Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 1 8

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1 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 Kapitel.. Linearität: st) = i a i s i t) gt) = i a i g i t) a) gt) = d dt a i s i t) = i i a i d dt s it) = i a i g i t) linear b) gt) = [s t) + s t)] = s t) + s t)s t) + s t) g t) + g t) nichtlinear c) gt) = i a i s i t) = i a i g i t) linear d) gt) = i a i s i t) + i g i t) nichtlinear e) gf) = i a i s i t) mt) = i a i g i t) linear Zeitinvarianz: st t 0 ) gt t 0 )

2 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 a) d dt st t 0) = gt t 0 ) zeitinvariant b) s t t 0 ) = gt t 0 ) zeitinvariant c) mit st) s t) = gt) st t 0 ) s t t 0 ) aber gt t 0 ) = s t + t 0 ) nicht zeitinvariant d) st t 0 ) + = gt t 0 ) zeitinvariant e) st t 0 )mt) gt t 0 ) nicht zeitinvariant für mt) konstant.3 a) linear, da t a i s i τ)dτ = i i t t a i s i τ)dτ = i a i g i t) t t 0 zeitinvariant, da sτ t 0 )dτ = sτ)dτ = gt t 0 ) + b) st) ht) = sτ)ht τ)dτ =! für τ t ht τ) = 0 für τ > t ht) = εt) c) t sτ)dτ st) gt) = εt) h ε t) t t sτ)dτ.4 h RC t) = εt)e t/ ht) = h RC t) h RC t) = ετ)εt τ)e τ/ e t τ)/ dτ

3 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 3 = e t/ 0 εt τ)dτ = εt) t e t/.5 s t) = rectt) rectt) = Λt) s t) = Λt) rectt) = Λτ) rectt τ)dτ t > 3 3 < t < < t < + < t < 3 s t) = 0 s t) = s t) = t+/ 0 t / = s t) = [ + τ)dτ = + τ)dτ + t + 3 ) t+/ 0 t + ) τ)dτ t ) ] t 3 ) [s t) ist gerade!] s 0) = 3 4, s ± ) =.6 a) =, = < ) b) für 0 < < / gilt : t > + + ) t < t < st) = 0 st) = t+0,5 + τ ) dτ = + t + ) + t + ) st) = t+0,5 + τ 0 ) dτ = + t + ) t + )

4 4 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 t < + + t < t < + st) = st) = 0 + st) = t 0,5 + τ ) dτ = t ) t ) t 0,5 τ ) dτ = t ) + t ).7

5 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel s t) ht) = [δ t) st)] ht) = st) δ t) ht) = st) h t) mit Assoziativgesetz und Kommutativgesetz der Faltungsalgebra..0 n = 0 δ t) εt) = δt) n = δ t) εt) εt) = εt) n = εt) εt) = εt) t n = 3 εt) t

6 6 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8.. [.3 δbt t 0 ) = δ b t t )] 0 b st)δbt t 0 )dt = b = b δ t t ) 0 b st)δ t t 0 b ) } {{ } t t 0 b = 0 t = t 0 b dt = ) b s t0 b.4 mit.34) für t folgt δt)dt =, damit aδt)dt = a δt)dt = a.5 a) t [ d dt rectτ)] dτ = t [ ) δ τ + δ τ )] dτ = rectt) = st) b) [st) δ t)] εt) = [st) εt)] δ t) = gt) = st).6 + = A g + sτ)gt τ)dτ dt = + sτ)dτ = A g A s + sτ) + gt τ)dt dτ } {{ } A g

7 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel h RC t) = εt)e t/ = e 0/ < 0, 0 > 99, a) sτ) [hτ) + gτ)] = st τ)[hτ) + gτ)]dτ + = st τ)hτ)dτ + + = [sτ) hτ)] + [sτ) gτ)] st τ)gτ)dτ b) zu zeigen: sτ) [hτ) gτ)] also + st τ)hτ u)gu)dudτ! = ist zu beweisen. Beweis: + = = gt v)sv w)hw)dwdv + +! = [sτ) hτ)] gτ) + s[t u + w)]hw)gu)dwdu st τ)hτ u)gu)dτdu gt v)sv w)hw)dwdv Subst.: t v = u Subst.: u + w = τ q.e.d. Hinweis: Beweis ist einfacher im Frequenzbereich.9 h ε t) monoton steigende Funktion d dt h εt) 0 ht) 0 } {{ } ht).0 st) ht) = t=0 + 0 q.e.d.. Bed.: st) = max. Amplitude). Bed.: g0) max = ht)s t)dt da ht) = 0 für t < st) = ht) dt { } für h t) < 0 = sgn[h t)] für h t) > 0

8 8 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8. [ )] [ )] t t t t a s a s = a a + Subst.: τ t = u = a a + s τ t s u ) s t t τ ) dτ ) t t t s u ) du, + t t t = a a s Θ)s ) t t t = a a g ) Θ dθ u = Θ. ht) = δt) εt) e t/ mit = L/R ) ) t 0 / t 0 / a) ft) =ht) rect = rect 0 0 [ ) )] t 0 / εt) rect 0 e t/ ) t 0 / = rect gt) f 0 ) = ± e 0/ 0 Abb..3) b) h ε t) = εt)e t/ t = hτ)dτ

9 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 9 Kapitel. a) Zeitbereich: rectt) rectt) = + rectτ) rectt τ)dτ Bereich I: t < gt) = 0 keine Überlappung t+/ Bereich II: t < 0 gt) = dτ = t + Bereich III: 0 t < gt) = / / dτ = t + Bereich IV: t < gt) = 0 t / Frequenzbereich: rectt) rectt) gt) = F {si πf)} = = = + + siπf) siπf) + si πf)e jπft df ) ) sinπf) cosπft) j sinπft) df πf ) sinπf) cosπft)df da sinπft) ungerade πf =... also schwieriger)

