72 INHALTSVERZEICHNIS

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1 Inhaltsverzeichnis 4 Folgen und Reihen Zahlenfolgen Arithmetische Folgen Geometrische Folgen Alternierende Folgen Konvergenz von Zahlenfolgen Reihen Potenzreihen Funktionen Definition und allgemeine Eigenschaften Grenzwert und Stetigkeit Wichtige Funktionenklassen Polynome (ganzrationale Funktionen) Rationale Funktionen Potenz- und Wurzelfunktionen Exponential- und Logarithmusfunktion Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen Hyperbel- und Areafunktionen Die Parameterform von Funktionen und Kurven

2 72 INHALTSVERZEICHNIS

3 Kapitel 4 Folgen und Reihen 4. Zahlenfolgen Definition. Eine Folge reeller Zahlen a, a 2,..., die gewonnen wird durch eine Vorschrift, die jeder natürlichen Zahl n N genau eine reelle Zahl a n zuordnet, heißt Zahlenfolge. Schreibweise (a n ) n N oder kurz (a n). Die Summe s n = a + a a n = n a k, n N, k= heißt Partialsumme von (a n ). Manchmal ist es praktisch, die Summation schon ab k = 0 laufen zu lassen. (i), 2, 3..., a n = n, (ii) (iii), 2, 4, 8..., a n = 2 n,, 4, 9, 6..., a n = ( ) n+ n 2. Wichtige Spezialfälle sind arithmetische und geometrische Folgen. Ausserdem wird zwischen nicht alternierenden und alternierenden Folgen unterschieden. 73

4 74 KAPITEL 4. FOLGEN UND REIHEN 4.. Arithmetische Folgen Definition. Eine Folge (a n ) heißt arithmetisch, wenn es eine reelle Zahl d 0 gibt, so dass a n+ a n = d für alle n N. Das bedeutet, man berechnet ein Folgenglied durch Addition von d zu seinem Vorgänger. (i) 2, 5, 8,..., d = 3, (ii) 4, 2, 0, 2..., d = 2. Beispiel Für die arithmetische Folge (a n ) mit a 2 =, 59 und a 7 = 2, 54 ist die Partialsumme s 00 zu berechnen. Es gilt a 7 a 2 = 5d, und daraus folgt d = 5 (2, 54, 59) = 2, 9. Außerdem ist a = a 2 d =, 59 2, 9 = 0, 6. Schließlich erhält man s 00 = 00 ( 0, 6) + 2, = 0 780, Geometrische Folgen Definition. Eine Folge (a n ) heißt geometrisch, wenn es eine reelle Zahl q gibt (q 0, q ±), so dass a n+ a n = q für alle n N. gilt. (i) (ii) 2,, 2, 4..., q = 2 2, 6, 8, 54,..., q = 3 Für jede geometrische Folge (a n ) gilt a n = a q n, s n = a ( + q + q q n ) = a qn q.

5 4.. ZAHLENFOLGEN 75 Beispiel Für die geometrische Folge (a n ) mit a = 4 und q = 2 ist der Index n N des Folgengliedes a n gesucht, so dass s n = 252 gilt. Aus den obigen Formeln erhält man 252 = 4 2n 2 = 4 2n 2 63 = 2 n 64 = 2 n n = log 2 64 n = Alternierende Folgen Definition. Eine Folge (a n ) heißt alternierend, wenn zwei aufeinander folgende Glieder unterschiedliche Vorzeichen haben, d. h. ( ) an+ sgn = für alle n N. a n Die Glieder alternierender Folgen haben den Aufbau a n = ( ) n b n oder a n = ( ) n+ b n mit b n 0 für n N. Die Faktoren ( ) n bzw. ( ) n+ generieren den für alternierende Folgen charakteristischen Vorzeichenwechsel der a n. (i) (ii), 2, 3, 4, 5..., a n = n ( ) n, n =, 2,..., 3, 5, 7, 9,,..., a n = ( ) n+, n =, 2,... 2n Eine Folge kann sowohl geometrisch als auch alternierend sein. Eine arithmetische Folge ist niemals alternierend Konvergenz von Zahlenfolgen In diesem Abschnitt wird das Verhalten der Folgenglieder bei wachsendem n, d. h. für n ( n gegen unendlich ) untersucht. Der Grenzwert der Folge für n wird mit a n

6 76 KAPITEL 4. FOLGEN UND REIHEN bezeichnet. Beispiel. Die Glieder der Folge (a n ) mit a n = n kommen für n der Null beliebig nahe, n = 0. In jedem (beliebig kleinen) Intervall um Null liegen unendlich viele Folgenglieder und nur endlich viele außerhalb. Definition. Eine Folge (a n ) heißt konvergent für n gegen eine Zahl a R, wenn außerhalb von jeder Umgebung um a nur endlich viele Folgenglieder liegen, d. h. a n = a. Gibt es eine solche Zahl a nicht, dann heißt die Folge (a n ) divergent. Wenn a = 0 ist, dann wird (a n ) auch Nullfolge genannt. Der Grenzwert a R ist stets eindeutig bestimmt. Gibt es mehrere Werte a, a 2,... in deren Umgebungen jeweils unendlich viele Elemente der Folge liegen, dann ist keiner dieser Werte Grenzwert. Die Folge ist divergent und die Werte a, a 2,... heißen Häufungspunkte. (i) a n = n, a n = n existiert nicht, d. h. (a n ) ist divergent. (ii) a n = n, a n = n = 0, d. h. (a n ) ist konvergent und Nullfolge. (iii) a n = ( ) n+ n 2, a n = ( )n+ n 2 = 0, d. h. (a n ) ist konvergent, alternierend und ebenfalls Nullfolge. (iv) a n = ( ) n+, a n = ( )n+ existiert nicht, d. h. (a n ) ist divergent.

7 4.. ZAHLENFOLGEN 77 (v) a n = ( ) n n + 3n ist nicht konvergent, sondern hat die zwei Häufungspunkte a = 3 und a 2 = 3. Die Definition der Konvergenz einer Folge ist nicht konstruktiv. Es gibt daher Schwierigkeiten die Konvergenz einer Folge auf der Grundlage der Definition nachzuweisen. Besser geeignet ist die Verwendung bekannter Grenzwerte und einiger Rechenregeln für Grenzwerte. Wichtige Grenzwerte (Prototypen) (i) a = a, a R, (ii) an =, a >, a = 0, a <, (iii) (iv) a n = 0, a >, a =, 0 < a <, n n =, n a =, a > 0, (v) (vi) ( + a n = e n) a, a R, (4.) b k n k + b k n k b n + b 0 c l n l + c l n l = c n + c 0 0, k < l b k cl, k = l,, k > l, sgn b k = sgn c l, k > l, sgn b k sgn c l (vii) a n n! n! = 0, n n = 0, a n n! = 0, a R. nn

8 78 KAPITEL 4. FOLGEN UND REIHEN (i) (ii) 3n 2 + 7n n 3 = 0 5 (iii) 3n 3 + 7n 2 2n 5n 3 = existiert nicht. 3n 3 + 0n n + 30 Wichtig für die Berechnung von Grenzwerten sind die folgenden Regeln: Rechenregeln. Es seien (a n ) und (b n ) konvergente Folgen mit a n = a bzw. b n = b, wobei a, b R. Dann gilt n ± b n ) = a ± b, n) = c n, c R, (a n b n ) = a b, a n b n = a b, b n, b 0, abn n = a b, a n, a > 0. (iv) (v) [( + 2 n + n) n n 2 ] + 3 2n 2 = e 2 + 2n ( ) n + 2 n = n + 4 n n ( + 2 n n n ( + 4 n ) n ) n = e2 e 4 = e 2

