Statistik Aufgabensammlung Sommersemester 2008 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Ravensburg-Weingarten. Aufgabe 1. Aufgabe 2.

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1 Statistik Aufgabensammlung Sommersemester 2008 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Ravensburg-Weingarten Aufgabe 1 Ein Einzelhändler registriert für einen Exklusivartikel im Verlauf von 30 Verkaufstagen folgende Verkaufszahlen: Tag Anzahl Tag Anzahl Tag Anzahl a) Berechnen Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten der Ausprägungen sowie die absolute kumulierte Häufigkeit für x D 4. b) Erstellen Sie das zugehörige Stabdiagramm und das Kreissektorendiagramm mithilfe der absoluten Häufigkeiten. Aufgabe 2 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Weingarten Statistik Sommersemester 2008 Aufgabensammlung (Seite 1) Eine Umfrage über den Bierkonsum Weingartener Bürger ergibt bei 10 Personen folgende Zahlenreihe(Liter pro Woche): Berechnen Sie den Modalwert, den Median, das arithmetische Mittel, die Spannweite, die mittlere quadratische Abweichung, die Standardabweichung und den Variationskoeffizienten. Aufgabe 3 Ein bestimmtes Gut wird von genau 7 Firmen produziert. Folgende Tabelle gibt an, wie viele tausend Stück jede Firma herstellt: Firma: A B C D E F G prod.stückzahl: (tausendstück) a) Bestimmen Sie den Medianwert der produzierten Stückzahlen. b) Skizzieren Sie für x Werte aus dem Intervall[0;20] den Verlauf der Funktion F.x/ D Anteil der Firmen, die höchstens 1000 x Stück produzieren. c) Errechnen Sie die Knickpunkte der zugehörigen Lorenzkurve. d) Errechnen Sie den normierten Gini Koeffizienten. e) BestimmenSiedenKonzentrationskoeffizienten CR 2.

2 Aufgabe 2

3 Aufgabe 4 Aufgabe 4 Bei einer Untersuchung von 1000 US-Bürgern ohne High-School Abschluss ergaben sich bezüglich Einkommen und Hautfarbe folgende Daten: 265Weißeund 71NichtweißehatteneinEinkommenunter$4000.Zwischen$4000und $ 7999fielen 249Weißeund 30Nichtweiße. 106Weißeund 8Nichtweißehattenein Einkommenvon$12500undmehr. 187Weißeund 30Nichtweißelageninder verbleibenden Zwischengruppe. Bei 54 Personen ließ sich das Einkommen oder die Hautfarbe nicht feststellen. a) Stellen Sie die zugehörige Kontingenztabelle auf. b) Errechnen Sie die Randhäufigkeiten. c) Berechnen Sie die bedingte Verteilung des Einkommens für Nichtweiße. d) Sind Einkommen und Hautfarbe unabhängig? Aufgabe 5 (siehe Lösung in excel) Für den Aktienkurs und den Optionspreis einer deutschen Aktie ergaben sich folgende Daten: Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Weingarten Statistik Sommersemester 2008 Aufgabensammlung (Seite 2) Kurs Optionspreis Kurs Optionspreis 240,3 16, ,20 252,5 15, , , , , , , , ,00 180,5 13,70 Zeichnen Sie für diesen Datensatz das Streuungsdiagramm und berechnen Sie den Bravais- Pearson-Korrelationskoeffizienten. 2 Aufgabe 6

