Z Z, kurz { } Zählt die Reihenfolge der Buchstaben (ja/nein) Daraus ergeben sich wiederum vier Möglichkeiten, Wörter der Länge k zu bilden.
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- Herta Keller
- vor 7 Jahren
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1 Kombnator. Problemstellung Ausgangspunt be ombnatorschen Fragestellungen st mmer ene endlche Menge M, aus deren Elementen man endlche Zusammenstellungen von Elementen aus M bldet. Formal gesprochen bedeutet das: Ist M = { a,, an} ene belebge Menge mt n Elementen, so bldet man endlche Zusammenstellungen von Elementen von M. Wr wollen solche Zusammenstellungen von Elementen aus M als Zusammenstellungen der Länge oder (we üblch) als Stchproben der Länge bezechnen. Entschedend wchtg snd de beden Bass-Fragen der Kombnator: (K) Darf es n der Stchprobe Wederholungen von Elementen geben? (ja / nen) (K) Ist de Rehenfolge der Elemente der Stchprobe zu beachten? (ja / nen) (a) Urnenmodell Urne mt n Kugeln; Zehung von Kugeln: 4 Möglcheten des Zehens! a) Mt Wederholung (mt Zurüclegen), Rehenfolge wchtg; urz: [mw Rw] b) Ohne Wederholung (ohne Zurüclegen), Rehenfolge wchtg; urz: [ow Rw] c) Mt Wederholung (mt Zurüclegen), Rehenfolge unwchtg; urz: [mw Ruw] d) Ohne Wederholung (ohne Zurüclegen), Rehenfolge unwchtg; urz: [ow Ruw] Bespel: <Sehe Vorlesung!> (b) Alphabetmodell Gegeben: Alphabet mt n Zechen; also{,..., n} Fallunterschedung: Wederholung von Buchstaben (ja/nen) Z Z, urz { },..., n. Zählt de Rehenfolge der Buchstaben (ja/nen) Daraus ergeben sch wederum ver Möglcheten, Wörter der Länge zu blden. (c) Allgemenes Zählprnzp (AZP) Gegeben ZE mt Telversuchen, de nachenander ausgeführt werden. Ist m de Anzahl der Ergebnsse be Telversuch, so hat das ZE nsgesamt = m möglche Ergebnsse. Bewes: Es wrd Induton über benutzt. < Indutonsbewes: Semnargruppe I > I.A.: =. Be enem enzgen Telversuch gbt es m Ergebnsse. I.S.: IV und IB snd lar. Wr führen dret den Indutonsbewes: Se m + de Anzahl der Ergebnsse enes weteren Telversuchs. Dann gbt es zu jedem der m Ergebnsse des -stufgen ZE genau m + Ergebnsse des ( + )-ten Telversuchs. Das ergbt nsgesamt = + m m + = m = = Ergebnsse.
2 . Stchproben mt Wederholung der Elemente und mt Beachtung der Rehenfolge der Elemente (Kombnator-Fgur [mw Rw] ) (a) Es gbt Satz n Stchproben der Form [mw Rw ]. Bewes: Be jedem der Telversuche gbt es n Möglcheten. Anwendung des AZP: Insgesamt gbt es n Möglcheten. (b) Bespele: Vorlesung!.3 Stchproben ohne Wederholung der Elemente und mt Beachtung der Rehenfolge der Elemente (Kombnator-Fgur [ow; Rw] ) (a) Satz n! n! Es gbt Stchproben der Form [ow; Rw]. Bewes:. Zehung: n Möglcheten,. Zehung: n Möglcheten, 3. Zehung: n Möglcheten,. Zehung: n ( ) Möglcheten. Anwendung des AZP: Insgesamt gbt es n ( n )... ( n ) Multplaton mt ( n ) ( n )! ergbt <Nachrechnen!>:! + Möglcheten. n! n ( n )... ( n + ) ( n ) ( n )... = n! n!. (b) Bespele Wahl von Vorstzendem und stellvertretendem Vorstzenden n enem Ausschuss Gegeben: Ausschuss, der aus 4 Männern und 3 Frauen besteht. Gesucht: Anzahl der Wahlergebnsse be Wahl von Vorstzendem und Stellvertreter ( V und S ). a) Anzahl der Möglcheten nsgesamt? 7 6 = 4 Möglcheten. b) Anzahl der Möglcheten unter der folgenden Bedngung: V und S vom glechen Geschlecht. <Übung!> c) Anzahl der Möglcheten unter der folgenden Bedngung: Mndestens ene Frau be dem Paar V / S. <Übung!>
