Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion. Kapitel 5

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1 Natürliche Eponential- und Logarithmusfunktion Kapitel

2 . Die natürliche Eponentialfunktion und ihre Ableitung 48 Arbeitsaufträge. Individuelle Lösungen Jahr in Sekunden in Sekunden in Sekunden Eponentiell (in Sekunden) Jahr 3. n ( + n ) 4 +! +! + 3! n!,0000,0000,00,000 3,3704,6667 4,444,7083,4883,767 6,6,78 7,46,783 8,68,783 9,8,783 0,937,783 00,7048, ,769, ,783,783

3 . Die natürliche Eponentialfunktion und ihre Ableitung L 6. DIN Länge Breite A6 4,87 cm 0, cm,70 A,0 cm 4,87 cm 3,0 A4 9,73 cm,0 cm 3,39 A3 4,04 cm 9,73 cm 3,74 e 4,87; e,0; e 9,73; e 4,04; ln 4,87; ln,0; ln 9,73; ln 4,04;,70 3,0; 3,39 3,74 DIN-A-Maße: Ein Rechteck, dessen Flächeninhalt m beträgt, hat die Länge und die Breite. Die Seiten sollen sich so verhalten, dass beim Halbieren das Seitenverhältnis erhalten bleibt. 0, 0, () = ; () : = : 0,; = 0, ; = 0, ; in () =,9 m; = 0,84 m DIN Länge Breite A0,9 m 0,84 m A 84, cm 9,46 cm A 9,46 cm 4,04 cm A3 4,04 cm 9,73 cm A4 9,73 cm,0 cm A,0 cm 4,87 cm A6 4,87 cm 0, cm 7. a) f(0) = : P (0 ) f() = e : Q ( e ) f () = e ; f (0) = ; f () = e t P : = + t ; P X t P : = t t P : = + t Q : = e + t ; Q X t Q : e = e + t ; t = e t Q : = e e tan ϕ = e + e ; ϕ 37,3 3

4 . Die natürliche Eponentialfunktion und ihre Ableitung 0 Q t P P t Q b) 0 e = ; = 0: P (0 ) f() = e: Q ( e) f () = e ; f (0) = 0; f () = e t Q t P : = 0 t Q : = e + t Q X t Q : e = e + t; t = e t Q : = e e tan ϕ = e; ϕ 79,6 Q P t P 8. G g S a) Schnittpunkt der Graphen und G g : e = e + ; : e + e = ; e, =, = ln 0,, = + ln 0, 4

5 . Die natürliche Eponentialfunktion und ihre Ableitung = (ln e + ln 0,) = 3 3 f ( ln e 3 ) = e ln e 3 = e ln 3 e S ( ln e 3 f () = e 3 e ) ln e 0,0 = 3 e,08 ; S ( 0,0,08); e ln e 3 f ( ln e 3 ) = 0,38 g () = e + g ( ln e 3 ) = e ( ln e 3 ) =,077 tan ϕ = 0,38; ϕ,00 tan ϕ =,007; ϕ 47,9 ϕ = ϕ ϕ 03 b) t A h: e = 0,; e = ; = 0 A (0 ) t B k: e + = ; e + = ; + = 0; = g( ) = B ( ) 9. tp l P P P (0 ) f () = e f (0) = ; m tp = ; m lp = t P : = + ; l P : = + Die Eckpunkte des Dreiecks sind S ( 0), E ( 0) und P ( ). Das Dreieck SEP ist gleichschenklig-rechtwinklig. A SEP = =. Größe der Innenwinkel: 4 ; 4 und V (ln a a) (e = a; = ln a) I ( ln a a) (e = a; = ln a) Zeichnung für a = : E ( ln a a ) (e = a ; = ln a) R (ln a a ) (e = a ; = ln a; = ln a) Das Viereck VIER ist ein Rechteck. G g Gf Länge seiner Seiten: I V ln a bzw. a a. Die Diagonalen schneiden einander auf der -Achse. A = ln a ( a a ) U = ln a + ( a a ) = 4 ln a + ( a a ) p q E R