4 Kurs Optionspreis i xi y xy 2 2 i i i x i y i 1 240,3 16,0 3844,8 # ,5 15,4 3888,5 # 237, ,0 17,4 4141,2 # 302, ,0 12,6 2872,8 # 158, ,0 11,8 2631,4 # 139, ,0 11,0 2618,0 # ,0 11,2 2531,2 # 125, ,0 10,5 2121,0 # 110, ,0 13,1 2724,8 # 171, ,0 14,5 2566,5 # 210, ,0 14,8 2812,0 # 219, ,5 13,7 2472,9 # 187, ,3 162, ,1 # 2239,2 x y 216,9 13,5 n xy i i n x y i= 1 r = = 0 n n xi nx yi ny i= 1 i= 1 18,0 17,0 16,0 15,0 14,0 13,0 12,0 11,0 10,0 Aufgabe 5 y = 0,0117x + 10,965 R² = 0, ,0 170,0 180,0 190,0 200,0 210,0 220,0 230,0 240,0 250,0 260,0 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Weingarten Statistik Sommersemester 2008 Aufgabensammlung (Seite 3) Aufgabe 6 Zwei Personen sollen fünf verschiedene Produkte A bis E durch Angabe einer Reihenfolge beurteilen. Die Befragung ergab folgende Ergebnisse: Produkt Person I Person II A 5 3 B 2 1 C 3 4 D 4 2 E 1 5 Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten von Spearman. Aufgabe 7 (siehe Lösung in excel) Die Aufgliederung einer Population nach Arbeitslosigkeit und Schulbildung liefere folgende Kontingenztabelle: arbeitslos ja nein Bildung Volksschule mittlere Reife Abitur Berechnen Sie den Kontingenzkoeffizienten und den normierten Kontingenzkoeffizienten. Interpretieren Sie das Ergebnis. 3

5 Aufgabe 7 arbeitslos arbeitslos ja nein Summe ja nein Summe Volksschule Volksschule Mittl. Reife Mittl. Reife Abitur Abitur Summe Summe chi-quadrat 28909,5 K 0,038 K max 0,707 K* 0, , , , , , , Aufgabe 8 In einem Unternehmen fragt man sich, ob zwischen Umsatz und Marketingkosten ein Zusammenhang besteht. Folgende betrieblichen Daten(in 1000 ) liegen vor: Marketingkosten/Kunde Umsatz/Kunde 1, , , , , , , ,0 480 (siehe Lösung in excel) a) Erstellen Sie ein Streuungsdiagramm(y D Umsatz, x D Marketingkosten) und berechnen Sie den Bravais-Pearson- und den Rangkorrelationskoeffizienten. b) StellenSiedieRegressionsgerade Oy D Oa C O b xaufundberechnensieden Determinationskoeffizienten. Aufgabe 9 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Weingarten Statistik Sommersemester 2008 Aufgabensammlung (Seite 4) An 5 aufeinander folgenden Zeitpunkten wurden Preise p und Mengen q eines Gutes festgestellt: Zeitpunkt p 2, ,5 4 q a) Berechnen Sie den Rangkorrelationskoeffizienten von Spearman. Welche Vermutung wird durch das Ergebnis nahe gelegt? b) BestimmenSiedieRegressionsgerade Oq D Oa C O b p. c) Wie groß ist der Korrelationskoeffizient von Bravais-Pearson? (Beachten Sie Ihr Ergebnis aus Teil b)!). 4

6 Aufgabe 8 Aufgabe 9 xi yi xi yi xi^yi^2 1, , , , , , , # , # # Summe 7296,4 # Mittelwert 2, , Steigung hier: 1 Euro mehr in die Werbung bedeutet ca. 108 Euro mehr Umsatz 350 y = 108,62x + 28,63 R² = 0, ,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 r n xy n x y i i i= 1 = = n n xi nx yi ny i= 1 i= 1 0,

7 Aufgabe 10 Aufgabe 10 Das Ergebnis der Untersuchung eines kardinalskalierten Merkmals X sei in folgender Tabelle wiedergegeben: Ausprägung Anzahl a) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, den Modus und den Median. b) Berechnen Sie die mittlere quadratische Abweichung. c) ObigeDatenwerdennunmittelsderIntervalle Œ0I 3/; Œ3I 4/und Œ4I 7klassiert. Bestimmen Sie die Rechteckhöhen des Histogramms. Aufgabe 11 Ein Betrieb hat im Kalenderjahr 2004 zwölf neue Mitarbeiter eingestellt. Von diesen sind unter anderem folgende Daten bekannt: Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Weingarten Statistik Sommersemester 2008 Aufgabensammlung (Seite 5) Mitarbeiter Geschlecht Ausbildungsdauer Abschlussnote Nr. (in Jahren) 1 männlich weiblich weiblich männlich weiblich weiblich weiblich männlich männlich männlich weiblich männlich 22 2 a) Geben Sie die Skalierung der drei Merkmale Geschlecht, Ausbildungsdauer und Abschlussnote an. b) Ermitteln Sie für jedes der drei Merkmale die folgenden Größen, soweit diese aufgrund des jeweiligen Skalenniveaus sinnvollerweise berechnet werden können: Modus Median Arithmetisches Mittel Mittlere quadratische Abweichung Variationskoeffizient c) Geben Sie für jedes der zwei Merkmalspaare i) Geschlecht Abschlussnote ii) Ausbildungsdauer Abschlussnote einen statistisch sinnvollen Korrelationskoeffizienten an. (Die Korrelationskoeffizienten müssen nicht berechnet werden.) 5

