Übungen Abgabetermin: Freitag, , 10 Uhr THEMEN: Testtheorie

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1 Uiversität Müster Istitut für Mathematische Statistik Stochastik WS 203/204, Blatt Löwe/Heusel Aufgabe (4 Pukte) Übuge Abgabetermi: Freitag, , 0 Uhr THEMEN: Testtheorie Die Sollstärke der Rohrwäde bei der Röhreproduktio i eier Fabrik beträgt µ 0 = 2, 00 cm. Eie Stichprobe vo 0 Rohre aus der Produktio eier Maschie liefert die Messwerte 2, 2; 2, 05;, 95;, 96; 2, 5; 2, 0; 2, 0; 2, 03; 2, 7; 2, 2. Ma immt a, dass die Rohrwadstärke eier N (µ, σ 2 )-Verteilug geügt. (i) Schätze Sie σ 2 erwartugstreu. (ii) Teste Sie zum Niveau α = 0, 0, ob die Maschie eu justiert werde muss, we die Maschie eie Produktiosvariaz vo σ 2 = 0, 006 cm 2 aufweist. Lösug zu Aufgabe : (i) Da µ ubekat ist, schätze wir zuächst µ: ˆµ(X,..., X ) = X i also Da ist ˆσ 2 = ˆµ = 2, 066. i ˆµ) (X 2 = (X i 2, 006) 2 = 0, ei erwartugstreuer Schätzer für σ 2. (ii) Wir teste µ bei bekatem σ 2 = 0, 006 cm 2. Die Hypothese ist H 0 = {2} gege die Alterative H = R \ {2}. Um eie Aahmebereich festzulege, gehe wir vom Maximum-Likelihood-Schätzer aus ud bestimme da das größte K, so

2 dass P 2,0,006 ( ˆµ µ > K) α = 0, 0. Damit ergibt sich P 2,0,006 ( ˆµ µ > K) = 2P 2,0,006 (ˆµ µ > K) ( ) (X i µ) K =2P 2,0,006 > 0, 006 0, 006 ( ( )) ( ) ( ) K! K =2 Φ 0, 0 Φ 0, 995 0, 006 0, 006 2, 58 0, , 0632 K. ( ) gilt, weil (X i µ) 0,006 N (0, )-verteilt ist. I diesem Fall muss die Maschie also eu justiert werde. Aufgabe 2 (4 Pukte) Nach eiem Ufall des Lieferwages spricht ei Elektroikhädler mit dem Lieferate ab, dass er eie erhebliche Preisachlass auf die Ladug Eergiesparleuchtmittel erhalte soll, we der Ateil p a defekte Leuchtmittel 5% übersteigt. Vereibarugsgemäß werde der Ladug 40 Eergiesparleuchtmittel zufällig etomme ud geprüft; sid daruter mehr als 2 defekte Leuchtmittel, so wird der Preisachlass gewährt. (Bemerkug: Selbstverstädlich werde die Leuchtmittel ohe zurücklege etomme, da es sich aber um eie große Lieferug hadelt, macht es für die Rechug keie wesetliche Uterschied, ob mit oder ohe Zurücklege gezoge wird.) (i) Wir groß ist das Risiko des Lieferate, de Preisachlass gewähre zu müsse, obwohl ur 5% der Leuchtmittel defekt sid? (ii) Wie groß ist das Risiko des Hädlers, keie Preisachlass zu erhalte, obwohl 0% der Leuchtmittel defekt sid? (iii) Wie würde Sie de Test wähle, damit der Hädler höchstes mit der Wahrscheilichkeit 0, 05 zu Urecht eie Preisachlass erhält? (iv) Wie würde Sie de Test wähle, damit der Hädler mit midestes der Wahrscheilichkeit 0, 5 de Preisachlass erhält, we 0% der Eergiesparleuchtmittel defekt sid? Lösug zu Aufgabe 2:

3 Bezeiche X i = : Das i-te Leuchtmittel ist defekt, X i = 0 : Das i-te Leuchtmittel fuktioiert, i 40. Da wir vereifached davo ausgehe köe, dass mit Zurücklege gezoge wird, sid die X i uabhägig ud idetisch B(, p)-verteilt, wobei p de Ateil defekter Leuchtmittel i der Gesamtlieferug agibt. (i) Hier ist u p = 0.05, ud gefragt ist ach P 0.05 ( 40 X i > 2). Als Summe vo iid B(, 0.05)-verteilte Zgr. ist S 40 = 40 X i B(40, 0.05) verteilt. Wir betrachte: P 0.05 (S 40 2) = Somit P 0.05 ( 40 X i > 2) = 0.323, das Risiko beträgt also ca. 32%. (ii) Hier ist ach P 0. (S 40 2) gefragt, was sich aalog zu obe zu 22% berechet. (iii) Wir habe ur Methode keegelert, de Fehler. Art zu beschräke, d.h. das irrtümliche Verwerfe der Hypothese. Um dies awede zu köe, setze wir H 0 : p 0.05, H : p > Da bedeutet irrtümliches Verwerfe der Hypothese, dass wir irrtümlich vo eier hohe Azahl defekter Leuchtmittel ausgehe, der Hädler also irrtümlich ud damit zu Urecht eie Preisachlass erhält. Nachdem wir so die Testsituatio geeiget gewählt habe, lese wir aus der Aufgabe das Sigifikaziveau α = 0.05 ab. Außerdem habe wir p 0 = 0.05 gesetzt, wir müsse also die kleistmögliche Schrake Γ bestimme, so dass ( ) P 0.05 (ˆp(X) Γ) = P S 40 Γ = P 0.05 S 40 40Γ }{{}! Γ Hier ist es wieder sivoll, das Gegeereigis P 0.05 (S 40 < Γ ) für Γ {0,, 2,... } zu betrachte, ud zu schaue, wa diese Wahrscheilichkeit zum erste Mal größer als 0.95 wird. Durch Ausprobiere berechet sich Γ = 5. Wir akzeptiere H 0, falls S 40 < 5 ( ˆp < 5 40 = Γ) ist, ud verwerfe H 0 aderfalls. Mit userem Test gewähre wir dem Hädler also eie Preisachlass, sobald mehr als 4 Leuchtmittel der Stichprobe defekt sid.

