Dieter Rasch und Dieter Schott. Mathematische Statistik

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3 Dieter Rasch und Dieter Schott Mathematische Statistik

4 Beachten Sie bitte auch weitere interessante Titel zu diesem Thema van Emden, H. Statistik ohne Albträume Eine Einführung für Biowissenschaftler 2014 ISBN ; auch als e-book erhältlich Günther, M., Velten, K. Mathematische Modellbildung und Simulation Eine Einführung für Wissenschaftler, Ingenieure und Ökonomen 2014 Print ISBN: ; auch als e-book erhältlich Jüngel, A., Zachmann, H.G. Mathematik für Chemiker 7. Auflage 2014 Print ISBN: ; auch als e-book erhältlich Emmert-Streib, F., Dehmer, M. (Hrsg.) Statistical Diagnostics for Cancer Analyzing High-Dimensional Data 2013 Print ISBN: ; auch als e-book erhältlich Rowe, Philip Statistik für Mediziner und Pharmazeuten Dehmer, M., Varmuza, K., Bonchev, D. (Hrsg.) Statistical Modelling of Molecular Descriptors in QSAR/QSPR 2012 Print ISBN: ; auch als e-book erhältlich Dehmer, M., Emmert-Streib, F., Graber, A., Salvador,A.(Hrsg.) Applied Statistics for Network Biology Methods in Systems Biology 2011 Print ISBN: ; auch als e-book erhältlich Ziegler,A.,König,I.R. A Statistical Approach to Genetic Epidemiology Concepts and Applications, with an e-learning platform 2. Auflage 2010 Print ISBN: ; auch als e-book erhältlich Emmert-Streib, F., Dehmer, M. (Hrsg.) Medical Biostatistics for Complex Diseases 2010 Print ISBN: ; auch als e-book erhältlich 2012 ISBN , auch als e-book erhältlich

5 Dieter Rasch und Dieter Schott Mathematische Statistik Für Mathematiker, Natur- und Ingenieurwissenschaftler

6 Autoren Dieter Rasch Dieter Schott Alle Bücher von Wiley-VCH werden sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren, Herausgeber und Verlag in keinem Fall, einschließlich des vorliegenden Werkes, für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie für eventuelle Druckfehler irgendeine Haftung. Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Boschstr. 12, Weinheim, Germany Alle Rechte, insbesondere die der Übersetzung in andere Sprachen, vorbehalten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form durch Photokopie, Mikroverfilmung oder irgendein anderes Verfahren reproduziert oder in eine von Maschinen, insbesondere von Datenverarbeitungsmaschinen, verwendbare Sprache übertragen oder übersetzt werden. Die Wiedergabe von Warenbezeichnungen, Handelsnamen oder sonstigen Kennzeichen in diesem Buch berechtigt nicht zu der Annahme, dass diese von jedermann frei benutzt werden dürfen. Vielmehr kann es sich auch dann um eingetragene Warenzeichen oder sonstige gesetzlich geschützte Kennzeichen handeln, wenn sie nicht eigens als solche markiert sind. Umschlaggestaltung Wiley-VCH Satz le-tex publishing services GmbH, Leipzig, Deutschland Druck und Bindung Print ISBN epdf ISBN epub ISBN Mobi ISBN obook ISBN Gedruckt auf säurefreiem Papier.

7 V Inhaltsverzeichnis Vorwort XI 1 Grundbegriffe der mathematischen Statistik Grundgesamtheit und Stichprobe Konkrete Stichproben und Grundgesamtheiten Stichprobenverfahren Mathematische Modelle für Grundgesamtheit und Stichprobe Suffizienz und Vollständigkeit Der Informationsbegriff in der Statistik Statistische Entscheidungstheorie Übungsaufgaben 31 Literatur 36 2 Punktschätzung Optimale erwartungstreue Schätzfunktionen Varianzinvariante Schätzung Methoden zur Konstruktion und Verbesserung von Schätzfunktionen Maximum-Likelihood-Methode Methode der kleinsten Quadrate Minimum-χ 2 -Methode Momentenmethode Jackknife-Schätzungen Auf Ordnungsmaßzahlen basierende Schätzfunktionen Eigenschaften von Schätzfunktionen Kleine Stichproben Asymptotische Eigenschaften Übungsaufgaben 75 Literatur 78 3 Statistische Tests und Konfidenzschätzungen Grundbegriffe der Testtheorie Das Neyman-Pearson-Lemma 89

