Wallis-Produkt, Gammafunktion und n-dimensionale Kugeln

Transkript

1 Wallis-Produkt, Gammafuktio ud -dimesioale Kugel Thomas Peters Thomas Mathe-Seite 6. Oktober 3

2 Das Ziel dieses Artikels ist es, Formel für das Volume ud die Oberfläche vo -dimesioale Kugel herzuleite. Auf diesem Weg wird das Wallis-Produkt berechet, ud eiige Eigeschafte der Gauß sche Gammafuktio werde präsetiert.

3 Das Wallis-Produkt Da wir später darauf zurückkomme werde, begie wir mit der Berechug der Itegrale si x dx. Dazu ehme wir zuächst a. Partielle Itegratio ud trigoometrischer Pythagoras ergibt si x si x dx = [ ] si x cos x = = si x cos x dx si x dx si x cos x cos xdx si x dx. Brige wir de letzte Term auf die adere Seite, so erhalte wir die Rekursiosformel Da si x dx = si x dx. ud erhält ma für gerades =k si k x dx = k k ud für ugerades =k + si k+ x dx = [ si x dx = si x dx = π ] cos x = k 3 k 3 4 π = π k j j k k + k 4 k 5 k 3 = j j +. 3

4 Dies ist eigetlich scho alles, was wir für später beötige. Da wir aber scho so kurz davor sid, gehe wir och etwas weiter ud leite die erwähte Produktformel ab. Da für x gilt si x folgt si k+ x si k x si k x ud somit auch si k+ x dx si k x dx si k x dx. Eisetze der ebe abgeleitete Produktformel ergibt k j j + π k j j k j j + ud Divisio durch das rechte Produkt Weil aber folgt umittelbar k k + π k k 4j. k 4j lim k π = lim k k k + = lim k k k k Dies ist die berühmte Wallis sche Produktformel. Die Gammafuktio 4j 4j = = 4j 4j. Als ächste Schritt leite wir eiige Eigeschafte der Gammafuktio ab. Diese wurde im Artikel über die Fakultät eigeführt als Verallgemeierug der Fakultät auf die reelle ud komplexe Zahle. Sie wurde dort defiiert als Γx = t x e t dt. Ebeso wurde gezeigt, dass sie für x> die Fuktioalgleichug Wir betrachte hier ausschließlich reelle x. Γx +=xγx 4

5 erfüllt. Mit Γ = Γ = folgt daher Γx =x!. A der Fuktioalgleichug sieht ma sofort, dass die Gammafuktio zuächst bei x =ud da weiter für alle egative gaze Zahle Pole hat, die sich als ugerade herausstelle. Ma erhält ämlich mit der Fuktioalgleichug Γx +=Γx ++=x +Γx +=x +xγx ud allgemei Γx + +=x + x + xγx. Dara erkee wir, dass die Gammafuktio bereits durch ihre Werte für <x voll- städig bestimmt ist. Durch Divisio erhält ma Γx + + Γx = xx + x +, woraus ma für x := die Behauptug über die Polstelle erhält. Wir setze usere Utersuchuge damit fort, dass wir die Defiitiosgleichug etwas umforme. Wege e x = lim + x schreibe wir Γx = lim t x t dt. Nu führt partielle Itegratio auf t x t [ t x dt = t ] t x x x = t x t dt. x Dieses Itegral wird ereut partiell itegriert t x t [ t x+ dt = t ] x + = x + so dass ma für das ursprügliche Itegral t x t dt = t dt t x+ t dt x + t x+ t dt, x x + t x+ t dt 5

