Kurt Meyberg Peter Vachenauer. Höhere Mathematik 1. Differential- und Integralrechnung Vektor- und Matrizenrechnung

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Kurt Meyberg Peter Vachenauer. Höhere Mathematik 1. Differential- und Integralrechnung Vektor- und Matrizenrechnung"

Transkript

1 Kurt Meyberg Peter Vachenauer Höhere Mathematik 1 Differential- und Integralrechnung Vektor- und Matrizenrechnung Vierte, korrigierte Auflage Mit 450 Abbildungen Springer

2 Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Zahlen und Vektoren 1 1. Mengen und Abbildungen Mengen Mengenoperationen Abbildungen 2. Die reellen Zahlen Bezeichnungen Ungleichungen Intervalle Schranken Der Betrag Die vollständige Induktion Binomialkoeffizienten und die binomische Formel - 3. Die Ebene Kartesische Koordinatensysteme Winkel Sinus, Cosinus Drehungen 4. Vektoren Kartesische Koordinatensysteme im Raum Vektoren Die Addition von Vektoren Die skalaren Vielfachen eines Vektors Der Betrag Vektoren im Koordinatensystem 5. Produkte Der Winkel zwischen zwei Vektoren Das Skalarprodukt Das Vektorprodukt Das Spatprodukt - 6. Geraden und Ebenen Parameterdarstellungen einer Geraden Die Koordinatengleichungen einer Geraden Die Momentengleichung der Geraden Abstand Punkt-Gerade Abstand Gerade-Gerade Parameterdarstellungen einer Ebene Parameterfreie Darstellungen einer Ebene Die Gerade als Schnitt zweier Ebenen Die Winkel zwischen zwei Ebenen und zwischen einer Ebene und einer Geraden - 7. Gebundene Vektoren Gebundene Vektoren Ein System gebundener Vektoren Die Reduktion eines Systems gebundener Vektoren - 8. Die komplexen Zahlen Die Menge der komplexen Zahlen Die vier Grundrechenarten in C Die Konjugation und der Betrag komplexer Zahlen Anwendungen

3 VIII Inhaltsverzeichnis Kapitel 2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit Funktionen (Grundbegriffe) Funktionen Monotonie Das Rechnen mit Funktionen 2. Polynome und rationale Funktionen Polynome Polynomnullstellen - Faktorisierung Polynominterpolation Der Graph Rationale Funktionen, Polynomdivision Der Definitionsbereich D Ergänzung: Polynome über C - 3. Die Kreisfunktionen Definition und einfache Eigenschaften Die Tangens- und Cotangensfunktion Die Polardarstellung komplexer Zahlen Anwendungen der De Moivre-Formeln Harmonische Schwingungen - 4. Zahlenfolgen und Grenzwerte Folgen Definition des Grenzwerts; konvergente Zahlenfolgen 5. Rechenregeln für Grenzwerte und Konvergenzkriterien Rechenregeln Grenzwertbestimmung durch Abschätzung Monotone Folgen Die Exponentialfunktion Für Fortgeschrittene: Das Cauchy-Konvergenzkriterium - 6. Funktionengrenzwerte, Stetigkeit Definitionen Die 6 elementaren Methoden der Grenzwertbestimmung Asymptoten Stetigkeit - Kapitel 3. Differentiation Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion Die Definition der Ableitung Die geometrische Deutung der Ableitung: Tangentenanstieg Die analytische Deutung der Ableitung: Lineare Approximation Die physikalische Deutung der Ableitung: Geschwindigkeit Stetigkeit ist notwendig für Differenzierbarkeit 1.6 Differentiationsregeln Die Differentiation der Polynome und der rationalen Funktionen Die Ableitung der Kreisfunktionen Die Kettenregel Höhere Ableitungen - 2. Anwendungen der Differentiation Maxima und Minima einer Funktion Der Mittelwertsatz Wendepunkte Die Regeln von De L'Hospital Kurvendiskussion Nullstellen und Fixpunkte Kubische Splines -

4 Inhaltsverzeichnis 3. Umkehrfunktionen Grundlagen n-te Wurzel, rationale Exponenten Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens - 4. Die Exponential- und Logarithmusfunktion Die e-funktion Die Kurve y = e x Exponentiell wachsende bzw. fallende Prozesse Der natürliche Logarithmus Allgemeine Exponentialfunktionen und Logarithmen Die Hyperbelfunktionen sinh, cosh, tanh - Kapitel 4. Integration Das bestimmte Integral Die Definition des bestimmten Integrals Die geometrische Deutung Elementare Integrationsregeln und der Mittelwertsatz Differentiation und Integration - 2. Integrationsregeln Linearität Partielle Integration Die Substitutionsmethode Symmetrien beachten Ausblicke - 3. Die Integration der rationalen Funktionen Die Partialbruchzerlegung Die Integration Die Integration von R(e x ) Die Integration von R[x, \ -r- ), ae bc =/= Die Integration von K(sinx, cosx) Trigonometrische und hyperbolische Substitutionen - 4. Uneigentliche Integrale Die Definition der uneigentlichen Integrale Ein Konvergenz- Test Ein an beiden Grenzen uneigentliches Integral Ausnahmestellen im Innern des Integrationsintervalls - 5. Kurven, Längen- und Flächenmessung Die Parameterdarstellung Tangente und Normale Kurvenlänge Krümmung und Krümmungskreis Die Polardarstellung einer ebenen Kurve Flächeninhalte - 6. Weitere Anwendungen des Integrals Abkürzende Redeweisen Das Volumen eines Rotationskörpers Die Mantelfläche - 7. Numerische Integration 206