3 Bespel für W Berechnungen: Geburtstagsproblem <Semnargruppe II > zufällg ausgewählte Personen. Gesucht: Wahrschenlchet des Eregnsses E: Mndestens zwe der Personen haben am glechen Tag Geburtstag. Lösungsansatz: Man trfft folgende Modellannahme: Man lammert Personen, de den 9. Februar als Geburtstag haben, aus. Dann snd alle 365 Tage des Jahres glech wahrschenlch. Damt handelt es sch bem Nennen des Geburtstagsdatums nun um en Laplace-Experment. Entschedende Idee für de Lösung st nun, dass man zunächst de Wahrschenlchet des Gegeneregnsses berechnet, also de Wahrschenlchet von E : De Geburtstage der Personen snd paarwese verscheden. De wetere Lösung der Aufgabe wrd ene Übungsaufgabe sen. (c) Spezalfall deser Kombnator-Fgur: Permutaton ohne Wederholungen [also Spezalfall von (a) mt = n ] Satz: n Objete önnen auf n! Wesen permutert werden. Bespel: We vele fünfstellge Zahlen ann man aus ungeraden Zffern, de jewels nur enmal auftauchen dürfen, blden?.4 Stchproben ohne Wederholung der Elemente und ohne Beachtung der Rehenfolge der Elemente (Kombnator-Fgur [ow Ruw] ) (a) Satz n Es gbt Stchproben der Form [ow Ruw]. Bewes: < Semnargruppe I > n! st. Be n! Aus.3 (a) wssen wr, dass de Zahl der Stchproben der Form [ow Rw] genau deser Zahl haben wr alle Anordnungen der jewelgen -elementgen Telmengen mtgezählt; das dürfen wr her nun aber ncht: Wr müssen alle dese Anordnungen ener -elementgen Telmenge dentfzeren. Da es! Anordnungen ener -elementgen Menge gbt (Aussage n.3 (c)), müssen wr also durch! dvderen. Somt st de gesuchte Anzahl: n! n! n! n = =!! n!. (b) Bespele Bespel für W - Berechnungen: Lotto < Semnargruppe II > [Hnwes: Lotto: Auf dem Lottoschen snd 6 Zahlen aus der Menge der Zahlen {,...,49 } anzureuzen. Auf dem Lottoschen st außerdem ene Superzahl aufgedruct. Zehung we folgt: Trommel :6 Zahlen aus 49 Kugeln; Trommel : Superzahl aus0 Kugeln.]
4 P (6 Rchtge und rchtge Superzahl) = [Gewnnlasse ] P (6 Rchtge) = [Übung!] [Gewnnlasse ] P (5 Rchtge und rchtge Superzahl) = = [Gewnnlasse 3] P (5 Rchtge) = = [Gewnnlasse 4] Aufgabe: Präzse Begründungen für den auftauchenden Nenner und de auftauchenden Zähler! Begrüßungsstuaton n Personen begrüßen sch; dabe gbt jeder jedem genau enmal de Hand. We vele Handschläge snd es? n, =. n n! = = ( n ) n! ( n )! (c) Wchtge Anwendung be onreten W-Berechnungen < Semnargruppe II > Urne mt N Kugeln, durchnummerert von bs N. Von den N Kugeln seen S Kugeln schwarz und N - S Kugeln weß ( 0 S N ). Zehung von n Kugeln ohne Zurüclegen. Se Ω der Ergebnsraum solcher Zehungen. N Man seht: Ω =. n Frage: P (von den n Kugeln snd Kugeln schwarz)? Also: Es geht nur um schwarze Kugeln, ncht um deren Anordnung. E : Von den n Kugeln snd Kugeln schwarz. S Es gbt Möglcheten, aus den S schwarzen Kugeln schwarze Kugeln auszuwählen; N S es gbt Möglcheten, aus den N S weßen Kugeln n weße Kugeln auszuwählen. n S N S Also gbt es für E günstge Fälle. n Somt: P (E) = S N S n. N n
