Differenzialrechnung. Mathematik-Repetitorium

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1 Differenzialrechnung 5.1 Die Ableitung 5.2 Differentiation elementarer Funktionen 5.3 Differentiationsregeln 5.4 Höhere Ableitungen 5.5 Partielle Differentiation 5.6 Anwendungen Differenzialrechnung 1

2 5. Differenzialrechnung Einführung Durchschnittliche Geschwindigkeit: Differenzenquotient Momentane Geschwindigkeit? Wahl von kleinerem T Grenzwert? Differenzialrechnung 2

3 5. Differenzialrechnung 5.1 Die Ableitung Steigung der Sekante PQ: Steigung der Tangente in P: Definition 5.1: heißt an der Stelle differenzierbar, wenn existiert. Schreibweisen: Differenzialquotient Differenzialrechnung 3

4 5. Differenzialrechnung Die Ableitung Bemerkungen (1) Grenzwert: Frage: Hat für einen Grenzwert? Ableitung von Andere Darstellung: Grenzwert: Hinweis: Gute Übersicht über mathematische Symbole z.b. unter Differenzialrechnung 4

5 5. Differenzialrechnung Die Ableitung Bemerkungen (2) differenzierbar an der Stelle differenzierbar im Intervall differenzierbar Geschwindigkeit freier Fall: Differenzierbarkeit Stetigkeit Differenzialrechnung 5

6 5. Differenzialrechnung Die Ableitung Differenz und Differenziale Differenziale Differenzialrechnung 6

7 5. Differenzialrechnung Die Ableitung Beispiel 5.1: Differenzialrechnung 7

8 5. Differenzialrechnung 5.2 Differenziation elementarer Funktionen konstante Funktion Potenzfunktion Differenzialrechnung 8

9 5. Differenzialrechnung Differentiation elementarer Funktionen Exponentialfunktion Kreisfunktionen Differenzialrechnung 9

10 5. Differenzialrechnung 5.3 Differenziationsregeln (, seien differenzierbare Funktionen) Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel für : Differenzialrechnung 10

11 5. Differenzialrechnung - Differentiationsregeln Anwendung auf die Umkehrfunktion: Differenzialrechnung 11

12 5. Differenzialrechnung - Differentiationsregeln Beispiel 5.2: A) B) Tafel Differenzialrechnung 12

13 5. Differenzialrechnung - Differentiationsregeln Beispiel 5.2: C) Differenzialrechnung 13

14 5. Differenzialrechnung 5.4 Höhere Ableitungen zweite Ableitung es gilt: Beispiel 5.3: Differenzialrechnung 14

15 5. Differenzialrechnung höhere Ableitungen Beispiel 5.3: Differenzialrechnung 15

16 5. Differenzialrechnung Zur Erinnerung: Funktionen von n Variablen Beispiel 1: Beispiel 2: Darstellung Schnitt bei Differenzialrechnung 16

17 5. Differenzialrechnung Funktionen von n Variablen Darstellung Tangentialebene Differenzialrechnung 17

18 5. Differenzialrechnung 5.5 Partielle Differenziation partielle Ableitung: partielle Ableitung zweiter Ordnung: Differenzialrechnung 18

19 5. Differenzialrechnung Partielle Differenziation Differenz und Differenziale: Differenz Differenzial Anwendung: ODER: Implizite Differentiation: Differenzialrechnung 19

20 5. Differenzialrechnung Partielle Differenziation Beispiel 5.4: Tafel Differenzialrechnung 20

21 5. Differenzialrechnung 5.6 Anwendungen Kurvendiskussion monoton steigend konvex (Linkskrümmung) monoton fallend konkav (Rechtskrümmung) Differenzialrechnung 21

22 5. Differenzialrechnung Kurvendiskussion : stationäre Stelle lokales Minimum lokales Maximum Wendepunkt Extremalstelle notwendig für lokales Maximum oder Minimum: Ermittlung des Kurvenverlaufs: Differenzialrechnung 22

23 5. Differenzialrechnung Kurvendiskussion Beispiel 5.5: Ergänzung: Kurven in Parameterdarstellung Elimination von z.b.: Ellipse (Kreis): Differenzialrechnung 23

24 5. Differenzialrechnung Näherungsrechnung Differenz: Approximation (1. Ordnung) Satz von Taylor: Annäherung durch Polynom n-ter Ordnung mit Restglied (falls beliebig oft differenzierbar ist) Differenzialrechnung 24

25 5. Differenzialrechnung Näherungsrechnung Beispiel 5.6: (auf 6 Stellen nach dem Komma genau) Tabellenwerke (z.b. Bronstein) Differenzialrechnung 25

26 5. Differenzialrechnung Newton-Iteration Problem: Nullstellenbestimmung Iteration: Abbruch, wenn Differenzialrechnung 26

27 5. Differenzialrechnung Newton-Iteration Schwierigkeiten: Differenzialrechnung 27

28 5. Differenzialrechnung Newton-Iteration Beispiel: Anfangswert Differenzialrechnung 28

29 Aufgaben im Tutorium Buch: A 5.2 A 5.5 ( 3/5/6/7/8) A 5.6 A 5.7 A 5.9 A 5.12 A 5.15 Differenzialrechnung 29

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