Die Exponentialfunktion und ihre Verwandschaft

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1 Die Exponentialfuntion und ire Verwandscaft Pilipp-Andreas Kaufmann 6. August 06 Inaltsverzeicnis Die Exponentialfuntion. Wie findet man nun so eine Folgenvorscrift? Die Eigenscaften der Exponentialfuntion Grap der Exponentialfuntion und Logaritmusfuntion Die Allgemeine Exponentialfuntion 5 Die Logaritmusfuntion und die Binomialreie 6. Die Logaritmusgesetze Die Ableitung der Logaritmusfuntion Die Trigonometriscen Funtionen 0 4. Die Additionsteoreme und Verdoppelungsteoreme Die Tangensfuntion und Tangensteoreme Berecnungstabelle für Sinus, Kosinus und Tangens Einige algebraisc-trigonometrisce Berecnungsmetoden Die Grapen der Sinus-Kosinus und Tangensfuntion Die Grapen der Umerfuntionen Die Arustangensreie 5. Die Jon Macin Formel Potenzreiendarstellung der Jon-Macin Formel

2 Die Exponentialfuntion Auf die Exponentialfuntion mit der Basis e stößt man, wenn folgende zwei Eigenscaften gelten:. f(x + ) f(x) f(). f (x) f(x) Dabei stellt die Gestalt f(x + ) f(x) f() () eine Funtionalgleicung da, die auf dem Potenzgesetz x n+m x n x m berut. Betractet man ferner die zweite Eigenscaft so dass f (x) f(x) gilt, so ann man in Zusammenang mit der ersten Eigenscaft eine Funtionenfolge onstruieren, derart sodass die Funtionenfolge die Basis e numerisc darstellt.. Wie findet man nun so eine Folgenvorscrift? Wir beginnen mit der zweiten Eigenscaft und setzen f (x) als den Differentialquotienten an: f(x + ) f(x) Ferner gelte auc die erste Eigenscaft, also die Funtionalgleicung- substituiert in den Differentialquotienten liefert dies f f(x) f() f(x) (x) lim Durc Herauseben gemeinsamer Fatoren und anwenden der Grenzwertsätze, liefert dies vereinfact: f(x) f() f(x) f(x) [f() ] f(x) lim f() f (x) f(x) lim f() Zwingendermaßen muss wegen den Körperaxiomen und der Tatsace, das die Multipliation ein eindeutiges neutrales Element besitzt (dies ist die, denn eine Multipliation eines beliebigen Elementes x K \ 0 liefert stets das selbe Argument) der folgende Grenzwert existieren und es gilt: f() lim Denn wäre dieser Grenzwert dann folgt daraus f (x) f(x) im Widerspruc zur Eigenscaft zwei. Mit dem Wissen das dieser Grenzwert existiert und sogar eindeutig bestimmt ist, ann daraus eine Funtionenfolge onstruiert werden. Es gilt Mit dem Wissen ann nun n lim lim n n 0 substituiert werden. lim lim n f() lim f() f( n ) n lim lim n

3 Mit den Grenzwertsätzen ergibt sic folgende Vereinfacung: lim f( n n ) lim lim n n n lim n f( n ) lim n + lim n n lim f( n n ) lim ( + n n ) lim f( n n ) lim f() f(0) Wir wissen nun, das die Funtion durc den Punt P (0/) get. Wir aben dennoc eine Funtionsvorscrift gefunden. Dies werden wir jetzt nacolen. Es gilt: f() f(n n ) f( n + n + n +... n +) f( n ) f( n ) f( n )... f( n ) (f( n )n ) f(x) f(n x n ) f(x n + x n + x n +...x n +) f(x n ) f(x n ) f(x n )... f(x n ) (f(x n )n ) Wegen dem Folgenriterium gilt lim f( n n ) lim f() lim f( n n n )n ( + n )n lim f(x n n ) lim f(x) lim f(x n n n )n ( + x n )n Damit definieren wir die Exponentialfuntion mit e x : ( + x n )n () und die Basis e : ( + n )n () Ferner definiert man mitilfe der Binominalentwiclung auc die Exponentialreie. ( + x) n n ( ) n x In der Folgenvorscrift lautet die Funtionsgleicung e x ( + x n )n Dies ann man dann wie folgt vereinfacen: ( ) n ( x n ) ( ) n ( x n ) n n... (n ( )) (n 0)(n )...(n ( ) ( ) n x (4) x n Man ann nun die Exponentialfuntion auc als unendlice Reie darstellen. Wir definieren somit die e Funtion als Reiendarstellung: f(x) e x x (5) x n x

