Numerische Integration (s. auch Applet auf

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1 Numerische Itegratio (s. auch Applet auf Voraussetzuge ud Zielsetzug Voraussetzug: Eie Fuktio f sei auf dem abgeschlossee Itervall I = [a,b] stetig. b Gesucht: Bestimmtes Itegral J = f(x) dx a Iterpretatio: Falls f(x) i I, so etspricht J dem Ihalt der Fläche zwische dem Graphe G r ud der x-achse i I: 1. Mit Hilfe der Defiitio des bestimmte Itegrals (Obersumme) Ma zerlegt das Itervall I i gleich lage Teilitervalle ud berechet da die sogeate Obersumme O(): (Approximatio durch Rechtecke; Ersetze vo f durch kostate Teilfuktioe) h = Bei mooto steigede Fuktioe wird jeweils der rechte Edpukt im Teilitervall gewählt. Die Edpukte habe da die Werte a + i h, ihre Fuktioswerte (die Rechteckshöhe) daher die Werte f(a+ i h). Es gilt also: O() = h f(a + i h) mit h = i = 1 Bei mooto fallede Fuktioe müsste für O() die like Edpukte im Teilitervall gewählt werde (vgl. auch Applet). Da aber für J ohehi der (B.Berchtold) 1

2 Grezübergag (bzw. h ) zu mache ist, ka ma sich i eiem Programm zur Approximatio vo J mit der obe erwähte Formel für O() für alle stetige Fuktioe begüge. Dieser Algorithmus taugt aber ur sehr beschräkt zur Berechug vo J: Erstes kovergiert er i.a. sehr lagsam (lage Rechezeite) ud führt dadurch auch zu effektive Fehler bei eier Abbruchbedigug vo z.b. O(+1) O() < ε.. Trapezregel Ma zerlegt auch hier das Itervall I i gleich lage Teilitervalle ud berechet da die Summe der Trapezfläche T(): (Approximatio durch Trapeze; Ersetze vo f durch lieare Teilfuktioe) h = T() = h ( f(a)+f(a+h) + f(a+h)+f(b) ) T() = h ( f(a) + f(b) + f(a+h) ) für = : Beachte Sie, dass h = wird: T() = h ( f(a) + f(a+h) + f(a+h) + f(b) ) = h ( f(a) + f(b) + f(a+h) + f(a+h) ) Also für beliebiges : h = T() = h ( f(a) + f(a+h) + f(a+h) + + f(a+(-1)h) + f(b) ) Defiiert ma T := f(a) + f(b) ud T 1 := f(a+h) + f(a+h) + + f(a+(-1)h), so gilt: 1 i= 1 h T() = ( f(a) + f(b) + f(a + ih) ) = h ( T + T 1 ) I eiem Programm muss ma also T ur eimal bereche ud da bei gegebeem zuerst h ud achher T 1 bereche. (B.Berchtold)

3 . Simpso - Regel Ma zerlegt auch hier das Itervall I i gleich lage Teilitervalle ud ersetzt die Fuktio f i je zwei Teilitervalle durch eie quadratische Fuktio g. Daher muss hier gerade sei! Asatz für die Fuktio g: g(x) = Ax + Bx + C Sie ist jeweils durch die drei Pukte P, Q ud R bestimmt. Der Trick besteht u dari, icht A, B ud C zu bereche, soder das g(x)dx im Teilitervall der Breite h durch die drei Ordiate (y-werte) der drei Pukte P, Q ud R azugebe. Berechug vo g(x)dx i eiem solche Teilitervall der Breite h: Ohe Eischräkug der Allgemeiheit ka ma u a:=, daher b=h setze. P(/y 1 ), Q(h/y ) ud R(h/y ) liege auf de Graphe vo f ud g. Asatz: S = h g(x) dx := k1 y 1 + k y + k y k 1, k ud k =?? y 1 = g() = C; y = g(h) = Ah + Bh + C; y = g(h) = 4Ah + Bh + C h h x x 8h S = (Ax + Bx + C) dx = A + B + Cx = A + Bh + Ch = = k 1 C + k (Ah + Bh + C) + k (4Ah + Bh + C) Es gilt also: 8A h + Bh + Ch = Ah (k + 4k ) + Bh(k + k ) + C(k 1 + k + k ) Dies soll eie Idetität sei. Daher führt der Koeffizietevergleich auf das Gleichugssystem: 8h = k + 4k h 4h h = k + k Dieses System hat die Lösug k 1 = k =, k =, d.h. es h = k gilt: 1 + k + k (B.Berchtold)

4 h S = (Ax + Bx + C) dx = h (y1 + 4y + y ) Nimmt ma wieder die beliebige Werte a ud b für die Itervallgreze, so gilt für h = der Wert S() = ( f(a) + 4 f(a+h) + f(b) ) h = Verallgemeierug: S(4) =? h = 4 Ma beötigt zwar u eie Parabel durch die Pukte P 1, Q 1 ud R 1, sowie eie zweite Parabel durch die Pukte P =R 1, Q ud R. Dak der Berechugsart mit Hilfe der Ordiate der 'Stützpukte' muss aber keie eue Berechug der Koeffiziete A, B ud C gemacht werde! S(4) = h ( f(a) + 4 f(a+h) + f(a+h) + f(a+h) + 4 f(a+h) + f(b) ) = S(4) = h ( f(a) + f(b) + 4 (f(a+h) + f(a+h)) + f(a+h) ) S() = h ( f(a) + 4 f(a+h) + f(a+h) + f(a+h) + 4 f(a+h) + f(a+4h) + + f(a+(-)h) + 4 f(a+(-1)h) + f(b) ) Für gerade, h =, < i < gilt also: h S() = ( f(a) + f(b) ) f(a + ih) f(a + ih) i ugerade i gerade (B.Berchtold) 4

5 Kepler'sche Fassregel zur Berechug vo Volumia Gemäss der Formel vo Simpso gilt für de Fall =: S() = h ( f(a) + 4 f(a+h) + f(b) ) mit h = Überträgt ma u diese Formel auf de Raum, idem ma ei 'Fass' mit der Grudfläche G, der Deckfläche D, der Höhe H ud dem Mittelschitt G 1 i der halbe Höhe H betrachtet (s. Figur), so etspricht f(a) der Grudfläche G, f(b) der Deckfläche D, h = H ud f(a+h) dem Mittelschitt G1. Also gilt: Volume V = h (G + 4G1 + D) V = 6 H (G + 4G1 + D) Kepler'sche Fassregel Behauptug: Diese Formel liefert exakte Werte für Pyramide, Pyramidestumpf, Kegel, Kegelstumpf, Kugel, Paraboloid usw. z.b. für: Kugel mit Radius R: (H = R, G = D = ) : R V = ( + 4R 4 π + ) = πr 6 Kreiskegel mit Leitkreisradius r ud Höhe H (G = r r π, G 1 = π, D = ) 4 H V = ( r r 1 π + 4 π + ) = πr H 6 4 Zeige Sie, dass die Behauptug auch für de Pyramidestumpf richtig ist. (B.Berchtold) 5

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