6 . Die natürliche Eponentialfunktion und ihre Ableitung. P I A G g a P X ; P (a e a ) A X G g ; A (a e a ) Die Graphen und G g schneiden einander im Punkt I (0 ). A PIA = (ea e a ) a = a (ea e a ) a = P ( e ); A ( e) P I = 4 + (e ) 6,69478 IA = 4 + (e ),63676 A P = (e e) = e e 4,67077 U 4,00 Der größte Innenwinkel hat den Scheitel A g () = e ; g () = e; tan ϕ = e; ϕ 3,66 PAI ,66 43,7. s A G g B C 0 a) -Achsenpunkt(e) von : e 0, = 0 keine Lösung von G g : 4 3e 0, = 0 e 0, = 4 3 ; 0, = ln 4 3 ; = ln 4 = ln = ln 9 6 0,7 S (ln 9 6 0) -Achsenpunkt von : T (0 ) = B von G g : T (0 ) = B gemeinsame Punkte von und G g : e 0, = 4 3e 0, ; e 0, (e 0, ) 4e 0, + 3 = 0; (e 0, )(e 0, 3) = 0; e 0, = ; = 0: B (0 ) e 0, = 3; 0, = ln 3; = ln 3 = ln 9 f ( ln 3) = e 0, ln 3 = e ln 3 = 3 A (ln 9 3) 6

7 . Die natürliche Eponentialfunktion und ihre Ableitung b) S (a e 0,a ), T (a 4 e 0,a ) für 0 < a < ln 9 ist 4 3e 0,a > e 0,a ST = d(a) = 4 3e 0,a e 0,a d (a) = 3e 0,a ( 0,) 0, e 0,a =,e 0,a 0,e 0,a d (a) =, e 0,a ( 0,) 0,e 0,a 0, = 0,7 e 0,a 0,e 0,a d (a) = 0:,e 0,a 0,e 0,a = 0 : e 0,a, 0,e a = 0; e a =, 0, = 3; a = ln 3 d (a) ist für jeden zulässigen Wert von a negativ. Die Strecke [ST] ist für a = ln 3 maimal. d ma = 4 3e 0,ln 3 e 0,ln 3 = = 4 3 0,4 3. a) () Da f( ) = ( e ) = ( e ) = ( e e ) f() ist, ist G f nicht smmetrisch zur -Achse. () Da f( ) f() ist, ist nicht punktmmetrisch zum Ursprung [vgl. ()]. (3) -Achsenpunkte: f() = (e ) = 0 e = ; = 0; S (0 0) = (0 0) -Achsenpunkt: f(0) = 0: (0 0) (4) Etrempunkte: f () = (e ) e = (e e ) f () = (e e ) f () = 0; e = ; = 0 f (0) = ( ) = > 0 Der Ursprung ist Tiefpunkt des Graphen. () lim (e ) = lim (e ) = hat die Gerade a: = als waagrechte Asmptote. 3 a b) () Da f( ) = e (e + ) = + e e f() ist, ist G f nicht achsensmmetrisch zur -Achse. () Da f( ) f() ist, ist nicht punktsmmetrisch zum Ursprung. (3) -Achsenpunkte: e (e ) = 0; e > 0 e = ; = ln : S (ln 0) -Achsenpunkt: f(0) = e 0 (e 0 ) = : T (0 ) (4) Etrempunkte: f () = e (e ) + e e = e (e + e ) = e (e ) = e (e ) f () = e (e ) + e e = e (e + e ) = e (e ) f () = 0: e (e ) = 0; e > 0; e = 0: = 0 f (0) = ( ) = > 0. hat den Tiefpunkt T (0 ). 7

8 . Die natürliche Eponentialfunktion und ihre Ableitung () lim e (e ) = ; lim e (e ) = 0 Die -Achse ist (waagrechte) Asmptote von. c) () Da f( ) = e e + = e + e f() ist, ist G f nicht smmetrisch zur -Achse. () Da f( ) f() ist, ist nicht punktsmmetrisch zum Ursprung. (3) -Achsenpunkt(e): e e + = 0; e = 0; e = ; = ln ; S (ln 0) -Achsenpunkt: f(0) = + = ; T (0 ) (4) Etrempunkte: f () = (e + ) e (e ) e (e + ) = e + e e + e (e + ) = 3e (e + ) Für jeden Wert von X D f gilt f () > 0: besitzt keinen Etrempunkt. () lim e e + = lim e e + = ; lim e + = = e besitzt zwei waagrechte Asmptoten: a : = und a : = a a e d) () und () f( ) = + e = e e + = e = f() f() + e ist nicht achsensmmetrisch zur -Achse, jedoch punktsmmetrisch zum Ursprung. (3) -Achsenpunkt(e): e + e = 0; e = ; = 0; S (0 0) -Achsenpunkt: f(0) = 0: S (0 0) (4) Etrempunkte: f () = ( + e )( e ) ( e ) e ( + e ) = e ( e + e ) ( + e ) = 4e ( + e ) < 0 für jeden Wert von X D f : besitzt keinen Etrempunkt. () lim e + e = lim e = ; lim e = e + + e = besitzt zwei waagrechte Asmptoten: a : = und a : =. 8