4 . Die Eigenscaften der Exponentialfuntion Mit der Tatsace, dass sic die Exponentialfuntion beliebig oft differenzieren lässt, ist es daer auc möglic diese als omogenen Lösungsansatz von gewönlicen linearen Differentialgleicungen mit onstantem Koeffizienten n. Ordnung zu verwenden. Diesen Typ von Differentialgleicung findet man z.b. bei den LTI-Systemen (lineare zeitunabängige Systeme). Die Funtion f : R R + mit x e x ist bijetiv. Dass bedeutet ferner das folgende Eigenscaften gelten:. Die Funtion ist surjetiv. Die Funtion ist injetiv. Die Funtion ist umerbar, d.. es existiert eine Umerfuntion Dabei eißt eine Funtion f : X Y surjetiv wenn es für alle Elemente aus der Wertebereicsmenge Y mindestens ein Urbild gibt, d.. also zu jedem y Y ann mindestens ein x X zugeordnet werden. Die Funtion f : X Y eißt injetiv, wenn es für alle Elemente aus der Wertebereicsmenge Y öcstens ein Element aus der Definitionsmenge X gibt. Wenn eine Funtion injetiv ist, muss es nict zu jedem y Y ein Urbild geben, im Gegensatz zur Surjetivität. Eine Funtion f : X Y eißt bijetiv, wenn es zu jedem y Y genau ein x X gibt. Diese Aussage ist äquivalent zu, die Funtion ist injetiv als auc surjetiv. Wir zeigen nun, das f : R R + surjetiv als auc injetiv und folglic bijetiv ist.. Die Funtion ist surjetiv. Nac dem Zwiscenwertsatz gilt, dass eine stetige Funtion f : [a, b] R im Definitionsintervall [a, b] auf jedem Funtionswert f(c) [f(a), f(b)] an mindestens einer Stelle c [a, b] angenommen wird. Da f : R R + mit x e x auf ganz f an jeder Stelle stetig ist, ann das Definitionsintervall beliebig angesetzt werden. Die Stetigeit ist mit dem Folgenriterium bewiesen, da wir eine Funtionenfolge gefunden aben und somit der Grenzwert an jeder Stelle existiert. Damit ist die Surjetivität bewiesen.. Die Funtion ist injetiv. Injetivität bedeutet, zwei versciedene Stellen liefern zwei versciedene Funtionswerte, da es laut Definition zu jedem y Y öcstens ein x X gibt. Dies begründen wir matematisc mit dem Monotonieveralten, d.. sei o.b.d.a x < x so folgt f(x ) < f(x ). Dies ist tatsäclic der Fall wie die Exponentialreie zeigt: x < x Damit ist auc die Injetivität bewiesen. x < x x < x x < x x < x x < x ex < e x x x f(x ) f(x ). Die Funtion ist bijetiv. Dies folgt aus der Injetivität und Surjetivität. Es gibt somit eine Umerfuntion. Die Umerfuntion lautet f : R + R und x ln(x). ln(x) ist der logartimus naturalis und zugleic der Logaritmus zur Basis e. 4

5 . Grap der Exponentialfuntion und Logaritmusfuntion Die Grapen der Exponential und Logaritmusfuntionen önnen gegenseitig durc Spiegelung an der. Mediane y x onstruiert werden. Abbildung : Die Exponential und Logaritmusfuntion Wie get man nun mit Exponentialfuntionen vor, die nict die Basis e besitzen, sondern eine allgemeine Basis a besitzen? Dies wird im folgenden Kapitel erläutert. Die Allgemeine Exponentialfuntion Wir definieren analog zum. Kapitel die allgemeine Exponentialfuntion mit folgenden Eigenscaften:. f(x + ) f(x) f(). f (x) f(x) Das eißt also das eine allgemeine Exponentialfuntion dieselbe Funtionalgleicung besitzt als die Exponentialfuntion zur Basis e. Man betracte ferner den Differentialquotienten: f(x + ) f(x) f(x) f() f(x) f(x) [f() ] f(x) lim f() f (x) f(x) lim f() 5

6 Daraus folgt, da laut der Eigenscaft zwei gilt f (x) f(x) das Man definiert diesen Grenzwert als ln(a) d.. f() lim ln(a) : lim f() (6) Ferner ann man jede beliebige Potenzfuntion auf eine e Basisfuntion umformen. Wenn man allgemein eine bijetive Funtion mit irer zugeörigen Umerfuntion intereinanderausfürt, so ist man wieder im Ausgangselement. Wir zeigen die Hintereinanderausfürung (auc Komposition von Funtionen) allgemein. Sei f : X Y eine bijetive Abbildung mit x y und f : Y X ire zugeörige Umerabbildung mit y x. Dann liefert die Komposition f f f (f(x)) f (y) x Man ann eine allgemeine Potenzfuntion der Gestalt x n in die Form f(x) x n e ln(xn) bringen. Die Form e ln(xn) ann weiter vereinfact werden, wenn man die Logaritmusgesetze auf diese Form anwendet. Wie findet man eine Vorscrift bzw. eine Potenzreie für die Logaritmusfuntion? Diese berut auf die Binomialreie, die im folgenden Kapitel erläutert wird. Die Logaritmusfuntion und die Binomialreie Der Satz der Binomialentwiclung lautet Die Binomialreie ist definiert durc ( ) n x n+ ( + x) n n n ( ) n x + ( ) n x n+ ( ) n x Da der Binomialoeffizient ( n ) für > n immer gleic null ist gilt insbesondere, da n N und... > n + > n + > n, dass ( n ) 0. Folglic ist somit die Reie ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n x x + x + x n + n + n + Daraus folgt nun die Definition der Binomialreie Ferner gibt es für die Binomialreie ein Additionsteorem der Form ( + x) n ( + x) m ( + x) n+m ( ) n x ( + x) n (7) ( ) n x ( ) m x ( ) n + m x 6

7 Die Definition der Logaritmusfuntion stammt aus dem Grenzwert: f() ln(a) : lim a ln(a) lim Man setze nun a + x damit man die Binomialentwiclung anwenden ann: ( + x) ln( + x) lim ( ) x ln( + x) lim ( ln( + x) lim 0) x 0 + ( ) x Da der Ausdruc ( 0) x 0 eins wird, ann dies weiter vereinfact werden: + ln( + x) lim ln( + x) lim ( ) x ( ) x ( ) ( )... ( ( )) x ln( + x) lim ( ) ( )... ( ( )) x ln( + x) lim ln( + x) ( ) ( ) ( )... ( ( )) x ln( + x) ( ) ( )! x ln( + x) ( ) ( )! x ( )! ln( + x) ( ) x Die Logaritmusreie wird für alle x > mit x R definiert. Insbesondere ann ier nur die Potenzreie ln( + x) und nict ln(x) entwicelt werden, denn wäre ln(x) ( ) x dann würde der ln(0) 0 sein, im Widerspruc zu ln(0) existiert nict, denn die Exponentialfuntion f(x) e x ist x R > 0. Somit definiert man L(x) ln( + x) mit: ( ) x L(x) : ln( + x) (8) Nac der erfolgreicen Herleitung der Logaritmusreie, ommen wir nun zu den Logaritmusgesetzen und zu der Logaritmusformel. Die Logaritmusgesetze folgen aus den Potenzgesetzen der Exponentialfuntion; die Logaritmusformel mact es möglic den Logaritmus einer allgemeinen Basis auf den Logaritmus naturalis (dies ist der Logaritmus der Basis e) umzuformen. 7