8 Aufgabe 11 Aufgabe 12 Von einer Firma sind über mehrere Jahre hinweg die Umsätze und die Beschäftigtenzahlen bekannt: Jahr t: Umsatz x t (inmillionen ): Anzahl y t derbeschäftigten: a) Berechnen Sie den Variationskoeffizienten des Umsatzes. b) Berechnen Sie den Rangkorrelationskoeffizienten von Spearman zwischen den beiden Merkmalen Umsatz und Beschäftigtenzahl. c) BerechnenSiedieRegressionsgerade Oy D Oa C O btderbeschäftigtenzahlinabhängigkeit vonderzeit.mitwelcheranzahlderbeschäftigtenistimjahr8zurechnen? Aufgabe 13 Zwischen der Anzahl der Besucher eines Freibades und der Tageshöchsttemperatur wird ein Zusammenhang vermutet. Es wurden folgende Daten erhoben: Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Weingarten Statistik Sommersemester 2008 Aufgabensammlung (Seite 6) Tag Besucheranzahl Höchsttemperatur (in Grad Celsius) a) Berechnen Sie ein geeignetes Zusammenhangsmaß zwischen der Besucheranzahl und der Höchsttemperatur. b) Berechnen Sie die Regressionskoeffizienten der linearen Regression, wenn die Höchsttemperatur als einzige Einflussgröße für die Besucheranzahl erachtet wird. c) MitwelcherBesucheranzahlistbeieinerHöchsttemperaturvon 30 ı zurechnen? 6

9 Aufgabe 12 Aufgabe 14 ZuverschiedenenZeitpunktenwirdderWasserstand x t derisargemessen. t Wasserstandincm ?? Die Messwerte zum Zeitpunkt 3 und 4 sind leider verloren gegangen. Es ist jedoch Folgendes bekannt: 6X 6X x t D 705 und x 2 t D td1 Außerdem ist bekannt, dass der Messwert zum Zeitpunkt 4 größer ist als der Messwert zum Zeitpunkt 3. a) Ermitteln Sie die fehlenden Messwerte zum Zeitpunkt 3 und 4. b) Prognostizieren Sie den Wasserstand zum Zeitpunkt t D 7 mittels einer linearen Regression. c) Ermitteln Sie den Determinationskoeffizienten der Regression. d) Begründen Sie kurz, ob Sie das Vorgehen aus Teilaufgabe b) für sinnvoll erachten. td1 Aufgabe 13 Aufgabe 15 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Weingarten Statistik Sommersemester 2008 Aufgabensammlung (Seite 7) An5aufeinanderfolgendenZeitpunktenwurdenPreise pundmengen qzweiergüter G 1 und G 2 festgestellt: Zeit Gut p 1 q 1 p 2 q 2 p 3 q 3 p 4 q 4 p 5 q 5 G 1 2; ; G Berechnen Sie den Laspeyres-Preisindex zur Berichtszeit 3 und Basiszeit 2. 7