9 4.. ZAHLENFOLGEN 79 (vi) ( 4n 2 + 3n 2n) = ( 4n 2 + 3n 2n) 4n 2 + 3n 4n 2 = n ( n) 3 + 2n = = n = 3 4 ( 4n ) 2 + 3n + 2n 4n 2 + 3n + 2n 3n 3 ) = ( n n + 2 Satz. Eine alternierende Folge ist konvergent, wenn die Folge der Absolutbeträge ihrer Glieder Nullfolge ist, sonst ist sie divergent. (vii) (viii) ( )n = 0, da n ( )n n = n = 0 ( ( )n + n) n ist divergent, da ( ( )n + n) n = ( + n) n = e Definition. Eine Folge (a n ) heißt monoton wachsend, wenn a n a n+ für alle n N. Analog heißt eine Folge monoton fallend, wenn a n a n+ für alle n. Definition. Eine Folge (a n ) heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl c R gibt, so dass a n c für alle n N. Entsprechend heißt (a n ) nach unten beschränkt, wenn a n c für alle n. Offensichtlich ist jede konvergente Folge auch beschränkt. Ausserdem ist jede monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge konvergent. Das gleiche gilt für jede monoton fallende und nach unten beschränkte Folge. (i) Jede arithmetische Folge ist unbeschränkt und somit divergent. (ii) Jede geometrische Folge mit 0 < q < ist für a > 0 monoton fallend und nach unten beschränkt und für a < 0 monoton wachsend und nach oben beschränkt. Daher sind diese geometrischen Folgen auch konvergent.

10 80 KAPITEL 4. FOLGEN UND REIHEN 4.2 Reihen Definition. Gegeben sei eine Zahlenfolge (a n ). Die Folge (s n ) der Partialsummen s n = (a n ) heißt unendliche Reihe oder kurz Reihe. n k= a k von Eine Reihe (s n ) ist also eine spezielle Folge, deren Glieder Partialsummen einer anderen Folge (a n ) sind. Meist ist nur die Bildungsvorschrift von a n jedoch nicht die von s n bekannt. In diesen Fällen ist die spezielle Folge (s n ) nur implizit durch die Folge (a n ) gegeben. Für Reihen wird in der Regel die Summenschreibweise verwendet, k= a k. Das bedeutet nicht, dass eine Reihe als eine Summe von unendlich vielen Summanden aufzufassen ist! Konvergiert die Folge (s n ) der endlichen Partialsummen s n = n k= a k, d. h. s n = s, s R, dann heißt auch die zu der Folge (a n ) gehörige Reihe konvergent, und es gilt a n = s. n= Ist die Folge (s n ) divergent, dann heißt auch die Reihe n= a n divergent. Neben der Berechnung des Grenzwertes einer Reihe spielt der Nachweis seiner Existenz eine wichtige Rolle. Ein solcher Nachweis ist in der Regel schwieriger als der Nachweis der Konvergenz von Folgen. (i) Die Folge (a n ) mit a n = n ist konvergent, a n =. Die Folge der Partialsummen (s n ) mit s n = n k= a k = n sowie die dazu gehörige Reihe n= a n sind jedoch divergent. (ii) Zu arithmetischen Folgen gehörige Reihen (so genannte arithmetische Reihen) sind divergent, a n = n= n= ( (a + (n )d) = na + ) ( n(n ), d > 0 d = 2, d < 0. (iii) Zu geometrischen Folgen gehörige Reihen (so genannte geometrische Reihen) sind konvergent, wenn < q <. Das folgt unmittelbar aus a n = n= (iv) Die Reihe n= n n= a q n = a q n q = a q. (4.2) wird harmonische Reihe genannt. Die harmonische Reihe ist divergent, jedoch nicht offensichtlich und wird später noch gezeigt, siehe Seite 83. n= n =. Das ist

11 4.2. REIHEN 8 Bemerkungen (i) Für jede konvergente Reihe gilt a n = 0. (ii) Die (iii) und (iv) zeigen, dass die Bedingung a n = 0 jedoch nicht hinreichend für die Konvergenz einer Reihe ist. Konvergenzkriterien (i) Vergleichskriterium. Es seien n= a n und n= b n Reihen mit positiven Gliedern, a n, b n > 0, n N. Aussagen über n= b n lassen sich in den folgenden Varianten (Majorantenkriterium bzw. Minorantenkriterium) auf n= a n übertragen. Majorantenkriterium. Wenn es einen Index n 0 N gibt, so dass a n b n für alle n mit n n 0 und b n < ist, dann gilt auch a n <. (Es ist also ausreichend, wenn n=n 0 n= die Glieder der Folge (a n ) ab einem bestimmten Index n 0 nicht größer als die Glieder von (b n ) sind.) Minorantenkriterium. Wenn a n b n für alle n n 0 und b n divergent ist, dann ist auch n=n 0 a n divergent. n= (ii) Quotientenkriterium. Für eine Reihe n= a n wird der Grenzwert a n+ a n = q des Absolutbetrags aufeinander folgender Glieder betrachtet. Falls q <, dann ist n= a n konvergent, falls q >, dann ist n= a n divergent, und falls q =, dann kann auf der Grundlage des Quotientenkriteriums keine Aussage zur Konvergenz bzw. Divergenz von n= a n gemacht werden. (iii) Wurzelkriterium. Für die Reihe n= a n wird der Grenzwert n an = q betrachtet. Falls q <, dann ist n= a n konvergent, falls q >, dann ist n= a n divergent, und falls q =, dann kann auf der Grundlage des Wurzelkriteriums keine Aussage gemacht werden. (iv) Kriterium für alternierende Reihen (Leibniz-Kriterium). Eine alternierende Reihe n= a n konvergiert, wenn es eine natürliche Zahl n 0 gibt, so dass a n+ a n für alle n > n 0 gilt und wenn a n = 0 ist.

12 82 KAPITEL 4. FOLGEN UND REIHEN Offensichtlich ist eine Reihe n= a n mit a n > 0 genau dann konvergent, wenn die Folge der (s n ) der zugehörigen Partialsummen beschränkt ist. (i) Aussagen zur Konvergenz von a n = n= n= 3 n n! erhält man beispielsweise über das Quotientenkriterium. Es gilt a n+ a n = ( 3 n+ (n + )! n! ) 3 3 n = n + = 0. Daraus folgt, dass die Reihe konvergent ist. (ii) Aussagen zur Konvergenz von a n = n= n= ( ) n + 2 n 2 n + 5 ergeben sich unter anderem aus dem Wurzelkriterium. Es gilt n an = = = Die Reihe ist also konvergent. [ (n ) ] + 2 n 2 n n + 5 ( ( )) n + 2 n n ( n ( + 5 ( + 2 ( + 5 n n ) n n = )) n = ) n = e2 e 5 = e 3 <. (iii) Aussagen zur Konvergenz der alternierenden Reihe ( ) n n + n= ( n + 2 n + 5 n n ( + 2 n n n ( + 5 n sind meist über das Leibniz-Kriterium erhältlich. Es gilt ) n (n + 2) n = (n + 5) n ) n ( ) + 2 n ) n = ( + 5 n n) n a n+ = n + 2 a n = n + für alle n und a n = n + = 0. Die Reihe ist also ebenfalls konvergent.

13 4.3. POTENZREIHEN 83 (iv) Mit Hilfe des Vergleichskriteriums kann gezeigt werden, dass die harmonische Reihe n= n divergiert. Dazu wird eine Vergleichsfolge (b n ) auf die folgende Weise konstruiert: (a n ) = (, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, 9, 0,, 2, 3, 4, 5, 6,... ) (b n ) = (, 2, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6,... ) Wegen b n a n und }{{ 4} }{{ 8} }{{ 6} = folgt b n = =, n= und damit ist auch n= a n =, d. h., die harmonische Reihe ist divergent. (v) Aussagen zur Konvergenz der Reihe n= 2n n erhält man beispielsweise über das Vergleichskriterium. Es gilt 2n n n n 3 = 2 n 2 für alle n, und somit ist n= 2 n 2 = 2 n 2 <. n= Die Reihe n= 2n n 3 +4 ist damit ebenfalls konvergent. 4.3 Potenzreihen Definition. Eine Reihe der Form f(x) = a n x n, x R, n=0 heißt Potenzreihe. Bemerkung. Die Summation einer Potenzreihe ist sowohl ab 0 als auch (wie bisher bei Zahlenreihen) ab in der Form f(x) = n= a n x n möglich.