10 0 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 b) Zeitbereich: siπt) siπt) = = + + Frequenzbereich: siπt) si[πt τ)]dτ sinπτ) πτ sin[πt τ)] dτ =... also schwieriger) πt τ) siπt) siπt) rectf) rectf) = rectf) siπt). a) st) = rectt) Sf) = siπf), { 0 für Re{Sf)} 0 ϕ 0 f) = π für Re{Sf)} < 0 b) st) = rectt 0, ) Sf) = siπf)e jπf 0, Re{Sf)} = siπf) cosπf 0, ) Sf) = siπf) Phase: ϕf) = ϕ 0 f) 0, πf

11 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8.3 ast) asf) ) t as a S f) [ ] as t t 0) a S f)e jπft0.4 s D t) = st + t 0 ) ± st t 0 ) S D f) = Sf)[e jπft0 ± e jπft0 ] { cosπt 0 f) S D f) = Sf) j sinπt 0 f) st) = rectt), t 0 = / Sf) = siπf) { cosπf) S D f) = siπf) j sinπf).5 st) = εt)e t/ Sf) = + jπ f = jπ f + 4π f s g t) = e t / Re{Sf)} = s u t) = sgnt)e t / S u t) = jπ f + 4π f j Im{Sf)} = + 4π f jπ f + 4π f = S u f) s u f) = sgn f)e f /

12 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8.6 Sf F ) st)e jπf t Sf) = st)e jπft dt Fouriertransformation s t) = st)e jπf t S f) = st)e jπf t e jπft dt = st)e jπf F )t) dt = Sf F ).7 st) = e πt, st) gerade Sf) = Re{Sf)} Sf) = e πt cosπft)dt = e πt cosπft)dt π 4π f ) = π exp = e πf 4π e πt e πf 0.8 e πt e πf s t) = e πt e πt S f) = e πf = e π f) mit b sbt) Sf/b) folgt mit b = / s t) = e πt/ ) s n t) = n + e πt /n+) S n f) = e πf n+).9 ε r t) = εt) rectt/ ) t a = µs t a =

13 S εr f) = Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 3 [ ] δf) j siπ f) πf = δf) j siπf) πf.0 st) =εt)e t/ cosπf t) Sf) = + jπ f [ δf F ) + ] δf + F ). st) k ) t δt n ) = rect k + ) n= k n= δt n ) [ Sf) = k + ) si[πfk + ) ] k = : Sf) = 3 siπf3 ) f) n= δ f n ) ] k = 0 : Sf) = siπf ) f). st) = rectf t){[ + 0, 5 cosπf t)] cosπf 3 t)} ) Sf) = f si π ff [{ δf) + 4 δf f ) + 4 f + f ) } { δf f 3) + δf + f 3) }]

14 4 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8.3 für st) reell folgt: st) = s g t) + s u t) Sf) S f) S f) = S f) = Re{Sf)} + j Im{Sf)} gerade ungerade = Re{Sf)} Im{Sf)}.4 st) = [rectt) + Λt)] [δt, 5) + δt +, 5) + δt 3, 5) + δt + 3, 5)] Sf) = [siπf) + si π f )] [ cosπ, 5f) + cosπ3, 5f)] +.5 Sf) = st)e jπft dt mit st) = δt) + S δ f) = δt)e jπft dt = e 0 =.6 S f) S f) f=0 = S ξ)s f ξ)dξ f=0 = S ξ)s ξ)dξ = S ξ)sξ)dξ da s, t) reell! mit S f) S f) s t) s t) S f) S f) f=0 = s t)s t)e jπft dt f=0 = + s t)s t)dt

15 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel S f) Sf)df = s t)s t)dt q.e.d..7 S f) = st)e jπft dt 0 a) S f) = st) rect [ t ] e jπft dt = Sf) [ siπf )e jπf/ ] mit s t) = a cosπf t) [ a S f) = δf + F ) + a ] δf F ) [ siπf )e jπf/ ] mit s t) = a sinπf t) [ a S f) = j δf + F ) a ] δf F ) [ siπf )e jπf/ ].8 a) s g t)= [st) + s t)] s u t)= [st) s t)] b) mit.79) folgt: [Sf) + S f)] = Re{Sf)} [Sf) S f)] =j Im{Sf)} [ ] [ ] s + t) = st) + j st) πt = Re{st)} Im{st)} + j Im{st)} + Re{st)} πt πt } {{ } } {{ } Re{s +t)} j Im{s +t)} und weiter mit.8): Im{s + t)}= Im{s + t)} πt πt πt πt = δt) Re{s + t)} [ πt = Re{st)} Im{st)} ] [ πt πt = Im{st)} + Re{st)} ] πt und ähnlich S f) = Sf) ε f) s t) = st) + j st) ) πt = Im{s + t)} Im{s t)} = Re{s t)} πt c) Re{Sf)} = Re{S f)} s g t)! = s g t) Re{st)}! = Re{s t)} Re{st)} = 0. Der Ansatz j Im{Sf)} = j Im{S f)} s u t)! = s u t)führt auf dasselbe Ergebnis.

16 6 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8.9 Laplace-ransformation: Sp) = s t) = εt)e t/ S p) = t s t) = rect ) 0 + st)e pt dt [ e t/ e pt dt = p + / ) S p) = 0 ] )t e p+/ e pt dt = e p p 0. = p + / Beide Signale absolut integrierbar Fouriertransformierte und Laplacetransformierte gleich für p = j ω Faltung: Multiplikation im Spektralbereich L{s t) s t)} = e p ) p + p )..0 jπf) n Sf) = wegen fx)dx Sf) πf) n a) st) = rectt) n = 0 Sf) s n) t)e jπft dt mit s n) t) = dn dt n st) fx) dx aus Schwarz scher Ungleichung) + n = Sf) πf) s n t) dt q.e.d. rectt)dt = = πf = πf t δ + ) δ t dt ) b) st) = Λt) n = 0 n = Sf) Sf) πf) Λt) dt = t rect + ) rect t ) dt = πf

17 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 7 n = Sf) πf) δ t + ) δ t ) dt = πf. ht) = Hf)e jπft df = = hθ) e jπft Θ) df dθ weiter ist, wieder mit.7) und.3) e jπft df = δt) und also = hθ)δt Θ)dΘ = ht) hθ)e jπfθ dθ e +jπft df. Es sei st) = reell und gerade Sf) = reell und gerade mit St) s f) [Symmetrie-heorem] folgt dann: st) + St) Sf) + s f) = Sf) + sf) ) t Sf) = 0 siπ0f) 0 Beispiel: st) = rect ) t = rect siπt0) 0 siπf0) + rect f 0 ) +.3 S0) = Sf) f=0 = st)e jπft dt f=0 = + + st) = Sf)e +jπft df s0) = + Sf)df st)dt.4 Es gilt: [ )] [ )] ) t t t t! t t t a s a s = a a g mit gt) = s t) s t) nach Aufgabe.3

