Prüfung im Modul Grundlagen der Regelungstechnik Studiengänge Medizintechnik / Elektrotechnik

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1 Brandenburgische Technische Universität Cottbus-Senftenberg Fakultät 1 Professur Systemtheorie Prof. Dr.-Ing. D. Döring Prüfung im Modul Grundlagen der Regelungstechnik Studiengänge Medizintechnik / Elektrotechnik (14:00-16:00 Uhr), Dauer: 120 Minuten Name: Vorname: Matrikelnummer Schalten Sie Ihre Mobilfunktelefone aus. Berechnungen werden nur dann gewertet, wenn der Rechenweg nachvollziehbar ist. Hilfsmittel: Beilage Grundlagen der Regelungstechnik, Taschenrechner. Soll-Punkte: 50 Von den 7 Aufgaben müssen 5(!) gelöst werden. Geben Sie bitte an, welche Aufgaben entfallen. 1

2 Aufgabe 1 (Punkte: 10) Gegeben sei das dargestellte Ersatzschaltbild eines dynamischen Systems (s. Abbildung). i u L i 2 u e (t) L R 1 i 1 R 2 u a (t) 1.1 Stellen Sie die Dierenzialgleichung und die Übertragungsfunktion G(s) = U a(s) U e (s)! 1.2 Bestimmen Sie die Art des Systems! 1.3 Bestimmen Sie die Zeit- und Übertragungskonstanten der ermittelten Übertragungsfunktion G(s) in Abhängigkeit von R 1, R 2 und L! 1.4 In der unteren Abbildung ist die Antwort des Systems aus 1.1 bei einem Eingangssprung U e (s) = 3 s dargestellt. Ermitteln Sie daraus die Werte der Zeit- und Übertragungskonstanten zur Beschreibung der Übertragungsfunktion G(s)! 1.5 Berechnen Sie aus den in 1.4 ermittelten Werten die Induktivität L für den Fall, dass die Widerstände R 1 = 4Ω und R 2 = 2Ω bekannt sind! 2

3 Aufgabe 2 (Punkte: 10) a) Im b) Im K s = 4 2j K s = 1 Re Re 3 1 2j c) Im d) Im K I = 1 4 K D = 2 Re Re 4 1 3

4 2.1 Geben Sie die 4 Übertragungsfunktionen an! 2.2 Skizzieren Sie die Übergangsfunktionen h(t) der in 2.1 ermittelten Übertragungsfunktionen! 2.3 Gegeben ist ein DT 1 -Glied: G(s) = y(s) u(s) = 4s 2s + 1 Wie groÿ sind K D und T 1? Welchen Anfangswert hat die Ausgangsgröÿe y(0), wenn u(s) = 2 s ist? Aufgabe 3 (Punkte: 10) Ein System sei durch die Dierenzialgleichung gegeben. 4ÿ 3ẏ + y 2 = u + u Bestimmen Sie den stationären Arbeitspunkt für u 0 = 1! 3.2 Linearisieren Sie die Dierenzialgleichung um den Arbeitspunkt und bilden Sie die Übertragungsfunktion! 3.3 Bestimmen Sie die Art des Systems! 3.4 Ermitteln Sie die stationäre Verstärkung des linearisierten Modells! Aufgabe 4 (Punkte: 10) 4.1 Bestimmen Sie für das gegebene System die Durchtrittsfrequenz ω s des I-Gliedes und jeweils die Eckfrequenzen für das P T 1 -Glied und das T D2 -Glied! G(s) = 2 s (0.05s + 1) 2 (0.5s + 1) 4