10 Aufgabe 14 Aufgabe 16 (siehe Lösung in excel) AnderMensawirdüber4Wochen,jeweilsmontagsbisfreitags,dieAnzahl y(in100 Portionen) der ausgegebenen Essen gezählt. Man erhält folgende Zeitreihe: t Tag Mo Di Mi Do Fr y t t Tag Mo Di Mi Do Fr y t t Tag Mo Di Mi Do Fr y t t Tag Mo Di Mi Do Fr y t Es wird das additive Zeitreihenmodell unterstellt. a) Bilden Sie geeignete gleitende Durchschnitte und berechnen Sie die Saisonveränderungszahlen auf eine Nachkommastelle genau. b) Ermitteln Sie die saisonbereinigte Zeitreihe. Aufgabe 17 DermonatlicheWasserverbrauch y t einergroßstadtwerdealszeitreihemitkonstanter Saisonfiguraufgefasst.DiefolgendeTabelleenthältdieVerbrauchsdaten y t (in 10 5 m 3 )für das Jahr 2004 sowie die verfügbaren um die glatte Komponente bereinigten Werte: Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Weingarten Statistik Sommersemester 2008 Aufgabensammlung (Seite 8) J F M A M J J A S O N D y tfür ,5 18,2 18,7 19,3 20,1 20, um die glatte -2,0-1,7-1,7-1, ,0 2,3 1,8 1,2-0,1-0,9 Komponente -2,2-1,9-1,8-1,4-0,8 1,3 2,0 1,7 2,2 0,8 0,1-1,1 bereinigte Werte -1,8-2,4-1,6-1,5-1,2 1,7 1. Bestimmen Sie für 2004 alle saisonbereinigten Werte, 2. Bestimmen Sie für September 2004 den gleitenden Durchschnitt der Ordnung 5, 3. Bestimmen Sie für Oktober 2004 den gleitenden Durchschnitt der Ordnung 4. Aufgabe 18 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit viermaligem Werfen eines Würfels a) viermal 6 b) keine 6 c) mindestens eine 6 d) derreihenach 6; 6; 6; 5 zu erhalten? e) dreimal 6undeinmal 5 f) genau die Augensumme 7 g) mindestens zweimal die gleiche Zahl 8

11 Aufgabe 17 Aufgabe 16 Wochentag t yt yt* yt-sj~ Sj^ saisonbereinigte Werte T^t S^j + T^j Mo 1 8-0,667 8,667 8,5686 7,902 Di ,867 9,133 8,7088 9,575 Mi ,600 1,600 8,400 8,849 10,449 Do ,667 1,667 9,333 8, ,656 Fr # -3,467-3,467 9,467 9,1294 5,663 Mo 6 8 9,2 # -0,667-0,667 8,667 9,2696 8,603 Di ,2 1 0,867 0,867 9,133 9, ,276 Mi ,2 2 1,600 9,400-0,200 1,400 Do ,6 1 1,667 9,333 9, ,357 Fr ,8 # -3,467 9,467 9,8304 6,364 Mo ,667 10,667 9,9706 9,304 Di ,2 1 0,867 10,133 10, ,977 Mi ,4 2 1,600 10,251 11,851 Do ,4 2 1,667 10,333 10, ,058 Fr ,6 # -3,467 10,467 10,5314 7,065 Mo ,8 # -0,667 10,667 10, ,005 Di ,867 11,133 10, ,678 Mi ,600 11,400 10,952 12,552 Do ,667 11,333 11, ,759 Fr ,467 10,467 11,2324 7,766 Mo 21 Summe -0,667 11, ,706 Di 22 0,000 0,867 11, ,379 Mi 23 1,600 11,653 13,253 Do 24 1,667 11, ,460 Fr 25-3,467 11,9334 8,467 hier zufällig 0 im Allgemeinen nicht!! yt T^t y = 0,1402x + 8,4284 R² = 0,