8 VI Inhaltsverzeichnis 3.3 Tests für zusammengesetzte Alternativhypothesen und einparametrische Verteilungsfamilien Verteilungen mit monotonem Likelihood-Quotienten und gleichmäßig beste Tests für einseitige Hypothesen GBU-Tests für zweiseitige Alternativhypothesen Tests für mehrparametrische Verteilungsfamilien Allgemeine Theorie Das Zweistichprobenproblem Eigenschaften verschiedener Tests und Robustheit Tabellenanhang Konfidenzschätzungen Einseitige Konfidenzintervalle in einparametrischen Verteilungsfamilien Zweiseitige Konfidenzintervalle in einparametrischen und Konfidenzintervalle in mehrparametrischen Verteilungsfamilien Tabellenanhang Sequentielle Tests Einführung Walds sequentieller Likelihood-Quotienten-Test für einparametrische Exponentialfamilien Test über Mittelwerte für unbekannte Varianzen Approximative Tests für das Zweistichprobenproblem Sequentielle Dreieckstests Ein sequentieller Dreieckstest für den Korrelationskoeffizienten Bemerkungen zur Interpretation Übungsaufgaben 167 Literatur Lineare Modelle Allgemeine Theorie Lineare Modelle mit festen Effekten Methode der kleinsten Quadrate Maximum-Likelihood-Methode Hypothesentests Konstruktion von Konfidenzbereichen Spezielle lineare Modelle Die verallgemeinerte Methode der kleinsten Quadrate (VMKQ) Lineare Modelle mit zufälligen Effekten gemischte Modelle Beste lineare erwartungstreue Vorhersage (BLEV) Varianzkomponentenschätzung Übungsaufgaben 198 Literatur Varianzanalyse Modelle mit festen Effekten (Modell I der Varianzanalyse) Einführung 201

9 Inhaltsverzeichnis VII 5.2 Varianzanalyse in einfaktoriellen Versuchen (einfache Varianzanalyse) Das Modell und Auswertungsverfahren Planung des Versuchsumfanges Klassifikation nach zwei Faktoren (zweifache Varianzanalyse) Kreuzklassifikation (A B) Hierarchische Klassifikation (A B) Dreifache Klassifikation Vollständige Kreuzklassifikation (A B C) Hierarchische Klassifikation (C B A) Gemischte Klassifikation Übungsaufgaben 283 Literatur Varianzanalyse Schätzung von Varianzkomponenten (Modell II der Varianzanalyse) Einführung lineare Modelle mit zufälligen Effekten Einfache Klassifikation Schätzung der Varianzkomponenten Tests von Hypothesen und Konfidenzintervalle Varianzen und Eigenschaften der Schätzverfahrens für die Varianzkomponenten Schätzfunktionen für Varianzkomponenten und ihre Spezialfälle der zweifachen und dreifachen Klassifikation Allgemeine Beschreibung für den Fall gleicher und ungleicher Klassenbesetzung Zweifache Kreuzklassifikation Zweifache hierarchische Klassifikation Dreifache Kreuzklassifikation mit gleicher Klassenbesetzung Dreifache hierarchische Klassifikation Dreifache gemischte Klassifikation Versuchsplanung Übungsaufgaben 331 Literatur Varianzanalyse Modelle mit endlichen Stufengesamtheiten und gemischte Modelle Einführung Modelle mit endlichen Stufengesamtheiten Regeln zur Ableitung von SQ, FG, DQ und E(DQ) im balancierten Fall für beliebige Klassifikationen und Modelle Varianzkomponentenschätzung in gemischten Modellen Ein Beispiel für den balancierten Fall Der unbalancierte Fall Varianzkomponentenschätzung in speziellen gemischten Modellen 348

