7. Lektion Drehmoment, Hebel, Schwerpunkt. H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 1

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1 7. Lektion Drehmoment, Hebel, Schwerpunkt H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 1

2 Lernziel: Drehmoment bewirkt eine zeitliche Änderung des Drehimpulses, analog zur Kraft, die eine zeitliche Änderung des Impulses bewirkt. Der Schwerpunkt eines ausgedehnten Körpers ist der Symmetriepunkt bezüglich der angreifenden Drehmomente. Der Schwerpunkt bestimmt das Gleichgewicht und die Lagestabilität von ausgedehnten Körpern. H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 2

3 Begriffe: Drehmoment Hebel Einarmiger und zweiarmiger Hebel Muskelarm, Lastarm Schwerpunkt Gleichgewicht Standfestigkeit Mechanische Stabilität Waage H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 3

4 Drehmoment T Drehmoment ist die tangentiale Kraft F, die zusammen mit dem Hebelarm r einen Körper zum rotieren bringt. Drehmoment T = Kraft F Hebelarm r: r r F r Vektorschreibweise: r r r T = F r r r T = F r r sin(, F) H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 4

5 Drehmoment T Allgemein: Drehmoment bewirkt zeitliche Änderung der Bahngeschwindigkeit bzw. der Winkelgeschwindigkeit und damit des Drehimpulses. r T = r Einheit: [D] = N m r F = r L t = I ω t H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 5

6 Winkel zwischen Hebel und Kraft T=max r r F r T<max r r F r T=0 r r F r Winkel zwischen Hebel und Kraft H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 6

7 Effektiver Hebelarm Effektiver Hebelarm θ r' 90 r Wirkungslinie der Kraft F r Falls zwischen Kraft und Hebelarm kein rechter Winkel besteht, dann ist der effektive Hebelarm verkürzt. r' = r sinθ T < T max H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 7

8 Effektiver Hebelarm am Oberarm Joint & Function, Norkin and Levangie, Davis, 1992 H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 8

9 Addition von Drehmomenten Zwei gleichgroße und bezüglich des Drehsinns gleichgerichtete Drehmomente ergeben ein doppeltes Drehmoment: F r 2 r r T + T 1 2 = r 2T r r r F1 Addition von Drehmomenten H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 9

10 Subtraktion von Drehmomenten Zwei gleichgroße aber im Drehsinn entgegengesetzt gerichtete Drehmomente heben sich auf: F r 2 r r F r 1 r r T + ( T2 ) r r r 1 = F 1 m 1 1 m g r = 2 F r r m m = g = 0 Subtraktion von Drehmomenten H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 10

11 Gleichgewichte Kräftegleichgewicht: r r F 1 = F 2 Drehmoment-Gleichgewicht: r r T 1 = T 2 H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 11

12 Zweiarmiger Hebel (Hebel 1. Art) Last und Kraft liegen auf entgegengesetzten Seiten des Drehpunkts. Last und Kraft sind gleichgerichtet. m l 1 m Last 1 F 1 = mg l 1 l 2 F2 l 1 F F 2 1 = l oder = F 1 1 m g l l = << l 2 F 1 F 2 H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 12

13 Einarmiger Hebel (Hebel 2. Art) Last und Kraft greifen auf der gleichen Seite des Drehpunkts an. Kraftarm ist länger als Lastarm. m l 1 l 2 F 2 F l da l = >> mgl l 1 1 ist = F l F << F 1 Last F 1 = mg H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 13

14 Einarmiger Hebel (Hebel 3. Art) Last und Kraft greifen auf der gleichen Seite des Drehpunkts. Kraftarm ist kürzer als Lastarm. F 2 m Fl 1 1 da = mgl 1 = F l 2 2 l 2 l 1 l 2 << l 1 ist F 2 >> F 1 Last F 1 = mg H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 14

15 Mechanischer Vorteil von Hebelarmen Last Mechanisch er Vorteil = = Kraft F F 1 2 Hebel mechanischer Vorteil 1. Art > 1 oder <1 2. Art >> 1 3. Art << 1 H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 15