5 .5 Stchproben mt Wederholung der Elemente und ohne Beachtung der Rehenfolge der Elemente (Kombnator-Fgur [mw Ruw] ) (a) Satz n + Es gbt Stchproben der Form [mw Ruw]. Bewes: <Erläuterung des Beweses anhand ener Aufgabe: Semnargruppe I > Wr benutzen das Urnenmodell und en Coderungsverfahren mttels des Alphabets { 0, }. Deses Coderungsverfahren se zunächst an enem onreten Bespel mt den Zahlen n = 3 und = 6 erläutert. Dazu: Anfertgen ener Tabelle mt den Spalten: Kugel, Kugel, Kugel 3. Code: Zehen der jewelgen Kugel: Zffer, Übergang: Zffer 0. Bespele für Zehungen: Zehung Kugel Kugel Kugel 3 Coderung Zehung Zehung Zehung 3 Zehung 4 Zehung 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Frage: We vele Coderungen gbt es? Jede Coderung besteht aus 6 Ensen und Nullen. Trc: Wr tun zunächst so, als ob de 6 Ensen und de Nullen jewels unterschedbar wären; man hat also,..., 6 und 0,0. Das snd = 8 Objete. Frage also: We vele Möglcheten gbt es, de 6 unterschedbaren Ensen und de unterschedbaren Nullen auf 8 Plätze zu vertelen? Antwort mttels der Aussage n.3 (c): Es gbt 8! Möglcheten, 8 unterschedbare Objete auf 8 Plätze zu vertelen. Da aber de 6 Ensen bzw. de Nullen ncht unterschedbar snd, müssen wr alle 6! Anordnungen der 6 Ensen bzw. alle! Anordnungen der Nullen dentfzeren; d.h. wr müssen durch 6!! dvderen. Antwort also: Es gbt 8! 6!! möglche Koderungen. Rechnung lefert 8! = 6!! 6. Nun zum allgemenen Bewes: Jede Coderung für en Zehungsergebns besteht aus Ensen und n Nullen; de Ensen und de n Nullen snd ncht unterschedbar. Frage: We vele Coderungen gbt es? Trc: Wr tun zunächst so, als ob de Ensen und de n Nullen jewels unterschedbar wären; man hat also,..., und 0,...,0 n. Das snd ( n ) + Objete.
6 Frage also: We vele Möglcheten gbt es, de unterschedbaren Ensen und de n unterschedbaren Nullen auf ( n ) + Plätze zu vertelen? Antwort mttels der Aussage n.3 (c): Es gbt genau ( + n )! Möglcheten, de + ( n ) Objete auf ( n ) + Plätze anzuordnen. Da aber de Ensen und de n Nullen gar ncht unterschedbar snd, müssen wr alle! möglchen Anordnungen der unterschedbaren Ensen und alle ( n )! Anordnungen der n unterschedbaren Nullen jewels dentfzeren. Das heßt: Wr müssen de obge Zahl durch! und durch ( n )! dvderen. Das ergbt ( n ) ( n ) +!!! ( n ). Rechnung zegt: ( n ) +! + n =.!! (b) Bespel Zwe ncht unterschedbare Spatzen önnen sch auf 4 Bäume vertelen. We vele Möglcheten gbt es? n = 4, =. Also: = = = 0. Urnenmodell: 4 Kugeln: A,B,C,D (ver Bäume); Zehung von Kugeln: Bäume (Baum), de (der) von den Spatzen ausgesucht wrd. Alphabet-Modell: { A, B, C, D }, Wortlänge: =..6 Stchproben, be denen sch de Elemente mt vorgegebenen Anzahlen wederholen (Kombnator-Fgur: [mw va] ) < Alternatve Bezechnung deser Fgur n der Lteratur: Permutatonen mt Wederholungen. > (a) Aufgabenstellung Alphabet-Modell: Gegeben se en Alphabet { Z,..., Z n}. Nun sollen Wörter der Länge gebldet werden, wobe das Zechen Z genau -mal vorommen soll ( n). Anders formulert: Es sollen Wörter der Länge gebldet werden, wobe jedes Zechen ener vorgegebenen Anzahl We vele solcher Wörter gbt es? auftauchen soll ( n). Frage: Z mt Urnenmodell: Urne mt Kugeln n n Farben, wobe glt: In jeder Farbe F gbt es ncht unterschedbare Kugeln. Also n =. Frage: = We vele Möglcheten gbt es, dese Kugeln auf vorgegebene Plätze zu vertelen?
