = v ( ) - 2 x 2 ( ) - 3 x 3 ( ) + ω + π( ) - [ v ( ) - 2 x 2 ( ) - 3 x 3 ( ) + ω + π( ) - CV ] = CV Wenn wir also wissen, wie man die komensierende Variation bestimmen können, wissen wir dies auch für den sozialen Überschuß. Dazu also jetzt: Sowohl beim Einkommen ω + π( 0 ) und dem Preissystem 0 als auch beim Einkommen ω + π( ) - CV und dem Preis erreicht der Konsument das Nutzenniveau u 0. Daraus folgt, daß er beim Vorliegen von 0 die Aufwendungen ω + π( 0 ) = : e ( 0, u 0 ) tätigen muß, um u 0 zu erreichen; und daß er beim Vorliegen von die Aufwendungen ω + π( ) - CV = : e (, u 0 ) tätigen muß. e (, u) bezeichnet den Wert der sogenannten Ausgabenfunktion, die aus der Mikroökonomik bekannt sein müßte (falls nicht, z.b. Varian konsultieren!). Daraus folgt: CV = ω + π( ) - e (, u 0 ) = e ( 0, u 0 ) - π( 0 ) + π( ) - e (, u 0 )

7 7 = π( ) - π( 0 ) + e ( 0, u 0 ) - e (, u 0 ) Der soziale Überschuß ist also gleich der Änderung der Produzentenrente und der Ausgabenänderungen. Der letzte Schritt, der den Zusammenhang zwischen Ausgabenänderung und Konsumentenrentenänderungen herstellt, folgt nun sehr schnell aus der Eigenschaft der Ausgabenfunktion: e i (, u) = h (, u) i wobei h i (.,. ) die komensierte (oder Hicks' sche) Nachfragefunktion bezeichnet. Die Annahme, daß wir quasilineare Präferenzen angenommen haben, bewirkt nun erstens, daß h i nicht von u abhängt, und zweitens, daß h i mit der üblichen (Marshall' schen) Nachfragefunktion h i ( ) = x i ( ). Also haben wir: e i (, u) = x ( ) i Dies ermöglicht nun die Darstellung der Ausgabenänderung durch die üblichen Integraldarstellungen über die Nachfragefunktionen: e ( 0, u 0 ) - e (, u 0 )= e ( 0 2, 0 3, u 0 ) - e ( 2, 0 3, u 0 ) + e ( 2, 0 3, u 0 ) - e ( 2, 3, u 0 ) = 2 0 e e 0 ( 2, 3, u ) d2 + ( 2, 3, u ) d = x2( 2, 3 ) d2 + x3 ( 2, ) d Der erste Term ist nun die Konsumentenrente des Übergangs von 0 2 nach 2 und der zweite die Konsumentenrente des Übergangs von 0 3 nach 3. Allgemein kann man also bei quasilinearen Präferenzen die Konsumentenrente, die mit dem Übergang vom Preis-system 0 zum Preissystem verbunden ist, in die Summe der Konsumentenrenten, die mit den einzelnen Preisänderungen verbunden sind, aufsalten. Dritter Schritt: Verallgemeinerung auf mehrere Konsumenten