8 . Die Logaritmusgesetze Die Logaritmusgesetze lauten:. ln(x y) ln(x) + ln(y). ln( x y ) ln(x) ln(y). ln(x a ) a ln(x) 4. Die Logaritmusformel: log a (b) ln(b) ln(a) Die Beweise ierzu folgen nun:. Substitution u : ln(x) und v : ln(y) Dann gilt durc Umformen in eine Exponentialgleicung: u ln(x) e u x v ln(y) e v y Nac den Potenzgesetzen der Exponentialfuntion gilt:. Verwende selbe Substitution wie in ) e u e v e u+v /ln() ln(e u e v ) ln(e u+v ) ln(e ln(x) e ln(y) ) ln(e ln(x)+ln(y) ) ln(x y) ln(x) + ln(y) e u e v eu e v e u v /ln() ln( eu e v ) ln(eu e v ) ln(e u v ) ln( eln(x) e ln(y) ) ln(eln(x) ln(y) ) ln( x ) ln(x) ln(y) y. Zeige ln(x a ) a ln(x) Es gilt x a x x x... x (Es wird a mal x mit sic selbst multipliziert) ln(x a ) ln(x x x... x) ln(x) + ln(x) + ln(x) ln(x) a ln(x) 4. Der Logaritmus zu einer beliebigen Basis soll über die angegebene Formel über den logaritmus naturalis ermittelt werden. Dies soll nun bewiesen werden. z : log a (b) a z a loga(b) a z b e ln(az) e ln(b) e z ln(a) e ln(b) ln(e z ln(a) ) ln(e ln(b) ) z ln(a) ln(b) z ln(b) ln(a) 8

9 . Die Ableitung der Logaritmusfuntion Scließlic fragt man sic wie die Ableitung der Logaritmusfuntion aussiet. Die Herleitung der Ableitungsfuntion ann auf zwei Varianten erfolgen, wobei ic persönlic die. Variante übersictlicer finde. Letzteres Verfaren wird auc bei den Trigonometriscen Funtionen angewendet. Nun zur Ableitung des ln(x): Variante : Der Differentialquotient ist allgemein definiert durc: Betracte den Ausdruc f ln(x + ) ln(x) (x) lim lim f(x + ) f(x) ln( x+ x ) lim ln(x + x ) ln(x x ) ln() 0 lim ln( x+ x ) lim Wir substituieren y : ln( x+ x ) und formen in eine Exponentialgleicung um: Davor gleicen wir die Grenzwertsätze an: Es bleibt noc zu zeigen, dass lim ln(x + x y ln( x + x ) ey x + x ln( x+ x ) lim y 0 lim y 0 Man screibe e y in eine Exponentialreie um: lim y 0 y e y lim y 0 ) 0 lim y 0 y 0 x (e y ) lim lim x y 0 (ey ) 0 y x (e y ) x lim y 0 y e y y y lim y y 0 + y lim y 0 lim y 0 y e y x y y y lim y 0 y y y lim y 0 + y Da der Summenausdruc gegen null onvergiert. Jeder einzele Term ist Null und somit werden nur Nullen aufsummiert, also liefert dies ingesamt bis ins unendlice genau Null. Variante : Differentiation über die Umerfuntion. Dieser Beweis gefällt mir persönlic besser als jener in Variante, doc das ist Gescmac-Sace. Vorraussetzung ierfür ist, das allgemein eine bijetive Abbildung vorliegt, den sonst önnten wir daraus ja nict ire zugeörige Umerfuntion differenzieren. Wir wissen das die Komposition aus Funtion und Umerfuntion wieder ire Identität ergibt, genauso ier: y f(x) ln(x) e y x e ln(x) x (e ln(x) ) (ln(x)) (ln(x)) (e ln(x) ) e ln(x) x Hier wurde die Indentitätsgleicung f (y) f (f(x)) x nac x abgeleitet. Auf der linen Seite der Gleicung ist die Kettenregel anzuwenden (äußere Ableitung mal innere Ableitung) und auf der recten Seite wurde lediglic x nac dx abgeleitet also. Umformen nac der inneren Ableitung, liefert das gewünscte Ergebnis. 9

10 4 Die Trigonometriscen Funtionen Nacdem wir nun die Exponentialfuntion und die Logaritmusfuntion erlärt aben, wollen wir noc eine wesentlice Erenntnis der Exponentialfuntion vorstellen. Man betracte die Exponentialreie für omplexe Argumente C d.. es gilt die Darstellung z : a + ib mit z C e z : Wenn man die omplexe Exponentialreie genauer betractet, dann fällt sofort auf, das alle Terme mit gerader Potenz reel werden und alle Terme mit ungerader Potenz imaginär bleiben. (ix) (ix)0 0! + (ix)! (ix) z + (ix)! + (ix)! + (ix)4... 4! + ix x! i x! + x4 4! +... Warum werden alle geraden Potenzen reel? Man überlege sic die n te Potenz der imaginären Eineit: i 0 Jede Basis oc null ist stets eins i Definition der imaginären Eineit i i i i i i 4 i i i 5 i i i i beginnt wieder von vorne Man sortiere nun die omplexe Exponentialreie sodass alle Terme mit geraden Potenzen assoziert werden und alle Termen mit ungeraden Potenzen assoziert werden. Die omplexe Exponentialreie bestet nun aus den Teilen: (ix) x! + x4 4! x6 6! i ( x! x! + x5 5! x7 7! +...) (ix) ( ) x ()! + i ( ) x + ( + )! Definiert man nun diese Potenzreien als Sinus bzw Kosinus, dann liefert dies die Eulersce Formel: cos(x) : sin(x) : e ix : (ix) ( ) x ()! ( ) x + ( + )! e ix cos(x) + i sin(x) 0

