Mathematik für Ingenieure mit Maple

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1 Thomas Westermann Mathematik für Ingenieure mit Maple Bandl: Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen, Vektor- und Matrizenrechnung, Komplexe Zahlen, Funktionenreihen 4., neu bearbeitete Auflage Mit 250 Abbildungen und Skizzen, 270 durchgerechneten Beispielen und 250 Übungsaufgaben ö Springer

2 Inhaltsverzeichnis Motivierende Problemstellungen 1 1. Spektrum eines strahlenden schwarzen Körpers 3 2. Scheinwerferproblem 5 3. Filterschaltung 7 4. Magnetische Feldstärke stromdurchflossener Leiter 9 5. Vierpolschaltung 11 Kapitel I: Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme Mengen Natürliche Zahlen Peanosche Axiome Vollständige Induktion Geometrische Summenformel Permutationen Der binomische Lehrsatz Mathematische Beweismethoden Reelle Zahlen Zahlenmengen und Operationen Die Rechengesetze für reelle Zahlen Potenzrechnen Logarithmen Anordnung der reellen Zahlen Gleichungen und Ungleichungen mit MAPLE Gleichungen Ungleichungen Lineare Gleichungssysteme Ein EinfUhrungsbeispiel Begriffsbildung und Notation Das Lösen von linearen Gleichungssystemen Lösen von linearen Gleichungssystemen mit MAPLE 45 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 49 Aufgaben zu Kapitel I 50 Kapitel II: Vektorrechnung Vektoren im 1R Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Addition zweier Vektoren Die Länge (der Betrag) eines Vektors Das Skalarprodukt zweier Vektoren Geometrische Anwendung 60

3 XÜ Inhaltsverzeichnis 2. Vektoren im R Rechenregeln für Vektoren Projektion eines Vektors Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren Das Spatprodukt von drei Vektoren Vektorrechnung mit MAPLE Geraden und Ebenen im 1R Vektorielle Darstellung von Geraden Lage zweier Geraden zueinander Abstandsberechnung zu Geraden Vektorielle Darstellung von Ebenen Lage zweier Ebenen zueinander Abstandsberechnung zu Ebenen Berechnung des Schnittes einer Geraden mit einer Ebene Punkte, Geraden und Ebenen mit MAPLE Vektorräume Vektorrechnung im1r Vektorräume Linearkombination und Erzeugnis Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit Basis und Dimension 106 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 110 Aufgaben zu Kapitel II 111 Kapitel III: Matrizen und Determinanten Matrizen Einführung, spezielle Matrizen Rechenoperationen für Matrizen Inverse Matrix Das Matrizenrechnen mit MAPLE Lineare Abbildungen Anwendungsbeispiele Determinanten Einführung Rechenregeln für zweireihige Determinanten n-reihige Determinanten Anwendungen von Determinanten Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen Lineare Gleichungssysteme, Rang Anwendungen 147 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 149 Aufgaben zu Kapitel in 151

4 Inhaltsverzeichnis XÜi Kapitel IV: Elementare Funktionen Grundbegriffe und allgemeine Funktionseigenschaften Grundbegriffe Elementare Funktionen in MAPLE Allgemeine Funktionseigenschaften Polynome Festlegung von Polynomen durch Wertepaare Koeffizientenvergleich Teilbarkeit durch einen Linearfaktor Nullstellenproblem Interpolationspolynome mit dem Newton-Algorithmus Polynome mit MAPLE Rationale Funktionen Rationale Funktionen Anwendung: Übertragungsfunktion bei LC-Kreisen Rationale Funktionen mit MAPLE Potenz- und Wurzelfunktionen Exponential- und Logarithmusfunktion Exponentialfunktion Logarithmusfunktion Trigonometrische Funktionen Grundbegriffe Sinus- und Kosinusfunktion Tangens- und Kotangensfunktion Arkusfunktionen 209 Zusammenstellung der Vereinfachungsbefehle von MAPLE 215 Aufgaben zu Kapitel IV 216 Kapitel V: Die komplexen Zahlen Darstellung komplexer Zahlen Algebraische Normalform Trigonometrische Normalform Exponentielle Normalform Umformungen der Normalformen Komplexe Zahlen mit MAPLE Komplexe Rechenoperationen Addition Subtraktion Multiplikation Division Potenz Wurzeln Fundamentalsatz der Algebra Komplexe Rechnung mit MAPLE 237

5 xiv Inhaltsverzeichnis 4. Anwendungen Überlagerung harmonischer Schwingungen Der RCL-Wechselstromkreis Übertragungsverhältnis 250 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 252 Aufgaben zu Kapitel V 253 Kapitel VI: Differential- und Integralrechnung Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion Reelle Zahlenfolgen Funktionsgrenzwert Stetigkeit einer Funktion Intervallhalbierungs-Methode Differentialrechnung Einführung Rechenregeln bei der Differentiation Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik Differential einer Funktion Anwendung der Differentialrechnung in der Mathematik Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme) Sätze der Differentialrechnung Spektrum eines strahlenden schwarzen Körpers Newton-Verfahren Integralrechnung Das Riemann-Integral Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung Grundregeln der Integralrechnung Integrationsmethoden Uneigentliche Integrale Anwendungen der Integralrechnung 365 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 383 Aufgaben zu Kapitel VI 384 Kapitel VII: Funktionenreihen Zahlenreihen Beispiele Konvergenzkriterien Potenzreihen Taylorreihen Taylorreihen mit MAPLE Anwendungen Näherungspolynome einer Funktion Integration durch Potenzreihenentwicklung 432

6 Inhaltsverzeichnis XV 6. Komplexwertige Funktionen Komplexe Potenzreihen Die Eulersche Formel Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion Komplexe Hyperbelfunktionen Differentiation und Integration 440 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 443 Aufgaben zu Kapitel VE 443 Kapitel VIII: Numerische Differentiation und Integration Numerische Differentiation Differenzenformeln für die erste Ableitung Differenzenformeln für die zweite Ableitung Numerische Integration Die Rechteckregel Die Trapezregel Die Simpson-Regel 454 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 456 Aufgaben zu Kapitel VIII 457 Anhang A: Einführung in MAPLE 459 Anhang B: Die Homepage zum Buch 469 Literaturverzeichnis 472 Index 474 Verzeichnis der MAPLE-Befehle 483