Übungsaufgaben zum Kapitel Baumdiagramme - Bernoulli

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1 BOS 98 S I Im ahmen einer statistischen Erhebung wurden 5 repräsentative Haushalte ausgewählt und im Hinblick auf ihre Ausstattung mit Fernsehern, adiorecordern sowie Homecomputern untersucht. Dabei gaben 45 Haushalte an, einen (oder mehr) Fernseher zu besitzen, 4 Haushalte verfügten über einen (oder mehr) adiorecorder, aber 35 Haushalte besaßen keinen Homecomputer. Genau 1 der Haushalte konnten sowohl adiorecorder als auch Homecomputer aufweisen. Die daraus ermittelten relativen Häufigkeiten werden als Wahrscheinlichkeiten interpretiert. 1. Für das Zufallsexperiment: "Zufällige Auswahl eines Haushalts, werden folgende Ereignisse betrachtet: F: Der Haushalt besitzt einen (oder mehr) Fernseher. : Im Haushalt gibt es einen (oder mehr) adiorecorder. C : Der Haushalt besitzt keinen Homecomputer. 1.1 Zeigen Sie, dass die Ereignisse und C vereinbar sowie stochastisch unabhängig sind. Im Folgenden wird für alle drei Ereignisse F, und C stochastische Unabhängigkeit vorausgesetzt. 1. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Haushalt sowohl mit Fernseher als auch mit Homecomputer ausgestattet ist. 1.3 Bestimmen Sie für einen zufällig ausgewählten Haushalt mit Hilfe eines Baumdiagramms alle möglichen Ausstattungsvarianten in Bezug auf die drei Gerätetypen. Ermitteln Sie für dieses Zufallsexperiment auch die Wahrscheinlichkeiten aller denkbaren Elementarereignisse. 1.4 Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Haushalt a) mindestens zwei der drei Gerätetypen besitzt; b) höchstens einen der drei Gerätetypen besitzt; c) Fernseher oder adiorecorder oder beides besitzt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Haushalt mit Homecomputer ausgestattet ist, beträgt weiterhin p =. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: ( 3 führende Ziffern) E 1 : "Von acht zufällig ausgewählten Haushalten besitzen nur genau die beiden letzten Homecomputer." E : Von acht zufällig ausgewählten Haushalten sind höchstens zwei der drei zuletzt ausgewählten Haushalte mit Homecomputer ausgestattet, alle anderen jedoch nicht. E 3 : Von zufällig ausgewählten Haushalten besitzen höchstens fünf Haushalte Homecomputer. E 4 : Von 5 zufällig ausgewählten Haushalten besitzen mindestens 1 und höchstens 18 Homecomputer. Seite 1 von 1

2 BOS 98 S II Für ein Zufallsexperiment wird ein Spielbrett mit roten () grünen (G) und blauen (B) Feldern verwendet (siehe Zeichnung). Start G B G B Ferner steht je ein roter, grüner und blauer idealer Würfel zur Verfügung. Der rote Würfel trägt auf einer Seitenfläche die 1, auf zwei Seiten die und auf drei Seiten die 3. Der grüne Würfel weist jede der drei Zahlen 1, bzw. 3 mit gleicher Häufigkeit auf. Beim blauen Würfel kommt die auf zwei Seitenflächen, die 3 auf vier Seiten vor. Der Ablauf eines Spiels geht folgendermaßen vor sich: Zu Beginn wird eine Spielfigur auf das Startfeld gestellt und der rote Würfel geworfen. Die Spielfigur wird um so viele Felder, wie die gewürfelte Augenzahl angibt, weitergezogen. Die Farbe des Feldes, auf dem die Spielfigur nun steht, bestimmt die Farbe des Würfels, mit dem der zweite Wurf erfolgt. Anschließend wird die Spielfigur um die dem zweiten Wurf entsprechende Felderzahl nach rechts gezogen. Damit endet das Spiel. 1 Zeichnen Sie für das vorliegende Spiel mit Ω = {GB,G,...,} ein Baumdiagramm. Berechnen Sie auch die Wahrscheinlichkeiten sämtlicher Elementarereignisse.. Als Treffer wird nun gewertet, wenn die Spielfigur am Ende eines Spiels auf einem grünen Feld steht..1 Zeigen Sie: Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt p =,5..3 Es werden nun folgende Ereignisse betrachtet: E 1 : Bei 5-maliger Durchführung des Spiels werden mindestens 1 Treffer erzielt." E: Bei 5-maliger Durchführung des Spiels werden bei weniger als einem Viertel der Spiele Treffer erzielt." Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse E 1 und E. Untersuchen Sie auch, ob die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig sind. Seite von