10 VIII Inhaltsverzeichnis Zweifache Kreuzklassifikation Zweifache hierarchische Klassifikation B A Dreifache Kreuzklassifikation Dreifache hierarchische Klassifikation Dreifache gemischte Klassifikation Tests für feste Effekte und Varianzkomponenten Übungsaufgaben 366 Literatur Regressionsanalyse Lineare Modelle mit nicht zufälligen Regressoren und zufälligen Regressoren Einführung Parameterschätzung Methode der kleinsten Quadrate Optimale Versuchsplanung Hypothesenprüfung Konfidenzbereiche Modelle mit zufälligen Regressoren Auswertung Versuchsplanung Gemischte Modelle Abschließende Bemerkungen zu den Modellen der Regressionsanalyse Übungsaufgaben 408 Literatur Regressionsanalyse Eigentlich nichtlineares Modell I Bestimmung der Schätzwerte nach der Methode der kleinsten Quadrate Gauß-Newton-Verfahren Innere Regression Bestimmung von Anfangswerten für Iterationsverfahren Geometrische Betrachtungen Lösungsfläche und Tangentenebene Nichtlinearitätsmaße Asymptotische Eigenschaften und die Verzerrung der MKQ-Schätzung Konfidenzschätzungen und Tests Einführung Auf der asymptotischen Kovarianzmatrix basierende Tests und Konfidenzschätzungen Simulationsexperimente zur Überprüfung der Tests und Konfidenzschätzungen Optimale Versuchsplanung Spezielle Regressionsfunktionen 448

11 Inhaltsverzeichnis IX Exponentielle Regression Die Bertalanffy-Funktion Die logistische (dreiparametrische Tangens-hyperbolicus-)Funktion Die Gompertz-Funktion Die vierparametrische Tangens-hyperbolicus-Funktion Die vierparametrische Arcustangens-Funktion Die Richards-Funktion Fragen der Modellwahl Übungsaufgaben 471 Literatur Kovarianzanalyse Einführung Allgemeines Modell I I der Kovarianzanalyse Spezielle Modelle der Kovarianzanalyse für die einfache Klassifikation Eine Kovariable mit konstantem γ Eine Kovariable mit von den Stufen des Klassifikationsfaktors abhängigen Regressionskoeffizienten γ i Übungsaufgaben 488 Literatur Statistische Mehrentscheidungsprobleme Auswahlverfahren Grundbegriffe Indifferenzbereichsformulierung für Erwartungswerte Auswahl einer Untermenge, die die beste Grundgesamtheit mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit enthält Multiple Vergleichsprozeduren KonfidenzbereichefüralleKontraste diescheffé-methode Konfidenzintervalle für bestimmte Kontraste die Methode von Dunn Konfidenzbereiche für alle Kontraste für n i = n dietukey-methode Konfidenzintervalle für alle Kontraste verallgemeinerte Tukey-Methode Konfidenzintervalle für die Mittelwertdifferenzen zu einem Standard die Dunnett-Methode Multiple Vergleichsprozeduren und Konfidenzbereiche Vergleich multipler Vergleichsprozeduren Veranschaulichung der Methoden an einem Zahlenbeispiel Übungsaufgaben 536 Literatur 537