5 X Inhaltsverzeichnis Kapitel 5. Potenzreihen Unendliche Reihen Grundbegriffe Absolute Konvergenz - 2. Reihen von Funktionen Gleichmäßige Konvergenz Gleichmäßig konvergente Funktionenreihen - 3. Potenzreihen Der Konvergenzradius Berechnung des Konvergenzradius Die Differentiation und Integration von Potenzreihen Die Potenzreihendarstellung einiger Funktionen Die Binomialreihe Potenzreihen mit dem Zentrum a ^ Koeffizientenvergleich - 4. Der Satz von Taylor; Taylor-Reihen Die Taylor-Formel Die Taylor-Reihe Methoden der Reihenentwicklung - 5. Anwendungen (an Beispielen) Grenzwertberechnungen Näherungsformeln (Approximation) Die Reihendarstellung und Berechnung einer Integralfunktion mit nicht elementar integrierbarem Integranden Potenzreihenansatz zur Lösung einfacher Differentialgleichungen - Kapitel 6. Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Was ist eine Matrix? Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einem Zahlenfaktor Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Das Gaußsche Lösungsverfahren - 2. Die Matrizenmultiplikation Zeile mal Spalte" Die Multiplikation zweier Matrizen Rechenregeln Die Transponierte einer Matrix Invertierbare Matrizen Diagonal- und Dreiecksmatrizen - 3. Vektorräume Der abstrakte" Vektorraum Unterräume, Linearkombinationen, lineare Hülle Basis und Dimension - 4. Elementarmatrizen und elementare Umformungen Zeilenraum und Spaltenraum Elementarmatrizen Der Rang und die P-ß-Normalform Rechen verfahren -

6 Inhaltsverzeichnis XI 5. Determinanten Einführung Definition der Determinante einer n x n-matrix Rechenregeln für Determinanten Die Entwicklung von det A nach einer beliebigen Zeile oder Spalte Beispiele Anwendungen - 6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte Lineare Abbildungen V = W = R" Längen und Winkel im 1R" ; Orthogonalität Speziell: Spiegelungen und Drehungen Das Schmidtsche Orthonormierungsverfahren Basiswechsel, Koordinatentransformation Eigenwerte, Eigenvektoren Die orthogonale Gruppe - 7. Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Quadratische Formen Die Hauptachsentransformation Quadriken Die nichtorthogonale Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix Positiv definite Matrizen - Kapitel 7. Funktionen in mehreren Variablen: Differentiation Kurven im R" Parameterdarstellungen Das begleitende Dreibein, Krümmung, Torsion Ergänzung: Der natürliche Parameter und die Frenetschen Formeln - 2. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher Grundlagen Grenzwerte und Stetigkeit Partielle Ableitungen, der Gradient Die totale Ableitung und lineare Approximation Einfache Anwendungen Die Richtungsableitung, der Anstieg und die Kettenregel - 3. Anwendungen der Differentiation Die Bedeutung des Gradienten Approximation höherer Ordnung; die Taylor-Formel Implizite Funktionen Lokale Minima und Maxima Ausgleichsrechnung Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen - 4. Vektorwertige Funktionen Die Differentiation Die Kettenregel Räumliche Skalarenund Vektorfelder Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace- Operator -

7 XII Verzeichnis der Programme Kapitel 8. Funktionen in mehreren Variablen: Integration Parameterintegrale Parameterintegrale - 2. Kurvenintegrale Das Kurvenintegral einer skalaren Funktion Anwendungen Die Integration eines Vektorfeldes längs einer Kurve Anwendungen und Beispiele Das Potential eines Gradientenfeldes Die praktische Bestimmung eines Potentials (n = 3) - 3. Die Integration über ebene Bereiche Der Flächeninhalt Definition und einfache Eigenschaften des Doppelintegrals Die Berechnung des Doppelintegrals in kartesischen Koordinaten Weitere Anwendungen und Beispiele Der Satz von Green - 4. Die Integration über Flächen im Raum Parameterdarstellungen Beispiele Der Flächeninhalt Das Oberflächenintegral einer skalaren Funktion Die Transformationsformel für Gebietsintegrale Das Oberflächenintegral eines Vektorfeldes Der Satz von Stokes - 5. Die Integration über dreidimensionale Bereiche Definition und einfache Eigenschaften des Dreifachintegrals Einfache Anwendungsbeispiele Die Transformationsformel für Volumenintegrale Der Divergenzsatz Einige Anwendungen der Integralsätze Orthogonale krummlinige Koordinaten - Literaturverzeichnis 505 Anhang: Pascal-Programme 507 Namen- und Sachverzeichnis 517 Verzeichnis der Programme 1. Programm HORNER 63 Auswertung eines Polynoms mit dem Horner-Schema 2. Programm HORNER vollstaendig 63 Entwicklung eines Polynoms nach Potenzen von x b