18 8 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 a S f)e jπft a S f)e jπft = a a S f)s f)e jπft+t) ) t = a a G f)e jπft+t) t + t ) a a g.5 εt) = ε g t) + ε u t) ε u t) j Im{S ε f)} sgnt) = ε u t) sgnt) j πf.6 Komplexe Wechselstromrechnung Hf) = Gf) Sf) = jωl R + jωl Hf) = jπfl R + jπfl.7 Vorausgesetzt werden wieder die Definitionen gemäß Fußnote 7 auf S. 36, d.h. ein gerades komplexwertiges Signal besitzt eine ungerade Funktion als Imaginärteil, ein ungerades komplexwertiges Signal eine gerade Funktion als Imaginärteil. a) beide Signale ungerade : s t) = s t) imaginärwertig; s t) = s t) reellwertig. b) beide Signale gerade : s t) = s t) reellwertig; s t) = s t) imaginärwertig. c) Die Signale sind komplexwertig, da S f) S f). Die Symmetrieeigenschaften des Spektrums bilden sich auf das Signal ab: S f) = S f) S f) = S f) s t) = s t) s t) = s t) Bezüglich der analytischen Komponenten gilt S f) εf) = S f) εf) s,+ t) = s,+ t)

19 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 9 und weiter wegen der bekannten Symmetrieeigenschaften der Spektren S f) ε f) = S f) ε f) s, t) = s, t). Aus den Symmetrieeigenschaften des Spektrums S f) folgt ebenfalls S f) εf) = S f) εf) s,+ t) = s, t)..8 Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt z.b. aus der linken Bedingung die rechte Bedingung ist nur eine Umformung hiervon) Re{Sf)} = j Im{Sf)} ) jπf s g t) = s u t) sgnt) Dies kann nur für Signale mit st) = 0 für alle t > 0 erfüllt sein, also antikausale Signale.

20 0 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 Kapitel 3 3. s a t) = st) δt n ) mit mt) = δt n ) n= n= a) [s t) + s t)] mt) = s t) mt) + s t) mt) linear b) st t 0 ) mt) st t 0 ) mt t 0 ) nicht zeitinvariant 3. a) f g = 4 khz Nyquist-Rate = f g = 8 khz b). f f g sonst Verzerrungen durch Flankenabfall f min = f g. f g f sonst Überlappung der wiederholten Spektren innerhalb des iefpasses. f + f g min 3.3 Modell : lineare orschaltung natürliche Abtastung) s a t) = st) n= [ t = st) rect S a f) = Sf) [ t n rect t 0 ) t 0 siπft 0 ) t 0 n= ) δt n ) n= ] δ f n ) ]. Das Spektrum wird mit einer Dirac-Stoßfolge gefaltet, die mit einer si-funktion gewichtet ist. Fehlerfreie Rückgewinnung mit iefpass ist möglich. Modell : Abtast-Halteschaltung sample and hold -Abtastung) ) t n s a t) = sn ) rect n= t = rect t 0 S a f) = t 0 siπft 0 ) ) [ st) [ Sf) t 0 n= n= δt n ) ] f δ n ) ]. Das durch die Faltung mit einer Dirac-Stoßfolge periodisch wiederholte Spektrum wird mit einer si-funktion multipliziert! Daraus resultieren lineare Verzerrungen. Fehlerfreie Rückgewinnung mit iefpass und Entzerrerfilter möglich., Ersatzschaltung:

21 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel st) = siπt) Sf) = rectf) a) r a = = f g b) r b = = 4f g 3.5 a) s re t) = [ st) n= δt n ) ] t rect ) { [ S re f) = Sf) ) f b) Hf) = siπf ) rect f g n= δ f n ) ]} siπf )e jπf/ mit = f g c) gt) = st) + [gt) h R t)] gt) [δt) h R t)] = st) Gf) [ H R f)] = Sf) H f) = Gf) Sf) = H R f)! = siπf ) H R f) = siπf ) mit = f g Realisierung mit Kurzzeitintegrator für f f g 3.6 a) rep st) = comb st) = n= = st) n= = st) st n ) = st) [ t )] n= sn )δt n ) = st) ) t δt n ) n= δt n )

22 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 b) rep st) Sf) n= [ comb st) Sf) [ ) t 3.7 st) = rect n= n= δt n ) δ f n ) = Sf) f) δ f n ) ] = Sf) f) ] Sf) = 4 siπf ) n= ) δ f n δf) 3.8 s a t) = st) = Sf) n= [ f 0 δ t n= n f 0 Sf) 0 für f 0 < f < f 0 ) δf nf 0 ) ] S a f) Rückgewinnung mit Bandpaß: ) f Hf) = rect [δf +, 5f 0 ) + δf, 5f 0 )] f 0 3.9

23 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 3 [ ] gt) = cosπf t) δt n) ht) n= { [ Gf) = δf + F ) + ] δf F ) } δt n) rectf) n= cosπf t) 0 < F < gt) = cos[π F )t] < F <, 5 = cosπf At) cos[π F )t], 5 < F <, a) s t) = cosπf g t) S f) = δf + f g) + δf f g) s a t) = s t) δ t n ) S a f) f n= g [ ] = S f) f g n= δf nf g ) Rekonstruktion ergibt cos-signal doppelter Amplitude b) s t) = sinπf g t) S f) = j δf + f g) j δf f g) s a t) = s t) δ t n ) = 0 f n= g [ ] S a f) = S f) f g n= δf nf g ) = 0 Abtastwerte und Rekonstruktion verschwinden hier.