5 4.2 Skizzieren Sie den approximierten Amplituden- und Phasengang für das System G(s)! 4.3 Gegeben ist die Geradenapproximation eines Amplitudenganges (s. untere Abb.). Ermitteln Sie die zugehörige Übertragungsfunktion G(s). Um welchen Typ handelt es sich hier? 20log 10 G [db] log 10 (ω) +20 db Dek 20 db Dek 20 Aufgabe 5 (Punkte: 10) Gegeben sei ein Regelkreis - bestehend aus einem I Regler G R = K i s und einer Regelstrecke (s.untere Abb.). 5.1 Ermitteln Sie aus dem Blockschaltbild des Regelkreises die Übertragungsfunktion der Regelstrecke G s (s)! Um welchen Typ handelt es sich hierbei? 5

6 5.2 Die Führungsgröÿe sei w(s) = 3 s. Überprüfen Sie mithilfe des Endwertsatzes der Laplacetransformation, ob der Regelkreis stationär genau ist! 5.3 Für welche K i ist der Regelkreis asymptotisch stabil? Hinweis: Verwenden Sie das Kriterium von Hurwitz. Aufgabe 6 (Punkte: 10) Gegeben sei der in der unteren Abb. dargestellte Regelkreis. w(s) e(s) u(s) 2 y(s) G R (s) (s+1) 2 (s+3) 6.1 Um welchen Streckentyp handelt es sich hierbei? Ist die Regelstrecke stabil? Bestimmen Sie hierfür die Streckenpole! 6.2 Der Regler sei ein P -Regler, G R (s) = K p. Der Sollwert sei ein Einheitssprung, d.h. w(s) = 1 s. Ermitteln Sie die Führungsübertragungsfunktion G w (s)! Wie groÿ ist der Regelfehler, wenn angenommen wird, dass K p = 1 ist? 6.3 Stellen Sie die charakteristische Gleichung auf und bestimmen Sie aus dieser T krit und K p krit! 6.4 Mit den Ergebnissen aus 6.3) sollen Sie nun einen P I- Regler entwerfen, d.h. bestimmen Sie die Reglerparameter K p und T n! Hinweis: Verwenden Sie das Entwurfsverfahren von Ziegler und Nichols. 6

7 Aufgabe 7 (Punkte: 10) An der P T 2 -Regelstrecke soll ein P -Regler betrieben werden. G s (s) = 5 2s 2 + 3s Ermitteln Sie aus der Übertragungsfunktion der Regelstrecke die Durchtrittsfrequenz ω D! Die Phasenreserve des Regelkreises soll φ R = 50 o betragen. 7.2 Bestimmen Sie die Reglerversärkung K p! Hinweis: Verwenden Sie den in 7.1) ermittelten Wert für die Durchtrittsfrequenz ω D. 7.3 Überprüfen Sie Ihr Ergebnis aus 7.2) indem Sie direkt aus der Betragskennlinie K p bestimmen! (ω D ist die gewünschte Durchtrittsfrequenz.) Betragskennlinie der Regelstrecke G s (jω). 7

8 Zusatzaufgabe (Punkte: 5) Gegeben sei der in der unteren Abb. dargestellte Regelkreis. w(s) e(s) 6 u(s) 4 y(s) s (s+2) 3 Z.1 Bestimmen Sie für einen Sollwert von w(s) = 4 s die stationären Endwerte der Regelgröÿe y( ) und der Stellgröÿe u( )! 8

(s + 3) 1.5. w(t) = σ(t) W (s) = 1 s. G 1 (s)g 2 (s) 1 + G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)g 4 (s) = Y (s) Y (s) W (s)g 1 (s) Y (s)g 1 (s)g 3 (s)g 4 (s)

(s + 3) 1.5. w(t) = σ(t) W (s) = 1 s. G 1 (s)g 2 (s) 1 + G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)g 4 (s) = Y (s) Y (s) W (s)g 1 (s) Y (s)g 1 (s)g 3 (s)g 4 (s) Aufgabe : LAPLACE-Transformation Die Laplace-Transformierte der Sprungantwort ist: Y (s) = 0.5 s + (s + 3).5 (s + 4) Die Sprungantwort ist die Reaktion auf den Einheitssprung: w(t) = σ(t) W (s) = s Die

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