9 . Die natürliche Eponentialfunktion und ihre Ableitung a a. a) -Achsenpunkt(e): ( 3) 3 = 0; 3 > 0 = 3; = 3 ; = 3 ; S ( 3 0); S ( 3 0) -Achsenpunkt: f(0) = ( 3)3 0 = 3; T (0 3) b) f () = 3 + ( 3) 3 ln 3 = 3 ( ln 3 + ln 3) = 0 f () = 0 ln 3 + ln 3 = 0 = ± 4 + (ln 3) ln 3 = ± + 3(ln 3) ln 3 = ln (ln 3) ),04 = + 3(ln 3) ),87 ln 3 ( steigt im Intervall I = ] ;,87[ sowie im Intervall I 3 = ],04 ; + [; fällt im Intervall I = ],87 ;,04[. hat einen Hochpunkt H (,87 0,) und einen Tiefpunkt T (,04 6,0). < < = < < = < < f () f () > 0 f () = 0 f () < 0 f () = 0 f () > 0 c) 9

10 . Die natürliche Eponentialfunktion und ihre Ableitung 4 8. a) f() = 9e ; f(0) = 9 0 = 0: 0 X lim (9e ) = 0 lim (9e ) = c) f () = 9e + 9e ( ) = 9e ( ); f () = 9e ( )( ) + 9e ( ) = 9e ( + ) = 9e ( ) d) f () = 0; = ; f() = 9e = 9 e 3,3 f () = 9e < 0 besitzt den Hochpunkt H ( 9 e ). T t p I P A S e) f() = 8e = 8 e,44 P ( 8 e ) ; f () = 9 e ( ) = 9 e t P : = 9 e + t; P X t P : 8 e = 8 e + t; t = 36 e t P : = 9 e + 36 e Schnittpunkt von t P mit der -Achse: T ( 0 36 e ) Schnittpunkt von t p mit der -Achse: 9 e + 36 = 0; = 0 = 4 S (4 0) e A ST = 4 36 e = 7 e 9,74 A TIP = 36 e 8 e = 8 e = 4 A ST Das Dreieck TIP nimmt % der Fläche des Dreiecks ST ein. f) A LA = A(s) = s f(s) = s 9se s = 9 s e s A (s) = 9se s + 9 s e s ( ) = 9 (s s )e s = 9 s s( s)e A (s) = 9 ( s)e s + 9 (s s )e s ( ) = 9 ( s s + s )e s = 9 ( 4s + s )e s A (s) = 0: s = 0, s = A (0) = 9 > 0; A () = 9 ( ) e = 9e < 0 Für s = wird der Flächeninhalt dieses Dreiecks maimal. A LA = (9 e ) = 8 e,44 4( ) 9. a) f(0) = = 0; X G f. f() = 4e 4e ; f () = 4e 4 ( )e = 4e + 8e f (0) = = 4; tan ϕ = 4; ϕ 76,0 0

11 . Die natürliche Eponentialfunktion und ihre Ableitung b) f () = 4e + 8e = 8 4e e = 4( e ) e f () = 0; e = 0; = ln ; f(ln ) = 4 4 = < < ln = ln ln < < + f () f () > 0 f () = 0 f () < 0 Vorzeichenwechsel von f () von + nach c) lim 4(e ) e = lim 4 ( e = 0: + + e ) steigt streng Die -Achse ist horizontale Asmptote von. d) hat einen Hochpunkt H (ln ) fällt streng e) f*: f*() = 4(e ) e + = 4e 4 + e e = (e + e ) e ; D f* = Der Graph G g einer Funktion g: g(); D g = D g ma wird in Richtung der -Achse so verschoben, dass er durch den Punkt S (0 t) verläuft. g*: g*() = g() + t 0. a) h(0) = 80 = 3,0; k = 9 + k 80 h() = + 9e = 0,0; + a 9e a = 9,0; e a = 8,0 ; a = 0, ln 8, ,40 80 h() = + 9e 0,40 b) (in Wochen) Höhe h (in cm) 3,0 0,0 86, cm c) h () bedeutet die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanzen (in ), und Woche h () = 0 liefert den Zeitpunkt, zu dem die Wachstumsgeschwindigkeit am größten (oder am kleinsten) ist. 0, ( 0,40)e d) h () = ( + 9e 0,40 ) = 448e 0,40 ( + 9e 0,40 ) 4, e 03 0,40 ( + 9e 0,40 ) ; D h = ]0 ; 30[ h () = ( + 9e 0,40 ) ( 448 0,40e 0,40 0,40) 448e 0,40 ( + 9e 0,40 ) ( 9 0,40e 0,40 ) ( + 9e 0,40 ) = 4 = ( + 9e 0,40 ) ( 448 0,40e 0,40 ) 448e 0,40 ( 9 0,40e 0,40 ) ( + 9e 0,40 ) = 3 = ( 448 0,40e 0,40 ) ( + 9e 0,40 ) ( + 3 9e 0,40 8e 0,40 ) = ( 448 0,40e 0,40 ) ( + 9e 0,40 ) ( 3 9e 0,40 ); D h = ]0 ; 30[ h () = 0: 9e 0,40 = ; e 0,40 0,069; 0,40 ln 0,069; 0 X D h. Nach etwa 0 Wochen ist die Wachstumsgeschwindigkeit am größten, nämlich etwa cm 8 ( Woche ) ; ganz zu Anfang ist sie erst etwa, cm ( Woche ) und gegen Ende nur noch cm etwa 0,03 ( Woche ).