11 Aus der Eulerscen Formel folgen wictige Bezieungen für die Sinus/Kosinusfuntion:. Die Additionsteoreme der Sinus/Kosinusfuntion. Die Verdoppelungsteoreme der Sinus/Kosinusfuntion. Die Periodizität von Sinus und Kosinus 4. Weitere trigonometrisce Bezieungen (z.b. Trigonometriscer Pytagoras, Tangensteorem) Vorerst erweitern wir die Eulersce Formel: Es gilt e ix cos(x) + i sin(x) (9) Was liefert der Ausdruc e ix. Durc einsetzen in die omplexe Exponentialreie und geeigneten assozieren der geraden/ungeraden Terme eralten wir vereinfact: e ix cos(x) i sin(x) Screiben wir nun, diese Formeln in ein Gleicungssystem, so eralten wir I : e ix cos(x) + i sin(x) II : e ix cos(x) i sin(x) Fürt man eine Addition und Subtration dieser beiden Gleicungen so eralten wir: I + II : e ix + e ix cos(x) I II : e ix e ix i sin(x) cos(x) : (eix + e ix ) sin(x) : i (eix e ix ) Nun ann man daraus die Additionsteoreme folgern: 4. Die Additionsteoreme und Verdoppelungsteoreme Diese werden wir nun beweisen: sin(α ± β) sin(α) cos(β) ± cos(α) sin(β) cos(α ± β) cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) sin(α + β) i [ei(α+β) e i(α+β) ] i [eiα e iβ e iα e iβ ] [(cos(α) + i sin(α)) (cos(β) + i sin(β)) (cos(α) i sin(α)) (cos(β) i sin(β))] i Analog für negatives Vorzeicen. [cos(α) cos(β) + i cos(α) sin(β) + i sin(α) cos(β) sin(α) sin(β) i (cos(α) cos(β) i cos(α) sin(β) i sin(α) cos(β) sin(α) sin(β))] (i cos(α) sin(β) + i sin(α) cos(β)) i sin(α + β) sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)

12 sin(α β) i [ei(α β) e i(α β) ] i [eiα e iβ e iα e iβ ] [(cos(α) + i sin(α)) (cos(β) i sin(β)) (cos(α) i sin(α)) (cos(β) + i sin(β))] i [cos(α) cos(β) i cos(α) sin(β) + i sin(α) cos(β) sin(α) sin(β) i (cos(α) cos(β) + i cos(α) sin(β) i sin(α) cos(β) sin(α) sin(β))] Wir zeigen nun das Additionsteorem für die Kosinusfuntion: ( i cos(α) sin(β) + i sin(α) cos(β)) i sin(α β) sin(α) cos(β) cos(α) sin(β) cos(α + β) [ei(α+β) + e i(α+β) ] [eiα e iβ + e iα e iβ ] [(cos(α) + i sin(α)) (cos(β) + i sin(β)) + (cos(α) i sin(α)) (cos(β) i sin(β))] Analog für negatives Vorzeicen [cos(α) cos(β) + i cos(α) sin(β) + i sin(α) cos(β) sin(α) sin(β)+ cos(α) cos(β) i cos(α) sin(β) i sin(α) cos(β) sin(α) sin(β)] ( cos(α) cos(β) sin(α) sin(β)) cos(α + β) cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) cos(α β) (ei(α β) + e i(α β) ) cos(α β) (eiα e iβ + e iα e iβ ) [(cos(α) + i sin(α)) (cos(β) i sin(β)) + (cos(α) i sin(α)) (cos(β) + i sin(β))] [cos(α) cos(β) i cos(α) sin(β) + i sin(α) cos(β) + sin(α) sin(β) + cos(α) cos(β) +i cos(α) sin(β) i sin(α) cos(β) + sin(α) sin(β)] [ cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β)] cos(α β) cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) Damit sind die Additionsteoreme bewiesen. Es folgen daraus die Verdoppelungsteoreme sin(α) sin(α + α) sin(α) cos(α) cos(α) cos(α + α) cos (α) sin (α) Es folgt auc der trigonometrisce Pytagoras aus dem Additionsteorem der Kosinusfuntion cos(0) cos(α α) cos (α) + sin (α) Zu guter letzt ann auc noc die Periodizität der Sinus und Kosinusfuntion aus den Additionsteoremen gefolgert werden.

13 Es gelten die folgenden Gleicungen: sin( ± α) sin(α) cos( ± α) cos(α) Der Beweis dieser Gleicungen get wiederrum aus den Additionsteoremen der Sinus/Kosinusfuntionen ervor. Denn es gilt: sin( ± α) sin()cos(α) ± sin(α)cos() cos( ± α) cos()cos(α) sin()sin(α) Die Vereinfacungen dieser Gleicungen mit cos() und sin() 0 lieferen das gewünscte Resultat. 4. Die Tangensfuntion und Tangensteoreme Wir wollen noc die Tangensfuntion und die Tangensteoreme erläutern. Die Tangensfuntion ist definiert über das Verältnis von Sinus und Kosinus d.. tan(α) : sin(α) cos(α) (0) Die Tangensfuntion ist aber nict für alle x R definiert, denn es gibt ein x 0 R für die cos(x 0 ) 0 wird. Dies ist zum Beispiel bei x der Fall. Dies ist jedoc nict der einzige Fall, wie die Periodizität der Kosinusfuntion zeigt. Somit sind alle Nullstellen (das sind die ganzzaligen Vielfacen von ) Problemstellen für die Tangensfuntion. Die Tangensfuntion ann also nur für das offene Intervall (, ) definiert werden. Daer lautet die Abbildungsvorscrift für die Tangensfuntion: f : (, ) R mit x tan(x) Man finde nun ein Additionsteorem für die Tangensfuntion: sin(α + β) tan(α + β) cos(α + β) sin(α) cos(β) + sin(β) cos(α) cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) sin(α) cos(β) cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) + sin(β) cos(α) cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) sin(α) cos(β) cos(β)[cos(α) sin(α) sin(β) cos(β) ] + sin(β) cos(α) cos(α)[cos(β) sin(β) sin(α) cos(α) ] sin(α) cos(α) sin(α) tan(β) + sin(β) cos(β) sin(β) tan(α) sin(α) sin(α)[ cos(α) sin(α) tan(β)] + sin(β) sin(β)[ cos(β) sin(β) tan(α)] tan(α) tan(β) + tan(β) tan(α) tan(α + β) tan(α) tan(α) tan(β) + tan(β) tan(α) tan(β) tan(α) + tan(β) tan(α + β) tan(α) tan(β) Der Grap der Tangensfuntion wird später in Kapitel (4.) gezeigt.