14 84 KAPITEL 4. FOLGEN UND REIHEN (i) Die Folge der Partialsummen von (x n ) ist für jeden festen Wert x R eine geometrische Folge mit a = x und q = x. Ihre Partialsummen sind s n = x xn x. Die Folge der Partialsummen ist für x < konvergent, und es gilt n= x n xn = x x = x x, vgl. mit Formel (4.2) auf Seite 80. (ii) Die Potenzreihe x n ist eine geometrische Reihe mit a = und q = x. Man erhält analog n= zum vorangegangenen Beispiel x n = n= n=0 x n = x, x < (Summenformel der geometrischen Potenzreihe). (iii) Ersetzt man im letzten Beispiel x durch x, dann ergibt sich ( x) n =, x <. + x n=0 Konvergenz Die Konvergenz ist für eine Potenzreihe eine sehr wichtige Eigenschaft. Insbesondere stellt sich die Frage, für welche Werte x eine Potenzreihe konvergiert und für welche x sie divergiert. Für einen festen Wert x kann jede Potenzreihe zunächst allgemein als gewöhnliche Zahlenreihe betrachtet werden, und man kann die Konvergenzkriterien aus Abschnitt 4.2 anwenden. (i) Quotientenkriterium. Es gilt a n+ x n+ a n x n = a n+ x, a n d. h., eine Potenzreihe ist konvergent, wenn a n+ a n x < bzw. x < a n. a n+

15 4.3. POTENZREIHEN 85 Der Wert r = a n a n+ wird Konvergenzradius einer Potenzreihe genannt (r 0). (ii) Wurzelkriterium. Analog erhält man n an x n = n a n x, und eine Potenzreihe konvergiert, falls n an x < d. h. x < an = r. n Eine Potenzreihe ist konvergent für x < r. Die Menge aller x, für die eine Potenzreihe konvergent ist, heißt Konvergenzbereich. Die Potenzreihe ist divergent für x > r, für x = r lässt sich auf der Grundlage des Quotienten- bzw. Wurzelkriteriums keine Aussage über Konvergenz treffen. (i) Gegeben sei die Potenzreihe n=0 xn, d. h. a n = für alle n = 0,,... Für Konvergenzaussagen empfiehlt sich in diesem Fall z. B. das Quotientenkriterium. Wegen a n a n+ = ist der Konvergenzradius r =. Die Potenzreihe ist also für x < konvergent und für x > divergent. Für x = und x = kann mit Hilfe des Quotientenkriteriums keine Aussage zur Konvergenz getroffen werden. Es ist jedoch offensichtlich, dass die Potenzreihe auch für x = und x = divergiert. (ii) Analog erhält man für n=0 x n n! mit Hilfe des Quotientenkriteriums a n a n+ = n! (n+)! = (n + ) =, d. h., der Konvergenzradius ist also unendlich (r = ) und die Potenzreihe konvergiert für alle x R.

16 86 KAPITEL 4. FOLGEN UND REIHEN (iii) Für die Potenzreihe n= x n n folgt unmittelbar aus dem Quotientenkriterium r = a n a n+ = n n+ = n + n =. Die Reihe n= xn n ist also für x < konvergent und für x > divergent. Für x = lässt sich mit Hilfe des Quotientenkriteriums keine Aussage treffen. Für x = erhält man aber die harmonische Reihe n= n bereits nachgewiesen wurde. Für x = bekommt man die alternierende Reihe die nach dem Leibniz-Kiterium konvergent ist. Zusammenfassend erhält man als Ergebnis, dass die Reihe und sonst divergent ist. deren Divergenz in Abschnitt 4.2 n= xn n n= ( ) n n, für x [, ) konvergent

17 Kapitel 5 Funktionen 5. Definition und allgemeine Eigenschaften Definition. Unter einer Funktion versteht man eine Vorschrift, die jedem Element x aus einer Menge D(f) genau einen Wert y = f(x) aus einer Menge W (f) zuordnet. Die Mengen D(f) und W (f) heißen Definitionsbereich bzw. Wertebereich der Funktion f. Weiterhin bezeichnet man x als unabhängige Variable oder Argument und y als abhängige Variable oder Funktionswert. Schreibweise f : D W Nach dieser Definition sind auch Folgen Funktionen, also Abbildungen von der Menge der natürlichen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen, D = N. Für reelle Funktionen sind sowohl D(f) als auch W (f) Teilmengen von R, d. h. D(f), W (f) R. Beispiel f(x) = x 2, D(f) = R, W (f) = [0, ) Die Zuordnung y = x 2 ist eindeutig, d. h., zu jedem Wert x R gibt es genau einen Wert y. Jedoch gibt es zu jedem y (0, ) zwei verschiedene Werte x = y und x 2 = y. Definition. Eine Funktion f heißt eineindeutig, wenn für alle x, x 2 D(f) mit x x 2 gilt f(x ) f(x 2 ). Jede eineindeutige Funktion f besitzt eine inverse Funktion f, für die folgende Beziehungen gelten: D(f ) = W (f), W (f ) = D(f), f (f(x)) = x, für alle x D(f), f(f (y)) = y, für alle y W (f). Die inverse Funktion wird auch Umkehrfunktion genannt. 87

18 88 KAPITEL 5. FUNKTIONEN Die Menge {(x, f(x)) x D(f)} R 2 heißt Graph oder Kurve. Bemerkung. Die Bestimmung der inversen Funktion f von f entspricht anschaulich einer Spiegelung des Graphen der Funktion f an der Geraden y = x. (i) Die Gleichung f(x) = 3x + 6 ist eine Funktionsgleichung d. h. eine Zuordnungsforschrift. Künftig soll eine solche Funktionsgleichung abkürzend auch als Funktion bezeichnet werden. Die Funktion f(x) = 3x + 6 mit D(f) = W (f) = R ist eineindeutig. Das Bestimmen der inversen Funktion entspricht dem Umstellen (Auflösen) der Gleichung y = 3x + 6 nach x, y = 3x + 6 y 6 = 3x x = y 3 2, und dem anschließenden Vertauschen von x und y, d. h. y = x 3 2. Die zu f inverse Funktion f ist somit durch f (x) = x 3 2 gegeben, wobei der Definitions- und Wertebereich von f mit dem von f übereinstimmen. (ii) Schränkt man den Definitionsbereich der Funktion f(x) = x 2 auf D(f) = [0, ) ein, dann ist f eineindeutig und hat die inverse Funktion f (x) = x, x D(f ) = W (f) = [0, ). (iii) Gegeben sei die Funktion f(x) = ln( x) +. 2 Da die Logarithmusfunktion nur für positive Argumente definiert ist, ergibt sich der größtmögliche Definitionsbereich D(f) aus der Lösungsmenge L der Ungleichung x > 0 oder x <, d. h. D(f) = L = (, ). Die Umkehrfunktion f von f ist f (x) = e 2x 2. Die Exponentialfunktion ist für beliebige reellwertige Argumente definiert. Folglich ist D(f ) = R und damit ist auch W (f) = R.