24 4 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel

25 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel Es gilt: sn) A gn) = sn) hn) A m=0 hm) m=0! < hm) sn m) a) hn) = εn) cosπn) hn) = εn) = nicht stabil! n=0 m=0 b) hn) = εn) a n stabil für a < mit c) [ π ] hn) = εn) si n 5) n=0 n=0 n=0 a n = a < hn) = + π n=0 divergent, da n= 5 + ) π ) +... n divergent nicht stabil! 3.5 sn) gn) = [sn) + sn ) + sn )] 3 a) ai s i n) [ ai s i n) + a i s i n ) + a i s i n )] 3 = a i g i n) linear sn m) [sn m) + sn m ) + sn m )] 3 = gn m) verschiebungsinvariant b) hn) = 3 δn) + 3 δn ) + δn ) 3 c) hn) = 0 n < 0 kausal hm) = amplitudenstabil m=0 d) 0, 0, 3,, 8 3, 5 3, 4 3, 3, 0,... e) hn) h ) n)! = δn) mit Papierstreifenmethode

26 6 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 h ) n) = 3 δn 3m) 3 δn 3m) m=0 m=0 f) sn) hn) = [sn) + sn ) + sn )] = gn) 3 gn) h ) n) = sn) hn) h ) n) = sn) δn) = sn) g) h ) n) = nicht amplitudenstabil n=0 h) mit Papierstreifenmethode q.e.d. h ) n) = ) m δn m) m=0 3.6 a) sn) = 4 cosπn/4) s a t) = 4 cos π t ) 8 n= δt n) S a f) = [ δ f + ) + δ f )] 8 8 n= δf n) b) sn) = { für n M 0 für n > M s a t) = rect t M + ) n= δt n) S a f) = M + ) si[πm + )f] δf n) = oder s. Aufgabe.) n= sin [πfm + )] sinπf)

27 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 7 c) sn) = a n S a f) = mit n= n=0 a n e jπnf = a n e jπfn + a n e jπfn a 0 e 0 k=0 n=0 q k = q für q = ae±jπf < S a f) = ae jπf + ae jπf a S a f) = + a mit a < a cosπf) d) sn) = si πn/4) s a t) = si πt/4) δt n) n= S a f) = [4Λ4f)] δf n) n= 3.7 sn) = δn m) sn) e jπnf = δn m) e jπnf = e jπmf damit: sn m) = sn) δn m) S a f) e jπmf

28 8 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 n 3.8 mit sm) m= εn) = n δm) m= S a f) exp jπf) + S a0) f) folgt: exp jπf) + f) = [ + f) j cotπf)] 3.9 hn) = [εn) a n ] [b δn) + b δn )] mit b = b folgt H a f) = [/ e jπf a)] b + e jπf ) 3.0 sn) = εn) a n S a f) = = n=0 n= εn) a n e jπfn [a e jπf ] n = für a < a e jπf

29 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel S d k) = s d n) e jπkn/m k = 0,..., M M n=0 M a) S d k) = δn) e jπkn/m = e jπk 0/M = n=0 M b) S d k) = [δn) a δn m)] e jπk n/m n=0 M = a δn m)e jπkn/m = a e jπk m/m n=0 3. st) = rectt/6) cosπf 0 t) mit f 0 = 8/3 und f 0 = 9/3 [ a) Sf) = 6 siπf6) δf f 0) + ] δf + f 0) b, c) 3.3 sn) hn) = gn) gn) δn Mm) = g d n) mit M = 0 gilt: m= [ ] g d n) = sn) hn) δn Mm) m=

30 30 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 Periodische Faltung: g d n) = M m=0 s d m)h d n m) für n = 0,..., M 3.4 a) n = 0 M-, daher M komplexe Operationen Add.+Mul.) für jedes k, M Werte von Kapitel 4 k M Operationen b) s d n) = 0 für n < 0 s d, = 0 für n < 0; s d n) = 0 für n M s d, = 0 für M M/. S d k) = M M n=0 s d n)w nk M = M/ s d, n)wm/ nk M n=0 } {{ } M S d,k) S d, k + M/) = M M/ n=0 = M +W k M M/ n=0 M/ n=0 [ sd n) + s d n + )W k M ] W nk M s d, n)w nk M/ } {{ } M S d,k) s d, n)w nk M/ } {{ } S d, k) W nm/ M/ } {{ } =e jπn = c) Zur Berechnung der beiden Summen M komplexe Operationen n = 0 M- für jedes k, wegen Periodizität nur M/ verschiedene Werte von k zu berechnen M / Operationen, zusätzlich aber noch M komplexe Additionen der beiden Summen und M Multiplikationen mit W k M der rechten Summe, insgesamt also M / + M komplexe Operationen. d) Wenn M Zweierpotenz ist, sind lbm Wiederholungen möglich. Insgesamt sind dann nur noch 4. p E sg = Mit M lbm + ) komplexe Multiplikationen/Additionen auszuführen. Davon sind allerdings einige z.b. für k=0) immer reell. Unter Berücksichtigung dieser atsache benötigt die FF einen äquivalenten Aufwand von M lbm komplexen Multiplikationen/Additionen. Die Beschleunigung gegenüber a) ergibt demnach einen Faktor M/lbM, z.b. 4096/ 34 für M=4096. st) gt) dt Es E g s t)dt = E s, E s s t)dt E g g t)dt = E g p E sg g t)dt

31 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel st) = reell st) = s u t) + s g t) mit s g t) = [st) + s t)] und s ut) = [st) s t)] reell ϕ E s us g 0) = s u t) s g t)dt = 0, s u t) und s g t) sind orthogonal da s u t) s g t) ungerade 4.3 Bei periodischen Signalen genügt die Berechnung über eine ganze Zahl von Perioden, hier z. B. mit = : a) ϕ L s s τ) = ϕ L s s τ) = a cosπt) a cos[πt + τ)]dt = a cosπτ) ϕ L s 3s 3 τ) = lim Fall : a sinπt) a sin[πt + τ)]dt = a cosπτ) εt) εt + τ)dt =, da τ < 0, ϕ L s 3s 3 τ) = lim εt + τ)dt = lim t 0 Fall : = + lim τ = + τ) τ 0, ϕ L s 3s 3 τ) = lim εt)dt = lim t = 0 b) ϕ L s s τ) = a cosπt) a sin[πt + τ)]dt = 4 a sinπτ) + sin[πt + τ)])dt = a sinπτ) orthogonal!) 4.4 s τ) gτ) = s t) gt + τ)dt Mit Θ = t + τ, dθ = dt und t = τ Θ s τ) gτ) = sτ Θ) gθ)dθ = gτ) sτ) = sτ) gτ)