14 4.. Berecnungstabelle für Sinus, Kosinus und Tangens Es werden einige Funtionswerte von sin(α), cos(α), tan(α) die unter anderem Vielface von sind ermittelt. Es önnen sofort die Nullstellen und Extremwerte ermittelt werden. Wir betracten die Sinus/Kosinusfuntion inneralb einer Periode, d. im Intervall I [0, ]. Um die Nullstellen von Sinus und Kosinus zu ermitteln müssen wir die Funtionsgleicung null setzen. Aufgrund der Periodizität und der Tatsace, dass sin(α + ) cos(α) dasselbe ist, genügt es die Nullstellen von der Sinusfuntion zu ermitteln. Die Sinusfuntion get durc den Koordinatenursprung, d.. es ist x 0 eine Nullstelle als auc alle Vielfacen von x, da x 0 ( 0) (x 0). Somit ist ein ganzzaliger Laufindex von bis und x immer Null, falls es sic um eine Nullstelle andelt. Da sin(α + ) cos(α) indentisc sind, muss nun cos( ) eine Nullstelle der Kosinusfuntion sein, sowie alle ganzzaligen Vielfacen derart das wiedderum x 0 und x immer ist. Damit sind nun die Nullstellen gelärt. Es müssen noc die Extremwerte berecnet werden. Hierzu zeigen wir die Ableitung von sin(x) und cos(x), denn ein Extrempunt liegt vor, wenn f (x) 0 und f (x) 0. Man zeige nun f(x) sin(x) f (x) cos(x) f(x) cos(x) f (x) sin(x) f(x + ) f(x) sin(x + ) sin(x) sin(x)cos() + sin()cos(x) sin(x) f sin(x)cos() sin(x) (x) lim + sin()cos(x) f cos() sin() (x) sin(x) lim + cos(x) lim Man ermittle nun die verbleibenden Grenzwerte: cos() lim lim sin() 0 Um die Grenzwerte zu ermitteln, verwende man die Potenzreiendarstellung der Sinus und Kosinusfuntion. cos() ( ) ()! lim lim ( ) ()! lim lim ( ) ()! lim ( ) ()! 0 sin() lim lim ( ) + (+)! Mit den ermittelten Grenzwerten folgt nun lim ( ) (+)! lim ( ) f cos() sin() (x) sin(x) lim + cos(x) lim cos(x) ( + )! 4

15 Analog ann man nun die Ableitung für f(x) cos(x) zeigen. cos(x + ) cos(x) lim cos(x)cos() sin(x)sin() cos(x) lim cos(x)[cos() ] sin(x)sin() cos() cos(x) lim sin(x) sin() f (x) sin(x) Da wir nun die Ableitung für Sinus und Kosinus ennen önnen wir die Extremstellen der jeweiligen Funtion ermitteln. Mit dieser Tabelle fällt ebenso auf, das die Tangensfuntion lediglic Nullstellen, jedoc eine Extremstellen besitzt. Es ergibt sic somit die folgende vereinfacte Wertetabelle: Winelfuntion sin(α) 0 0 cos(α) 0 0 tan(α) 0 0 Tabelle : Nullstellen und Extremstellen der trigonometriscen Funtionen Man ann sogar präziser weitere wictige Funtionswerte von sin(α), cos(α), tan(α) ermitteln. Wir werden mitilfe algebraiscer Hilfsmittel, die Funtionswerte die in Tabelle zu finden sind, berecnen. Davor sollt man sic aber einen Überblic verscaffen, in welcen Quadranten Sinus und Kosinusfuntion positiv bzw. negativ sind, wie Abbildung zeigt. Entsceidend dabei ist, das der Sinusfuntionswert genau dann positiv ist, wenn die y Acse positiv, andernfalls ist der Sinusfuntionswert negativ. Der Kosinusfuntionswert ist genau dann positiv, wenn die x Acse positiv ist, anderfalls ist der Kosinusfuntionswert negativ. Der Tangensfuntionswert ergibt sic ja aus dem Verältniss des Sinusfuntionswertes und des Kosinusfuntionswertes. Daraus folgt, der Tangensfuntionswert ist genau dann positiv, wenn Sinusfuntionswert und Kosinusfuntionswert positiv sind oder Sinusfuntionswert und Kosinusfuntionswert negativ sind, andernfalls ist der Tangensfuntionswert negativ. Zur gänzlicen Vollständigeit der trigonometriscen Funtionen gebe ic noc drei weitere, jedoc nict so bedeutsame als die biserigen trigonometriscen Funtionen beannt, diese wären:. Die Kottangensfuntion cot(x) : cos(x) sin(x). Die Seantfuntion sec(x) : sin(x). Die Koseantfuntion cosec(x) : cos(x) Ferner zeigen wir, dass die Tangensfuntion tatsäclic eine Extremstellen besitzt: f (x) : ( sin(x) cos(x) ) (u : sin(x) u cos(x)v : cos(x) v sin(x)) cos (x) + sin (x) cos (x) f (x) ( u v ) u v u v v cos (x) + sin (x) cos (x) cos (x) cos (x)[ + sin (x) cos (x) ] cos + tan (x) f (x) > 0 x R \ { (x), } 5

