Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis

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1 Aufgabe 2. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis

2 Ergebnis und Ergebnismenge Vorgänge mit zufälligem Ergebnis, oft Zufallsexperiment genannt Bei der Beschreibung der Ergebnisse wird stets ein bestimmtes Merkmal des Zufallsexperiments benannt. Zufallsexperiment Merkmal Ergebnisse Hochsprung von Schülern Ziehen von Kugeln aus Urne Werfen einer Münze Werfen eines Würfels Kontrolle einer Bonbontüte Sprunghöhe Lage der Oberseite der Münze Höhen zwischen 0,75m und,70 m gelb, grün, blau 24,25,26,27,28

3 Beispiel: Würfeln mit einem Würfel Mögliche Ergebnismenge, je nach Fragestellung: Ω = {,2,3,4,5,6, Ecke, Kante} Die Ergebnismenge Ω (sprich: Omega ) enthält alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Ω 2 = {,2,3,4,5,6} Ω 3 = {6, keine 6} Ω 4 = {gerade, ungerade Augenzahl} Welche Ergebnismenge erscheint am geeignetsten - d. h. nicht zu grob und ohne überflüssige Ergebnisse - für die Frage nach der Wahrscheinlichkeit einer Augenzahl? Begründe.

4 Die Ergebnisse sind also die Elemente der Ergebnismenge. Sie sollen höchstens einmal in Ω vorkommen. Keine Ergebnismenge: Ω = {gerade Zahlen oder Primzahlen kleiner gleich 6} Warum?

5 Nenne einen geeigneten Ergebnisraum für die folgenden Zufallsexperimente:. Würfeln eines Tetraeders mit den Augenzahlen,2,3 und Beim Werfen zweier Tetraederwürfels ( zweistufiges Zufallsexperiment ) bietet jemand folgende Ergebnismengen an: Bemerkung: Das Ergebnis (3 4) bedeutet, dass im ersten Wurf eine 3 und im zweiten Wurf eine 4 gewürfelt wird. Ω = {( );( 2),( 3),( 4), (2 );(2 2),(2 3),(2 4),(3 );(3 2),(3 3),(3 4),(4 );(4 2),(4 3),(4 4)} Ω 2 = {( );( 2),( 3),( 4),(2 2),(2 3),(2 4),(3 3),(3 4),(4 4)} Ω 2 = {Augensumme größer als und kleiner als 9} Welches sind Ergebnismengen des Experiments? 3. In einer Klinik wir eine Statistik über das Geschlecht der Neugeborenen geführt. a) Einzelkinder b) eineiige Zwillinge c) zweieiige Zwillinge

6 Aufgaben. Bei einem Wettrennen starten die vier Personen A,B,C und D. Man geht davon aus, dass alle Läufer zu verschiedenen Zeiten das Ziel passieren. a) Nenne die verschiedenen Einlaufreihenfolgen. Wie viele sind es? b) Gib die Ergebnismenge Ω an, wenn nur der. Sieger interessiert. c) Gib die Ergebnismenge Ω 2 an, wenn nur der. und 2. Sieger festgestellt werden soll. 2. Die drei Triebwerke eines Flugzeugs werden getestet. Gib die Ergebnismenge an, wenn interessiert, a) wie viele b) welche Triebwerke nicht einwandfrei laufen. 3. In einem Land gibt es vier politische Parteien. A, B, C und D. Welche der Mengen sind mögliche Ergebnismengen zu der Umfrage: Welche Partei würden Sie wählen, wenn morgen Wahltag wäre? a) {A;B;C;D; keine} b) {A; B oder C; keine} c) {A;sonstige; keine} d) {A oder B}

7 Aufgaben. Bei einem Wettrennen starten die vier Personen A,B,C und D. Man geht davon aus, dass alle Läufer zu verschiedenen Zeiten das Ziel passieren. a) Nenne die verschiedenen Einlaufreihenfolgen. Wie viele sind es? b) Gib die Ergebnismenge Ω an, wenn nur der. Sieger interessiert. c) Gib die Ergebnismenge Ω 2 an, wenn nur der. und 2. Sieger festgestellt werden soll. 2. Die drei Triebwerke eines Flugzeugs werden getestet. Gib die Ergebnismenge an, wenn interessiert, a) wie viele b) welche Triebwerke nicht einwandfrei laufen. 3. In einem Land gibt es vier politische Parteien. A, B, C und D. Welche der Mengen sind mögliche Ergebnismengen zu der Umfrage: Welche Partei würden Sie wählen, wenn morgen Wahltag wäre? a) {A;B;C;D; keine} b) {A; B oder C; keine} c) {A;sonstige; keine} d) {A oder B}