32 3 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel a) Kommutativ: Nein ϕ E sgτ) = sτ) gτ) = s τ) gτ) ϕ E gsτ) = gτ) sτ) = g τ) sτ) = ϕ E sg τ) i. a. gilt: ϕ E sgτ) ϕ E gsτ) b) Assoziativ: Nein [sτ) gτ)] hτ) = [s τ) gτ)] hτ) = sτ) g τ) hτ) sτ) [gτ) hτ)] = sτ) [g τ) hτ)] = s τ) g τ) hτ) Da i. a. sτ) s τ) [sτ) gτ)] hτ) sτ) [gτ) hτ)] c) Distributiv: Ja gτ) [sτ) + hτ)] = g τ) [sτ) + hτ)] = [g τ) sτ)] + [g τ) hτ)] = [gτ) sτ)] + [gτ) hτ)] 4.6 Wegen st) gt) = s t) gt) haben die Korrelationsfunktion und das Faltungsprodukt die gleiche Dauer ges = +

33 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel ϕ E sgτ) = s τ) gτ) = sτ) gτ) wegen s τ) = sτ) ϕ E gsτ) = g τ) sτ) ϕ E ggτ) = g τ) gτ) 4.8 s g, s s 0, s g 0, g s, g s 0, g g 0 Da jeweils f t) f t)dt = 0 vgl. Aufgabe 4.: Walsh-Funktionen)

34 34 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel a) st) = e πt Sf) = e πf ϕ E ssτ) = s τ) sτ) = e π τ) e πτ = e πτ e πτ = e πτ / Aufg..8 Sf) = e πf E = ϕ E ss0) = b) st) = Λt) = rectt) rectt) Sf) = si πf) ϕ E ssτ) = Λ τ) Λτ) = Λτ) Λτ) Sf) = si 4 πf), E = Λ t)dt = t) dt = /3 0 c) st) = siπt) Sf) = rectf) ϕ E ssτ) = si πτ) siπτ) = siπτ) siπτ) = siπτ) Sf) = rectf), E = ϕ E ss0) = 4.0 st) h t) = ft), ft) h t) = gt) ϕ E fg τ) = fτ) gτ) = f τ) fτ) h τ) = s τ) h τ) sτ) h τ) h τ) = [s τ) sτ)] [h τ) h τ)] h τ) = ϕ E ssτ) ϕ E h h τ) h τ) 4. st) = δt) + δt ) Sf) = + e jπf ϕ E ssτ) = [δ τ) + δ τ )] [δτ) + δτ )] = [δτ) + δτ + )] [δτ) + δτ )] = δτ) + δτ + ) + δτ ) + δτ + ) = δτ) + δτ + ) + δτ ) Sf) = + cosπf ) 4. ϕ E sŝτ) = s τ) sτ) πτ = ϕe ssτ) πτ = ϕ E sŝ0) = ϕ E ssτ u) ϕ E ssu) πu du = ˆϕE ssτ) πu du im Sinne des Cauchyschen Hauptwertes

35 = lim ε 0 ε Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 35 ϕ E ssu) πu du ε ϕ E ssu) πu du = 0 da ϕ E ssu) gerade und ) πu ungerade st) und ŝt) sind orthogonal. 4.3 Es gilt: ϕ E sgτ) = ϕ E ssτ) hτ) nach Aufg. 4.0 mit st) = si π t ) ϕ E ssτ) = si π τ ) ϕ E sgτ) = ϕ E ssτ) δτ n ) = si π τ n ) ϕ E sg0) = si nπ) = 0, falls n 0 st) und gt) sind orthogonal 4.4 Nach.0 gilt Gf) πf) n d n dt n gt) dt für n = 0 Gf) gt) dt mit gt) = ϕ E sst) Gf) = Sf) Sf) ϕ E ssτ) dτ 4.5 ϕ E sgτ) = ϕ E sgτ) = E s = ϕ E ss0), st)gt + τ)dt st)gt + τ)dt = E s E g Aufg. 4. E g = ϕ E gg0) ϕ E sgτ) s t)dt g t + τ)dt ϕ E ss0) ϕ E gg0) 4.6 Nach 4.9 gilt φ E sgf) = S f) Gf) φ E sg0) = S 0) G0) = Außerdem gilt: S0) = st)dt, G0) = gt)dt ϕ E sgτ)dτ

36 36 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 Da st) reell ist, folgt S 0) = S0) φ E sg0) = ϕ E sgτ)dτ = st)dt gt)dt = S0) G0) 4.7 ut) = st) ± gt) ϕ E uuτ) = u τ) uτ) = [s τ) ± g τ)] [sτ) ± gτ)] = ϕ E ssτ) + ϕ E ggτ) ± ϕ E sgτ) + ϕ E gsτ)) E u = ϕ E uu0) = ϕ E ss0) + ϕ E gg0) ± ϕ E sg0) + ϕ E gs0)) = E s + E g ± ϕ E sg0) E u = E s + E g für ϕ E sg0) = ϕ E ssτ) = s τ) sτ) = sτ) s τ) ϕ E ssm) = sm) s m) = sn)sn + m) Lösung siehe Aufgabe 3.3 n= 4.9 Beispiel: M = sn) = δn) δn ) ϕ E ssm) = s m) sm) = [δ m) δ m )] [δm) δm )] = [δm) δm + )] [δm) δm )] = δm) δm ) δm + ) E = s n) = M = n=