16 5..Quadrant:9 x 79 {sin(x)} + {cos(x)} {tan(x)} y 4..Quadrant: 0 x 89 {sin(x)} + {cos(x)} + {tan(x)} +. c Quadrant:8 x 69 {sin(x)} {cos(x)} {tan(x)} Quadrant:7 x 59 {sin(x)} {cos(x)} + {tan(x)} Abbildung : Der Eineitsreis 4. Einige algebraisc-trigonometrisce Berecnungsmetoden Fu r bestimmte Vielface von ann man ann man trigonometrisce Funtionswerte algebraisc berecnen. Im Gegensatz zur Zal bzw. zur eulerscen Zal e die im u brigen transzendent sind, d.. nict algebraisc darstellbar sind, ann man jedoc spezielle Funtionswerte wie die Tabelle zeigt, dennoc algebraisc darstellen. Dabei eißt algebraisc, dass der jeweilige Funtionsterm durc matematisce Notationen u ber den Ko rper der omplexen Zalen (da, dieser algebraisc abgesclossen ist) darstellbar ist. Diese Notation ann nun ein Wurzelterm oder ein logaritmisces Vera ltniss sein, zumindest muss diese Notation mit einem Term eindeutig darstellbar sein. Hingegen ann man die eulersce Zal oder die Kreiszal nur durc numerisce Verfaren beliebig genau berecnen. Wir beginnen mit der Berecnung von sin(α), cos(α), tan(α) fu r α {, } Es gelten folgenden Gleicungen:. Verdoppelungsteorem: cos(α) cos (α) sin (α). Periodizita t: cos( ± α) cos(α) Sei α ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos ( ) sin ( ) cos( ) cos ( ) ( cos ( )) cos( ) cos ( ) cos( ) cos( 6

17 Der Ausdruc cos( ) ann mit u substituiert werden, dies liefert dann eine quadratisce Gleicung: u, ± 4 4 u + u 0 u, B ± B 4AC A u, ± 4 u, u Wir aben aber vereinbart, das der Funtionswert eindeutig ist, also ann nur eine Lösung in Frage ommen. Wir wissen das cos(α) > 0 für 0 α. Es ist < cos( ) > cos( ). Wir wissen das eine Nullstelle der Kosinusfuntion ist, daer folgt cos(α) > 0. Es bleibt somit nur die Lösung cos( ). Wir önnen daraus sofort den Sinuswert und den Tangenswert an der Stelle berecnen, denn es gelten die folgenden Bezieungen:. der trigonometrisce Pytagoras sin ( ) + cos ( ). der Tangensfuntionswert ist über tan( ) sin( ) cos( ) definiert. sin ( ) + cos ( ) sin ( ) cos ( ) sin( ) ± cos ( ) sin( ) ± ( ) sin( 4 ) ± 4 4 sin( ) ± 4 sin( ) ± ± 4 > 0 sin( ) > sin(0) sin( ) > 0 sin( ) Man ann nun sofort den Tangenswert ermitteln: tan( ) sin( ) cos( ) tan( ) Mit einer Brucerweiterung, derart dass 6 ann man über das Verdoppelungsteorem der Kosinusfuntion cos( 6 ) berecnen. Mitilfe des trigonometriscen Pytagoras ann dann sin( 6 ) berecnet werden und letztlic ergibt sic daraus tan( 6 ). Wir ermitteln nun die verbleibenden Funtionswerte: 0 cos( ) cos( 4 ) cos ( 4 ) sin ( 4 ) cos ( 4 ) 0 cos( 4 ) ± ± sin ( 4 ) + cos ( 4 ) sin( 4 ) ± tan( 4 ) sin( 4 ) cos( 4 ) Der scwierigste Stelle aus dieser Tabelle ist 5. Hier ist man gezwungen einem quadratiscen Gleicungssystem naczugeen und insbesonders jede Lösung des Gleicungsystems bis auf eine eindeutige Lösung zu widerlegen. Dieses quadratisce Gleicungssystem get wieder auf das Verdoppelungsteorem der Kosinusfuntion und der Periodizität der Kosinusfuntion zurüc. Es gelten die folgenden Gleicungen: 7

18 I : cos( 5 ) cos ( 5 ) sin ( 5 ) II : cos( ) cos( 5 ) II : cos( 4 5 ) cos( 5 ) II : cos ( 5 ) sin ( 5 ) cos( 5 ) I : cos( 5 ) cos ( 5 ) II : cos ( 5 ) cos( 5 ) Wir vereinfacen das quadratisce Gleicungssystem, durc folgende Substitutionen: u : cos( 5 ) und v : cos( 5 ). Es ergibt sic folgendes Gleicungssystem: I : v u II : u v + Wir quadrieren Gleicung I und substituieren in Gleicung II. Damit ergibt sic folgende Gleicung 4. Grades I : v 4u 4 4u + II: u (4u 4 4u + ) + u 8u 4 + 8u + 8u 4 8u + u + 0 Dies ist eine Polynomfuntion 4. Grades. Es gibt nac dem Fundamentalsatz der Algebra im Körper der omplexen Zalen daer mindestens eine Nullstelle. Im besten Fall besitzt diese Gleicung auc reele Nullstellen, denn jede reele Zal ist auc Element einer omplexen Zal. Für Polynomfuntionen 5. und öeren Grades gibt es allerdings ein explizites Lösungsverfaren. Für Polynomfuntionen. und 4. Grades gibt es die Cardaniscen Formeln, die wir an dieser Stelle aber nict anwenden werden, da diese es unnötig veromplizieren würden. Man ann aber, falls man eine reele Nullstelle ennt, eine Polynomdivision mit 0 Rest durcfüren, sodass sic der Grad der Potenz um erniedrigt. Dieses Verfaren werden wir ier anwenden. Wir sind also gezwungen eine Nullstelle für obige Gleicung zu finden. Mit der Stelle u ätte man eine reele Nullstelle gefunden. Es gilt: Wir füren nun eine Polynomdivision durc: ( 8 ( ) 4 8 ( ) + ( ) + 0 8u 4 8u + u + ) : ( u + ) 8u 8u + 8u 4 8u 8u 8u 8u + 8u u + u 0 Die Polynomdivision ist wie erwartet aufgegangen. Wir betracten nunmer die Gleicung der Polynomfuntion. Grades und versucen wieder eine Nullstelle zu erraten. Man setze u. Durc nocmalige Polynomdivision erält man eine quadratisce Gleicung, die man mit den Auflösungsformeln lösen ann. 8