8 Ereignis Jede Teilmenge von Ω heißt Ereignis. Beispiel: Einmaliges Würfeln mit Ω = {,2,3,4,5,6} E: gerade Augenzahl E = {2;4;6}

9 Besondere Ereignisse Enthält ein Ereignis nur ein Ergebnis, so nennt man es Elementareignis Ω heißt sicheres Ereignis Die leere Menge {} oder heißt das unmögliche Ereignis Beispiel: E ={6} Wähle ich Ω ={,2,3,4,5,6} so betrachte ich es als sicher, dass eine der 6 Zahlen der Menge gewürfelt wird. Ich betrachte es als unmöglich, keine der 6 Zahlen zu würfeln.

10 Aufgaben. Zwei Freunde spielen das Knobelspiel Schere (S), Stein (St), Papier (P) Notiere die Ergebnismenge Ω, das sichere und das unmögliche Ereignis sowie die Ereignisse E und E 2 mit E : Erster Spieler gewinnt, E 2 : Keiner gewinnt. 2. Gib die Mengen an, die folgende Ereignisse beim zweimaligen Würfeln mit dem Tetraeder beschreiben: E : Pasch, E 2 : Augensumme gerade, E 3 : Erste Augenzahl kleiner als zweite

11 Verknüpfung von Ereignissen Ereignisse sind Mengen. Verknüpfungen von Mengen: Schnittmenge von A und B: A B A und B Vereinigungsmenge von A und B: A B A oder B Komplementärmenge von A: A nicht A Stelle für das Würfeln mit einem Würfel die Schnittund Vereinigungsmenge von A: Augenzahl prim und B: Augenzahl höchstens 4 dar. Nenne auch die Komplementärmengen zu A und B.

12 Aufgabe Auf Karins Schulweg gibt es drei Ampeln, die unabhängig voneinander den Verkehr regeln. Katrin muss sie alle drei passieren. a) Nenne die Ergebnismenge Ω für die Möglichkeiten der Ampelschaltungen, falls nur Rot und Grün beachtet werden soll. b) Gib die folgenden Ereignisse an. A: Alle Ampeln zeigen die gleiche Farbe. B: Die erste Ampel zeigt Rot. C: Die zweite Ampel zeigt Rot. D: Höchstens eine Ampel zeigt Rot. c) Notiere die folgenden Ereignisse und beschreibe sie verbal: R = B C, S = B C, T = A C, U = D, V = A C

13 Laplace-Experimente a) Werft in Gruppenarbeit zwei Münzen mit den Prägungen Kopf und Zahl und notiert die relativen Häufigkeiten nach 200-maligem Werfen für die Ereignisse E : beide Kopf, E 2 : beide Zahl und E 3 : unterschiedliche Prägung Ereignisse E E 2 E 3 relative Häufigkeit h 200 (E)

14 Laplace-Experimente b) Einigen Schülern ist es zu langweilig, die Würfe durchzuführen. Sie wollen lieber durch Berechnungen, den Ausfall des Zufallsexperiments vorhersagen. Sie schlagen folgende Modelle zur Beschreibung des Versuchs vor: Ω = {beide Kopf, beide Zahl, unterschiedlich} Ereignisse beide Kopf beide Zahl unterschiedlich Wahrscheinlichkeit P(E) Ereignisse beide Kopf beide Zahl unterschiedlich Ω 2 = Ω Wahrscheinlichkeit P(E) Ω 3 = {(K K),(Z Z),(Z K),(K Z)} Ereignisse (K K) (Z Z) (Z K) (K Z) Wahrscheinlichkeit P(E)

15 Aufgabe (Fortsetzung) Vergleicht mit den relativen Häufigkeiten aus a) und beschreibt, welche Modelle das Zufallsexperiment tatsächlich widerspiegeln. Welche Ergebnismenge ist zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten am geeignetsten? Begründet.

16 Laplace-Experiment Ein Zufallsexperiment, dessen Ergebnisse als gleichwahrscheinlich angenommen werden, heißt Laplace-Experiment.

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