Institut für Soziologie. Methoden 2. Regressionsanalyse I: Einfache lineare Regression

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1 Institut für Soziologie Methoden 2 Regressionsanalyse I: Einfache lineare Regression

2 Programm Anwendungsbereich Vorgehensweise Interpretation Annahmen Zusammenfassung Übungsaufgabe Literatur # 2

3 Anwendungsbereich Bisher wurden bei metrischen Variablen nur nur Korrelationen und Mittelwertsunterschiede geschätzt. Variablen stehen in linearem Zusammenhang Gruppen unterscheiden sich signifikant Aus individuellen Werten unabhängiger Variablen können bisher keine individuellen Werte der abhängigen Variable vorhergesagt werden. # 3

4 Anwendungsbereich Z.B. können die folgenden Fragen damit nicht beantwortet werden: Um wie viele Zigaretten sinkt der Verbrauch eines durchschnittlichen Rauchers, wenn der Preis der Schachtel um einen Euro erhöht wird? Um wie viel Euro ändert sich das Einkommen durchschnittlich, wenn sich das Alter um ein Jahr ändert? # 4

5 Anwendungsbereich Einfache lineare Regression untersucht Zusammenhang zwischen Die multiple lineare Regression ist eine Erweiterung der einfachen Regression, bei der mehr als eine unabhängige Variable betrachtet wird (nächste Vorlesung). Die logistische Regression ist ein alternatives Verfahren, das verwendet wird, wenn die abhängige Variable dichotom ist (übernächste Vorlesung). # 5

6 Vorgehensweise Grundidee Die Idee der linearen Regression ist es, durch eine Punktewolke eine Gerade zu legen, welche diese Punktewolke möglichst gut zusammenfasst, anders ausgedrückt: welche den Zusammenhang zwischen zwei Variablen möglichst gut beschreibt. Man wählt eine Gerade, wenn man von einem linearen Zusammenhang ausgeht. # 6

7 Vorgehensweise Grundidee Beispiel: Zusammenhang zwischen Alter und Einkommen Zunächst: Erstellen eines Streudiagramms und Einfügen einer Geraden per Grafikeditor compute alter=2009-(1900+v (1900+v_610). graph /scatterplot alter with v_309. # 7

8 Vorgehensweise Grundidee # 8

9 Vorgehensweise Formalisierung Eine solche Gerade lässt sich mathematisch beschreiben: y β0 β1x Wie man sieht, liegen aber nur wenige Punkte auf der Geraden. Deshalb wird die Geradengleichung um einen so genannten Fehlerterm ε (oft auch u) ergänzt (auch als Residuum bezeichnet): y β0 β1x ε Gründe für die Abweichung: Messfehler abhängige Variable Y wird so gut wie nie vollständig durch die unabhängige Variable X erklärt # 9

10 Vorgehensweise Formalisierung Die Gerade wird so durch die Punktewolke gelegt, dass die Summe der quadrierten Residuen möglichst klein wird (sog. Kleinst-Quadrate-Methode oder auch Ordinary Least Squares (OLS)). Das zu lösende Problem lautet also: min n i 1 u 2 i Die Residuen müssen quadriert werden, weil sich sonst positive und negative Abweichungen ausgleichen stärkere Abweichungen stärker in die Berechung einfließen sollen Der Erwartungswert der Residuen ist gleich 0, im Durchschnitt sind die Fehler also 0: E(u)=0. # 10

11 Vorgehensweise Notation Y y i ŷ i u i β 1 β x i X # 11

12 Vorgehensweise Anpassungsgüte: R² Hat man die Parameter der Geradengleichung geschätzt, stellt sich die Frage: Wie gut passt die Gerade zu den Daten? Dazu: Berechung des Bestimmtheitsmaßes R² R² basiert auf Zerlegung der Gesamtstreuung in Streuungskomponenten: Die Gesamtvariation der tatsächlichen Werte von Werte von Y lässt sich zerlegen in durch die Regression erklärte und unerklärte Variation: TSS = ESS + RSS (Total Sum of Squares = Explained Sum of Squares + Residual Sum of Squares) TSS ( Y Y ) i 2 ESS ( Yˆ Y ) 2 RSS uˆ R² ergibt sich als der Anteil der erklärten Variation an der Gesamtvariation i 2 ˆi # 12

13 Vorgehensweise Anpassungsgüte: R² R 2 ˆ 2 2 i Y ) uˆ i 1 2 i Y ) ( Yi ESS ( Y 1 2 TSS ( Y Y ) RSS TSS R² ist also ein Anteil. Folglich liegt R² zwischen 0 und 1 Interpretation von R²: # 13