7 (b) Satz Werden aus dem Alphabet { Z,..., Z n} Permutatonen mt Wederholungen gebldet (Wörter der Länge, be denen jedes Zechen! so gbt es Möglcheten dafür.!... n! Z genau -mal vorommt), Bewes: < Semnargruppe I > Es gbt (wegen der Aussage n.3 (c) ) genau! Möglcheten, de unterschedbare Zechen Z,, Z,, Z,, Z anzuordnen (auf Plätze zu vertelen). n n n Da jewels de Zechen Z,, Z aber eben ncht unterschedbar snd, müssen wr alle! Anordnungen der Zechen Z,, Z dentfzeren, d.h. durch! dvderen. Das glt für jedes {,..., n}. Das lefert de Behauptung. (c) Bespele MISSISSIPPI-Aufgabe Alphabet { I, M, P, S }. We vele Wörter der Länge lassen sch aus desen ver Zechen blden, wenn gelten soll = ( I ) =, = ( M ) =, = ( P) =, ( S ) 4 Lösung: Da n = 4 und =, hat man 3 = =. 4 4! = = = !!! 4! 3 4 Permutatonen mt Wederholung. Mndestens enes deser Wörter st snnvoll, nämlch das Wort MISSISSIPPI! Sat-Spel (Vertelung der Karten: Speler: A, B, C: Je 0 Karten, Stoc S: Karten) Frage : We vele Ausgangspostonen für en Sat-Spel gbt es? <Semnargruppe I > Wr wollen de Frage auf zwe verschedene Wesen beantworten! Erste Möglchet zur Lösung (pragmatsche Lösung): Mschen, dann Vertelung der Karten auf de Speler we folgt: Karten, 4, 7, 0, 3, 6, 9,, 5, 8 an Speler A, Karten, 5, 8,, 4, 7, 0, 3, 6, 9 an Speler B, Karten 3, 6, 9,, 5, 8,, 4, 7, 30 an Speler C, Karten 3, 3 an den Sat. Permutatonen nnerhalb der Plätze ändern de Vertelung auf de dre Speler ncht! Aufgabe: We lautet de Antwort auf de Frage (be Benutzung der Fgur [ow Ruw] )? Zwete Möglchet zur Lösung (mathematsche Modellbldung mttels der Fgur [mw va] ): Es gbt 3 Plätze, nämlch de 3 Karten. Wr noteren dese Plätze: Kreuz-As Kreuz-Seben P-As P-Seben Herz-As Herz-Seben Karo-As Karo-Seben Dann Vertelung der Symbole A, B, C, S auf de 3 Plätze. < Bespel noteren! >
8 () Alphabet-Modell: 4 Zechen { A, B, C, S }. Velfachheten der Zechen: ( A) ( B) ( C) ( S ) = = = 0, =. Nun: Wörter der Länge 3 blden! () Urnenmodell: 3 Kugeln [0 mal A, 0 mal B, 0 mal C, mal S ] Nun: 3 Zehungen ohne Zurüclegen (also: = 3 ) und Vertelung der Kugeln auf de 3 Plätze. Es gbt 3! Möglcheten, 3 Zechen bzw. 3 Kugeln auf 3 Plätze zu vertelen. Aber: De Anordnungen der Zechen A bzw. B bzw. C bzw. S snd ncht zu unterscheden. Also: Jewels Identfaton deser Anordnungen; d.h. jewels Dvson durch de Zahl deser Anordnungen. = ( A) =, = ( B) =, = ( C ) =, ( Sat ) 0 0 De Antwort auf obge Frage lautet dann: Frage : [Bespel für W - Berechnungen] 3 0 Wr wollen p P ( Jeder Speler erhält genau enen Buben) = =. 4 3! 0! 0! 0!! = = berechnen.. <Semnargruppe II> Günstge Fälle: Vertelungen der Buben auf A,B,C, Sat. Da wchtg st, welcher Speler welchen Buben hat, snd de Anordnungen der Buben auf den Plätzen A,B,C, Sat wchtg. Also: 4! möglche Vertelungen für de Buben. 8! Vertelungen der restlchen 8 Karten: 9! 9! 9!! Möglcheten. Möglche Fälle: Sehe Antwort auf Frage! Insgesamt ergbt sch als Antwort auf Frage : 8! 4! ! 8! 0! 0! 0!! p =!!!! = = = =. 3! 9! 9! 9!! 3! ! 0! 0!!
Z Z, kurz. Zählt die Reihenfolge der Buchstaben (ja/nein) Daraus ergeben sich wiederum vier Möglichkeiten, Wörter der Länge k zu bilden.
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1. Runde 2010. Aufgaben und Lösungen. Bundeswettbewerb Mathematik
Bundeswettbewerb Mathemat Wssenschaftszentrum Postfach 2 14 48 53144 Bonn Fon: 228-9 59 15-2 Fax: 228-9 59 15-29 e-mal: nfo@bundeswettbewerb-mathemat.de www.bundeswettbewerb-mathemat.de Korreturommsson
Dynamisches Programmieren
Marco Thomas - IOI 99 -. Treffen n Bonn - Dynamsches Programmeren - Unverstät Potsdam - 8.02.999 Dynamsches Programmeren 957 R. Bellmann: Dynamc Programmng für math. Optmerungsprobleme Methode für Probleme,.