19 5.. DEFINITION UND ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN 89 Allgemeine Eigenschaften (i) Nullstellen. Die Funktion f besitzt an der Stelle x 0 eine Nullstelle, wenn f(x 0 ) = 0. Nullstellen sind Stellen, an denen der Graph der Funktion die x-achse schneidet oder berührt. (ii) Symmetrie. Die Funktion f heißt gerade Funktion, wenn f(x) = f( x) für alle x D(f). Der Graph einer geraden Funktion ist spiegelsymmetrisch zur y-achse. Die Funktion f heißt ungerade Funktion, wenn f(x) = f( x) für alle x D(f). Der Graph einer ungeraden Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. (iii) Monotonie. Eine Funktion f heißt monoton wachsend, wenn f(x ) f(x 2 ) für alle x, x 2 D(f) mit x < x 2, streng monoton wachsend, wenn f(x ) < f(x 2 ) für alle x, x 2 D(f) mit x < x 2, monoton fallend, wenn f(x ) f(x 2 ) für alle x, x 2 D(f) mit x < x 2 und streng monoton fallend, wenn f(x ) > f(x 2 ) für alle x, x 2 D(f) mit x < x 2. Eine Funktion heißt streng monoton, wenn sie entweder streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist. Wenn eine Funktion in D(f) oder in einem Teilbereich davon streng monoton ist, so ist sie dort eineindeutig und damit auch invertierbar. (iv) Beschränktheit. Eine Funktion f heißt beschränkt nach oben, wenn eine Zahl c R existiert, so dass f(x) c für alle x D(f), beschränkt nach unten, wenn eine Zahl c R existiert, so dass f(x) c für alle x D(f), beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist. unbeschränkt, wenn sie nicht beschränkt ist. (v)krümmungsverhalten. Die Funktion f heißt konvex, falls für alle x, x 2 D(f) mit x < x 2 f(px + ( p)x 2 ) pf(x ) + ( p)f(x 2 ) für alle p (0, ). Der Graph einer konvexen Funktion liegt also unterhalb ( ) jeder Sekante. Die Funktion f heißt konkav, falls für alle x, x 2 D(f) mit x < x 2 f(px + ( p)x 2 ) pf(x ) + ( p)f(x 2 ) für alle p (0, ). Analog ist f streng konvex bzw. streng konkav, wenn f(px +( p)x 2 ) < pf(x )+( p)f(x 2 ) bzw. f(px + ( p)x 2 ) > pf(x ) + ( p)f(x 2 ) für alle p (0, ). (vi) Periodizität. Eine Funktion f heißt periodisch, wenn es eine Zahl p > 0 gibt, so dass f(x) = f(x + p) für alle x D(f). Die kleinste Zahl p, für die die obige Gleichung gilt, heißt Periodenlänge.

20 90 KAPITEL 5. FUNKTIONEN (i) Die Funktionen f(x) = 3x + 6 und f(x) = x 2 haben jeweils eine Nullstelle bei x 0 = 2 bzw. x 0 = 0. (ii) für gerade Funktionen sind f(x) = x 2 und f(x) = cos(x); für ungerade Funktionen sind f(x) = x 3 und f(x) = sin(x). (iii) Die Funktion f(x) = e x ist streng monoton wachsend in ihrem gesamten Definitionsbereich D(f) = R. Die Funktion f(x) = x 2 ist streng monoton wachsend in [0, ) und streng monoton fallend in (, 0]. (iv) Die Funktion f(x) = x 2 ist nach unten beschränkt, die Funktion f(x) = sin(x) ist beschränkt, und die Funktion f(x) = ln(x) ist unbeschränkt. (v) Die Funktion f(x) = e x ist in ihrem gesamten Definitionsbereich streng konvex; die Funktionen f(x) = ln(x) und f(x) = x sind in ihrem gesamten Definitionsbereich streng konkav. (vi) Die Periodenlänge von sin(x) ist p = 2π. Es gilt sin(x) = sin(x + 2π) für x R. Einfache Transformationen und Verknüpfungen von Funktionen f und g. f(x) + a, a R f(x a), a R a f(x), a > 0 f(ax), a > 0 f( x) f(x) Verschiebung in y-richtung Verschiebung in x-richtung Stauchung (0 < a < ) bzw. Streckung (a > ) in y-richtung Stauchung (a > ) bzw. Streckung (0 < a < ) in x-richtung Spiegelung an der y-achse Spiegelung an der x-achse (f + g)(x) = f(x) + g(x) Summe (Überlagerung, Superposition) (f g)(x) = f(x) g(x) Differenz (f g)(x) = f(x) g(x) Produkt f f(x) g (x) = g(x) Quotient (g(x) 0) (f g)(x) = f(g(x)) Verkettung (Hintereinanderausführung) 5.2 Grenzwert und Stetigkeit Wichtige Eigenschaften einer Funktion f an einer Stelle x 0 sind mit ihrem Verhalten bei beliebiger Annäherung an x 0 verbunden. Wir führen die Bildung eines Grenzwertes einer Funktion auf die Bildung des Grenzwertes einer Folge zurück. Dazu betrachten wir eine Folge {a n } reeller Zahlen mit a n = x 0. Das Verhalten von f an der Stelle x 0 lässt sich durch f(a n)

21 5.2. GRENZWERT UND STETIGKEIT 9 beschreiben. (i) Für die Bildung des Grenzwertes x 2 der Funktion f(x) = x 2 an der Stelle 0 betrachten wir x 0 z. B. die Folge {a n } mit a n = n. Wegen n = 0 erhält man f(a n) = (a n) 2 = ( ) 2 = n n 2 = 0. (ii) Die Folge {a n } mit a n = hat den gleichen Grenzwert wie die harmonische Folge, n 2 = 0, und für f(x) = x 2 erhält man ebenfalls n 2 ( f(a n) = (a n) 2 = ) 2 n 2 = n 4 = 0. Definition. Eine Funktion f sei in einer Umgebung von x 0 definiert. Wenn eine Zahl g R existiert, so dass für jede Folge {a n } aus dem Definitionsbereich D(f), die gegen x 0 konvergiert, f(a n) = g gilt, dann heißt g der Grenzwert von f an der Stelle x 0. Schreibweise: x x 0 f(x) = g (i) Die Funktion f(x) = { x +, x 0 x, x < 0 besitzt an der Stelle x 0 = 0 keinen Grenzwert, da man für die Folge {a n } = { n } ( ) f(a n) = n + = erhält und für {a n } = { n } gilt. f(a n) = ( n ) =

22 92 KAPITEL 5. FUNKTIONEN (ii) Die Funktion f(x) = x besitzt an der Stelle x 0 = 0 ebenfalls keinen Grenzwert, denn und f(x) = x 0 x 0 x = = a n n f(x) = x 0 x 0 x = = a n n = n = für {a n} = (iii) Auch f(x) = besitzt an der Stelle x0 = 0 keinen Grenzwert, da x f(x) = x 0 x 0 x = = a n n { } n { = ( n) = für {a n} = }. n = n = für {a n} = { } n und f(x) = x 0 x 0 x = = = n = für {a n} = a n n { }. n Bezeichnung (i) Falls ein gemeinsamer Grenzwert f(x) = f(x 0 + a n ) = g für jede Nullfolge {a n } mit x x0 positiven Gliedern existiert, heißt g rechtsseitiger Grenzwert. (ii) Falls ein gemeinsamer Grenzwert f(x) = f(x 0 a n ) = g für jede Nullfolge {a n } mit x x0 positiven Gliedern existiert, heißt g linksseitiger Grenzwert. Schließlich betrachten wir noch das Verhalten einer Funktion im Unendlichen, d. h. für x oder x. Dazu betrachten wir divergente Folgen {a n } mit a n = bzw. a n =. Definition. Wenn für jede Folge {a n } aus D(f) mit a n = gilt f(a n) = g, dann heißt g der Grenzwert von f für x. Analog heißt g der Grenzwert von f für x, falls für jede Folge {a n } aus D(f) mit a n = gilt f(a n) = g. (i) f(x) = x, f(x) = 0, x f(x) = 0 x (ii) f(x) = x, f(x) =, x f(x) = x