Kleine Formelsammlung Mathematik

Kleine Formelsammlung Mathematik Kleine Formelsammlung Mathematik Bearbeitet von Hans-Jochen Bartsch 2. Auflage 2001. Buch. 256 S. Hardcover ISBN 978 3 446 21811 6 Format (B x L): 11,6 x 16,6 cm Gewicht: 229 g schnell und portofrei erhältlich

Mehr

BAYERISCHES STAATSMINISTERIUM FÜR UNTERRICHT UND KULTUS. Lehrplan für Berufsschule Plus

BAYERISCHES STAATSMINISTERIUM FÜR UNTERRICHT UND KULTUS. Lehrplan für Berufsschule Plus BAYERISCHES STAATSMINISTERIUM FÜR UNTERRICHT UND KULTUS Lehrplan für Berufsschule Plus Unterrichtsfach: MATHEMATIK Fachprofil: Die ist heute eine wichtige wissenschaftliche Disziplin, die umfangreiches

Mehr

Wolfgang Kohn Riza Öztürk. Mathematik für Ökonomen. Ökonomische Anwendungen der linearen. Algebra und Analysis mit Scilab

Wolfgang Kohn Riza Öztürk. Mathematik für Ökonomen. Ökonomische Anwendungen der linearen. Algebra und Analysis mit Scilab Wolfgang Kohn Riza Öztürk Mathematik für Ökonomen Ökonomische Anwendungen der linearen Algebra und Analysis mit Scilab 3., erweiterte und überarbeitete Auflage ^ Springer Gabler Inhaltsverzeichnis Teil

Mehr

MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik

MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik Fernstudium Guide Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik Version vom 05.02.2015 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der

Mehr

Schulinternes Curriculum. Mathematik

Schulinternes Curriculum. Mathematik Gymnasium Zitadelle Schulinternes Curriculum (G 8) Stand: Schuljahr 2012/13 Gymnasium Zitadelle Schulinternes Curriculum Seite 1 EF Eingeführtes Lehrbuch: Lambacher Schweizer 10 Einführungsphase Funktionen

Mehr

Überblick. Kapitel 7: Anwendungen der Differentialrechnung

Überblick. Kapitel 7: Anwendungen der Differentialrechnung Überblick Kapitel 7: Anwendungen der Differentialrechnung 1 Beispiel 1: Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 1 Beispiel 1: Steigung der Tangente Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 2 Beispiel 1: Steigung

Mehr

Mathematik-2, Sommersemester 2014-15

Mathematik-2, Sommersemester 2014-15 Mathematik-2, Sommersemester 2014-15 Vorlesungsplan, Übungen, Hausaufgaben Vorlesungen: Lubov Vassilevskaya Übungen: Andreas Hofmann, Solvier Schüßler, Ansgar Schwarz, Lubov Vassilevskaya Die Vorlesungsunterlagen

Mehr

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13 5. Funktionen 5.1. Begriffe Funktionen sind eindeutige oder eineindeutige Relationen 1. Eindeutige Relationen ordnen jedem -Wert genau einen -Wert zu. Eineindeutige Relationen ordnen jedem -Wert genau

Mehr

Mathematik für Physiker

Mathematik für Physiker Klaus Weltner (Herausgeber) Mathematik für Physiker Lehrbuch Band 1 Klaus Weltner (Herausgeber) Mathematik für Physiker Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik Lehrbuch 2 Bände Leitprogramm

Mehr

Dirk Hachenberger Mathematik für Informatiker

Dirk Hachenberger Mathematik für Informatiker Dirk Hachenberger Mathematik für Informatiker ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don Mills, Ontario Sydney Mexico City Madrid Amsterdam Inhaltsverzeichnis Vorwort

Mehr

Mathematik für Ökonomen

Mathematik für Ökonomen Springer-Lehrbuch Mathematik für Ökonomen Ökonomische Anwendungen der linearen Algebra und Analysis mit Scilab Bearbeitet von Wolfgang Kohn, Riza Öztürk 1. Auflage 2012. Taschenbuch. xv, 377 S. Paperback

Mehr

Kompetenzraster für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Analysis

Kompetenzraster für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Analysis Kompetenzraster für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II Analysis Ich kann... lineare und quadratische Gleichungen sowie Gleichungen höherer Ordnung lösen.... Bruchgleichungen lösen.... Lösungsmengen

Mehr

Analysis. mit dem Computer-Algebra-System des TI-92. Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan. Beat Eicke und Edmund Holzherr 11.

Analysis. mit dem Computer-Algebra-System des TI-92. Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan. Beat Eicke und Edmund Holzherr 11. ETH EIDGENÖSSISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE ZÜRICH Analysis mit dem Computer-Algebra-System des TI-92 Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan Beat Eicke und Edmund Holzherr 11. November 1997 Eidgenössische Technische

Mehr

2 Fortführung der Differenzialrechnung... 48

2 Fortführung der Differenzialrechnung... 48 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Folgen und Grenzwerte................................................................................... 10 1.1 Rekursive und explizite Vorgabe einer Folge...........................................................