37 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel Nach 4.36) gilt: ϕ E ssdm) = M n=0 s d n) s d n + m), für m = 0,..., M 4. a) s 0 n) = s n) = s n) = s 3 n) = orthogonal, da M n=0 s i n)s j n) = 0 für i j evident, da bei jedem Paar genau die Hälfte der Elemente vorzeichengleich ist. b) s 0 n) s n) = s 0 n) s n) = s n) s n) = s 0 n) s n) s n) = Anzahl der Walsh-Folgen = M. Die Produktfolgen sind orthogonal, da [s i n) s j n)] [s i n) s k n)] und mit s j n) s i n) = M n=0 M = n=0 s j n) s k n) für j k. Ersetzt man die Folgenelemente ± durch positive bzw. negative Rechteckimpulse, dann erhält man die Walsh-Funktionen nach Abb. 7.4a. Die durch die Folgenelemente gebildeten orthogonalen Matrizen der Ordnung M werden auch Hadamard- Matrizen genannt. Hadamard-Matrizen existieren also für alle

38 38 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 Ordnungen M = r, weiter auch für sehr viele Ordnungen M = 4a a =,, 3...). Die zugeordneten Funktionen werden daher auch Hadamard-Walsh-Folgen bzw. -Funktionen genannt Lüke, 99). Kapitel 5 5. st) = rectt) = ε ) t + ) ε t ) ) gt) = h ε t + hε t = + π Si [ )] { πf g t + + π Si [ )]} πf g t = π Si [ )] πf g t + π Si [ )] πf g t 5. ) f 5.3 H HP f) = rect = H P t) f g ht) = δt) f g siπf g t) = δt) h P t)

39 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 39 h ε t) = εt) π Siπf gt) = εt) h εp t) Blockschaltbild eines idealen Hochpasses: 5.4 Bestimmung von t 0 für das Rechtecksignal: ) t st) = rect Sf) = t 0 siπft 0 ) t 0 Sf g ) S0) S0) < 0, 0 siπf gt 0 ) < 0, 0 ) Mit six) = sin x x ) x x3 für x ergibt sich: x 6 π f g t 0 6 < 0, 0 t 0 < 9, 49 µs Für den Dreieckimpuls st) = Λ ) t st) = Λ t 0 / ) t ergibt sich: t 0 / Sf) = t 0 si πf g t 0 /) aus ) si πf g t 0 /) < 0, 0 bzw. si πf g t 0 /) > 0, 99 π f g t < 0, 99 t 0 < 7, 6 µs 5.5 a) Hf) = / + f/f 0 ) n Hf 0 ) = / b) Dämpfungsmaß: af 0 ) = 0 lg Hf 0 ) = 3 db ) n f lim = n f 0 0 f < f 0 f = f 0 f > f 0 somit f < f 0 Hf) = / f = f 0 0 f > f 0 = rect f f 0 ) bis auf Nullfunktionen bei ±f 0

40 40 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 c) mit = RC in.3a) Hf) = + πfrc) n =, f 0 = πrc af)/0 db d) af) = 0 lg Hf) db Hf) = 0 H0, 8f 0 ) = [ + 0, 8) n ] / > 0, 89 n > 3, 08 n = Für f A f B s. Aufgabe.6) Mit der Skizze ergibt sich: f = f A + f B ) f = f B f A ) f B = f + f und f A = f f A B f A = AB = /f A = /f f ) [ )] ) f f Hf) = rect rect f f f f f + f Mit f = f f und f g = f + f ) ergibt sich: [ )] ) f f Hf) = rect rect ht) = f f f g = siπf t) f g siπf g t)

41 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel ht) = δt) + δt ) Hf) = + e jπf = e jπf cosπf ) Hf) = cosπf ) { ±π für cosπf ) < 0 ϕf) = πf + 0 sonst af) = 0 lg Hf) db = 0 lg cosπf ) db Phasensprünge des Phasenspektrums ϕf) betragen ± π. 5.8 Hf) = + m f ) ) f rect f g f g oder umgeformt: Hf) = + m) rect ) ) f f g m Λ f f g ht) = + m)f g siπf g t) mf g si πf g t) Mit = ergibt sich für die Echoamplituden: f g hn ) = [ + m) siπn) m π )] si n 5.9 Blockschaltbild des Übertragungssystems: ht) = [ δt + ) + δt) + δt )] si π t ) Hf) = [ j sinπ f)] rectf ) Hf) = + sin π f) rectf ) ) sinπ f) ϕf) = arctan = arctan[sinπ f)]

42 4 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel a) h 0 t) = si ) πt πt cos und h = a si π t ) ) πt πt d dt h 0t) = sin ) π πt ) ) π t d dt h cos π t sin π t t) = a π t für t = folgt h 0 ) = und h ) = a mit h 0 )! = h ) ergibt sich: a =. b) st) = 0, 5δt + ) + δt) + 0, 5δt ) ) ) π 5. ht) = Re{h t)e jπf0t } = Re{j siπt) e j0πt } = siπt) sin0πt) [ j Hf) = rectf) δf 0) j ] δf + 0) = H f f 0 ) + H f f 0 ) = j rectf 0) j rectf + 0)

43 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel Es gilt: Hf) = H f f 0 ) + H f f 0 ) wobei H f) = 0 f < f 0 ) f + f / H f) = [Hf) εf)] δf + f 0 ) = rect f h t) = f siπf t) e jπf t h r t) = Re{h t)} = f siπf t) cosπf t) h i t) = Im{h t)} = f siπf t) sinπf t) ht) = Re{f siπf t)e jπf t e jπf0t [ = f siπf t) cos π f 0 f ) ] t.

44 44 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 { ) } ) t t 5.3 st) = Re rect e jπ00/ )t = rect cos 00 πt ) [ Sf) = siπf ) δ f + 00 ) + δ f 00 )] = si[πf + 00)] + si[πf 00)] 5.4 ES gilt: st) = Re{s t)e jπf0t } für reelle BP-Signale, wobei s + t) = s t) e jπf0t S + f) = S f f 0 ) Mit Bedingung 5.3) S f) = 0 für f f 0 ergibt sich: S + f) = 0 für f 0 Für das äquivalente iefpassamplitudendichtespektrum gilt: S f) = [Sf) εf)] δf + f 0 ) S + f) = S f f 0 ) = Sf) εf) mit εf) δt) + j ergibt sich: πt ) s + t) = st) + j πt st) = st) + jŝt)