19 ( 8u 8u + ) : ( u ) 8u 4u 8u + 4u 4u 4u u u + u 0 Wir önnen nun die verbleibende quadratisce Gleicung mit der großen Auflösungsformel lösen: u 4 4 ± ( 4 0) 6 8u 4u 0 u 4 B ± B 4AC A 4 ± ( 4 4 5) 6 u 4 4 ± ( ± 5) 6 4 ± 80 6 ± 5 4 Damit aben wir alle Lösungen der Polynomfuntion bestimmt. Insofern sind alle Lösungen von u auc Lösungsandidaten von cos( 5 ). Da dieser Funtionswert eindeutig bestimmt ist, müssen wir im Stande sein, drei von vier Lösungsfällen zu widerlegen. Wir wissen, dass 0 < 5 < daraus folgt dass cos( ) < cos( 5 ) < cos(0) 0 < cos( 5 ) <. Wir wissen somit das cos( 5 ) > 0 sein muss, damit önnen wir alle negativen Lösungen verwerfen. Diese wären u und u Wir wissen dass cos( 5 ) <, damit bleiben allerdings immer noc die Lösungen u und u übrig. Allerdings ist 5 < und daraus folgt das cos( 5 ) > cos( ). Aufgrund seiner Eindeutigeit und der Tatsace, dass wir bereits wissen das cos( ) önnen wir daraus folgern das cos( 5 ) > ). Es bleibt somit nur u übrig, da u > u <. Was wir aber noc zeigen müssen ist das >, denn dann aben wir alle Kriterien erfüllt. Scließlic darf sic ier ein Widerspruc ergeben. zz : > + 5 > > 5 > Damit aben wir alles bewiesen und eine Lösung gefunden. Wir wollen nun den Sinusfuntionswert und Tangensfuntionswert an der Stelle 5 ermitteln. Durc Umformung des trigonometriscen Pytagoras eralten wir zwei Lösungsandidaten, wobei sin( 5 ) > 0 ist, daer ist nur die positive Lösung von Bedeutung. sin ( 5 ) sin ( 5 ) + cos ( 5 ) sin ( 5 ) cos ( 5 ) sin ( 5 ) ( + 5) 6 sin ( 5 ) sin ( 5 ) sin ( 5 ) ( + 5) 6 sin ( 5 ) ( + 5) sin( 5 )

20 Es bleibt noc der Tangensfuntionswert übrig: tan( 5 ) tan( 5 ) 0 0 ( + 5) tan( 5 ) (0 0) (6 0) (6 + 0) (6 0) tan( 5 ) tan( 5 ) sin( 5 ) cos( 5 ) (5 0) 6 Wir aben nun alle Funtionswerte berecnet. Zur besseren Übersict sind alle Funtionswerte in Tabelle aufgelistet. Winelfuntion sin(α) cos(α) tan(α) Tabelle : Kleine Berecnungstabelle für trigonometrisce Funtionen Wir zeigen noc das Additionsteorem der Arustangensfuntion, obwol wir diese noc nict näer ennen. Die Existenz der Umerfuntionen der Sinus, Kosinus und Tangensfuntion wird im näcsten Abscnitt erläutert. Setze u : tan(α) α arctan(u) und v : tan(β) β arctan(v) tan(α) + tan(β) tan(α + β) tan(α) tan(β) tan(α) + tan(β) arctan(tan(α + β)) arctan( tan(α) tan(β) ) α + β arctan( u + v u v ) arctan(u) + arctan(v) arctan( u + v u v ) Dieses Teorem ist nur dann gültig, wenn u, v < sind, denn ansonsten würde man den Definitionsbereic der Tangensfuntion überscreiten. Die Tangensfuntion ist auf (, ) definiert. Daer muss < α < gelten. Es ist u > und v >. Nac den Anordnungsaxiomen ist daer u + v > als auc u v >. Die gegebenen Stellen liegen außeralb des Definitionsbereics. Falls u, v u v u + v. Sie liegen ebenfalls außeralb des Definitionsbereics. Es bleibt also nur der Fall u, v < übrig. Denn iefür gilt tan(α) < und tan(β) <. Daraus folgt α < 4 und β < 4. Somit ist α + β <. 0

21 4.4 Die Grapen der Sinus-Kosinus und Tangensfuntion Es werden nun die Grapen der Sinus und Kosinusfuntion dargestellt. Ferner werden wir die Bijetivität dieser beiden Funtionen zeigen und dann mit Hilfe der. Mediane y x deren Umerfuntionen onstruieren. Man betracte sic die Abbildung. Die Bildbereic der Sinusfuntion ist im(f(x)) {y y } y R Falls f : R [, ] mit x sin(x) gilt. Dasselbe gilt für die Kosinusfuntion: Dazu betracte man sic die Abbildung 4. Wiederrum ist der Bildbereic der Kosinusfuntion Falls g : R [, ] mit x cos(x) gilt. im(g(x)) {y y } y R y. f 0 x. Abbildung : Der Grap der Sinusfuntion y. x f. 0 Abbildung 4: Der Grap der Kosinusfuntion