4 (iv) Lese wir die Aufgabestellug vereit, so soll die Wahrscheilichkeit, de Preisachlass icht zu gewähre, obwohl 0 % oder mehr der Leuchtmittel defekt sid, höchstes 0.5 betrage. Setze wir H 0 : p 0., H : p < 0., so bedeutet Verwerfe der Hypothese, de Preisachlass icht zu gewähre; irrtümliches Verwerfe also, de Preisachlass icht zu gewähre, obwohl 0 % oder mehr der Leuchtmittel defekt sid. I dieser Testsituatio fordert die Aufgabestellug also gerade, dass das Sigifikaziveau (= Wahrscheilichkeit des Fehlers. Art) α = 0.5 sei soll. Im Gegesatz zu (iii) liegt hier eie liksseitige Hypothese vor, i diesem Fall müsse wir also ei größtmögliches Γ wähle, so dass ( ) P p0 (ˆp(X) Γ) = P S 40 Γ = P 0. (S 40 Γ )! 0.5 Durch Ausprobiere bereche wir Γ = 3. Wir akzeptiere H 0, we S 40 > 3 ( ˆp > 3 = Γ) ist, ud verwerfe H 40 0 sost. Mit diesem Test gewähre wir dem Hädler also ebefalls geau da eie Preisachlass, we mehr als 3 Leuchtmittel der Stichprobe defekt sid. Aufgabe 3 (4 Pukte) Die Füllmege vo Mieralwasserflasche eier Firma sei N (µ, σ 2 )-verteilt mit bekatem µ =. Sie solle teste, ob die Variaz σ 2 größer als der kritische Wert 0, 0 ist. Kostruiere Sie eie Test für die Hypothese H : σ 2 0, 0 gege K : σ 2 > 0, 0 zum Niveau α = 0, 05, we Sie 0 Flasche teste. Lösug zu Aufabe 3: X i gebe die die Füllmege der i-te Flasche a. Die X i, i 0 werde als uabhägig ageomme. Wir gehe wieder vom Maximum-Likelihood-Schätzer ˆσ 2 (X,..., X ) = (X i µ) 2 aus ud kostruiere ei K, so dass P,σ 2( ˆσ 2 > K) 0, 05 für alle σ 2 (0; 0, 0]. Da P,σ 2( ˆσ 2 > K) P,0,0 ( ˆσ 2 > K) für alle σ 2 (0; 0, 0], suche

5 wir das größte K, so dass P ;0,0 ( ˆσ 2 > K) 0, 05 ist. ( ) P ;0,0 ( ˆσ 2 > K) =P ;0,0 (X i ) 2 > K ( =P ;0,0 (X i ) 2 > ) 0, 0 0, 0 K ( 0 (X i ) 2 =P ;0,0 > 0 ) 0, 0 0, 0 K = F χ 2 0 (000K)! 0, K 8, 3 K 0, 083 Wir verwerfe die Hypothese, we ˆσ 2 > 0, 083. Dargestellt sid die Werte F χ 2 r (y) = x (z.b. F χ 2 (7, 879) = 0.995). r, x 0, 995 0, 990 0, 975 0, 950 0, 900 0, 750 0, 500 0, 250 0, 00 0, 050 7, 879 6, 635 5, 024 3, 84 2, 706, 323 0, 455 0, 02 0, 06 0, , 60 9, 20 7, 378 5, 99 4, 605 2, 773, 386 0, 575 0, 2 0, , 84, 34 9, 348 7, 85 6, 25 4, 08 2, 366, 23 0, 584 0, , 86 3, 28, 4 9, 488 7, 779 5, 385 3, 357, 923, 064 0, 7 5 6, 75 5, 09 2, 83, 07 9, 236 6, 626 4, 352 2, 674, 60, , 55 6, 8 4, 45 2, 59 0, 64 7, 84 5, 348 3, 455 2, 204, , 28 8, 48 6, 0 4, 07 2, 07 9, 037 6, 346 4, 254 2, 833 2, , 95 20, 09 7, 53 5, 5 3, 36 0, 22 7, 344 5, 07 3, 490 2, , 59 2, 67 9, 02 6, 92 4, 86, 39 8, 343 5, 898 4, 68 3, , 9 23, 2 20, 48 8, 3 5, 99 2, 55 9, 342 6, 737 4, 865 3, 940