Mehr

Vektorräume und Rang einer Matrix

Vektorräume und Rang einer Matrix Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektorräume und Rang einer Matrix Dr. Thomas Zehrt Inhalt:. Lineare Unabhängigkeit 2. Vektorräume und Basen 3. Basen von R n 4. Der Rang und Rangbestimmung

Mehr

Technische Mathematik

Technische Mathematik Lehrplan Technische Mathematik Fachschule für Technik Fachrichtungsbezogener Lernbereich Ministerium für Bildung, Kultur und Wissenschaft Hohenzollernstraße 60, 66117 Saarbrücken Postfach 10 24 52, 66024

Mehr

Klaus-Groth-Schule - Neumünster Fachcurriculum Mathematik

Klaus-Groth-Schule - Neumünster Fachcurriculum Mathematik Jahrgang 10 Funktionen Funktionsbegriff - Definition - vielfältige Anwendungen - Umkehrbarkeit (intuitiv, Anwendungen) ganzrationale Funktionen Modellierung - Ablesen der Werte - Ungefähre Bestimmung der

Mehr

Vektorrechnung. 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik:

Vektorrechnung. 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik: Vektorrechnung 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik: - skalare Größen: Länge [m], Zeit [sec], Masse [kg], Energie [N m], elektr. Spannung [V ],... gekennzeichnet durch: Maßzahl ( R) [Maßeinheit]

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

ÜBERBLICK ÜBER DAS KURS-ANGEBOT

ÜBERBLICK ÜBER DAS KURS-ANGEBOT ÜBERBLICK ÜBER DAS KURS-ANGEBOT Alle aufgeführten Kurse sind 100 % kostenfrei und können unter http://www.unterricht.de abgerufen werden. ANALYSIS / INFINITESIMALRECHNUNG Nullstellen * Nullstellen einer

Mehr

Sachwortverzeichnis. 116 Sachwortverzeichnis. Cantor 114 Cauchy 114 Chaostheorie 22 Cosinus 41 Cosinus-Satz 42,64

Sachwortverzeichnis. 116 Sachwortverzeichnis. Cantor 114 Cauchy 114 Chaostheorie 22 Cosinus 41 Cosinus-Satz 42,64 116 Sachwortverzeichnis Sachwortverzeichnis Abbildung 21 identische 23 Abel114 abgeschlossenes Intervall 75 Ableitung 84 höhere 87 zweite 87 Absolutbetrag 77 Absorptionsprozeß 100 Abstand 24,47 Abszisse

Mehr

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64 1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:

Mehr

ToDo-Liste für s Mathe-Abi 2009

ToDo-Liste für s Mathe-Abi 2009 ToDo-Liste für s Mathe-Abi 2009 7. Februar 2009 1 Grenzwerte und Folgen 1. Unterschied arithmetische Folge zu geometrische Folge 2. Rekursive Darstellung von Zerfalls- und Wachstumsvorgängen (a) lineares

Mehr

Einführung in die Mathematik für Volks- und Betriebswirte

Einführung in die Mathematik für Volks- und Betriebswirte Einführung in die Mathematik für Volks- und Betriebswirte Von Prof. Dr. Heinrich Bader und Prof. Dr. Siegbert Fröhlich Mit 45 A bbildungen 8. A uflage R. Oldenbourg Verlag München Wien INHALTSVERZEICHNIS

Mehr

Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:

Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung: Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben

Mehr

y x x y ( 2x 3y + z x + z

y x x y ( 2x 3y + z x + z Matrizen Aufgabe Sei f R R 3 definiert durch ( ) x 3y x f = x + y y x Berechnen Sie die Matrix Darstellung von f Aufgabe Eine lineare Funktion f hat die Matrix Darstellung A = 0 4 0 0 0 0 0 Berechnen Sie

Mehr

Vorwort... 11. Analysis... 16

Vorwort... 11. Analysis... 16 Vorwort... 11 Analysis... 16 Differentialrechnung... 16 Produktregel... 17 Höhere Ableitungen... 18 Quotientenregel... 18 Kettenregel... 19 Anwendung der Kettenregel... 20 Einige wichtige Ableitungen...

Mehr

6.2 Die Regeln von de l Hospital. Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert. Beispiel: Sei f(x) = x 2 und g(x) = x. Dann gilt. lim.

6.2 Die Regeln von de l Hospital. Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert. Beispiel: Sei f(x) = x 2 und g(x) = x. Dann gilt. lim. 6.2 Die Regeln von de l Hospital Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert falls g(x), beide Funktionen gegen Null konvergieren, d.h. = g(x) = 0 beide Funktionen gegen Unendlich konvergieren, d.h.