12 X Inhaltsverzeichnis 12 Versuchsanlagen Einführung Blockanlagen Vollständig balancierte unvollständige Blockanlagen Methoden zur Konstruktion von BUB Teilweise balancierte unvollständige Blockanlagen Zeilen-Spalten-Anlagen Programme zur Konstruktion von Versuchsanlagen Übungsaufgaben 577 Literatur Lösungen und Lösungsansätze zu den Übungsaufgaben 581 Anhang A Symbolik 607 Anhang B Abkürzungen 611 Anhang C Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktionen von Verteilungen 613 Anhang D Tabellen 615 Sachverzeichnis 623

13 XI Vorwort Mathematische Statistik hat nie an Attraktivität verloren, das gilt sowohl für das Fach als mathematische Disziplin, aber vor allem für ihre Anwendung in fast allen Bereichen der empirischen Forschung. Nun hat sich in den letzten Jahren auf einigen Teilgebieten herausgestellt, dass das, was unter gegebenen Voraussetzungen mathematisch optimal ist, praktisch nicht empfehlenswert ist, wenn man nicht sicher ist, ob solche Voraussetzungen gelten. Ein Beispiel ist der Zweistichproben-t-Test, der unter der Voraussetzung gleicher Varianzen (und Normalverteilung) in den entsprechenden Grundgesamtheiten ein optimaler (gleichmäßig bester unverfälschter) Test ist. In Anwendungen, in denen man sich der Gleichheit beider Varianzen nicht sicher ist und das ist fast immer der Fall, ist allerdings der approximative Welch-Test vorzuziehen. Derartige Ergebnisse sind umfangreichen Simulationsuntersuchungen zu verdanken, die in letzter Zeit eine immer größere Rolle in der Praxis spielen (siehe die acht internationalen Konferenzen zu diesem Thema seit 1994 unter Deshalb haben wir uns der Aufgabe gestellt, auf der Grundlage des 1995 erschienenen Buches (Rasch, D. (1995) Mathematische Statistik,Joh.AmbrosiusBarth, Berlin, Heidelberg) unter konsequenter Berücksichtigung der Entwicklungen der letzten Jahrzehnte ein neues Buch zu verfassen. In den Beispielen findet man neben den Handrechnungen auch Hinweise zur Anwendung des frei verfügbaren Programmpaketes R. Der erste Teil desobenerwähntenbuchesenthielt eine Einführung in die Maßtheorie und in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, die hier vorausgesetzt werden bzw. bei Bauer, H. (2002) Wahrscheinlichkeitstheorie,deGruyter,Berlin,nachgelesen werden können. Speziell werden Kenntnisse über Exponentialfamilien sowie zentrale und nichtzentrale t-, χ 2 -undf- Verteilungen vorausgesetzt. Die Definition der Exponentialfamilien, die grundlegend für einige Kapitel ist, wurde jedoch wiederholt. In der Mathematischen Statistik gehen die meisten Autoren davon aus, dass Daten bereits vorliegen und auszuwerten sind. Wir meinen aber, dass die optimale Erfassung der Daten gleichberechtigt neben der Auswertung stehen sollte. Neben der Beschreibung der statistischen Auswertungsverfahren wurde daher auch die Versuchsplanung aufgenommen. Die Planung des Stichprobenumfanges findet man bei der Beschreibung der Auswertungsverfahren, die optimale Allokation

14 XII Vorwort in den Kapiteln zur Regressionsanalyse. Schließlich wurde noch ein Kapitel über Versuchsanlagen eingefügt. Das Kapitel über Stutzung und Zensur wurde dagegen weggelassen. Wir haben uns bemüht, durchgängig Deutsch zu schreiben, Anglizismen wie Bias oder gar Sprachmischungen wie Powerfunktion haben wir vermieden. Wer für Publikationen in Englisch die englischen Begriffe benötigt, kann diese in Elsevier s Dictionary of Biometry (Rasch et al., 1994) finden, ein Werk, an dem zahlreiche Statistiker aus Deutschland, Ungarn und Polen über viele Jahre gearbeitet haben. Eine Ausnahme bildet der Begriff Maximum Likelihood, den man zwar (wie ein österreichischer Kollege meint) mit maximale Plausibilität übersetzen könnte da aber der englische Ausdruck international allgemein verwendet wird, haben wir auf eine Übersetzung verzichtet. Wir danken ganz herzlich Herrn Prof. Dr. RobVerdooren (Bennekom,Niederlande), der das Manuskript gründlich durchgelesen und auf Fehler und Inkonsistenzen hingewiesen hat. Rostock, im Frühjahr 2015 Dieter Rasch und Dieter Schott

