Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie

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1 Aalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Mootoie Datei Nr Friedrich Buckel Juli 005 Iteretbibliothek für Schulmathematik

2 Ihalt 1 Eiführugsbeispiele 1 Mootoie bei arithmetische Folge Defiitioe 3 3 Welche Beweistechik ist besser? 4 4 Wichtige Musterbeispiele 6 Mootoie bei geometrische Folge 17

3 40051 Zahlefolge 4 Mootoie 1 VORWORT 1 Eiführugsbeispiele Eie wichtige Eigeschaft vo Folge (ud Fuktioe gaz allgemei) ist die Mootoie. Dabei geht es darum, dass eie mootoe Folge ab eier etweder gaz oder i eiem bestimmte Abschitt (also etwa ab = 5 ) immer zuehmede Werte hat, Da also ist a 5 < a 6 < a 7 < a 8 <. Nebe der Eigeschaft mooto steiged zu sei, ka eie Folge auch mooto falle, da ist z.b. a 5 > a 6 > a 7 > a 8 >. Um diese Eigeschaft a eier durch eie Term gegebee Folge feststelle zu köe, geügt es icht, eiige Folgeglieder zu bereche. Ei Stück weiter hite i der Folge köte sich das Verhalte ja äder. Wir müsse also eie Beweis durchführe, der eie allgemeie Aussage macht. Sehe wir us das a Beispiele a. Beispiel 1: a =4-4 Diese Zahlefolge hat die Werte a 1 = 0 ; a = 4 ; a 3 = 8,... A der Form des Terms sollte ma erkee. dass es sich um eie arithmetische Folge hadelt, bei der das ächste Glied um jeweils 4 größer ist als der Vorgäger. Dies garatiert die Zuahme der Folgeglieder. Ma sagt, dass diese Folge streg mooto steigt (wächst). Ud als Kezeiche ka ma diese Ugleichug verwede: a+ 1> a für alle N. Das Wort streg bedeutet, dass auch icht zwischedurch mal zwei Glieder gleich groß sid! Beispiel : a =40- Auch hier liegt eie arithmetische Folge vor, ud der Nachfolger ist stets um kleier als der Vorgäger. Jetzt wolle wir dies richtig beweise, idem wir so reche, wie ma es bei de arithmetische Folge gelert habe sollte: Wir bereche die Differez aufeiaderfolgeder Glieder: a ( ( )) ( ) 1 a = = = Weil a 1 a = + ist, gilt a = 1 a + d.h. es ist a < + 1 a. Wir sage, die Folge fällt streg mooto. Erketis: We us eie Rechug dieses Ergebis liefert: a+1 -a >0, da besagt dies doch ebeso a +1 >a, ud dies sagt aus, dass a +1 (also der Nachfolger vo a ) größer als a ist. Da steigt die betreffede Folge streg mooto. Liefert eie Rechug dagege a+1 -a <0, da folgt a +1 <a, was ud sagt, dass der Nachfolger kleier als der Vorgäger ist, dass die Folge streg mooto fällt.

4 40051 Zahlefolge 4 Mootoie Mootoie bei arithmetische Folge Wir sehe a de beide Beispiele: Ist d= a+ 1 a> 0, liegt eie streg wachsede arithmetische Folge vor, etwa a = 1 6 (d=1), 1 1 a = + 5 (d = ), usw. Ist dagege d= a+ 1 a< 0, etwa bei a = (d = -3) oder a = 0 30 (d = -30), da fällt diese Folge. Die arithmetische Folge sid leicht zu bereche, weil sie lieare Fuktiosterme habe, also Terme dieser Bauart: a = r + s! Alle adere Terme bereite teilweise erhebliche Probleme beim Nachweis der Mootoie. Beispiel 3: a = -3+4 Wir bereche: a1 = = a = = a3 = = 4 a4 = = 8 a5 = = 14 usw. y = x 3x+ 4 Das Betrachte der 5 Werte führt zu folgeder Vermutug: a 1 = a, aber ab a immt die Folge städig zu. Dies ist schell bewiese, we ma sich klar macht, dass die zu de eizele Glieder der Folge gehörede Pukte auf der Parabel mit der Gleichug y = x 3x+ 4 liege. Diese 3 hat ihre Scheitel bei x S = ud weil sie ach obe geöffet ist, ehme die Werte rechts vom Scheitel städig zu. Worauf es us zuächst akommt, ist, dass u icht mehr a+ 1> a gilt, aber och immer a + a. 1 Jetzt spricht ma icht mehr vo der strege Mootoie, soder wir sage: a wächst mooto. Der Nachweis der Mootoie geschah hier über die Beschreibug der Lage der Pukte auf eier Parabel. Wir köe daher u folgede Defiitioe festhalte:

5 40051 Zahlefolge 4 Mootoie 3 Defiitioe Eie Folge heißt streg mooto falled, we für alle N gilt a < + 1 a Eie Folge heißt mooto falled, we für alle N gilt a+ 1 a Eie Folge heißt streg mooto wachsed, we für alle N gilt a+ 1 > a Eie Folge heißt mooto wachsed, we für alle N gilt a a + 1 Ma merkt sich: Fehlt das Wort streg, da dürfe aufeiader folgede Glieder der Folge auch gleich groß sei. Schüler sollte diese Defiitioe lere ud auswedig wisse, sost ka ma etsprechede Aufgabe icht löse!

6 40051 Zahlefolge 4 Mootoie 4 3 Welche Beweistechik ist besser? Die i der Defiitio geate Ugleichuge sid icht sehr güstig zum Awede i Beweisaufgabe. Dies schaue wir us a Had dieser Folge a: Beispiel 4: +16 a =. +5 Die Aufgabe heißt: Zeige, dass diese Folge streg mooto fällt. Ich zeige u zuerst, wie die meiste Schüler vorgehe ud dabei icht bemerke, dass sie ei Problem eifach igoriere: Zu zeige ist: a + 1 a (1) Zuerst bereche wir ( + 1) a+ 1= = ( + 1) Achtug: a +1 etsteht aus a, idem wir durch +1 ersetze! Die Behauptug (1) läßt sich da schreibe als < () Nu wird diese Ugleichug mit ( + 6)( + 5) multipliziert damit die Neer verschwide. Weil dieses Produkt stets positiv ist, bleibt dabei die Richtug der Ugleichug erhalte. Es folgt also ( + 18)( + 5) < ( + 16)( + 6) (3) < (4) < (5) 90 < 96 (6) ud das stimmt! Die typische Schülerargumetatio ist u die folgede: Weil (6) eie wahre Aussage ist, gilt auch () d.h. (1) d.h. a fällt streg mooto. Dies ist so jedoch uzulässig. Rei logisch gesehe passiert ämlich folgedes: Es wird eie Folgerugskette gebildet: Aus (1) folgt () folgt (3) folgt (4) folgt (5) folgt (6). Beispiel: We es reget, da folgt: Die Straße ist aß. Wir schaue also zum Fester hiaus ud etdecke, dass die Straße aß ist. Folger wir daraus, dass es reget? Ma merkt, dies ka der Fall sei, es ka aber auch scho aufgehört habe zu rege! Der Schluß ist also icht zwiged umkehrbar! Geauso weig dürfe wir ach Asehe der wahre Aussage (6) sage, aha, also reget es, d.h. es gilt die Ugleichug (1). Eie Folgerug darf icht eifach umgekehrt werde.

7 40051 Zahlefolge 4 Mootoie 5 Was ist also zu tu: Gaz eifach wir müsse die gaze Kette umkehre ud jede Schritt eizel ochmals überprüfe: Folgt aus (6) die Ugleichug (5) ud daraus (4), (3), () ud schließlich (1)??? Erst we dies alles der Fall ist, dürfe wir sage, dass die Folge streg mooto fällt. Schüler wisse u auch icht immer, welche Schritte i der Folge vo (1) ach (6) umkehrbar sid, ud welche icht. Daher ist diese Art des Beweises ugüstig! Es gibt eie Weg, der zudem deutlich kürzer sei ka, ud der keie solche logische Probleme aufwirft: Hier die eue Methode: Wir beweise icht die Ugleichug soder die Ugleichug a a a + a <! < Warum dies viel eifacher ist, zeigt diese Beispielrechug: Zu beweise ist a + a < d. h < Ud das mache wir so, dass wir die like Seite aschreibe ud so lage umforme, bis wir erkee, dass das Ergebis egativ ist! Neue MUSTERLÖSUNG: Like Seite: a + 1 ARGUMENTATION: ( + 18)( + 5) ( + 16)( + 6) a= = ( + 6)( + 5) ( ) = ( + 6)( + 5) 6 = ( + 6)( + 5) Weil eie positive Zahl ist, wird der Neer positiv. Der Zähler ist egativ, also ist der Bruch stets egativ, was zu beweise war. Es loht sich dabei icht, de Neer auszumultipliziere!!

8 40051 Zahlefolge 4 Mootoie 6 4 Wichtige Musterbeispiele auf der Mathe-CD

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