Mehr

Analysis I. 11. Beispielklausur mit Lösungen

Analysis I. 11. Beispielklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 11. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden kursiv gedruckten) Begriffe. 1) Ein angeordneter Körper. ) Eine Folge in

Mehr

MATHEMATIK Grundlagenfach

MATHEMATIK Grundlagenfach MATHEMATIK Grundlagenfach Kapitel Seite Bildungsziele M1 1 Programm für das normale Niveau 3 Programm für das erweiterte Niveau 6 MATHEMATIK I. BILDUNGSZIELE Der unterricht ermöglicht dem Lernenden umfangreiche

Mehr

Vektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren

Vektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren Kapitel 3 Vektoren 31 Skalare, Vektoren, Tensoren Viele physikalische Größen lassen sich bei bekannter Maßeinheit durch Angabe ihres Betrages als reelle Zahl vollständig angeben Solche Größen nennt man

Mehr

Inhaltsverzeichnis 1 Rechnen 1.1 Die Zahlen 1.2 Zahlen darstellen 1.3 Addieren 1.4 Subtrahieren 1.5 Vereinfachen algebraischer Summen

Inhaltsverzeichnis 1 Rechnen 1.1 Die Zahlen 1.2 Zahlen darstellen 1.3 Addieren 1.4 Subtrahieren 1.5 Vereinfachen algebraischer Summen 6 Inhaltsverzeichnis 1 Rechnen... 11 1.1 Die Zahlen... 11 1.1.1 Zahlenmengen und ihre Darstellung... 11 1.1.2 Übersicht über weitere Zahlenmengen... 17 1.1.3 Zahlen vergleichen... 18 1.1.4 Größen, Variablen

Mehr

Das Mathematikabitur. Abiturvorbereitung Infini. Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1

Das Mathematikabitur. Abiturvorbereitung Infini. Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1 Das Mathematikabitur Abiturvorbereitung Infini Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1 Gliederung Was ist eine Funktion? Welche Funktionen kennen wir? Welche Eigenschaften von Funktionen sind

Mehr

Funktionale Abhängigkeiten

Funktionale Abhängigkeiten Funktionale Abhängigkeiten Lehrplan Die Lehrpläne für die allgemein bildenden Schulen finden Sie online unter: http://www.bmukk.gv.at/schulen/unterricht/lp/lp_abs.xml 5. Klasse (Funktionen) Beschreiben

Mehr

Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume

Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume a) Vektoren: Definition und Grundlagen Größen, die sich durch Angabe eines Zahlenwertes und einer Einheit vollständig beschreiben lassen, nennt man Skalare

Mehr

8 Lineare Abbildungen

8 Lineare Abbildungen 80 8 Lineare Abbildungen In diesem Kapitel untersuchen wir lineare Abbildungen von R n nach R m wie zum Beispiel Spiegelungen, Drehungen, Streckungen und Orthogonalprojektionen in R 2 und R 3 Man nennt

Mehr

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 2.1) Sei D R. a) x 0 R heißt Häufungspunkt von D, wenn eine Folge x n ) n N existiert mit x n D,x n x 0 und lim n x n = x 0. D sei die Menge der Häufungspunkte von D. b) x 0 D heißt innerer Punkt von D,

Mehr

Mathematik für Wirtschaftsinformatiker

Mathematik für Wirtschaftsinformatiker Mathematik für Wirtschaftsinformatiker Alfred Müller, Martin Rathgeb Universität Siegen Wintersemester 2008/09 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1.1 Zahlbereiche.................................... 1 1.2

Mehr

Komplexe Zahlen. Kapitel 1. 1.1 Definitionen 18.4.01

Komplexe Zahlen. Kapitel 1. 1.1 Definitionen 18.4.01 Kapitel Komplexe Zahlen Motivation: die Gleichung x = hat offensichtlich keine reellen Lösungen, da x 0 für jedes reelle x gilt Um auch diese Gleichung lösen zu können, muß man neue Zahlen einführen: die

Mehr

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren .9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 0.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n n-matrizen. Statt E n (n n-einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben..

Mehr

Mathematik für Techniker

Mathematik für Techniker Mathematik für Techniker 5. Auflage mit 468 Bildern, 531 Beispielen und 577 Aufgaben mit Lösungen rs Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag Inhaltsverzeichnis 1 Rechenoperationen 15 1.1 Grundbegriffe

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. 2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es

Mehr

Serie 13: Online Test

Serie 13: Online Test D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 3 Dr. Ana Cannas Serie 3: Online Test Einsendeschluss: 3. Januar 4 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.

Mehr

Bernoulli-Zahlen, Zetafunktion und Summen von Potenzen

Bernoulli-Zahlen, Zetafunktion und Summen von Potenzen Bernoulli-Zahlen, Zetafunktion und Summen von Potenzen Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten www.mathe-seiten.de 30. September 0 Die Bernoulli-Zahlen gehören zu den wichtigsten Konstanten der Mathematik. Wir

Mehr

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen A Matrix-Algebra In diesem Anhang geben wir eine kompakte Einführung in die Matrizenrechnung bzw Matrix-Algebra Eine leicht lesbare Einführung mit sehr vielen Beispielen bietet die Einführung in die Moderne

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = x sin( x + ) Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral

Mehr

Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben.

Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben. Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur für alle gemeldeten Fachrichtungen außer Immobilientechnik und Immobilienwirtschaft am 9..9, 9... Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht

Mehr

Thema. Zeit in Wochen. Bleib fit im Umgang mit Termen und Gleichungen. Bleib fit im Umgang mit quadratischen Funktionen. 1.