23 5.2. GRENZWERT UND STETIGKEIT 93 (iii) f(x) = e x, f(x) =, x f(x) = 0 x (iv) f(x) = + x x 2 + 5, f(x) = 0, x f(x) = 0 x (v) 3(x 2 ) x x + (x 2 ) = 3 x x + = 3 x = 3 (x + )(x ) x x + (x ) = 3 ( 2) = 6 Definition. Eine Funktion, die in einer Umgebung von x 0 definiert ist, heißt stetig in x 0 D, wenn x x 0 f(x) = f(x 0 ), d. h., Grenzwert und Funktionswert stimmen an dieser Stelle überein. Umgekehrt gilt auch die folgende Aussage, die für die Berechnung des Grenzwertes einer Folge wichtig ist: Satz. Sei f eine in x 0 stetige Funktion, dann gilt für jede konvergente Folge {a n } mit a n = x 0 ( ) f(a n) = f a n = f(x 0 ). Bemerkungen (i) Stetigkeit ist eine (punktweise) Eigenschaft, die nur in den Punkten des Definitionsbereiches einer Funktion gelten kann. An Stellen, wo die Funktion nicht definiert ist (z. B. an Polstellen), ist sie per Definition unstetig. (ii) Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist, heißt stetige Funktion. (iii) Eine Funktion heißt unstetig in x 0, wenn x 0 / D oder x x 0 f(x) f(x 0 ) oder der Grenzwert x x 0 f(x) nicht existiert. (i) Die Funktion f(x) = sgn (x) ist unstetig in x 0 = 0. (ii) Die Funktion f(x) = x ist stetig in ihrem gesamten Definitionsbereich D(f) = R \ {0}.

24 94 KAPITEL 5. FUNKTIONEN (iii) Die Funktion f(x) = { e x, x 0 0, x < 0 ist unstetig in x 0 = 0. (iv) Die Funktion f(x) = { x, x 0 x 2, x < 0 ist stetig. (v) Die Funktion f(x) = { x 2, x 0, x = 0 ist unstetig in x 0 = 0. Bemerkungen (i) Existieren die Grenzwerte f(x) und g(x), dann gelten Rechenregeln analog zu denen x x 0 x x 0 für konvergente Folgen, vgl. Seite 78. So gilt z. B. (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x). x x 0 x x 0 x x 0 (ii) Es seien f(x) und g(x) stetige Funktionen in x 0. Dann sind auch die Verknüpfungen (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f g)(x) = f(x) g(x), f f(x) (x) = g g(x) stetig in x 0. Außerdem sind die Ausdrücke f(x) + c und c f(x) stetig in x 0 für c R. (iii) Ist die Funktion g(x) stetig in x 0 und ist f(y) stetig in u 0 = g(x 0 ), dann ist auch die durch h(x) = (f g)(x) = f(g(x)) definierte Funktion h stetig in x 0.

25 5.3. WICHTIGE FUNKTIONENKLASSEN 95 (i) Sei h(x) = (f g)(x) mit f(x) = x und g(x) = cos(x), d. h. h(x) = cos(x). Die Funktion h(x) ist stetig in x 0 = 0, denn die Funktion cos(x) ist stetig in x 0 = 0, und die Funktion x ist stetig im Punkt u 0 = cos(x 0 ) =. (ii) Die Funktion h(x) = sgn (ln(x)) stellt eine Verkettung der Funktionen f(x) = sgn (x) und g(x) = ln(x) dar. Die Funktion h(x) ist nicht stetig in x 0 =, da zwar ln(x) stetig in x 0 = ist, aber sgn (x) nicht stetig in ln = 0 ist. Satz (Zwischenwertsatz). Ist eine Funktion f : [a, b] stetig für alle x [a, b], dann ist jede beliebige Zahl y, die zwischen den Werten f(a) und f(b) liegt, d. h. f(a) < y < f(b), ein Funktionswert von f, d. h. es gibt eine Zahl x 0 mit a < x 0 < b, sodass y = f(x 0 ). Siehe auch Abbildung 5.. Als eine spezielle Form des Zwischenwertsatzes gilt noch die folgende Aussage: Satz (Satz von Bolzano). Sei f eine auf dem Intervall [a, b] stetige Funktion, und es gelte f(a) f(b) < 0. Dann gibt es mindestens einen Wert x 0 (a, b) mit f(x 0 ) = 0. Das bedeutet, x 0 ist eine Nullstelle von f. Der Satz von Bolzano liefert also ein Kriterium für die Existenz einer Nullstelle der Funktion f im Intervall (a, b). f(x) f(a) a x 0 b x f(b) Abbildung 5.: Graphische Darstellung zur Erläuterung des Satzes von Bolzano. 5.3 Wichtige Funktionenklassen 5.3. Polynome (ganzrationale Funktionen) Definition. Eine Funktion vom Typ f(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 mit a 0, a,..., a n R, a n 0 heißt Polynom vom Grad n. Für Polynome ist D(f) = R, und falls n ungeradzahlig ist, gilt auch W (f) = R.

26 96 KAPITEL 5. FUNKTIONEN f(x) = 4 Polynom vom Grad n = 0 (konstante Funktion) f(x) = a 0 Gerade parallel zur x-achse f(x) = 3x 2 Polynom vom Grad n = (lineare Funktion, Gerade) f(x) = ax + b Gerade mit dem Anstieg a und dem Schnittpunkt b mit der y-achse f(x) = 6x 2 7x + 2 Polynom vom Grad n = 2 (quadratische Funktion, Parabel) f(x) = ax 2 + bx + c allgemeine Form der Parabel Polynome spielen in der Anwendung eine besondere Rolle, da sie an allen Stellen x R stetig sind. Weiterhin können Polynome problemlos differenziert und integriert werden. Sie können daher gut zur Annäherung von komplizierten und unbekannten Zusammenhängen verwendet werden. Eigenschaften (i) Ein Polynom vom Grad n besitzt maximal n (reellwertige) Nullstellen. (ii) Es sei x 0 eine Nullstelle des Polynoms f(x) vom Grad n, d. h. f(x 0 ) = 0. Dann gilt f(x) = (x x 0 ) f (x), wobei f (x) ein Polynom vom Grad n ist. Die Differenz x x 0 heißt Linearfaktor. (iii) Ein Polynom f(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 mit den (reellwertigen) Nullstellen x,..., x n läßt sich als Produkt seiner Linearfaktoren darstellen, f(x) = a n (x x ) (x x 2 )... (x x n ). (5.) Die Vielfachheit einer Nullstelle x k entspricht der Anzahl des Vorkommens des Linearfaktors x x k in der Produktdarstellung. (i) Die Funktion f(x) = 2x 2 + 8x + 8 hat die Nullstellen x = 2 und x 2 = 2, d. h., die Zahl 2 ist doppelte Nullstelle (Nullstelle mit der Vielfachheit 2). Es gilt f(x) = 2(x + 2)(x + 2). Ein Polynom vom Grad n besitzt genau n komplexe Nullstellen.

27 5.3. WICHTIGE FUNKTIONENKLASSEN 97 (ii) Das Polynom 4. Grades f(x) = x 4 3x kann durch die Substitution z = x 2 in ein Polynom 2. Grades f(z) = z 2 3z + 36 der Form f(z) = z 2 + pz + q überführt werden. Man erhält die Nullstellen z /2 = z 2 ± p 2 = 3 2 ± 4 q = 3 2 ± 5 2 z = 9, x = 3, x 2 = 3 z 2 = 4, x 3 = 2, x 4 = 2 Es gibt also vier (einfache, reellwertige) Nullstellen, und es gilt f(x) = (x 3) (x + 3) (x 2) (x + 2). Das Horner-Schema zur Durchführung einer Polynomdivision Die Bestimmung der Nullstellen von Polynomen höheren Grades basiert im allgemeinen auf numerischen Methoden. Grundlage dafür ist unter anderem das Horner-Schema, das im wesentlichen auf Formel (5.) basiert. Ist beispielweise bekannt, dass x eine Nullstelle des Polynoms f(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 mit den Nullstellen x,..., x n ist, dann ist die durch f (x) = gegebene Funktion f(x) x x = a nx n + a n x n a x + a 0 x x = a n (x x 2 )... (x x n ) f (x) = b n x n + b n 2 x n b x + b 0 ein Polynom mit den reellwertigen Nullstellen x 2,..., x n. Es gilt f(x) = f (x) (x x ) = b n x n (x x ) + b n 2 x n 2 (x x ) b x(x x ) + b 0 (x x ) = b n x n b n x n x + b n 2 x n b n 2 x n 2 x b x 2 b xx + b 0 x b 0 x = b n x n + (b n 2 b n x )x n + (b n 3 b n 2 x )x n (b 0 b x )x b 0 x.