12 . Die Logarithmusfunktion und ihre Ableitung 6 Arbeitsaufträge 3. a) b) g() = e ; g () = e ; g ( 0 ) = e 0 = tan α; f ( 0 ) = tan β = tan (90 α) = tan α = e = 0 e ln 0 also hat f: f() = ln ; D f = = ; 0 +, die Abbleitung f : f () = ; D f = +. 9 L 6. -Achsenpunkt: ( ln ) = 0; ln = ; = e S (e 0) f () = ( ln ) ( ) = ( ln ) 0 < < e = e e < < + f () f () < 0 f () = 0 f () > 0 nimmt streng f ab Vorzeichenwechsel von f fällt streng von nach + Die -Achse ist senkrechte Asmptote: = 0. hat einen Tiefpunkt T (e 0) nimmt streng zu steigt streng

13 . Die Logarithmusfunktion und ihre Ableitung 9. a) f 0, () = ln ( + 0,); f 0, (0) = ln 0,,4 f () = ln ( + ); f (0) = ln = 0 f () = ln ( + 4); f (0) = ln 4,4 0, oberer Graph mittlerer Graph unterer Graph b) Allgmein: f a () = ln ( + a ); a Z {0,; ; } f a ( ) = ( ) ln [( ) + a ] = = ln ( + a ) = f a (): Jeder der drei Graphen 0,, und ist somit smmetrisch zur -Achse. c) f 0, () = + 0, = ( + 0, ) = + 0, = ( 0,7) = ( 3 )( + 3 ) + 0, + 0, f 0, () = 0; = 0; = 3 ; 3 = 3 f 0, (0) = ln 4 = ln 4; E (0 ln 4) f 0, ( ± 3 ) = 3 ln = ; E ( ) ; E 3 ( ) E und E 3 sind die globalen Tiefpunkte von 0, ; 0, besitzt keinen globalen Hochpunkt. f () = + = ( + ) + = 3 + ; f () = 0: = 0; f (0) = 0; E 4 (0 0) besitzt den globalen Tiefpunkt E 4, aber keinen globalen Hochpunkt. f () = + 4 = ( + 4 ) = ( + 3) ; f () = 0: = 0; + 3 0; f(0) = ln 4; E (0 ln 4) besitzt den globalen Tiefpunkt E, aber keinen globalen Hochpunkt. Monotonietabellen: f 0, () = ln ( + 0,) 60 < < 3 = 3 3 < < 0 = 0 0 < < 3 = 3 3 < < f 0, () f 0, () < 0 f 0, () = 0 f 0, () > 0 f 0, () = 0 f 0, () < 0 f 0, () = 0 f 0, () > 0 Vorzeichenwechsel von f 0, () von nach + von + nach von nach + fällt streng hat einen Tiefpunkt T ( 3 3 = E 3 4 ) steigt streng hat einen Hochpunkt H (0 ln 4) = E fällt streng hat einen Tiefpunkt T ( 3 3 = E 4 ) steigt streng f () = ln ( + ) < < 0 = 0 0 < < f () f () < 0 f () = 0 f () > 0 Vorzeichen wechsel von f () von nach + fällt streng hat einen Tiefpunkt T 3 (0 0) = E 4 steigt streng 3