Thema. Zeit in Wochen. Bleib fit im Umgang mit Termen und Gleichungen. Bleib fit im Umgang mit quadratischen Funktionen. 1. Stoffverteilungsplan Einführungsphase NRW Die Übersicht enthält die inhaltsbezogenen Kompetenzen des immer noch gültigen Lehrplans von 1999 für die Einführungsphase und die durch die Schulzeitverkürzung

Mehr

Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik

Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik Jürgen Tietze Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik Das praxisnahe Lehrbuch - bewährt durch seine brillante Darstellung 16., aktualisierte Auflage Mit 500 Abbildungen und 1300 Übungsaufgaben

Mehr

22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen

22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen 22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen 22.1 Sinus und Cosinus 22.3 Definition von 22.6 Sinus und Cosinus als eindeutige Lösungen eines Differentialgleichungssystems 22.7 Tangens

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Höhere Mathematik I. 1. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel. Winter 2007/08

Höhere Mathematik I. 1. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel. Winter 2007/08 Dr. A. App Dr. M. Pfeil. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel Höhere Mathematik I Winter 7/8 Aufgabe P. Binomialkoeffizienten Berechnen Sie ohne Taschenrechner: ( ) (a) x = 5 ( ) ( ) ( ) (b)

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Computertechnik / Automatisierungstechnik Elektrotechnik

Mehr

EXCEL in der Wirtschaftsmathematik

EXCEL in der Wirtschaftsmathematik Hans Benker EXCEL in der Wirtschaftsmathematik Anwendung von Tabellenkalkulationsprogrammen für Studenten, Dozenten und Praktiker Springer Vieweg Inhaltsverzeichnis TEIL I: Einführung in EXCEL 1 Das Tabellenkalkulationsprogramm

Mehr

10 - Elementare Funktionen

10 - Elementare Funktionen Kapitel 1 Mathematische Grundlagen Seite 1 10 Elementare Funktionen Definition 10.1 (konstante Funktion) Konstante Funktionen sind nichts weiter als Parallelen zur xachse, wenn man ihren Graphen in das

Mehr

M 10.1. Kreissektoren und Bogenmaß

M 10.1. Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius die Länge des Kreisbogens für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius den Flächeninhalt

Mehr

3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba.

3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba. Die Eindeutigkeit nach Satz 3 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und () wegen Aussage (7) ergibt sich aus () und (6). 0 = log b = log b ( a a) = log b a +log ba. 3 Reihen 3. Konvergenz und Divergenz

Mehr

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit -E Ma Lubov Vassilevskaya Eindimensionaler Raum Abb. -: Zwei nicht gleiche Vektoren auf der gleichen Gerade Jeden Vektor, der auf einer Geraden liegt, kann man durch

Mehr

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen .3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt

Mehr

(a) Zunächst benötigen wir zwei Richtungsvektoren der Ebene E; diese sind zum Beispiel gegeben durch die Vektoren

(a) Zunächst benötigen wir zwei Richtungsvektoren der Ebene E; diese sind zum Beispiel gegeben durch die Vektoren Aufgabe Gegeben seien die Punkte A(,,, B(,,, C(,,. (a Geben Sie die Hesse-Normalform der Ebene E, welche die drei Punkte A, B und C enthält, an. (b Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P (,, 5 zur Ebene

Mehr

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen 2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )

Mehr

Vektorgeometrie - Teil 1

Vektorgeometrie - Teil 1 Vektorgeometrie - Teil 1 MNprofil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 14. März 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung & die analytische Darstellung der

Mehr

Mathematischer Einführungskurs für die Physik

Mathematischer Einführungskurs für die Physik Mathematischer Einführungskurs für die Physik Von Dr. rer. nat. Siegfried Großmann Professor an der Universität Marburg 6., durchgesehene und erweiterte Auflage Mit 121 Figuren, über 100 Beispielen und

Mehr

Inhaltsverzeichnis. TEIL I: Einführung in EXCEL

Inhaltsverzeichnis. TEIL I: Einführung in EXCEL Inhaltsverzeichnis TEIL I: Einführung in EXCEL 1 Das Tabellenkalkulationsprogramm EXCEL... 1 1.1 Tabellenkalkulation... 1 1.2 Anwendungsgebiete... 1 1.3 Hilfefunktionen... 2 2 Benutzeroberflächen der Versionen

Mehr

Mathematik. Lernbaustein 6

Mathematik. Lernbaustein 6 BBS Gerolstein Mathematik Mathematik für die Berufsoberschule II Lernbaustein 6 Modellieren von Realsituationen mit Hilfe der Vektorrechnung www.p-merkelbach.de/bos/mathe/matheskript-bos- Lernbaustein

Mehr

Folgen und Reihen. Beschränkte Folge: Es gibt eine Zahl c = const.