6 erhält. Nach weitere partielle Itegratioe ist der störede Term verschwude, ud ma hat t x t dt = x x + x + t x+ dt! = x x + x + x+ x +! x = x x + x +. Somit folgt die wichtige Gauß sche Produktdarstellug! x Γx = lim x x + x +. Wir zeige u, dass sie sich direkt aus der Weierstraß sche Produktdarstellug Γx = e γx x mit der Euler-Mascheroi-Kostate ergibt. Dazu reche wir Γx = e γx x =e γx lim =e γx lim = lim = lim γ = lim e x/k + x e γx = k x e x/k + x k k + x k l lim e x/k! k= exp x! k k= exp x k γ! k= x!, k + x k= e x/k k + x +x k was auch scho die Behauptug ist. Für die letzte Formel greife wir auf die Partialbruchzerlegug des Cotages π cot πx = x + x x k k + x 6

7 zurück. Hieraus ergibt sich die Wallis sche Produktdarstellug des Sius 3 si πx = πx Durch Differetiatio folgt ämlich eierseits si πx si πx ud adererseits x x k = x x x + Damit habe wir k si πx si πx = Dies ist aber geau da der Fall, we oder gilt. Nu ist jedoch ud x x. k = π cot πx x k x k x x x k. x k k si πx = x si πx = Cx si πx lim x x lim x woraus C = π ud damit die Behauptug folgt. x k = lim x π cos πx x =, Für eie Herleitug siehe de Artikel über Fourier-Reihe. 3 Mit x =/ folgt das Ergebis aus dem letzte Abschitt. k = x + = π x x k. 7

8 Die Verbidug zur Gammafuktio lässt sich u leicht herstelle: ΓxΓ x = lim x! x + k x! x + k k= k= k x + x = x lim lim k = x x si πx = k π. Mit x =/ folgt Γ/ = π. Es wird sich später als vorteilhaft herausstelle, we wir die Werte Γ/ +/ ud Γ/+für atürliches kee. Dazu beötige wir ichts weiter als die Fuktioalgleichug Γx +=xγx. Sei zuächst gerade. Da gilt ud + Γ = / π / j = π / Γ + =/! = j. / j De Beweis führe wir durch Iduktio. Die Formel stimme für =wege 3 Γ = π Γ = ud Γ =. Nehme wir u a, sie gelte für. Da folgt + Γ =Γ + = Γ = / π / π j = / j / ud Γ + = Γ =!=/! ach Iduktiosvoraussetzug. Sei u ugerade. Da habe wir die Formel + Γ = /!= j 8

9 ud Γ + = +/ π +/ j = π +/ j zu zeige. Diese ergebe sich aber umittelbar durch die Substitutioe k bzw. k +aus de zuvor Bewiesee. Es bleibt ur och, die erste Formel für =zu überprüfe, was aber wege! = trivial ist 4. Volume ud Oberfläche der Kugel im R Allgemei ist die euklidische -dimesioale Kugel mit Radius r defiiert als { } K r = x,...,x R x k r. I de bekate Fälle =erhält ma das Itervall [ r, r] mit Läge V r =r, für =de Kreis mit Fläche V r =πr ud für =3schließlich die Kugel mit Volume V 3 r =4/3πr 3. Es ist erstmal kei Zusammehag zwische ud dem -dimesioale Volume V r zu erkee. Deoch gibt es eie geschlossee Formel. Diese lautet V r = π/ Γ/ π / r = Γ/+ r. Wir sehe sofort, dass sie für die us bekate Fälle das richtige Ergebis liefert. Wir gehe u dara, sie durch Iduktio zu beweise. Zuächst bemerke wir, dass aus Symmetriegrüde V r =r V gilt ud es somit geügt, sich auf das Volume der Eiheitskugel zu beschräke. Sei die Formel also für richtig. Die Eiheitskugel im R liegt zwische x = ud x =. Die Ebee x =cost. scheide sich daher im Bereich <x < mit K i eier -dimesioale Kugel mit Radius x. Das Volume dieser Kugel ist ach Iduktiosvoraussetzug V π x = Γ x /. Das Volume der Eiheitskugel ist u eifach V = V x dx = Ma fidet mit der Substitutio x =cost x / dx = π Γ si t si tdt = π x / dx. si t dt = si t dt. π 4 Das leere Produkt ist per Defiitio. 9