12 Aufgabe 18 Aufgabe 19 Ein Kraftfahrzeughändler weiß aus langjähriger Erfahrung, dass bei den in Zahlung genommenenwagen 50%MängelamMotor, 70%anderKarosserieund 30%anMotorund Karosserie aufweisen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein in Zahlung genommener Wagen a) ohne Mängel an Motor und Karosserie ist, b) auch einen Mangel am Motor besitzt, wenn bekannt ist, dass die Karosserie schadhaft ist? Aufgabe 20 Ein Schießbudenbesitzer hat festgestellt, dass die Trefferwahrscheinlichkeit in den späten Abendstunden 0;1 pro Schuss beträgt. a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei 5 Schüssen mindestens 2 Treffer zu erzielen? b) Wie viele Schüsse sind notwendig, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0;9 mindestens einen Treffer zu erzielen? Aufgabe 21 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Weingarten Statistik Sommersemester 2008 Aufgabensammlung (Seite 9) Aufgabe 21 Unter den 20 Passagieren eines Charterfluges befinden sich zwei Bewaffnete, die das Flugzeug entführen wollen. Zehn Passagiere werden zufällig ausgewählt und genau untersucht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Bewaffneten unentdeckt bleiben? Aufgabe 22 Im Laufe eines Jahres werden von 52 aufeinanderfolgenden Ausgaben einer Wochenzeitschrift 11 beliebige Ausgaben mit einer bestimmten Annonce versehen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Leser von 20 beliebigen(aber verschiedenen) Ausgaben a) zwei Ausgaben b) keine Ausgabe c) 20 Ausgaben d) sämtliche 11 Ausgaben e) mindestens eine Ausgabe mit einer Annonce erhält? 9

13 Aufgabe 20

14 Aufgabe 22 Aufgabe 23 Das Rechenzentrum der Hochschule habe festgestellt, dass während einer Betriebszeit von einem Tag mit der Wahrscheinlichkeit 0;905 kein Ausfall des Systems zu verzeichnen ist. Die Anzahl der Systemausfälle sei Poisson-verteilt. a) Bestimmen Sie den Parameter der Poisson-Verteilung. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag genau zwei Systemausfälle zu verzeichnen sind? c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es bei 5 gleichartigen Systemen, die unabhängig voneinander laufen, zu mindestens einem Ausfall am Tage kommt. Aufgabe 24 Die Gesamtdauer X eines Projektes wird als normalverteilt mit dem Parameter D 10 (Wochen) angenommen. Ferner wird für die Wahrscheinlichkeit P.8 X 12/ der Wert 0;8 geschätzt. Man bestimme den Parameter. Aufgabe 25 Das Körpergewicht X(in kg) zufällig ausgewählter Personen aus einer Grundgesamtheit sei normalverteilt mit den Parametern und. Es gilt: Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Weingarten Statistik Sommersemester 2008 Aufgabensammlung (Seite 10) P.X 80/ D 1 2 und P.X 70/ D 1 4 : a) GebenSie und an. b) BerechnenSie P.X 100/. c) Wieviel Prozent der Personen der Grundgesamtheit, die mindestens 100 kg wiegen, wiegen über 110 kg? Aufgabe 26 Die Lebensdauer einer Maschine sei eine über dem Zeitintervall Œ0;65 gleichverteilte Zufallsvariable. Berechnen Sie a) den Erwartungswert der Lebensdauer b) die Varianz der Lebensdauer c) die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer zwischen 13 und 39 liegt. 10