Folgen und Reihen. Beschränkte Folge: Es gibt eine Zahl c = const. Folgen und Reihen Folgen: Def.: Eine Abbildung a N K, n a(n) := a n (K = R C) wird Zahlenfolge genannt. Sie heißt reelle (komplexe) Zahlenfolge, falls K = R(C) ist. Symbole: a n K: Elemente der Folge,

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwerte und Eigenvektoren Ergänzung Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Definitionen Beispiele im IR 2 Beispiele im IR 3 Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Lineare Abbildungen, Ausgangsvektor und Bildvektor Lineare Abbildungen

Mehr

Konvergenz von Folgen

Konvergenz von Folgen 6 Konvergenz von Folgen Definition 6.1 Eine Folge in C (oder R) ist eine Abbildung f : N C (oder R). Schreibweise: (a n ) n N, (a n ), a 1, a 2... wobei a n = f(n). Beispiele: 1) (1 + 2 n ) n N, 3 2, 5

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der

Mehr

Differentialrechnung

Differentialrechnung Kapitel 7 Differentialrechnung Josef Leydold Mathematik für VW WS 205/6 7 Differentialrechnung / 56 Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient f = f ( 0 + ) f ( 0 ) = f () f ( 0) 0 heißt

Mehr

Schulcurriculum Mathematik

Schulcurriculum Mathematik Schulcurriculum Mathematik Die folgenden Standards im Fach Mathematik benennen sowohl allgemeine als auch inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen, die Schülerinnen und Schüler in aktiver Auseinandersetzung

Mehr

Schulcurriculum Mathematik DS Lissabon

Schulcurriculum Mathematik DS Lissabon Schulcurriculum Mathematik DS Lissabon Die folgenden Standards im Fach Mathematik benennen sowohl allgemeine als auch inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen, die Schülerinnen und Schüler in aktiver

Mehr

Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis

Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis Aufgabe 1 - Vollständige Induktion 2 Aufgabe 2 - Grenzwertbestimmung 2 Aufgabe 3 - Lin/Log 2 Aufgabe 4 - Barwert/Endwert 3 Aufgabe 5 - Maximalstellen, steigend/fallend

Mehr

Formelanhang Mathematik II

Formelanhang Mathematik II Formelanhang Mathematik II Mechatronik 2. Sem. Prof. Dr. K. Blankenbach Wichtige Formeln: - Euler: e j = cos() + j sin() ; e -j = cos() - j sin() - Sinus mit Phase: Übersicht Differentialgleichungen (DGL)

Mehr

Über den Autor 9 Einleitung 21

Über den Autor 9 Einleitung 21 Inhaltsverzeichnis Über den Autor 9 Einleitung 21 Zu diesem Buch 21 Konventionen in diesem Buch 22 Wie Sie dieses Buch einsetzen 22 Törichte Annahmen über den Leser 22 Wie dieses Buch aufgebaut ist 23

Mehr

Vektoren und Matrizen

Vektoren und Matrizen Vektoren und Matrizen Einführung: Wie wir gesehen haben, trägt der R 2, also die Menge aller Zahlenpaare, eine Körperstruktur mit der Multiplikation (a + bi(c + di ac bd + (ad + bci Man kann jedoch zeigen,

Mehr

Statistische Methoden

Statistische Methoden Statistische Methoden Dr CJ Luchsinger 6 Repetition: Rechnen mit Matrizen für die Statistik Matrizen sind aus zwei Gründen für die Statistik sehr wichtig: Sie ermöglichen uns einerseits eine sehr elegante

Mehr

1.Kreiszahl π 1.1.Kreis α Länge des Kreisbogens b = 2π 360 α

1.Kreiszahl π 1.1.Kreis α Länge des Kreisbogens b = 2π 360 α Grundwissen athematik 0.Klasse Gymnasium SOB.Kreiszahl..Kreis α Länge des Kreisbogens b r 360 α Fläche des Kreissektors A r 360 Das Bogenmaß b eines Winkels α ist die Länge der zugehörigen Bogenlänge b

Mehr

1 Allgemeines, Verfahrensweisen

1 Allgemeines, Verfahrensweisen 1 Allgemeines, Verfahrensweisen 1.1 Allgemeines Definition einer Funktion Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung, die jedem x-wert genau einen y-wert zuordnet. Dem y-wert, welchem ein x-wert zugeordnet

Mehr

f : x 2 x f : x 1 Exponentialfunktion zur Basis a. Für alle Exponentialfunktionen gelten die Gleichungen (1) a x a y = a x+y (2) ax a y = ax y

f : x 2 x f : x 1 Exponentialfunktion zur Basis a. Für alle Exponentialfunktionen gelten die Gleichungen (1) a x a y = a x+y (2) ax a y = ax y 5. Die natürliche Exponentialfunktion und natürliche Logarithmusfunktion ================================================================== 5.1 Die natürliche Exponentialfunktion f : x 2 x f : x 1 2 x

Mehr

Differenzengleichungen. und Polynome

Differenzengleichungen. und Polynome Lineare Differenzengleichungen und Polynome Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck Technikerstr. 13/7, A-600 Innsbruck, Österreich franz.pauer@uibk.ac.at 1 Einleitung Mit linearen Differenzengleichungen

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

MatheBasics Teil 4 Grundlagen der Mathematik

MatheBasics Teil 4 Grundlagen der Mathematik Fernstudium Guide Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft MatheBasics Teil 4 Grundlagen der Mathematik Version vom 02.11.2015 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der

Mehr

Lineare Abbildungen. Es seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, falls. d.h.