28 98 KAPITEL 5. FUNKTIONEN Aus dem Vergleich der Koeffizienten der Potenzen von x folgt a n = b n a n = b n 2 b n x a n 2 = b n 3 b n 2 x. a = b 0 b x a 0 = b 0 x (5.2) und b n = a n b n 2 = a n + b n x b n 3 = a n 2 + b n 2 x. b 0 = a + b x. Satz. Sei f ein Polynom vom Grad n mit den Koeffizienten a 0,..., a n und einer rellwertigen Nullstelle x. Die Koeffizienten b k der Funktion f (x) = f(x) x x lassen sich rekursiv mit Hilfe von b k = a k + b k x, k = n, n,...,, berechnen, wobei b n = 0 gesetzt wird. Durch die Rekursionsvorschrift wird implizit eine Polynomdivision mit dem Divisor x x ausgeführt. Diese rekursive Rechenvorschrift kann durch das Schema k = n k = n k = n 2... k = k = 0 a n a n a n 2... a a 0 Koeffizienten a k von f 0 a n a n + b n x... a 2 + b 2 x a + b x Koeffizienten b k von f repräsentiert werden (Horner-Schema). Die Berechnung aller weiteren Nullstellen von f reduziert sich damit auf die Berechnung der Nullstellen von f. Das Horner-Schema bzw. die dazugehörige Rekursionsvorschrift ist zusammen mit dem Newton- Verfahren, siehe Abschnitt??, die Grundlage für die numerische Nullstellenberechnung von Polynomen. Zur Demonstration des Horner-Schemas soll im folgenden ein einfaches Rechenbeispiel betrachtet werden, das mit einer numerischen Nullstellenberechnung jedoch nur wenig zu tun hat. Beispiel Gegeben sei die Funktion f(x) = x 4 + 6x 3 8x 2 6x + 9,

29 5.3. WICHTIGE FUNKTIONENKLASSEN 99 von der bekannt ist, dass sie nur ganzzahlige Nullstellen besitzt. Zu bestimmen sind die Nullstellen. Aus Gleichung (5.2) folgt unmittelbar, dass mindestens eine Nullstelle von f ganzzahliger Teiler von a 0 = 9 sein muss, d. h., mindestens eine der Zahlen 9, 3,,, 3 oder 9 muss Nullstelle von f sein. Duch Einsetzen stellt man fest, dass 9 und 3 keine Nullstellen von f sind, jedoch. Für x = erhält man mit Hilfe der obigen Rekursionsvorschrift b 3 =, b 2 = 7, b = 5 und b 0 = 9 als Koeffizienten der Funktion f, d. h. f (x) = x 3 + 7x 2 5x + 9. Analog erhält man mit x 2 = aus f die Funktion f 2 (x) = x 2 + 6x 9, die die Nullstellen x 3 = x 4 = 3 hat, usw. Diese Rechnung kann im Horner-Schema k = 4 k = 3 k = 2 k = k = x = x 2 = x 3 = x 4 = übersichtlich dargestellt werden. Das Horner-Schema zur effektiven Berechnung des Funktionswertes eines Polynoms Satz. Sei x R eine bliebige Zahl (also nicht unbedingt eine Nullstelle), für die der Funktionswert des Polynoms berechnet werden soll. Mit b n = 0 gilt die Berechnungsvorschrift b k = a k + b k x, k = n, n,..., f(x ) = a 0 + b 0 x. Diese Rekursionsvorschrift kann in übersichtlicher Form durch das Schema k = n k = n k = n 2... k = k = 0 f(x ) a n a n a n 2... a a 0 0 a n a n + b n x... a 2 + b 2 x a + b x a 0 + b 0 x veranschaulicht werden. Auf diese Weise kann der Funktionswert f(x ) schneller berechnet werden als auf direktem Wege, und die Berechnung mit Hilfe des Horner-Schemas ist in der Regel auch numerisch stabiler.

30 00 KAPITEL 5. FUNKTIONEN Beispiel Die Funktion f(x) = x 4 + 6x 3 8x 2 6x + 9 = ( (( x + 6)x 8 ) x 6 ) + 9 soll an der Stelle x = 2 berechnet werden. Für dieses Beispiel liefert das Horner-Schema in der Form k = 4 k = 3 k = 2 k = k = 0 f(2) den Wert f(2) = 3. Da viele Funktionen durch Potenzreihen repräsentiert werden können (z. B. e x und sin(x)), die Berechnung eines Funktionswertes also auf die Berechnung des Funktionswertes des entsprechenden Polynoms zurückgeführt werden kann, ist das Horner-Schema ein wichtiges Hilfsmittel Rationale Funktionen Definition. Eine Funktion vom Typ f(x) = P m(x) Q n (x) = a mx m + a m x m a x + a 0 b n x n + b n x n b x + b 0 mit a 0, a,..., a m, b 0, b,..., b n R, a m, b n 0 heißt rationale Funktion. Für m n heißt f unecht gebrochen rationale Funktion sonst echt gebrochen rationale Funktion. Der Definitionsbereich ist D(f) = R \ {x,..., x n }, wobei x,..., x n die Nullstellen des Quotienten Q n (x) bezeichnen. Jede unecht rationale Funktion läßt sich durch Polynomdivision darstellen als Summe eines Polynoms und einer echt rationalen Funktion, f(x) = P m(x) Q n (x) = S m n(x) + R k(x) Q n (x), wobei R k und S m n Polynome vom Grade k < n bzw. m n sind. Das Polynom S m n wird auch ganz rationaler Anteil genannt. Beispiel Gegeben sei die unecht rationale Funktion f(x) = 4x4 2x + 5 x 2 3x 0, d. h. m = 4 und n = 2.

31 5.3. WICHTIGE FUNKTIONENKLASSEN 0 Polynomdivision liefert (4x 4 +0x 3 +0x 2 2x +5) 4x 4 2x 3 40x 2 2x 3 +40x 2 2x +5 2x 3 36x 2 20x 76x 2 +8x +5 76x 2 228x x +765 : (x 2 3x 0) = 4x 2 + 2x + 76 d. h. f(x) = 4x 2 346x } + 2x {{ + 76 } + } x 2 3x {{ 0 } Polynom echt gebrochen Charakteristische Stellen (i) Nullstellen: Werte x 0 mit P m (x 0 ) = 0 und Q n (x 0 ) 0 (ii) Polstellen: Werte x p mit Q n (x p ) = 0 und P m (x p ) 0. Die Funktionswerte von f wachsen oder fallen in der Umgebung ihrer Polstellen (abkürzend auch Pole genannt) über alle Grenzen ( Unendlichkeitsstelle ). Sei x p eine Nullstelle von Q n mit der Vielfachheit k N, dann heißt x p Pol der Ordnung k. Ist k geradzahlig, dann heißt x p Pol gerader Ordnung, sonst Pol ungerader Ordnung. (iii) Lücken: Werte x l mit P m (x l ) = 0 und Q n (x l ) = 0 (Lücken im Definitionsbereich). Die Werte x l müssen Nullstellen für den Zähler und den Nenner sein mit der gleichen Vielfachheit. Lücken können durch Zusatzvereinbarungen (stetige Ergänzungen) geschlossen werden. (i) Die Funktion f(x) = x ist eine rationale Funktion mit m = 0, P m(x) =, n = und Q n (x) = x, f ist echt rationale Funktion. Der Graph von f ist in Abbildung 5.2a dargestellt. Der Zähler P m (x) hat keine Nullstellen. Folglich hat auch f keine Nullstellen. Der Nenner Q n (x) hat eine einfache Nullstelle (d. h. eine Nullstelle der Ordnung k = ) bei x p = 0. Somit hat f einen Pol ungerader Ordnung k = bei x p = 0, siehe Abbildung 5.2. (ii) Die Funktion f(x) =, siehe Abbildung 5.2b, ist ebenfalls eine echt rationale Funktion x 2 (m = 0, P m (x) =, n = 2 und Q n (x) = x 2 ). Der Nenner Q n (x) hat eine Nullstelle der Ordnung k = 2 bei x p = 0, d. h., f hat bei x p = 0 einen Pol gerader Ordnung. (iii) Nach Umformung der Funktion f(x) = x x 2