14 . Die Logarithmusfunktion und ihre Ableitung f () = ln ( + 4) < < 0 = 0 0 < < + f () f () < 0 f () = 0 f () > 0 Vorzeichen wechsel von f () von nach + 4 fällt streng hat einen Tiefpunkt steigt streng T 4 (0 ln 4) = E d) f 0, () f () = ln ( + 0,) + ln ( + ) = ln ( + ) ln ( + 0,) > 0, da für jeden Wert von Z stets + > + 0, ist. Also liegt 0, überall oberhalb von. f () f () = ln ( + ) + ln ( + 4) = = ln ( + 4) ln ( + ) > 0, da für jeden Wert von Z stets + 4 > + ist. Also liegt überall oberhalb von. d() = ln ( + ) + ln ( + 4) = ln ( + 4) ln ( + ) = ln ist die Entfernung übereinander liegender Punkte von und. lim d() = lim ( ln ) ( = lim ln = ln = 0: ± ± ± ) Die Graphen nähern sich einander, ohne einander zu berühren. 0. a) -Achsenpunkt(e): ln ( + 4 ) ln = 0; ln ( = ; + 4 = 0; ( ) = 0; = S ( 0) Etrempunkte: 4 ) = ln ; f () = + = 4 4 ( + = 4 4 ) f () = 0; 4 = 0; = Z D f; = z D f Für 0 < < gilt stets f () < 0; für hat den Tiefpunkt S ( 0). b) lim [ ln + 4 ( + 4 ) ; < < + gilt stets f () > 0: ] = + : Dieser Grenzwert eistiert nicht und die -Achse ist 0+ senkrechte Asemptote von. lim [ ln + 4 ] = lim [ ln ( + 4 ) ] = : Dieser Grenzwert eistiert ebenfalls nicht. lim [ ln ( + 4 ) ln ln ] = lim [ ln ( + 4 ) ln ( ) ] = lim [ ln + 4 ] = lim [ ln ( + 4 ) ] = ln = 0: kommt für hinreichend große Werte von dem Graphen G g der + Funktion g: g() = ln ; D g =, beliebig nahe. 4

15 . Die Logarithmusfunktion und ihre Ableitung c) G h G g d) h() = ln () = ln + ln : G h geht aus G g durch Verschieben von G g in Richtung der -Achse um ln nach oben hervor. Schnittpunkt S von G h und : ln ( + 4 ) ln = ln (); ln ( + = ln () + ln ; 4 ) ln ( + 4 ) = ln ( ); + 4 = ; = 4, = ± = Z D f = D h ; = z D f; S ( 0) f ( ) = 0; h () = ; h ( ) = tan ϕ = ; ϕ 63,4 e) Skizze: P A r R Der Rotationskörper ist ein gerader Kreiszlinder, aus dem ein gerader Kreiskegel herausgefräst ist. r Z = ln ; h Z = ; r K = ln ; h K = 0,; s K = (ln ) + 0, V = r Z π h z 3 r K π h K = = (ln ) π 3 (ln ) π 0, = = (ln ) π ( 6 ) = 6 π (ln ),6 A = r Z π h Z + r Z π + r K π s K = = ln π + (ln ) π + (ln ) π (ln ) + 0, = = π ln ( + ln + (ln ) + 0,) ) 7,73

16 Themenseite Wachstumsvorgänge modellieren 6. L Jahre Bestand S = Sättigungsmanko zu Beginn: = 00. Zuwachs nach Jahr: 6 Jahre Sättigungsmanko Zuwachs Bestand Nach Jahren sind 7 4,9% der Sättigungsgrenze erreicht B (t) = k B(t) [S B(t)] as B(t) = a + (S a)e Skt B (t) = 0 [a + (S a)e Skt ] as [(S a)e Skt ( Sk)] [a + (S a)e Skt ] = k as a + (S a)e [ S as Skt a + (S a)e ] Skt 4. S 3; a = 3 h(t) = + 30e = 3 3kt + 6 e 3kt Berechnung von k: t = : 3 h() = 8,8 = + 6 e 3k e 3k = 0,496 k = 0,0 Berechnung der Tabelle: h(t) = 3: ( + 6 e 0,7t 3 ) = + 6e 0,7t Zeit (in Wochen) Höhe (in cm) 4, 0,,6 9,6 3, 33, 34, 34,6 34,8 Das Wachstumsmodell gibt das wirkliche Wachstum gut wieder. 6

17 .3 Üben Festigen Vertiefen L 7. a) f () = e + ( + )e = e ( + 3) f () = 0: =, Monotonietabelle: < <, =,, < < + f () f () < 0 f () = 0 f () > 0 Vorzeichenwechsel von f () fällt streng von nach + hat einen Tiefpunkt T (,, ) steigt steng 64 T N b) f() = ( e ) f () = ( e ) e = e ( e ) f () = 0; e = ; = ln f(ln ) = ( ) = 0 Monotonietabelle: < < ln = ln ln < < + f () f () < 0 f () = 0 f () > 0 Vorzeichenwechsel von f () fällt streng von nach + hat einen Tiefpunkt T (ln e) steigt steng T 7

18 .3 Üben Festigen Vertiefen c) f() = (ln ) f () = (ln ) = (ln ) f () = 0: ln = ; = e f(e) = ( ) = 0 Monotonietabelle: < < e = e e < < + f () f () < 0 f () = 0 f () > 0 Vorzeichenwechsel von f () fällt streng von nach + hat einen Tiefpunkt T (e 0) steigt steng T d) f() = ln + f () = + = + + f () = 0; = 0 f(0) = 0 Monotonietabelle: < < 0 = 0 0 < < f () f () < 0 f () = 0 f () > 0 Vorzeichenwechsel von f () fällt streng von nach + hat einen Tiefpunkt T (0 0) steigt steng 8