45 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel s t) = st) sinπf 0 t) [ ] S f) = Sf) j δf + f 0) j δf f 0) Mit Sf) = S f f 0 ) + S f f 0 ) 5.30) Durch anschließende iefpassfilterung fallen die Spektren bei ± f 0 weg, so daß folgt: j 4 S f) + j 4 S f) j 4 s t) + j 4 s t) = j 4 [s t) s t)] = s it) in 5.5) f 0 = 0 einsetzen [ st) = s n ) si π t n ] n= mit = f vergl. mit 3.8)! 5.8 Da mit gt) = s t) + s t) auch für die äquivalenten P-Signale gilt: g t) = s t) + s t), ergibt sich: g t) = g t) g t) = [s t) + s t)] [s t) + s t)] = s t) + s t) + s t) s t) + s t) s t) = s t) + s t) + Re{s t) s t)} = s t) + s t) + s t) s t) cosθ Θ ) 5.9 Idee: Man bestimme die äquivalenten iefpassstoßantworten zu h t) und h t) und berechne g t) und g t) als Funktion der entsprechenden äquivalenten iefpasssignale. h t) = Re{h r t) e jπf0t } h t) = h r t) h t) = Re{ jh r t) e jπf0t } h t) = jh r t) g t) = Re{g t) e jπf0t } ebenso: = Re{[s t) h t)] e jπf0t } = Re{[s t) h r t)] e jπf0t }

46 46 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 g t) = Re {s t) [ jh r t)]} e jπf0t = Re{[ js t) h r t)] e jπf0t } = Im{[s t) h r t)] e jπf0t }, da Re{ jz} = Im{z}. gt) = g t) + g t) = [s t) h r t)] e jπf0t = s t) h r t) = g t) Für t = 0 gilt: g 0) = Re{s t) h r t)} t=0 = Re{g t)} t=0 g 0) = Im{s t) h r t)} t=0 = Im{g t)} t=0 5.0 h k t) = [ ) ] t f siπf t) rect cosπf 0 t) δt t 0 ) t 0 H k f) = { ) } f rect [t 0 siπt 0 f)] [δf + f 0 ) + δf f 0 )] f e jπt0f 5. s t) Sf) Sf) damit verdoppelt sich die Grenzfrequenz s n t) Sf) Sf)... Sf) damit wird die Grenzfrequenz n mal so groß. Ist st) ein ideales Bandpaßsignal, so gilt: st) = f siπf t) cosπf 0 t) ) Sf) = rect f f [δf + f 0 ) + δf f 0 )] s t) = f si πf t) [ + cos4πf 0 t)] ) Sf) Sf) = f Λ f f [ δf) + δf f 0) + δf + f 0) ] beziehunsweise:

47 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel ) H ap f) = rect f f g n= δf nf ) h ap t) = f g siπf g t) f = f g n= h P n) = f g siπf g n) n= ) δ t n f siπf g n)δt n ) mit f = H ahp f) = H ap f) h ahp t) = δt) h ap t) h HP n) = δn) f g siπf g n) 5.3 a)

48 48 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 b) H a f) = [jπf rectf)] δf n) n= h a t) = mit [ ] d dt siπt) n= δt n) = π t cosπt) π sinπt) π t = n= h0) = d dt siπt) t=0 = n= δt n) πn cosπn) sinπn) πn δt n) / / H a f)df = 0 0 für n = 0 h a t) = cosπn) δt n) für n 0 n= n 0 für n = 0 hn) = cosπn) = )n für n 0 n n c) h 0 = δn + ) δn ) H 0 f) = j sinπf) also Näherung an H a f) für f s. Abbildung) ) f 5.4 Hf) = rect f g ht) = f g siπf g t) Die erste Nullstelle liegt bei t 0 = f g. Die Anzahl der diskreten Werte zwischen Hauptmaximum bei t = 0 und. Nulldurchgang bei t 0 = f g bei gegebener Rate r beträgt: N = t 0 /r = r f g a) N = 5 b) N = 00

49 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 49 f > f g und f < r f g = f g Kapitel 6 6. Scharmittelwerte: E {st )} = lim M M M k st ) k= a) Amplitudenwert durch Münze festgelegt Prob[0 V] = Prob[ V] = / E {st )} = 0 V + V = V E { s t ) } = 0 V + 4 V = V E { s 3 t ) } = 0 V3 + 8 V3 = 4 V 3 E {s0) st )} = E { s t ) }, da Werte der Gleichspannung für alle Zeiten konstant stationärer Prozeß b) Zeitmittelwert: k st) = lim k st)dt ) a k = 0 alle Zeitmittelwerte 0 ) a k = V st) = V s t) = 4 V s 3 t) = 8 V 3 Schar- und Zeitmittelwerte stimmen nicht überein nicht ergodisch 6. a) Bei einem ergodischen Prozeß sind die Zeitmittelwerte für alle Musterfunktionen untereinander gleich, wenn die Mittelwertbildung über erfolgt. Beim hier definierten Kurzzeitmittelwert ist dies i. a. nicht der Fall, weshalb m ) eine Zufallsgröße ist.

50 50 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 b) E {m )} = lim M M = = 0 0 [ M k= lim M M 0 k st)dt ] M k st) dt k= E {st)} dt = E {st)} 0 dt = E {st)} = st), da st) ergodisch 6.3 ) Gl. 6.) : { } E a i s i t i ) i = lim M [ M [ ] M a k i s i t i ) k= = ] M a i lim k s i t i ) = a i E {s i t i )} M M i k= i ) µ uv τ) = E {[ut) E {ut)}] [vt + τ) E {vt)}]} i = E {ut) vt + τ)} E {ut) E {vt)}} E {E {ut)} vt + τ)} + E {ut)} E {vt)} = ϕ uv τ) E {ut)} E {vt)}, da E {vt + τ)} = E {vt)} stationär) 6.4 P = E { [st) st + τ)] } = E { s t) } + E { s t + τ) } E {st)st + τ)} = P + P ϕ ss τ) ϕ ss τ) = P P / 6.5 n e ) = = ) τ / nτ)dτ = nτ) rect dτ 0 [ )] t / nt) rect t= n e t) ist stationär für jede Zeitkonstante E { n et) } = E { n e ) } = P = [ϕ nn τ) ϕ E hhτ)] τ=0 = [ τ )] N 0 Λ τ=0 P = N 0 = Augenblicksleistung am Integratorausgang zum Zeitpunkt Ausgansprozeß des Integrators ist nicht stationär, da Augenblicksleistung nicht konstant.