Lineare Abbildungen. Es seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, falls. d.h. Lineare Abbildungen Es seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, falls (1) u, v V : f( u + v) = f( u) + f( v). (2) v V α K : f(α v) = αf( v).

Mehr

Kern- und Schulcurriculum Mathematik Klasse 9/10. Stand Schuljahr 2009/10

Kern- und Schulcurriculum Mathematik Klasse 9/10. Stand Schuljahr 2009/10 Kern- und Schulcurriculum Mathematik /10 Stand Schuljahr 2009/10 Fett und kursiv dargestellte Einheiten gehören zum Schulcurriculum In allen Übungseinheiten kommt die Leitidee Vernetzung zum Tragen - Hilfsmittel

Mehr

Exponentialfunktion, Logarithmus

Exponentialfunktion, Logarithmus Exponentialfunktion, Logarithmus. Die Exponentialfunktion zu einer Basis > 0 Bei Exponentialfunktionen ist die Basis konstant und der Exponent variabel... Die Exponentialfunktion zu einer Basis > 0. Sei

Mehr

Grundlagen der Strömungsmechanik

Grundlagen der Strömungsmechanik Franz Durst Grundlagen der Strömungsmechanik Eine Einführung in die Theorie der Strömungen von Fluiden Mit 349 Abbildungen, davon 8 farbig QA Springer Inhaltsverzeichnis Bedeutung und Entwicklung der Strömungsmechanik

Mehr

Mathematik mit Simulationen lehren und lernen

Mathematik mit Simulationen lehren und lernen Dieter Röß Mathematik mit Simulationen lehren und lernen Plus 2000 Beispiele aus der Physik De Gruyter Mathematics Subject Classification 2010: Primary: 97M20; Secondary: 97M50. Prof. Dr. Dieter Röß Fasanenweg

Mehr

Mathematik für Bauingenieure

Mathematik für Bauingenieure Mathematik für Bauingenieure Doz.Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch 1. Februar 2005 Kontakt: Willersbau C214, Telefon 34257 Homepage: http://www.math.tu-dresden.de/~koksch e-mail: koksch@math.tu-dresden.de

Mehr

Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Lösungen

Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Lösungen Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und http://www.fersch.de Klemens Fersch 9. August 0 Inhaltsverzeichnis Ganzrationale Funktion Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c 8. Aufgaben...................................................

Mehr

Wichtige mathematische Symbole

Wichtige mathematische Symbole Wichtige mathematische Symbole Die folgende Liste enthält wichtige Zeichen und Symbole, die vor allem in der Mathematik, aber z.t. auch in den angewandten Fachbereichen Verwendung finden. Der Schwerpunkt

Mehr

Lehrplan Mathematik. Ausbildungsprofil n. Grundlagenfach Schwerpunktfach Ergänzungsfach. Ausbildungsprofile s, m. Grundlagenfach Ergänzungsfach

Lehrplan Mathematik. Ausbildungsprofil n. Grundlagenfach Schwerpunktfach Ergänzungsfach. Ausbildungsprofile s, m. Grundlagenfach Ergänzungsfach Lehrplan Mathematik Ausbildungsprofil n Grundlagenfach Schwerpunktfach Ergänzungsfach Ausbildungsprofile s, m Grundlagenfach Ergänzungsfach 02.12.03 / 19.01.04 1 Mathematik Ausbildungsprofil N, Grundlagenfach

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme KAPITEL 2 Lineare Gleichungssysteme Lernziele dieses Abschnitts sind: Begrie: Matrix, Vektor spezielle Matrix, transponierte Matrix, inverse Matrix nur fur quadratische Matrizen erklart, Determinante,

Mehr

Vektoranalysis PHY.E10

Vektoranalysis PHY.E10 Vektoranalysis PHY.E10 Vorlesungsskriptum SS 015 Assoz.-Prof. Dr. Peter Puschnig Institut für Physik, Fachbereich Theoretische Physik Karl-Franzens-Universität Graz Universitätsplatz 5, A-8010 Graz peter.puschnig@uni-graz.at

Mehr

Modulhandbuch für die Bachelorstudiengänge. Mathematik Technomathematik Wirtschaftsmathematik Lehramt (vertieft) Lehramt (nicht vertieft) WS 2007/08

Modulhandbuch für die Bachelorstudiengänge. Mathematik Technomathematik Wirtschaftsmathematik Lehramt (vertieft) Lehramt (nicht vertieft) WS 2007/08 WS 2007/08 Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik (FAU) 1 Modulhandbuch für die Bachelorstudiengänge Mathematik Technomathematik Wirtschaftsmathematik Lehramt (vertieft) Lehramt (nicht vertieft)

Mehr

Lineare Algebra II 9. Übungsblatt

Lineare Algebra II 9. Übungsblatt Lineare Algebra II 9. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof. Dr. Kollross 5./6. Juni Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Minitest: ohne Benutzung des Skripts und innerhalb von Minuten!)

Mehr