19 .3 Üben Festigen Vertiefen 0. a) Nullstelle: f() = 0: = 0 b) f () = e + e ( ) = e e = e ( ) f () = 0: = 0 X D f ; = X D f ; f() = 4 Montonietabelle: 6 < < 0 = 0 0 < < = < < + f () f () < 0 f () = 0 f () > 0 f () = 0 f () < 0 Vorzeichenwechsel von f () fällt streng von nach + hat einen Tiefpunkt T (0 0) steigt steng von + nach hat einen Hochpunkt H ( 4) fällt streng T c) A TP = A(u) = u f(u) = u u e u = u3 e u A (u) = 3 u e u + u3 e u ( ) = u e u (3 u) A (u) = 0; u = 0 keine Lösung: A(0) = 0 u = 3 Für 0 < u < 3 gilt A (u) > 0; für 3 < u < + gilt A (u) < 0. A TP ist für a = 3 maimal. A TP ma = 7e = 3, e = 4,9663,0 lim ( e u3 e ) = lim ( e u 3u e ) = lim ( 3e u u e ) = lim ( 3e u e ) = 0 u u u u u. Für jeden Wert von X gilt stets f( ) = e ( ) = e = f(): Also ist achsensmmetrisch zur -Achse. a) lim e = 0: Also ist die -Achse Asmptote von. ± f () = e ; f () = e ( )e f () = e ( ) f () = 0: = 0; f(0) = e 0 = f (0) = e 0 ( 0) = < 0 hat den Hochpunkt H (0 ). Da außerdem für jeden Wert von X stets f() > 0 ist, gilt W f = ]0 ; ] b) ln 0,8 f( ln ) = F P A L 9

20 .3 Üben Festigen Vertiefen c) [A] [LF] Der Punkt M ( 0 ) halbiert sowohl [A] als auch [LF]; somit ist das Viereck LAF eine Raute. A LAF = A LF = ln = ln 0,83 F A M L. a) Da f(0) = e0 e 0 e 0 + e = 0 0 = 0 ist, verläuft durch den Ursprung. f () = (e + e )(e + e ) (e e )(e e ) (e + e ) = e + + e e + e (e + e ) = 4 (e + e ) f (0) = 4 = ; schneidet die -Achse unter einem 4 -Winkel. b) lim e e = lim e = e + e + e = lim e e = lim e e + e e + = = Gleichungen der beiden waagrechten Asmptoten: a : = und a : = 4 c) f () = ; für jeden Wert von X gilt f () > 0. (e + e ) f ist in ganz streng zunehmend. d) f( ) = e e = e e = f(): e + e e + e Also ist punktsmmetrisch zum Ursprung. e) f) Einer Drehung um 90 gegen den Uhrzeigersinn entspricht eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden w des I. und III. Quadranten mit anschließender Spiegelung an der -Achse.. Schritt. an w gespiegelt: * und werden vertauscht: G f = e e e + e 0

21 .3 Üben Festigen Vertiefen. Schritt Diese Gleichung wird nach aufgelöst. e + e = e e e e + = e e ( ) = e = + = ln ( + ) = ln ( + ) f () = ln ( + ) Es muss gelten + > 0 (I) + > 0 > 0 > <, also X ] ; [ (II) + < 0 < 0; < > (Widerspruch) Also: D f = ] ; [ 3. Schritt wird an der -Achse gespiegelt: wird durch ersetzt. f*: f*() = ln ( + ) ; D f* = D f = ] ; [ P*( ) P ( ) ( alt ) ( neu ) durch + ersetzen durch + ersetzen = e e e + e Nach auflösen: e e = e e ; e ( ) = e + e ; e ( + ) = e ( ); : e e ( + ) = ; e = + ; = ln ( + ) ; = ln ( + ) 3. a) vgl. auch. f) + > 0 I. + > 0 > 0; > < also X ] ; [ II. + < 0 < 0 < > (Widerspruch) Also ist D f ma = ] ; [ b) lim ( ln + ) = + lim ln ( + ) = + hat zwei senkrechte Asmptoten: a : = und a : = c) f(0) = ln = ln = 0: verläuft durch den Ursprung.