14 Vorgehensweise Anpassungsgüte: F-Test Ebenfalls auf dieser Streuungszerlegung basiert der F-Test Dieser Test informiert darüber, ob die unabhängige(n) Variable(n) zur Erklärung der abhängigen Variable beitragen # 14

15 Vorgehensweise Anpassungsgüte: F-Test Zunächst werden Freiheitsgrade berechnet: Freiheitsgrade gesamt: Fallzahl N - 1 Freiheitsgrade der Residuen: N-J-1 mit J: Zahl der unabhängigen Variablen Freiheitsgrade der Regression = Freiheitsgrade gesamt- Freiheitsgrade Residuen Dann werden jeweils Mittel der Quadrate berechnet: Mittel der Quadrate = Quadratsumme/Freiheitsgrade Die Prüfgröße F ergibt sich als Mittel der Quadrate Regression/Mittel der Quadrate Residuen (vgl. Folie 23) # 15

16 Vorgehensweise Signifikanz von Koeffizienten Neben der Gesamtgüte des Modells ist insbesondere von Interesse, ob einzelne Variablen einflussreich sind Dazu werden zunächst für jeden Koeffizienten (hier: β 0 und β 1 ) sogenannte Standardfehler berechnet Diese entsprechen der Standardabweichung der Koeffizienten, wenn man immer wieder eine Stichprobe ziehen würde Dann werden die Koeffizienten durch die Standardfehler dividiert Der resultierende T-Wert dient als Prüfgröße eines Tests # 16

17 Vorgehensweise Dummyvariablen und Interpretation Unabhängige Variablen müssen metrisch oder dichotom (0/1- kodiert) sein Durch Dichotomisierung (Bildung von Dummyvariablen) lassen sich auch nominale und ordinale Variablen als unabhängige Variablen untersuchen Eine Dummyvariable nimmt den Wert 1 an, wenn eine bestimmte t Eigenschaft vorliegt, sonst den Wert 0 Beispiel: Ursprüngliche Variable Nationalität mit den Ausprägungen Deutsch, Nicht deutsch und Doppelte Staatsbürgerschaft drei Dummyvariablen Deutsch ja/nein, Nicht deutsch ja/nein, Doppelte Staatsbürgerschaft ja/nein Dummy-Variablen sind im Hinblick auf eine sog. Referenzkategorie zu interpretieren: liegt mehr als 1 (n) Dummyvariable vor, werden n-1 davon in das Modell aufgenommen, die weggelassene Variable dient als Referenzkategorie # 17

18 Vorgehensweise Dummyvariablen und Interpretation Beispiel 1: Liegt ein Dummy vor, der den Wert 1 annimmt, falls eine Person männlich ist, gibt der Dummy an, um wie viel Einheiten sich die AV für einen Mann gegenüber einer Frau ändert Beispiel 2: Liegen Nationalitätsdummys wie auf der vorigen Folie vor und werden die Dummys Nicht deutsch und doppelte Staatsbürgerschaft ins Modell aufgenommen, geben die Koeffizienten an, um wie viel Einheiten sich die AV jeweils im Vergleich zu Deutsch Deutsch ändert Im Falle metrischer unabhängiger Variablen gibt der Koeffizient an, um wie viel Einheiten sich die AV ändert, wenn sich die UV um eine Einheit ändert # 18

19 Vorgehensweise Beispiel 1 Untersucht werden soll der Zusammenhang zwischen Alter und Einkommen Hypothese: Mit zunehmendem Alter steigt Einkommen. regression /descriptives mean /missing listwise /stat coef r anova /dep v_309 /method=enter alter. 1 Spezifikation der abhängigen Variable Spezifikation der unabhängigen Variable # 19

20 Vorgehensweise Beispiel 1 SPSS liefert mehrere Tabellen zur Darstellung der Regressionsergebnisse, die auf den folgenden Folien besprochen werden: Deskriptive Statistiken : Enthält Angaben über Fallzahlen und Mittelwerte der Variablen (desriptives mean) Aufgenommene/Entfernte Variablen : Informiert ggf. über ausgeschlossene Variablen (z.b. wegen Multikollinearität, siehe weiter unten) Modellzusammenfassung Modellzusammenfassung : Enthält u.a. R² (stat t r) ANOVA : Enthält die Angaben, die zur Berechnung von R² und F nötig sind sowie den F-Test und seinen p-wert (stat anova) Koeffizienten : Enthält die geschätzten Regressionskoeffizienten und ihre Signifikanzen (stat coef) # 20