16 Quiz:?? An einem zweiarmigen Hebel wirkt an dem einen Arm mit der Länge l 1 = 20 cm eine Kraft F 1 = 5 N. Welche parallel zu F 1 gerichtete Kraft F 2 muß an dem anderen Hebelarm mit der Länge l 2 = 100 cm angreifen, damit das gesamte Drehmoment Null ist? (Alle Kräfte wirken senkrecht zum Hebelarm) A F 2 = 1 N B F 2 = 5 N C F 2 = 25 N D F 2 = 100 N E F 2 = 500 N Antwort A ist richtig! H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 16 Quiz

17 Schwerpunkt Mittelpunkt einer Kreisscheibe ist der Schwerpunkt der Scheibe: Bei Drehung um die Achse durch den Schwerpunkt treten keine äußeren Drehmomente auf. Ohne Reibung würde sich eine Scheibe beliebig lang um den Schwerpunkt drehen. Schwerpunkt einer Kreisscheibe H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 17

18 Schwerpunkt Im Schwerpunkt eines beliebigen Objekts heben sich alle Dreh-momente, die an einem Massenelement m wirken, alle auf: r r m i r r i S.P. r F i r F = 0 Schwerpunkt eines beliebigen Körpers H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 18

19 Wie kann man den Schwerpunkt eines beliebig geformten Objekts bestimmen? S.P. S.P. Drehmoment wirkt so lange, bis Schwerpunkt unter dem Drehpunkt liegt. Die Kreuzungspunkt von vertikalen Linien durch die Drehpunkte liefert dann den Schwerpunkt. H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 19

20 Schwerpunkt des Menschen Joint & Function, Norkin and Levangie, Davis, 1992 H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 20

21 Wie kann man den Schwerpunkt des Menschen bestimmen? Schwerpunkt des Menschen l = S. P. F Waage mg l G l S.P. S.P.? mg H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 21 l G 0N0 0N400 N N

22 Schwerpunktsverlagerung durch Handbewegung Linie des Kopfs bleibt konstant, während der Schwerpunkt sich durch die Handbewegung verlagert. H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 22

23 Schwerpunkt folgt der Wurfparabel H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 23 Weitspringen

24 Physikalische Bedeutung des Schwerpunkts Die Masse eines Körpers kann man sich im Schwerpunkt vereinigt vorstellen. Die Gesamtenergie eines starren, ausgedehnten Körpers setzt sich dann zusammen aus Lageenergie des S.P., Translationsenergie des S.P. und Rotationsenergie um den S.P. h Rollen einer Kugel ω v E tot = mv + Iω + mg h P.E. k.e. des SP R.E. um SP H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 24

25 Quiz:?? Welche Bedeutung hat der Schwerpunkt für einen starren Körper? Haben Flüssigkeiten einen Schwerpunkt? Wie kann man den Schwerpunkt eines Moleküls bestimmen? Quiz H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 25

26 Gleichgewicht und mechanische Stabilität stetig, indifferent stabil labil D.P. =S.P. D.P. S.P. S.P. D.P. H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 26

27 Standfestigkeit stabil S.P. F G =mg, T=0 H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 27

28 Stabiles labiles Gleichgewicht kippen labil kippen α L D.P. L α T=F G L sin(α) T=0 -T=F G L sin(-α) Drehmoment führt zurück in die Ruhelage, solange bei Kippen SP nicht über dem Drehpunkt zu liegen kommt. H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 28

29 Prinzip der Waage H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 29

30 Prinzip der Waage Bei gleichen Drehmomenten auf beiden Seiten ist die Lage indifferent. D.P. S.P. Ein zusätzlicher Hebel legt den S.P. unter den D.P. Bei unterschiedlicher Belastung der beiden Arme wird ein Rückstellmoment erzeugt, so daß der Ausschlag proportional zur Massendifferenz an den beiden Armen ist. H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 30