22 .3 Üben Festigen Vertiefen f() = ln ( + ) ln ( ); f () = + = + + ( + )( ) = f (0) = = ; tan ϕ = ; ϕ 63,4 d) f () = > 0 für jeden Wert von X ] ; [ f ist in D f ma streng zunehmend. e) f( ) = ln + = ln [ ( + ) ] = ln + = f(); also ist punktsmmetrisch zum Ursprung. f) S R 66 g) f( R ) = ; ln + R = ; + R = e; + R R = e e R ; R R + e R = e ; R (e + ) = e ; R = e e + ; e SR = + R = e + ; f*: f*() = f( + SR ) = ln + + e 3e + e + = ln e + + e e ; e + e + D f* = ] SR ; SR [ = ] 3e e + ; e + e + [ P ( ) X * P*( ) X * Gleichung von : = e ; durch + und durch ersetzen: = e = ln ; = ln f*: f*() = ln ; D f* = +

23 .3 Üben Festigen Vertiefen. a) f : f () = e +, D f = b) f : f () = e + ; D f = Gf c) f 3 : f 3 () = e ; D f3 = d) f 4 : f 4 () = e + ; D f4 = 4 3 Hinweis zu d): wird zuerst an der -Achse gespiegelt ( wird durch ersetzt); dann wird der neue Graph um in Richtung der -Achse nach oben verschoben. e) f : f () = e ; D f = f) f 6 : f 6 () = e ; D f6 = 6 3

24 .3 Üben Festigen Vertiefen 6. a) f : f () = ln + ; D f = + b) f : f () = ln ( +); D f = ] ; + [ c) f 3 : f 3 () = ln ; D f3 = + 3 d) f 4 : f 4 () = ln ( ); D f4 = Gf4 4

25 .3 Üben Festigen Vertiefen e) f : f () = ln ( + ); D f = ] ; [ Hinweis: wird zuerst an der -Achse gespiegelt ( wird durch ersetzt); dann wird der neue Graph um nach rechts verschoben. f) f 6 : f 6 () = ln ( ); D f6 = 6 9. a) f(t) = 0 + t e 4 t 67 t f(t) 0 30, 39,6 34, 6 9, 4,9,4, 0, 0, b) f (t) = te 4 t + t ( )e 4 t = e 4 t t( t); f (t) = e 4 t (t t ) + e 4 t ( t) = e 4 t ( t + t + t) = e 4 t (t 4t + ) f (t) = 0; (t = 0) t = f () = e (4 8 + ) = e < 0 Nach Stunden ist der Bestand am größten. c) Im Zeitintervall 0 h < t < h wächst die Population; im Zeitintervall h < t < 0 h nimmt sie ab. f (t) = 0 Da e 4 t 0 ist, gilt t 4t + = 0; t 3,4 = 4 ± 6 8 = 4 ± = ± ; t 3 3,4; t 4 0,9 f (t) = e 4 t (t 4t + ) + e 4 t (t 4) = e 4 t (t 4 t + 4t ) = e 4 t ( t + 6t 6); f ( + ), > 0 f ( ) 80 < 0 Nach etwa 0,6 h ist die Zunahme am größten; nach etwa 3,4 h ist die Abnahme am größten.

26 .3 Üben Festigen Vertiefen 0. a) lim = + 9 e = lim = e hat die beiden waagrechten Asmptoten a : = und a : = 0 b) Beispiele für Eigenschaften der Funktion f : D f = = D f f () > 0 für jeden Wert von X lim f () = 0 ± Maimum von f () für. c) f(4 ln 3) = = + 9 e 4 ln 3 + 9e = ln 3 + 9e = ln ,8 LE f (4 ln 3) 3 LE 0,6 d) t P = =,; P =, P 3 LE,8 LE P = * 4,4 0 * 0 e) () 000 f(0) = = lim f() = 000 = Am Anfang (Zeitpunkt = 0) waren bereits 000 Stück verkauft; insgesamt kann der Hersteller mit einem Absatz von Stück rechnen. () f () = ( 0, ) 9e ( + 9 e 0, ) =, e 0, ( + 9 e 0, ) ; f () = ( + 9 e 0, ) (,e 0, ), e 0, ( + 9e 0, )( 4,e 0, ) ( + 9e 0, ) = 4 =, e 0, ( + 9e 0, 8e 0, ) ( + 9e 0, ) =, e 0, ( 9e 0, ) 3 ( + 9e 0, ) ; 3 f (*) = 0 9e 0,* = 0; e 0,* = 9 ; 0,* = ln 9 ; * = ln 9 = 4 ln 3 4,39 Für 0 < < * nimmt die pro Zeiteinheit abgesetzte Stückzahl streng zu, für * < < + nimmt sie streng ab; somit hat also f () an der Stelle * ein Maimum. 6