8 8 Der Einfachheit halber gehen wir wieder auf den 2-Güterfall zurück. Außerdem werden wir hier sehr heuristisch vorgehen und erst in.4.2 sehen, daß sich diese Vorgehensweise formal Im ersten Schritt haben wir den sozialen Überschuß zunächst als Nutzensteigerung eines Konsumenten gemessen. Es ist naheliegend, den sozialen Überschuß bei mehreren Konsumenten als Summe der einzelnen Nutzenänderungen zu definieren. Dies werden wir hier in der Tat tun: Wir definieren den sozialen Überschuß als Summe von Änderungen der Produzentenrente und der Summe der Nutzenänderungen. Dies führt analog zum ersten Schritt zu: 0 n π ( ) - π ( 0 ) + x2k ( ) d k = wobei x 2k die Nachfrage des Konsumenten k nach dem zweiten Gut bezeichnet. Da aber 0 n 0 n 0 x2k ( ) d = x2k ( ) d = x2( ) d k= k= wobei x 2 die aggregrierte Nachfrage nach Gut 2 bezeichnet. Damit läßt sich der soziale 0 π ( ) - π ( 0 ) + x2( ) d Dies ist die in der Literatur übliche Darstellung des sozialen Überschusses als Summe von Produzenten- und Konsumentenrente. Offen bleibt hier, inwieweit die Annahme der Quasilinearität eingeht (dazu gleich im Anschluß) und inwieweit das Maß einer Summe von Nutzen sinnvoll ist (dazu in.4.2). Vierter Schritt: Die Annahme der Quasilinearität Um einen Eindruck zu gewinnen, beschränken wir uns auf eine Welt mit zwei Gütern ohne Produktion und nur einem Konsumenten. Wir betrachten wieder den Übergang vom Preissystem 0 = (, 0 2 ) zum Preissystem = (, 2 ). Damit erreicht der Konsument den Nutzen V( 0, m) = u 0 bzw. V(, m) = u. Der Nutzenüberschuß ist also u - u 0 = V(, m) - V( 0, m)

9 9 Wie oben läßt sich die komensierende Variation CV über definieren. Damit wird der Nutzenüberschuß V(, m - CV) = u 0 V(, m) - V(, m - CV) Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es daher ein Einkommen m* [ m - CV, m ], so daß V(, m) - V(, m - CV) = V m gilt. Bei quasilinearen Nutzenfunktionen ist (, m*) CV V (, m*) =. Dies ist der erste wichtige m Unterschied. Die komensierende Variation ist i.a. nicht gleich dem Nutzenüberschuß. Der zweite Unterschied ergibt sich durch den Zusammenhang zwischen CV und der Nachfragefunktion. Wie oben läßt sich zunächst CV ausdrücken als und dies ist wiederum darstellbar durch CV = e ( 0, u 0 ) - e (, u 0 ) 0 CV = h2 ( ) d I.a. gilt nun aber keineswegs h i (, u ) = x i (, m ) für ein Intervall von Preisen. Natürlich gilt für = 0 : h 2 ( 0, u 0 ) = h 2 ( 0, V ( 0, m )) = x 2 ( 0, m ) Für andere Preise gilt dies jedoch i.a. nicht, wie man sich schnell mit Hilfe der Slutzky-Gleichung klarmacht. x m h u x m x m 0 (, ) = (, ) m 2(, ) (, ) Wenn das zweite Gut ein normales Gut ist, fällt die übliche (Marshall'sche) Nachfragefunktion stärker im eigenen Preis als die Hicks'sche Nachfragefunktion. Also scheitert i.a. auch die Darstellung der CV durch die beobachtbare Nachfragefunktion.

10 0 Wir sehen also, daß die Annahme der Quasilinearität zentral für die übliche Darstellung des sozialen Überschusses ist. Wie groß ist der "Fehler", wenn man dieses Maß trotzdem benutzt? Quasilineare Nutzenfunktionen führen zu verschwindenden Einkommenseffekten. Umgekehrt kann man nachweisen, daß Einkommenseffekte nur verschwinden, wenn die Präferenzen quasilinear sind. Einkommenseffekte sind demnach ein Indiz, ob die Annahme der Quasilinearität kritisch ist oder nicht. Wenn wir Güter betrachten, bei denen die Einkommenseffekte stark sind, schränkt die Annahme der Quasilinearität die Anwendung relativ stark ein. Falls wir jedoch Güter betrachten, bei denen die Güternachfrage wenig einkommensabhängig ist, können wir mit dieser Annahme aroximativ gut arbeiten. Zu der Relevanz der Maße von sozialen Überschüssen vgl. Willig, R. (976): Consumer's Surlus without Aology, American Economic Review 66, S