31 Bezug zur Medizin Oberschenkelhalsknochen Hebelwirkung beim Knochenbau Hebelwirkung bei Armen, Gebiss, Füssen, etc. Gleichgewichtsorgan H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 31

32 Oberschenkelhalsknochen α l F 2 Auf den Femur wirken besonders grosse Drehmomente und damit Biegekräfte. F 1 F 1 = Gewichtskraft und F 2 = Stützkraft bilden ein Kräftepaar mit Drehmoment: T r = 2 F 1 l sin( α) H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 32

33 Oberschenkelhalsknochen Schenkelhalswinkel (CCD-Winkel=Centrum-Collum Diadhysen-Winkel) Winkel und damit Drehmoment nimmt mit dem Alter zu, gleichzeitig nimmt Stabilität des Knochens ab. Alter H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 33

34 Künstliches Hüftgelenk H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 34

35 Muskelarm und Lastarm Muskeln können nur durch Verkürzen, d.h. Kontraktion Arbeit leisten! H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 35

36 Hebel am Arm Einfaches Modell des Arms als Hebel Trizeps Oberarm Bizeps Unterarm H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 36

37 Heben: einarmiger Hebel 3. Art F Bizeps 10 N m.a. l.a. l.a. 32cm F Bizeps = FLast FLast = m.a. 4cm 8F Last Mechanischer Vorteil = F last /F bizeps = 1/8 H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 37

38 Ziehen: zweiarmiger Hebel (1. Art) F Trizeps F Feder F Trizeps 16F = Feder l.a. m.a. F Feder m.a. l.a. Mechanischer Vorteil << 1 Modell des Hebels am Arm: Ziehen H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 38

39 Hebel am Gebiss (1. Art) Zweiarmiger Hebel: Muskelarm und Lastarm sind etwa gleich lang H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 39

40 Fuß: einseitiger Hebel (2. Art) Mechanischer Vorteil > 1 Drehpunkt Der Fuß ist besonders stark! H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 40

41 Hebel im Körper Die meisten Hebel im Körper sind von 3. Art. Der mechanische Vorteil ist somit kleiner als 1. Die meisten Hebel im Körper sind nicht für das Tragen von schweren Lasten optimiert, sondern für hohe Geschwindigkeit und für große Bewegungen. Eine kleine Muskelkontraktion bewirkt bereits eine große Bewegungsamplitude: für eine 40 cm Armbewegung ist eine Muskelkontraktion von nur wenigen mm erforderlich. H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 41

42 Gleichgewicht H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 42

43 Gleichgewichtsorgan im Ohr Das Gleichgewichtsorgan wirkt wie eine Wasserwaage in allen drei Raumrichtungen Gleichgewichtsorgan im Menschen H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 43

44 Gleichgewichtsorgan im Ohr H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 44

45 Quiz:?? Wann ist der Gleichgewichtssinn gestört? H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 45

46 There is something fascinating about science There is something fascinating about science. One gets such a wholesale return of conjectures out of such a trifling investment of facts. Naturwissenschaften sind faszinierend. Man erhält eine solche Vielzahl von Folgerungen aus einem nur spärlichen Einsatz von Fakten. Mark Twain, Life on the Mississippi H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 46 Mark Twain

47 Zusammenfassung: Drehmoment ist Kraft mal Hebelarm Zwei gleich große und entgegengesetzte Drehmomente heben sich auf Schwerpunkt=Punkt um den sich ein Körper frei dreht und kein Drehmoment wirkt durch Schwerkraft wirkt. Mechanische Stabilität = Schwerpunkt muss unter Drehpunkt liegen Bewegung ausgedehnter Körper setzt sich zusammen aus Bewegung des Schwerpunkts und Bewegung um den Schwerpunkt Es gibt drei Arten von Hebeln. Nur Hebel 2. Art haben einen mechanischen Vorteil > 1. Die meisten Hebel im Körper sind von 3. Art mit einem mechanischen Vorteil <<1. Hebel im Körper sind für große Bewegungen nicht für große Belastungen angelegt. H. Zabel 7. Lektion: Drehmoment 47 Zusammenfassung

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