21 Interpretation Beispiel 1 # 21

22 Interpretation Beispiel 1 # 22

23 Interpretation Beispiel 1 # 23

24 Interpretation Beispiel 1 # 24

25 Interpretation Beispiel 1 Zusammenfassende Interpretation: # 25

26 Modellannahmen Grundannahmen: Linearität in den Parametern muss gegeben sein (aber nicht unbedingt in den Variablen) Der Mittelwert der Residuen ist bei gegebenen Werten von X Null, d.h. E(u i X i ) = 0 für alle i Die Varianz der Residuen ist für alle Werte von X gleich (Homoskedastizität), d.h. var(u i X i ) = σ 2 für alle i Für jedes gegebene Paar von Werten X i und X j ist die Korrelation zwischen den zugehörigen Fehlern stets Null (keine Autokorrelation), d.h. cov(u i,u j X i,x j ) = 0 für alle i j Regressor (X) und Fehler sind unkorreliert, d.h. cov(u i i,,x i) = 0 für alle i # 26

27 Modellannahmen Weitere Annahmen: Zahl der Beobachtungen muss größer sein als Zahl der Parameter Werte von X müssen variieren, d.h. var(x) muss eine endliche positive Zahl sein Das Modell muss korrekt spezifiziert sein, beispielsweise müssen also die relevanten Regressoren identifiziert worden sein Bei Modellen mit mehr als einer unabhängigen Variable (nächste Woche) gibt es keine perfekte Multikollinearität, d.h. keine perfekte Beziehung zwischen unabhängigen Variablen # 27

28 Modellannahmen Sind die Modellannahmen erfüllt, sind die OLS-Schätzer Schätzer BLUE (Best Linear Unbiased Estimator), das heißt sie sind unverzerrt, entsprechen im Schnitt also dem wahren Parameter in der Grundgesamtheit sie haben unter allen gegebenen Schätzern die geringste Varianz (Effizienz) Außerdem sind die Schätzer konsistent, das heißt, daß sie sich mit steigendem Stichprobenumfang dem wahren Populationswert annähern. Für Signifikanztests der Parameter (nicht aber für die Schätzung an sich) ist zusätzlich die Annahme nötig, dass die Fehlerterme normalverteilt sind # 28

29 Modellannahmen Für einen Teil der Annahmen existieren bestimmte Testverfahren (hier nicht Gegenstand). Auf jeden Fall sollte man durch grafische Darstellung prüfen, ob ein annähernd linearer, auf jeden Fall aber monotoner Zusammenhang vorliegt. Die Variablen sollten ferner möglichst symmetrisch und eingipflig verteilt sein. Insgesamt ist die OLS-Regression aber relativ robust gegen Verletzungen ihrer Annahmen. # 29

30 Zusammenfassung Die einfache lineare Regression dient der Analyse des Einflusses einer metrischen oder dichotomen unabhängigen Variable auf eine metrische abhängige Variable Grundidee ist das Hindurchlegen einer Geraden durch eine Punktewolke, sodass die Summe der quadrierten Abstände der Beobachtungen von der Geraden möglichst klein wird Verschiedene Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit eine Regressionsanalyse durchgeführt werden kann. # 30

31 Zusammenfassung Kochrezept Kochrezept : Was muss mindestens interpretiert werden? 1. Ist der F-Test signifikant? Auskunft darüber, ob unabhängige Variable(n) zur Erklärung der abhängigen Variable beitragen 2. Wie groß ist R²? Anteil der Varianz der abhängigen Variable, der durch unabhängige Variable erklärt wird 3. Welche Variablen haben einen signifikanten Einfluss auf die abhängige Variable? T-Test der Koeffizienten 4. Wie ist dieser Einfluss beschaffen: positiv oder negativ, um wie viele Einheiten ändert sich die abhängige Variable bei Änderung der unabhängigen Variable um eine Einheit Interpretation der Koeffizienten # 31

32 Übungsaufgabe 1. Um wie viele Punkte ändert sich der Index der Kompetenzeinschätzung durchschnittlich, wenn man statt einer Person, die in Deutschland geboren ist, eine Person betrachtet, die im Ausland geboren ist? 2. Untersuchen Sie den Zusammenhang zwischen dem Index der Kompetenzeinschätzung und der Zahl gekaufter Bücher. # 32

33 Literatur Greene, William (1993): Ecomometric Analysis. 2nd ed., New York, Kap. 5. Jann, Ben (2002): Einführung in die Statistik. München, Kap Wittenberg, Reinhard und Hans Cramer (2003): Datenanalyse mit SPSS für Windows. 2. Aufl. Stuttgart, S. 191 ff. Fahrmeier, Ludwig, Rita Künstler, Iris Pigeot und Gerhard Tutz, 1997: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. Berlin u.a.: Kap. 12. # 33

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