51 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel Filter-Stoßantwort: ht) = εt)e t/ Übergangsfunktion: Hf) = + jπ f Hf) = + π f) Autokorrelationsfunktion: ϕ E hhτ) = e τ / s. Abschn. 4.4) Weißes Rauschen: φ nn f) = N 0 ϕ nn τ) = N 0 δτ) a) φ gg f) = φ nn f) Hf) = N 0 + π f) N 0 P g = φ gg f)df = + π f) df = N 0 [ ] b) ϕ gg τ) = ϕ nn τ) ϕ E hhτ) = [N 0 δτ)] e τ / P g = ϕ gg 0) = N 0 = N 0 e τ / 6.7 a) ϕ gf τ) = E {gt) ft + τ)} = E {[st) h t)] [st + τ) h t)]} = E h Θ)st Θ)dΘ h µ)st + τ µ)dµ = E {st Θ)st + τ µ)} h Θ)h µ)dθdµ Substitution: µ = ν + Θ, dµ = dν = E {st Θ)st + τ Θ ν)} h Θ)h Θ + ν)dθdν = ϕ ss τ ν) h Θ)h Θ + ν)dθ dν = ϕ ss τ ν)ϕ E h h ν)dν = ϕ ss τ) ϕ E h h τ) q.e.d. b) Orthogonal, d. h. ϕ E h h 0) = 0 ϕ gf 0) = [ϕ ss τ) ϕ E h h τ)] τ=0 = [N 0 δτ) ϕ E h h τ)] τ=0 = N 0 ϕ E h h 0) = 0 c) gt) und ft) unkorreliert µ gf τ) = ϕ gf τ) m g m f = 0 µ gf τ) = ϕ gf τ) m g m f = [ϕ ss τ) ϕ E h h τ)] m sh 0) H 0)

52 5 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 Annahme: st) weißes Rauschen m s = 0 und ϕ ss τ) = N 0 δτ) µ gf τ) = N 0 ϕ E h h τ) =! 0 ϕ E h h τ) = 0 für alle τ bzw. H f) H f) = 0 für alle f Filter überlappungsfrei: H f) H f) = mit h t) = δt), h t) = ht) folgt: ϕ gf τ) = ϕ ss τ) ϕ E h h τ) siehe Aufgabe 6.7a) φ gf f) = φ ss f)h f) H f) = N 0 Hf) = N 0 Hf) ϕ gf τ) = N 0 hτ) ) f 6.9 Hf) = rect [δf f 0 ) + δf + f 0 )] Hf) = Hf) f a) φ gg f) = φ ss f) Hf) = N 0 Hf) ) f = N 0 rect [δf f 0 ) + δf + f 0 )] b) m g = N 0 H0) = 0 E { g t) } = f φ gg f)df = N 0 f σ g = E { g t) } m g = N 0 f c) φ gg f) φ gg τ) = N 0 hτ) = N 0 f siπf τ) cosπf 0 τ) d) siehe Aufgabe 6.8 ϕ gs τ) = N 0 hτ) = ϕ gg τ) = N 0 f siπf τ) cosπf 0 τ) e) ϕ gf τ) = ϕ ss τ) ϕ E h Ph BP τ) nach Aufgabe 6.7a φ gf f) = N 0 H Pf) H BP f) = 0 überlappungsfreie Filter!) ϕ gf τ) = 0 µ gf τ) = 0 gt) und ft) sind unkorreliert. 6.0 Rauschbandbreite f R von iefpassfiltern a) Leistung bei idealem Referenz-iefpass ) f φ RR f) = N 0 H R f) = N 0 H 0) rect f R P R = φ RR f)df = N 0 H 0) f R mit P nach 6.38) und P = P R

53 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 53 f R = b) RC-iefpass: Hf) = H0) = Hf) df/h 0)) + jπfrc Hf) df = / ) s. Abschn. 4.4) f R = = 4RC c) Bandpassfilter: [ f H RBP f) = Hf 0 ) rect P R = N 0 Hf 0 ) f R f R mit P nach 6.38) und P = P R f R = Hf) df/ Hf 0 ) ). )] [δf f 0 ) + δf + f 0 )] 6. Differentiator: Hf) = jπf s. Abschn..0) φ gg f) = Hf) φ ss f) = πf) φ ss f) ϕ gg τ) = d dτ ϕ ss τ) 6. p s x) = aλx) a) p s x)dx = a! = a = b) P s x) = x p s y)dy = x < x < P s x) = 0 x x < 0 P sx) = Λy)dy / p s y)dy = x / = x + 0, 5) x 0 x < P s x) = + p s y)dy = + / = x 0, 5) < x < P sx) = 4y + )dy x / 4y)dy

54 54 Musterlösungen zu den Aufgaben der Kapitel 8 c) E {st)} = E { s t) } = xp s x)dx = 0, x p s x)dx = da p s x) gerade! 0 x p s x)dx = = 4 = σ d) Prob[0 < st ) 0, 3] = P s 0, 3) P s 0) = 0, 4 e) / 0 x 4x)dx 6.3 φ ss f) = rectf) + δf) und φ gg f) = Λf) a) ϕ ss τ) = siπτ) + m s = ϕ ss ) = m s = ± P s = ϕ ss 0) = 3 σs = P s m s = ϕ gg τ) = si πτ) m g = ϕ gg ) = 0 σg = P g = ϕ gg 0) =, da m g = 0 b) k ft) = k gt) + k st) ϕ ff τ) = ϕ ss τ) + ϕ gg τ) + ϕ sg τ) + ϕ gs τ) siehe Aufgabe 6.4 Da st) und gt) unkorreliert ϕ gs τ) = ϕ sg τ) = m s m g = 0 [nach 6.86)] P f = ϕ ss 0) + ϕ gg 0) = P s + P g = 4 m f = m g + m s = ± σf = P f m f = ϕ ff τ) = ϕ ss τ) + ϕ gg τ) = + siπτ) + si πτ) φ ff f) = φ ss f) + φ gg f)

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