15 Aufgabe 23 Aufgabe 24

16 Aufgabe 25 Aufgabe 26 Aufgabe 27

17 Aufgabe 28 Aufgabe 27 Eine Unternehmung sieht sich auf dem Absatzmarkt zufällig schwankender Nachfrage gegenübergestellt. Die Höhe der Nachfrage X sei folgendermaßen verteilt: 1 ; für 0 x 12 f.x/ D 12 0; sonst Die Produktion der Unternehmung wird unmittelbar abgesetzt, d.h. es existieren keine Absatzlager. Die Kostenfunktion der Unternehmung lautet Y D 2X C 10. Man gebe den Erwartungswert und die Varianz der Kosten an. Aufgabe 28 Ein Röhrenwerk produziert Stahlröhren, deren Durchmesser produktionsbedingten Schwankungenunterliegen.FürdenInnendurchmesser X 1 hatmane.x 1 / D 800und Var.X 1 / D 0;01undfürdenAußendurchmesser X 2 hatmane.x 2 / D 810und Var.X 2 / D 0;02.BestimmenSieErwartungswertundVarianzfürdieWandstärkeder Röhren, wenn angenommen werden kann, dass Innen- und Außendurchmesser voneinander unabhängig schwanken. Aufgabe 29 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Weingarten Statistik Sommersemester 2008 Aufgabensammlung (Seite 11) Der Besitzer eines Zeitschriftenladens hat für einen längeren Zeitraum in der Vergangenheit folgende tägliche Nachfrageverteilung nach einer bestimmten Tageszeitung beobachtet: pro Tag nachgefragte Exemplare > 4 Nachfragewahrscheinlichkeit 0,20 0,30 0,20 0,20 0,10 0 Er rechnet für die Zukunft mit keiner Änderung der Nachfrageverteilung. Der Einkaufspreis eines Exemplars beträgt 0;50, der Verkaufspreis 1;50. Unverkaufte Exemplare können nicht zurückgegeben werden. Für einen längeren Zeitraum muss er eine feste Zahl von Zeitungen pro Tag bestellen. Wie viele Zeitungen pro Tag sollte er bestellen, um seinen erwarteten Gewinn zu maximieren? 11

18 Aufgabe 29 Aufgabe 30 Die Zufallsvariablen X und Y haben die nebenstehende gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion: Man berechne x y ,1 0,2 0,3 2 0,2 0 0,2 a) die Randverteilungen, Erwartungswerte und Varianzen für X und Y, b) diekovarianzundkorrelationzwischen Xund Y. Aufgabe 31 Der Erwartungswert in der Grundgesamtheit soll durch die Stichprobenfunktion O D 1 n.x 1 C C X n / O 0 D 2 n 2 O 00 D nx i X i id1 2 n.n C 1/.X 1 C 2X 2 C C nx n / Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Weingarten Statistik Sommersemester 2008 Aufgabensammlung (Seite 12) geschätzt werden. Prüfen Sie die Erwartungstreue der Schätzfunktionen und ermitteln Sie die wirksamste unter diesen. nx nx Hinweise: Es gilt i D 1 n.n C 1/ und i 2 D 1 n.n C 1/.n C 1 / Aufgabe 32 id1 Bei der Prüfung der Füllmenge von Fruchtsaftflaschen ergaben sich folgende Werte: ccm Anzahl Nach Angaben des Abfüllers ist die Füllmenge normalverteilt mit einer Varianz von 2 D 2;25. a) Man gebe ein Schätzintervall für den Erwartungswert zum Niveau 1 D 0;94. b) Welcher Stichprobenumfang n garantiert eine Länge von 1 für das Schätzintervall? 12 id1

19 Aufgabe 30 Aufgabe 31

20 Aufgabe 31 (cont.) Aufgabe 32

21 Aufgabe 33 Aufgabe 33 In einem Spielkasino werden Zweifel geäußert, dass ein bestimmter Würfel fair ist, d.h. alle Zahlen gleich häufig auftreten. Der Spielleiter fordert einen Zweifler auf, ein Signifikanzniveau zwischen 0;01und 0;40anzugeben,zudemdieHypothese H 0,dassder Würfel fair ist, getestet werden soll. Welches wird der Zweifler wählen, wenn er möchte, dass der Würfel aus dem Spiel genommen wird? Aufgabe 34 Aufgabe 34 Ein Arbeiter braucht für die Bearbeitung eines Werkstücks im Durchschnitt 7 Minuten(420 sec. D 0 ).EinFachmannschlägt,umeineZeitersparniszuerreichen. < 0 /,eineandere Bearbeitungsart vor und will die Effektivität seines Vorschlags mithilfe einer Stichprobe vom Umfang n D 16testen.FührenSiediesenTest(Hypothese H 0 W D 0 gegen H 1 W < 0 )zumsignifikanzniveau D 0;05bzw. 0;01durch.Dabeiseiferner vorausgesetzt, dass die Grundgesamtheit normalverteilt ist. Die Stichprobe ergab folgende Werte: Nx D 408und s D 25;7. Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Weingarten Statistik Sommersemester 2008 Aufgabensammlung (Seite 13) 13