10 Dieses Itegral habe wir aber zuvor berechet. Es lautet für gerades ud für ugerades si t dt = π si t dt = / / j j j j +. Mit de Ergebisse des letzte Abschitts köe wir diese Formel i der Gleichug si dx = π Γ + Γ + für beliebiges vereie. Damit folgt für das Volume π V = Γ π Γ + Γ Γ + + =π/ Γ Γ +. Nu sid wir auch scho fast am Ziel. Wir schreibe ur och Γ Γ + = Γ Γ = Γ Γ + ud erhalte somit das gewüschte Ergebis V = π/ Γ/. Aalytische Werte bis =ud die umerische Werte für die Eiheitskugel sid i Tabelle. agegebe. Mache wir us u de Spaß ud trage V über reellem auf, so erhalte wir die Kurve aus Abbildug.. Ma erket ei Maximum bei 5, π 8π π 3 6π 3 π 4 3π 4 V r r πr 3 πr3 r4 5 r5 6 r6 5 r7 4 r8 945 r9 V, 3,4 4,9 4,93 5,6 5,7 4,7 4,6 3,3,55 r Tabelle.: Das Volume V r der -dimesioale Kugel.

11 Abbildug.: Das Volume V der Eiheitskugel über. Es ist jedoch überrasched, dass das Volume bei wachsedem immer kleier wird. Tatsächlich gilt lim V =. Wir zeige dies mit Hilfe der Stirlig-Formel 5! =Γ + π. e Damit ka ma das Volume ämlich gaz grob folgedermaße ach obe abschätze: V = = π/ Γ/ π / / e 4/ π ++ + = 5. / 4 Dies geht aber gege, da der erste Faktor gege geht ud für de zweite Faktor die Abschätzug 5 5 l l l 5 l 5 Die Stirlig-Formel wird im Aritkel über die Fakultät hergeleitet.

12 für hireiched große gilt. Komme wir u zur Oberfläche O r der -dimesioale Kugel. Die Berechug der Oberfläche lässt sich wege V r = r O tdt auf das bereits gelöste Problem für das Volume zurückführe. Ud zwar erhält ma O r = V r r = π/ Γ/ r. Die erste Werte sid i Tabelle. zusammegestellt. De kotiuierliche Graphe zeigt Abbidlug.. Das Maximum hat sich auf 7,6 verschobe. Am asymptotische Verhalte ädert sich jedoch ichts, d. h. es gilt ebefalls lim O =. Der Beweis wird als Übugsaufgabe empfohle π 6π 3 π 4 3π 4 π 5 O r πr 4πr π r 3 3 r4 π 3 r 5 5 r6 3 r7 5 r8 r9 O, 6,8,57 9,74 6,3 3, 33,7 3,47 9,69 5,5 Tabelle.: Die Oberfläche O r der -dimesioale Kugel. Rechug mit Kugelkoordiate Ma ka die Oberfläche eier -dimesioale Kugel scheller ausreche, we ma Kugelkoordiate im R eiführt. Wie ma das kokret macht, braucht us dabei für diese Zwecke icht eimal zu iteressiere, es reicht zu wisse, dass es geht. Es bezeiche x de euklidische Betrag x = x k eies Vektors x =x,...,x R. Wir betrachte u die Itegrale I i kartesische

13 Abbildug.: Die Oberfläche O der Eiheitskugel über. Koordiate I = e x dx = exp R x = x = = e x e x dx dx x = x = = e x dx e x dx = x k dx dx e x dx = I ud i Kugelkoordiate I = e r r drdω, r= S wobei S die -Sphäre ud Ω de Raumwikel im R bezeichet. Nu ist O = dω S ud somit I = O e r r dr. 3

14 Mit der Substitutio t = r wird e r r dr = e t t / t dt = e t t / dt = Γ/ ud daher I = O Γ/. Wege Γ = ud O = π ist u I = I = π. Damit habe wir auch scho das Ergebis O = Γ/ I = Γ/ I = π/ Γ/. 4