22 i. y j.. f 0 x.. Abbildung 5: Der Grap der Tangensfuntion 4.5 Die Grapen der Umerfuntionen Die zugeörigen Umerfuntion nennen wir auc Arusfuntionen Es gilt f : [, ] R mit. x arcsin(x). x arccos(x). x arctan(x) Dabei seen die Grapen folgendermaßen aus: f.5...5

23 5 Die Arustangensreie Wir wissen, was die Ableitung der Arustangensfuntion ist, daer setzen wir folgendes an: f(x) arctan(x) und f (x). Wir screiben f (x) in eine geometrisce Reie um, denn es gilt für +x x < die folgende gesclossene Formel: x x falls x < f (x) + x ( x ) ( x ) ( x ) ( ) x f (x) Man integriere von f (x) auf f(x): f(x) f(x) f(x) f (x)dx ( ) x dx ( ) x+ + + C Mit der Anfangsbedingung, dass f(0) 0 ist, lässt sic C eliminieren. Der Beweis der Anfangsbedingung ist leict, nacvollziebar, denn der tan(0) 0 d.. die Stelle x 0 ist ein Fixpunt. Somit muss auc arctan(0) 0 sein. Wir aben somit eine Potenzreiendarstellung für die Arustangensfuntion gefunden. Wir wissen, dass tan( 4 ) ist, daer at Leibniz festgestellt, dass infolge arctan() 4 sein muss. Da diese Reie, ser langsam gegen 4 onvergiert, war man mer oder weniger dazu gezwungen eine scnellere Reie zu finden, die gegen 4 onvergiert. Der Astronom Jon Macin, war einer der ersten, der diese scnellere Reie gefunden at. 5. Die Jon Macin Formel Da wir bereits ein Arcustangensteorem ennen, önnen wir o.b.d.a annemen, dass u, v < und u v 5 ist. Wir wissen dass für u <, v < folgendes Teorem gilt: arctan(u) + arctan(v) arctan( u + v u v ) arctan( 5 ) + arctan( 5 ) arctan( arctan( 5 ) + arctan( 5 ) arctan( 5 ) 5 arctan( 5 ) arctan( arctan( 5 ) arctan( ) arctan( 5 ) arctan( 5 ) Wir wissen, dass 5 < ist, daer ann man versucen, das doppelte dieses Wertes zu nemen und in das Arcustangensteorem einzusetzen. ) )

24 arctan( 5 5 ) arctan( arctan( 5 ) arctan( arctan( 5 0 ) arctan(44 9 ) arctan( 5 ) arctan(0 9 ) Nun wissen wir aber, dass 0 9 > d.. es ist nict mer möglic, diesen Wert in das Arcustangensteorem zu substituieren. Allerdings existiert ein Wert x < sodass folgende Bedingung erfüllt ist: arctan() + arctan(x) arctan( 0 9 ) Warum es diesen Wert x geben muss ist leict einzuseen; Die Funtion f(x) tan(x) at den eingescränten Definitionsbereic (, ). Daer muss die Umerfuntion der Tangensfuntion, also die Arcustangensfuntion einen eingescränten Wertebereic von (, ) besitzen. Um das Arcustangensteorem für alle u, v R zugänglic zu macen, müssen beide Terme < sein, da nur dann gewärleistet ist, dass beide Terme inneralb des offenen Intervalls des Wertebereics liegen. Sollte eine der beiden Terme,d.. u oder v sein, dann muss es aber genau einen x Wert geben, der um soviel leiner ist als u, sodass die Summe und die Multipliation aus u und v weiterin leiner als ist. Die eigentlic Frage ist nun, warum es diesen x Wert geben muss? Nun würde es diesen x Wert nict geben, dann würde es ein Widerspruc geben, zu der Beauptung, dass die Summe aus x + v < ist. Denn wenn die Summe < ist, dann muss der Ausdruc im Definitionsintervall der Tangensfuntion liegen, bzw. im Wertebereicsintervall der Arcustangensfuntion. Wir ermitteln daer diesen x Wert. Wir setzen aus obiger Gleicung nun u und v x an und eralten: Es muss daer die folgende Gleicung gelten: 4 u + v u v x x ( + x) 0 ( x) 9 + 9x 0 0x 9x x 9 arctan() + arctan( 9 ) arctan(0 9 ) arctan() arctan(0 9 ) arctan( 9 ) Verwendet man nun noc die nacfolgenden Bezieungen, so stößt man auf die Jon-Macin Formel: arctan( 0 9 ) arctan( 5 ) 4 arctan( 5 ) 4 arctan() 4 arctan( 5 ) arctan( 9 ) () ) ) 4

25 Die Formel () ist eine ser effiziente Formel zur numeriscen Berecnung von, da sie ser scnell onvergiert. Screibt man die Arcustangensfuntion in eine Potenzreie um, so ann man mitilfe des Leibniz-Kriteriums den numeriscen Feler leict abscätzen. Mit nur sieben bis act Durcgängen ist es Macin gelungen, auf 00 orrete Dezimalstellen zu bestimmen. 5. Potenzreiendarstellung der Jon-Macin Formel Es gilt die Jon-Macin Formel in eine Potenzreie umzuformen: 4 4 arctan( 5 ) arctan( 9 ) 4 4 ( ) ( 5 )+ + ( ) ( 9 )+ + Jetzt ann man mitilfe des Leibniz-Kriteriums den numeriscen Feler bestimmen. Nac dem Leibniz- Kriterium gilt, dass man von einer alternierenden monoton fallenden Nullfolge eine Restgliedabscätzung derart macen ann, so dass der Feler des Restgliedes öcstens so groß, wie der Betrag des letzt weggelassenen Summmanden ist. 4 arctan( N 5 ) 4 ( ) ( 5 )+ + ( 5 )+ + 4 arctan( N 9 ) 4 ( ) ( 9 )+ + ( + 9 )+ 5