32 02 KAPITEL 5. FUNKTIONEN Abbildung 5.2: Die Graphen der Funktionen (a) f(x) = x, (b) f(x) = x 2 und (c) f(x) = x+. erkennt man, dass f keine Nullstellen hat, siehe Abbildung 5.2c. Mit Hilfe der dritten binomischen Formel erhält man f(x) = x x 2 = x (x )(x + ) ( = ). x + Das bedeutet f(x) = f(x) = x x 2 und damit hat f eine Polstelle x p = der Ordnung k = und eine Lücke bei x l =, die durch die Vereinbarung f() := 2 geschlossen werden kann. Asymptotisches Verhalten im Unendlichen (i) Jede echt gebrochen rationale Funktion nähert sich für x und x an die x-achse an, d. h. y = 0 ist die Gleichung der Asymptote. (ii) Jede unecht gebrochen rationale Funktion f(x) strebt wegen R k (x) x Q n (x) = R k (x) x Q n (x) = 0 für x ± gegen den ganzrationalen Anteil, d. h. die Funktion S m n (x) ist die Asymptote von f(x).

33 5.3. WICHTIGE FUNKTIONENKLASSEN 03 Abbildung 5.3: Die Graphen der rationalen Funktion (a) f(x) = x3 +x 2 5x+3 x 2 +3x+2 und (b) ihrer Asymptote S m n (x) = x 2. Beispiel Gegeben sei die Funktion Der Zähler f(x) = x3 + x 2 5x + 3 x x + 2 P m (x) = x 3 + x 2 5x + 3 = (x ) 2 (x + 3) besitzt die Nullstellen x =, x 2 = und x 3 = 3, d. h., x = x 2 = ist doppelte Nullstelle. Der Nenner Q n (x) = x 2 + 3x + 2 = (x + )(x + 2) hat zwei (einfache) Nullstellen bei x 4 = 2 bzw. x 5 =. Somit hat f bei x 4 und x 5 Pole erster Ordnung (k = ). Mit Polynomdivision erhält man (x 3 +x 2 5x +3) x 3 +3x 2 +2x 2x 2 7x +3 2x 2 6x 4 x +7 : (x 2 + 3x + 2) = x 2 und f(x) = x x x 2 + 3x + 2.

34 04 KAPITEL 5. FUNKTIONEN Die Gerade S m n (x) = x 2 ist also Asymptote, siehe Abbildung Potenz- und Wurzelfunktionen Die Potenzfunktionen f(x) = x n, n Z, siehe Abbildung 5.4 und Abschnitt??, sind Spezialfälle ganzrationaler bzw. rationaler Funktionen und haben in diesen Fällen den Definitionsbereich D(f) = R falls n 0 und D(f) = R \ {0} für n < 0. Für geradzahliges n sind die Funktionen f(x) = x n gerade, d. h. f(x) = f( x)), für ungeradzahliges n ungerade, d. h. f(x) = f( x). Es sei besonders darauf hingewiesen, dass die Potenzfunktion im Definitionsbereich D(f) = [0, ) auch für nicht ganzzahlige Exponenten erklärt ist, f(x) = x a = e a ln(x), a R, x 0. Die Wurzelfunktion f(x) = n x = x /n, n N, x 0 ist die inverse Funktion von x n, wobei zur Bildung der inversen Funktion der Definitionsbereich D(f) für geradzahliges n entsprechend eingeschränkt werden muss. Die Wurzelfunktion ist ebenfalls eine Potenzfunktion mit nicht ganzzahligem Exponenten. Abbildung 5.4: Die Graphen der Funktionen (a) f(x) = x, (b) f(x) = x 2, (c) f(x) = x 3, (d) f(x) = x 4, (e) f(x) = x 5, (f) f(x) = x 6,...

35 5.3. WICHTIGE FUNKTIONENKLASSEN 05 Abbildung 5.5: Die Graphen der Funktionen (a) f(x) = x, (b) f(x) = x, (c) f(x) = 3 x, (d) f(x) = 4 x, (e) f(x) = 5 x, (f) f(x) = 6 x,... Abbildung 5.6: Die Graphen der Funktion f(x) = a x für (a) a = 4, (b) a = e, (c) a = 2, (d) a = 3 4, (e) a =, (f) a = 3 2, (g) a = 2, (h) a = e, Exponential- und Logarithmusfunktion Die Exponentialfunktion f(x) = a x, a > 0, x R ist für 0 < a < streng monoton fallend und für a > streng monoton steigend, siehe auch Abbildung 5.6.

36 06 KAPITEL 5. FUNKTIONEN Ein wichtiger Spezialfall ist die Funktion f(x) = exp x = e x, x R, die in der Praxis vielfältige Anwendungen hat. Abbildung 5.7: Die Graphen der Funktion f(x) = log a x für (a) a = 4, (b) a = e, (c) a = 2, (d) a = 3 4, (f) a = 3 2, (g) a = 2, (h) a = e,... Die Logarithmusfunktion f(x) = log a x, x > 0 ist die inverse Funktion der Exponentialfunktion f(x) = a x für a > 0, a, x > 0. Die Graphen der inversen Funktionen von Abbildung 5.6 sind in Abbildung 5.7 dargestellt, außer für a = (5.6e), für die keine Inverse existiert Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen Die trigonometrischen Funktionen sin(x), cos(x), tan(x) und cot(x) sind periodische Funktionen. Die Periodenlängen sind 2π für sin(x) und cos(x) und π für tan(x) und cot(x), siehe auch Abbildungen 5.8 und 5.9. Wichtige Zusammenhänge zwischen den trigonometrischen Funktionen sind in der folgenden Übersicht gegeben:

37 5.3. WICHTIGE FUNKTIONENKLASSEN 07 Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen. sin(x) = sin( x), cos(x) = cos( x), sin(x) = sin(x + 2π), cos(x) = cos(x + 2π), sin(x) = cos ( x π ) ( ) 2, cos(x) = sin x + π 2, tan(x) = sin(x) cos(x) cos(x), cot(x) = sin(x), tan(x) = tan( x), cot(x) = cot( x), tan(x) = tan(x + π), cot(x) = cot(x + π), sin 2 x + cos 2 x =, tan(x) cot(x) =, + tan 2 x = cos 2 x, + cot2 x = sin 2 x, sin(x ± y) = sin(x) cos y ± cos(x) sin y, cos(x ± y) = cos(x) cos y sin(x) sin y, tan(x ± y) = tan(x)±tan y cot(x) cot y tan(x) tan y, cot(x ± y) = cot(x)±cot y, cos 2 y cos 2 x = sin(x + y) sin(x y), cos 2 y sin 2 x = cos(x + y) cos(x y), sin 2x = 2 sin(x) cos(x), cos 2x = cos 2 x sin 2 x. Weitere Beziehungen finden sich in Tabellenbüchern. Abbildung 5.8: Die Graphen der trigonometrischen Funktion (a) f(x) = sin(x) und (b) f(x) = cos(x). Die inversen Funktionen arcsin, arccos, arctan und arccot der trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan bzw. cot sind nur für Definitionsbereiche definiert, in denen diese Funktionen monoton sind. Die inversen Funktionen der trigonometrischen Funktionen heißen auch Arcusfunktionen. Da in vielen Softwarebibliotheken lediglich die Funktion atan für den Arcustangens enthalten ist, sind

