Arithmetik, Algebra, Mengen- und Funktionenlehre

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1 Carsten Gellrich Regina Gellrich Arithmetik, Algebra, Mengen- und Funktionenlehre Mit zahlreichen Abbildungen, Aufgaben mit Lösungen und durchgerechneten Beispielen VERLAG HARRI DEUTSCH

2 Inhaltsverzeichnis 1 Was man beherrschen sollte Elemente der Mengenlehre Begriffsbestimmung Darstellung von Mengen Beziehungen zwischen Mengen Die vier Grundrechenoperationen mit Variablen und Termen Einführung Das Rechnen mit Klammerausdrücken Bruchrechnung Partialdivision Das Lösen von Gleichungen Begriffsbestimmungen Zum Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen Der Vietasche Wurzelsatz Einfache Gleichungen höheren Grades Begriffsbestimmungen Der VlETAsche Wurzelsatz Das Lösen von speziellen Gleichungen höheren Grades Gleichungen, die sich auf quadratische Gleichungen zurückführen lassen Gleichungen höheren Grades, von denen mindestens eine Lösung bekannt ist Das HORNER-Schema Lineare und quadratische Funktion Die lineare Funktion Die quadratische Funktion Funktion und Bestimmungsgleichung Proportionen Begriffsbestimmungen Proportionalität Direkte Proportionalität Indirekte Proportionalität Proportionen und Bestimmungsgleichungen Prozent- und Zinsrechnung 89 2 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Begriffserklärungen Potenzgesetze 99

3 8 Inhaltsverzeichnis Addition und Subtraktion von Potenzen Multiplikation und Division von Potenzen Potenzen mit gebrochenen Exponenten Die Umkehrungen der Potenzrechnung Grundbegriffe der Wurzelrechnung Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten Das Rechnen mit Wurzeln Potenzen mit reellen Exponenten Zur Berechnung von Potenzen mit beliebigen Exponenten mit dem Taschenrechner Logarithmen Begriffserklärungen Das Rechnen mit Logarithmen Logarithmensysteme Häufig auftretende Logarithmensysteme Zur Ermittlung von Logarithmen mit dem Taschenrechner Beziehungen zwischen Logarithmensystemen mit unterschiedlichen Basen Gleichungen mit Wurzeln, Potenzen und Logarithmen Wurzelgleichungen Exponentialgleichungen Logarithmische Gleichungen Vermischte Aufgaben TVigonometrie Winkelmessung Die trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck Begriffe Definition der trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck Ermittlung der Werte der trigonometrischen Funktionen für spitze Winkel Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck Die trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel Erweiterung des Begriffes der trigonometrischen Funktionen auf beliebige Winkel Ermittlung der Werte der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel Vereinfachte Umrechnung von Winkeln aus Gradmaßin Bogenmaßund umgekehrt Berechnungen am allgemeinen Dreieck Der Sinussatz Der Kosinusatz Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen ein und desselben Winkels 191

4 Inhaltsverzeichnis Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen unterschiedlicher Winkel Goniometrische Gleichungen Begriffsbestimmung Das Lösen goniometrischer Gleichungen Vermischte Aufgaben Funktionen Abbildungen und Funktionen Der Begriff der Abbildung Der Begriff der Funktion Wichtige Eigenschaften von Funktionen Beschränktheit Monotonie Symmetrie Stetigkeit Die Umkehrfunktion Die Umkehrung einer Abbildung Der Begriff der Umkehrfunktion Grundfunktionen Potenzfunktionen Potenzfunktionen mit ganzen positiven Exponenten Potenzfunktionen mit ganzzahligen negativen Exponenten Die Potenzfunktion y = x Potenzfunktionen mit reellen Exponenten Zusammenhang zwischen der Potenzfunktion y = x" und der Wurzelfunktion Exponential- und Logarithmusfunktion Die trigonometrischen Funktionen und deren Umkehrfunktionen Die Hyperbelfunktionen und deren Umkehrungen Graphische Darstellung von Funktionen durch Synthese Überlagerung von Schwingungen Komplexe Zahlen Grundbegriffe Einführung der komplexen Zahlen Grafische Veranschaulichung komplexer Zahlen Die trigonometrische und die Exponentialform komplexer Zahlen Die trigonometrische Darstellungsform Umrechnung von der arithmetischen in die trigonometrische Form Umrechnung von der trigonometrischen in die arithmetische Form Die Exponentialform Die vier Grundrechenarten im Bereich der komplexen Zahlen Potenzieren, Radizieren, Logarithmieren 314

5 10 Inhaltsverzeichnis 5.5 Lösen algebraischer Gleichungen im Komplexen Anwendungen in der Elektrotechnik Ungleichungen Begriffsbestimmung Rechenregeln für Ungleichungen Das Lösen von Ungleichungen Zusammenhänge zwischen Ungleichung, Gleichung und Funktion Grafische Verfahren zur Lösung von Ungleichungen Rechnergestützte Lösung von Ungleichungen Systeme von Ungleichungen Zusammenhang zwischen Punkt und Kurvengleichung Einige mathematische Grundlagen der Informatik Zahlendarstellung Darstellung von Zahlen in Positionssystemen Umrechnung von Zahlen eines beliebigen Positionssystems in Dezimalzahlen Umrechnung von Dezimalzahlen in ein anderes Positionssystem Besonderheiten beim Umwandeln von Dualzahlen in Oktal- oder Hexadezimalzahlen und umgekehrt Fest-und Gleitkommadarstellung von Zahlen Darstellung ganzer Zahlen Darstellung reeller Zahlen Numerische Effekte beim Rechnen mit dem Computer Elemente der Booleschen Algebra Grundlagen der Aussagenlogik Verknüpfungen von Aussagen Einführung in die Schaltalgebra Grundschaltungen Analyse und Synthese digitaler Schaltungen mittels Schaltzustandstabelle Rechengesetze der Schaltalgebra Lösungen der Aufgaben 390 Sachwortverzeichnis 475

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