15 1 1 Grundbegriffe der mathematischen Statistik Elementare statistische Berechnungen werden schon seit Jahrtausenden durchgeführt. Das arithmetische Mittel aus einer Anzahl von Mess- oder Beobachtungswerten ist schon sehr lange bekannt. Zuerst entstand die beschreibende Statistik mit dem Sammeln von Daten etwa bei Volkszählungen oder in Krankenregistern und deren Verdichtung in Form von Maßzahlen oder Grafiken. Die mathematische Statistik entwickelte sich ab Ende des19. Jahrhunderts aufbauend auf der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Anfang des 20. Jahrhunderts gehörten vor allem Karl Pearson und Sir Ronald Aymler Fisher zu ihren Pionieren. Das Buch von Fisher (1925) ist ein Meilenstein, in ihm werden die vom Autor mehrere Jahre zuvor entwickelten Grundlagen der Statistik wie die Maximum-Likelihood-Methode und die Varianzanalyse oder Begriffe wie Suffizienz und Effizienz Versuchsanstellern nahegebracht. Ein wichtiges Informationsmaß heißt noch heute Fisher-Information (siehe Abschn. 1.4). Wir wollen auf die Details der historischen Entwicklung nicht eingehen und verweisen Interessierte auf Stigler (2000). Stattdessen beschreiben wir den heutigen Stand der Theorie. Wir wollen aber nicht vergessen, dass viele Anregungen aus Anwendungen kamen und bringen deshalb auch immer wieder Beispiele. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist zwar die Grundlage der mathematischen Statistik, aber viele praktische Probleme, in denen Aussagen über Zufallsvariablen gemacht werden sollen, sind mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung allein nicht zu lösen. Das liegt daran, dass über die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen nicht alles bekannt ist und das Problem oft darin besteht, Aussagen über mindestens einen der Parameter einer Verteilungsfunktion zu machen oder dass sogar die Verteilungsfunktion gänzlich unbekannt ist. Die mathematische Statistik wird in vielen einführenden Texten als die Theorie der Auswertung von Versuchen oder Erhebungen betrachtet, d. h., man geht davon aus, dass bereits eine Zufallsstichprobe (nach Abschn. 1.1) vorliegt. Wie man auf optimalem Weg zu dieser Zufallsstichprobe gelangt, bleibt meist unberücksichtigt dies wird gesondert in der statistischen Versuchsplanung abgehandelt. In den Anwendungen ist es klar, dass man erst den Versuch (die Erhebung) plant und dann, wenn der Versuch durchgeführt wurde, mit der Auswertung beginnt. In der Theorie ist es aber zweckmäßig, zunächst die optimale Auswertung zu ermitteln, um dann für diese den optimalen Versuchsplan zu bestimmen, z. B. den kleinsten Versuchsumfang für eine varianz- Mathematische Statistik, 1. Auflage. Dieter Rasch und Dieter Schott. 2016WILEY-VCH VerlagGmbH & Co. KGaA. Published2016byWILEY-VCH VerlagGmbH & Co. KGaA.

Inhaltsverzeichnis. Vorwort

Inhaltsverzeichnis. Vorwort Vorwort XI 1 Grundbegriffe der mathematischen Statistik I 1.1 Grundgesamtheit und Stichprobe 2 1.1.1 Konkrete Stichproben und Grundgesamtheiten 2 1.1.2 Stichprobenverfahren 4 12 Mathematische Modelle für

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