3 BOS 99 S I Eine Urne enthält sechs rote und vier weiße Kugeln, die sich nur durch ihre Farbe unterscheiden. Außerhalb der Urne stehen noch genügend viele rote und weiße Kugeln als zusätzlicher Kugelvorrat zur Verfügung. Ein Zufallsexperiment besteht darin, dass nacheinander drei Kugeln zufällig aus der Urne gezogen werden, wobei nach jeder entnommenen Kugel eine andersfarbige Kugel aus dem Kugelvorrat wieder in die Urne gelegt wird. 1 Zeichnen Sie zu dem beschriebenen Zufallsexperiment ein Baumdiagramm und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse. (Teilergebnis: P({}) =,1; P({WWW}) =,4). Es werden nun folgende Ereignisse betrachtet: A: Es werden ausschließlich gleichfarbige Kugeln gezogen. B: Unter den drei gezogenen Kugeln befinden sich mindestens zwei rote Kugeln..1 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B). Untersuchen Sie auch, ob die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.. Drücken Sie das Ereignis A B möglichst einfach mit Worten aus und berechnen Sie dessen Wahrscheinlichkeit..3 Nun wird das Zufallsexperiment unter stets gleichen Anfangsbedingungen zehnmal durchgeführt. Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A a) genau dreimal, b) nur bei den ersten drei Malen, c) höchstens einmal eintritt. Seite 3 von 3

4 BOS 99 S II Aufgabe. geändert 1. In einem Kindergarten trinkt jedes der Kinder in der Frühstückspause genau eines der Getränke Kakao, Erdbeermilch bzw. Vanillemilch jeweils mit der P K, P E =, P V =,. Nehmen Wahrscheinlichkeit ({ }) = ({ }) 5 bzw. ({ }) 15 Sie an, dass diese Wahrscheinlichkeiten konstant sind und dass die Entscheidungen für jedes der drei Getränke jeweils unabhängig erfolgen. 1.1 Veranschaulichen Sie das Wahlverhalten eines zufällig ausgewählten Kindes an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einem Baumdiagramm. Ermitteln Sie auch die Wahrscheinlichkeiten sämtlicher Elementarereignisse. 1. Berechnen Sie jeweils, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig ausgewähltes Kind an fünf aufeinanderfolgenden Tagen a) stets Kakao, b) viermal Kakao und einmal Erdbeermilch, c) niemals Vanillemilch wählt.. Nun wird eine Gruppe von Kindern zufällig ausgewählt..1 Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit a) mindestens zwei der Kinder Vanillemilch wählen. b) höchstens zwei der Kinder Vanillemilch wählen. c) zwischen drei und sieben (jeweils ausschließlich) der Kinder Vanillemilch wählen. Seite 4 von 4

5 Lösungen BOS 98 S I 1.1 C C C C,4,56, ,6,14, C {} vereinbar P() P(C) =,8 =,4 = P( C) unabhängig 1. P(F) =,9 ; P(C) = P(F C) = ; 5 = 135 Haushalte 1.3,9,1 F F,8,,8, C C C C C C C C ω i FC FC F C F C F C F C F C F C P(ω i ),16,54,54,16,4,56,6, a) P(E a ) =,16 +,54 +,54 +,4 = 98 b) P(E b ) = 1 P(E a ) =, c) P(E c ) = 1 (,6 +,14 ) =,98.1 C C C C C C CC P(E 1 )= 6 =,1588 C C C C C xxx: P(E )= =, P(E 3 )= B (;; i) =,41637 (S. 16 bzw S. 17) 18 P(E 4 )= B (5;; i) 9 B (5 ;,3; i ) =,85944,43 =,8191 Seite 5 von 5

6 1. Lösungen BOS 98 S II Wahrscheinlichkeiten in Sechstel! 1 3 G B G B G B G B ω i GG GB G BG BB G B P(ω i ) in Sechsunddreissigstel.1 GG: ; BG: 4; G: 3, also : p = 9 36 ; p =,5.3 P( IE 1 ) = 1 i = 9 B (5 ;,5 ; i ) = 1,16368 =, P( IE ) = i = B (5 ;,5 ; i ) =,5199 IE 1 IE = { 1; 11; 1 } 1 P ( IE 1 IE ) = i = B (5 ;,5 ; i ) i = P ( IE 1 IE ) = 4631 ; P ( IE 1 ) P(IE ) =,8363,5199 =, B (5 ;,5 ; i ) =,5199,16368 stoch. abhängig Seite 6 von 6

7 1. Lösungen BOS 99 S I 6 4W,4 5 5 W 7 3,5,5 4 6 W W 8,4,4,4,8, W W W W ω i W W WW W WW WW WWW P(ω i ),1,18,18,1,168,11,96,4 A X X B X X X X.1 P(A) =,1 +,4 =,144 P(B) =,1 +,18 +,18 +,168 = 48 A B = {}; P (A B ) =,1 ; P(A) P(B) =,933 abhängig. Genau eine rote Kugel; P (IE) =,1 +,11 +,96 = 8.3 q := P(A) =,144 ; p =,856 a) P ( IE a ) = b) P ( IE b ) = 1, ,856 7 =, ,144,856 =,1555 c) P ( IE c ) = 1,144, ,144,856 =, Seite 7 von 7

8 1.1 Lösungen BOS 99 S II,5,15 K E V,15,15,15,5,5,5 K E V K E V K E V ω i KK KE KV EK EE EV VK VE VV P(ω i ) 6,15,9,15,65,375,9,375,5 1. P ( IE a ) = 5 =,7776 P ( IE b ) = 5 4,5=,16 (5 wegen E am 1. Tag,. Tag,...) P ( IE c ) =,85 5 =, P ( IE ) = 1 1 B ( ;,15 ; i ) = ( S 1 ) = 1,17556 =,8444 P ( IE ) = B ( ;,15 ; i ) =,449 6 P ( IE ) = B ( ;,15 ; i ) 3 B ( ;,15 ; i ) = =, = 333 Seite 8 von 8

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