38 08 KAPITEL 5. FUNKTIONEN Abbildung 5.9: Die Graphen der trigonometrischen Funktion (a) f(x) = tan(x) und (b) f(x) = cot(x). noch die Beziehungen x arcsin x = arctan, < x < x 2 x 2 arccos x = arctan, x, x 0 { x arctan x arccot x =, x > 0 arctan x + π, x < 0 wichtig, mit deren Hilfe die Berechnung von arcsin, arccos und arccot auf arctan zurück geführt wird Hyperbel- und Areafunktionen Die Hyperbelfunktionen auch hyperbolische Funktionen genannt werden auf die Exponentialfunktion zurückgeführt. Definition. Die Hyperbelfunktionen sind durch definiert. sinh x = 2 (ex e x ), x R (sinus hyperbolicus), cosh x = 2 (ex + e x ), x R (cosinus hyperbolicus), tanh x = ex e x sinh x e x =, x R (tangens hyperbolicus), + e x cosh x coth x = ex + e x cosh x e x =, x 0 (cotangens hyperbolicus). e x sinh x 2 Es wird noch auf den Zusammenhang zwischen den Arcusfunktionen und der Logarithmusfunktion hingewiesen. Es gilt arcsin x = i ln ( ix + x 2), arccos x = i ln ( x + x 2), arctan x = 2i wobei i die imaginäre Einheit bezeichnet, i =. +ix ln, arccot x = ix+ ix 2i ln, ix

39 5.3. WICHTIGE FUNKTIONENKLASSEN 09 Abbildung 5.0: Die Graphen der Arcusfunktionen (a) f(x) = arcsin x und (b) f(x) = arccos x. Abbildung 5.: Die Graphen der Arcusfunktionen (a) f(x) = arctan x und (b) f(x) = arccot x. Die Graphen der hyperbolischen Funktionen sind in den Abbildungen 5.2 bzw. 5.3 dargestellt. Ihre Namen und Bezeichnungen haben die Hyperbelfunktionen in Anlehnung an die trigonometrischen Funktionen erhalten, da für sie ähnliche Rechengesetze (z. B. Additionstheoreme) gelten, siehe Formelsammlungen.

40 0 KAPITEL 5. FUNKTIONEN Beispiel (Berechnung der Umkehrfunktion von f(x) = sinh x). y = 2 y = 2 ( e x e x), Substitution z = e x ( z ) z 2y = z z 2yz = z 2 z 2 2yz = 0, z /2 = y ± y 2 + Die Lösung z = y + y 2 + ist positiv für alle Werte y R; die Lösung z = y y 2 + ist wegen y < y 2 + stets negativ und bleibt daher im folgenden unberücksichtigt. Rücksubstitution liefert e x = y + y 2 + ( x = ln y + ) y 2 +. Und nach Vertauschen von x und y erhält man die Umkehrfunktion ( y = ln x + ) x 2 +. Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Areafunktionen. Sie sind Derivate der Logarithmusfunktion. Definition. Die Areafunktionen sind definiert durch ( arsinh x = ln x + ) x 2 +, x R (area sinus hyperbolicus), ( arcosh x = ln x + ) x 2, x (area cosinus hyperbolicus), artanh x = ( ) + x 2 ln, < x < (area tangens hyperbolicus), x arcoth x = ( ) x + 2 ln, x < oder x > (area cotangens hyperbolicus). x Die Graphen der Areafunktion sind in den Abbildungen 5.4 und 5.5 dargestellt. Die Hyperbelfunktionen und ihre inversen Funktionen die Areafunktionen werden später noch in der Differential- und Integralrechnung gebraucht. Es gibt aber auch technische Anwendungen. So ist z. B. die Fallgeschwindigkeit als Funktion der Zeit mit Berücksichtigung des Luftwiderstandes eine hyperbolische Funktion (tanh).

41 5.4. DIE PARAMETERFORM VON FUNKTIONEN UND KURVEN Abbildung 5.2: Die Graphen der Hyperbelfunktionen (a) f(x) = sinh x und (b) f(x) = cosh x. Abbildung 5.3: Die Graphen der Hyperbelfunktionen (a) f(x) = tanh x und (b) f(x) = coth x. 5.4 Die Parameterform von Funktionen und Kurven Bisher wurden (ebene) Kurven durch Funktionen beschrieben. Gegeben sei eine Funktion f mit dem Definitionsbereich D(f), dann heißt die Menge {(x, f(x)) : x D(f)} R 2 Kurve der Funktion f. In manchen Fällen ist es nützlich, eine Kurve durch zwei Funktionen mit gemeinsamen Definitionsbereich zu beschreiben.

42 2 KAPITEL 5. FUNKTIONEN Abbildung 5.4: Die Graphen der Areafunktionen (a) f(x) = arsinh x, (b) f(x) = arcosh x, Umkehrfunktion des monoton steigenden Teils der Funktion cosh x und (c) f(x) = arcosh x, Umkehrfunktion des monoton fallenden Teils der Funktion cosh x. Abbildung 5.5: Die Graphen der Areafunktionen (a) f(x) = artanh x und (b) f(x) = arcoth x. Seien x(t) und y(t) zwei reellwertige Funktionen mit einem gemeinsamen Definitionsbereich, D(x) = D(y) = D(x, y). Dann heißt die Menge {(x(t), y(t)) : t D(x, y)} parametrische Darstellung oder Parameterform der durch die beiden Funktionen x(t), y(t). (i) Die Notwendigkeit, eine Kurve prametrisch zu beschreiben, kann sich aus einem physikalischen

43 5.4. DIE PARAMETERFORM VON FUNKTIONEN UND KURVEN 3 Zusammenhang ergeben. Betrachten wir z. B. den horizontalen Wurf eines Gegenstandes in einer Höhe h 0 unter Berücksichtigung der Erdanziehung mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0. Die Kurve, die der Gegenstand im Verlauf der Zeit t zurücklegt, kann für t [t 0, t ] mit t 0 = 0 und t = 2h0 g durch x(t) = v 0 t, y(t) = h 0 2 gt2 beschrieben werden, wobei g = 9, m/s 2 die Erdbeschleunigung bezeichnet. Der Wert ist die Wurfweite. Ein Beispiel einer solchen Wurfkurve ist in Abbil- x(t ) x(t 0 ) = v 2h0 0 g dung 5.6 gegeben. Abbildung 5.6: Eine Wurfkurve für h 0 = 9 m und v 0 = 70 m/s. (ii) Es gibt aber auch mathematische Gründe für Parameterdarstellungen. So kann z. B. die Kreiskurve nicht durch eine eindeutige Funktion dargestellt werden, d. h., es gibt keine Funktion, deren Graph die Kreiskurve ist. Die Einführung von Polarkoordinaten führt zu der Parameterdarstellung der Kreiskurve, x(ϕ) = r cos(ϕ), y(ϕ) = r sin(ϕ), wobei D(x, y) = [0, 2π) und der Radius r eine Konstante ist. Analog kann die Archimedische Spirale durch x(ϕ) = ϕ cos(ϕ), y(ϕ) = ϕ sin(ϕ) mit D(x, y) = [0, ) beschrieben werden, siehe Abbildung 5.7 (links). (iii) Der Violinschlüssel kann als Graph einer parametrischen Funktion mit x(t) = 7 00 sin(2t) 3 20 cos(3t) y(t) = t 0 3 sin(t) 37 2 cos(t) + sin(2t) cos(2t)

44 4 KAPITEL 5. FUNKTIONEN Abbildung 5.7: Die Archimedische Spirale (links) und der Violinschlüssel (rechts). für t [0, 2π] dargestellt werden, siehe Abbildung 5.7 (rechts). Bemerkung Abschießend wird angemerkt, dass der Graph einer jeden Funktion f in der parametrischen Form x(t) = t und y(t) = f(t) auch identisch mit der Kurve von f ist, und der Graph {(f(t), t) : t D(f)} ist identisch mit dem Graph der inversen Funktion f.