27 .3 Üben Festigen Vertiefen (3) f() = 0,9 = 4,; = 4,; 0, + 9e 4,( + 9e 0, ) = ; + 9 0, = 0 9 ; 9e 0, = 9 e 0, = 8 ; e 0, = 8; 0, = ln 8; = ln 8 8,79 Nach etwa 880 Tagen, also nach etwa Jahren, sind etwa 90% des Gesamtabsatzes erreicht. 7

28 Kann ich das? 68. L a) e e + = 0; e = 0; e = 0; e = ; = 0 X G; L = {0} b) ln ( e ) = 0; e = ; e = ; e = ; = 0 X G; L = {0} c) ln + k = 0; + k = ; + k = ; + k = 0; D = 4k ;, = ± 4k Fallunterscheidung: I. D = 4k > 0, 4k < ; k < 4 ; < k < ; da k > 0 ist: 0 < k < Es gibt zwei Lösungen X G, wenn 0 < k < ist: L = { 4k ; + 4k } II. D = 4k = 0; k = : nicht möglich, da k > 0 ist; = X G: k = : Es gibt genau eine Lösung, nämlich L = { } III. D = 4k < 0: Es gibt keine Lösung X G; also ist L = { }. d) e 3 + e = 0; e e 3e + = 0; (e )(e ) = 0; e = ; = ln X G; e = = 0 X G; L = {0 ; ln }. a) ln (e ) + ln (e e ) + e ln = + e + = e + b) ln [ln (e e )] = ln (e ln e) = ln e = c) (e ln + e ln ) : e ln 7 = ( + ) : 7 = 3. a) Der kleinste Wert von f() = ( 3 4 ) sin ist ( 3 4 ) = ( 3 4 ) = 4 3,33; er wird für = π + nπ (n X ) angenommen. b) Der größte Wert von g() = ( ) cos + ist ( ) + = ( ) 3 =,83; er wird für = nπ (n X ) angenommen. 4. a) = ( + ) e + ( + ) e = ( + )( + )e b) = e ln = ; =, falls > 0 ist. c) = (4 + e ) 4e 4e e (4 + e ) = 4e (4 + e e ) (4 + e ) = 6e (4 + e ) e d) = = e + e + e e) = e cos sin f) = ln e = ln e ln = ln ; = g) = (ln ) ( ) ( ln ) (ln ) = ln + ln (ln ) 4 (ln ) = ln 3 (ln ) 3 h) = + = ( + ) 8

29 Kann ich das?. i) = = ( ) = ( ) G g ln (e ) = ln e + ln = + ln : Man erhält G g, indem man um Einheiten in Richtung der -Achse nach oben verschiebt. ln (a) = ln a + ln : Man erhält den Graphen der Funktion G a, indem man um ln a Einheiten in Richtung der -Achse nach oben (für a > ) bzw. um ln a Einheiten nach unten (für 0 < a < ) verschiebt. 6. T(t) T 0 = (T T 0 )e kt Rechnung mit Maßzahlen: 0 4 = (0 4) e k ; 8 = 96e k ; e k = 8 96 ; k = ln 8 96 = 0,6989 ; k 0,7; 40 4 = (0 4) e 0,7t ; 6 = 8 e 0,7t ; e 0,7t = 6 ; 0,7t = ln ; t = ln 6 = 9,40 0 0,7 8 Innerhalb von weiteren rund 0 Minuten kühlt sich die Pfanne von 0 C auf 40 C ab. 7. a) Schnittpunkt mit der -Achse: + = 0; = ; S ( 0) Schnittpunkt mit der -Achse: f(0) = e = = ; T (0 ) 0 b) Ableitung: f () = e ( + )e e = e ( ) e = ; e f (0) = 0 < < 0 = 0 0 < < + f () f () > 0 f () = 0 f () < 0 Vorzeichenwechsel von f () hat von + nach den Hochpunkt H (0 ) = T 9

30 Kann ich das? 3 H = T B A = S 6 lim f() = 0 (Hinweis: vgl.. Aufgabe 7.); für gilt f(). c) f ( ) = e = e; da f ( ) f () = e ( e ) = ist, stehen die Tangenten t A und t B an f () = e ; in den Graphpunkten A bzw. B aufeinander senkrecht. d) F () = e b (a + b) e (e ) = b a b = f(); e b a b = + ; e e Es muss gelten b =, d. h. b =, und b a = ; also a =, d. h. a = : F() = e Probe F () = e ( ) ( )e e = + + = + = f() e e 8. f(0) = 4 = ; der Punkt T (0 ) X liegt nicht auf G III. f () = ( + e ) 4e 4e e ( + e ) = 4e ( + e e ) ( + e ) = 4e ( + e ) ; f (0) = 4 4 = > 0; Die Tangentensteigung im Punkt T ist nur bei G II positiv: G II =. 4e G I : f I () = + e = 4 e + ; 4e G III : f III () = + e = 4e e + e 30