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Die Transzendenz der Eulerschen Zahl e
De Transzendenz der Eulerschen Zahl e nach Jean-Paul Delahaye Der n [1, Seten 21-22] skzzerte Bewes der Transzendenz der Eulerschen Zahl e wrd m folgenden ausgeführt. En alternatver Bewes, der auf Ideen
Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv
Auswertung unvarater Datenmengen - desrptv Bblografe Prof. Dr. Küc; Statst, Vorlesungssrpt Abschntt 6.. Bleymüller/Gehlert/Gülcher; Statst für Wrtschaftswssenschaftler Verlag Vahlen Bleymüller/Gehlert;
4. Musterlösung. Problem 1: Kreuzende Schnitte **
Unverstät Karlsruhe Algorthmentechnk Fakultät für Informatk WS 05/06 ITI Wagner 4. Musterlösung Problem 1: Kreuzende Schntte ** Zwe Schntte (S, V \ S) und (T, V \ T ) n enem Graph G = (V, E) kreuzen sch,
c) schwierige freiwillige Zusatzaufgabe (ohne Bonuspunkte): Leiten Sie die allgemeinen iterativen Formeln für S, D, D R und V her.
Rechnerarchtetur Lösungsvorschlag. Bonusübung oerseester Fachgebet Rechnerarchtetur Prof. R. Hoffann Patrc Edger. Aufgabe: Maße für Barrel-hfter 7 + 7 Punte Gegeben st en Barrel hfter t n= Prozessoren
Course Dec 15, Statistische Mechanik plus. Course Hartmut Ruhl, LMU, Munich. People involved. Rationale
Dec 15, 2016 ASC, room A 238, phone 089-21804210, emal hartmut.ruhl@lmu.de Patrc Böhl, ASC, room A205, phone 089-21804640, emal patrc.boehl@phys.un-muenchen.de. Dsusson der Besetzungszahldarstellungen
9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1.
Mathematk I / Komplexe Zahlen 9 Komplexe Zahlen 9. Zele Am Ende deses Kaptels hast Du ene Grundvorstellung was komplexe Zahlen snd. Du kannst se grafsch darstellen und enfache Berechnungen durchführen.
Lineare Optimierung Einführung
Kaptel Lneare Optmerung Enführung B... (Dre klasssche Anwendungen) Im Folgenden führen wr de ersten dre klassschen (zvlen) Anwendungen der lnearen Optmerung an: BS... (Produktonsplanoptmerung) En Betreb
Polygonalisierung einer Kugel. Verfahren für die Polygonalisierung einer Kugel. Eldar Sultanow, Universität Potsdam, sultanow@gmail.com.
Verfahren für de Polygonalserung ener Kugel Eldar Sultanow, Unverstät Potsdam, sultanow@gmal.com Abstract Ene Kugel kann durch mathematsche Funktonen beschreben werden. Man sprcht n desem Falle von ener
z.b. Münzwurf: Kopf = 1 Zahl = 2 oder z.b. 2 Würfel: Merkmal = Summe der Augenzahlen, also hier: Bilde die Summe der Augenzahlen der beiden Würfel!
Aufgabe : Vorbemerkung: Ene Zufallsvarable st ene endeutge Funkton bzw. ene Abbldungsvorschrft, de angbt, auf welche Art aus enem Elementareregns ene reelle Zahl gewonnen wrd. x 4 (, ) z.b. Münzwurf: Kopf
Lineare Optimierung Dualität
Kaptel Lneare Optmerung Dualtät D.. : (Dualtät ) Folgende Aufgaben der lnearen Optmerung heßen symmetrsch dual zuenander: und { z = c x Ax b x } max, 0 { Z b A c } mn =, 0. Folgende Aufgaben der lnearen
Seminar Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen
Semnar Enführung n de Kunst mathematscher Unglechungen Cauchys erste Unglechung und de Unglechung vom arthmetschen und geometrschen Mttel Sopha Volmerng. prl 0 Inhaltsverzechns Cauchys erste Unglechung.
Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung
RS 24.2.2005 Erwartungswert_Varanz_.mcd 4) Erwartungswert Erwartungswert, Varanz, Standardabwechung Be jedem Glücksspel nteresseren den Speler vor allem de Gewnnchancen. 1. Bespel: Setzen auf 1. Dutzend
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Zwe Sätze von Joseh Wolstenholme Johann Cgler Vor enger Zet sandte mr Herr P., en hlosohsch gebldeter älterer Mann, enge Bemerkungen zu enem Resultat von Joseh Wolstenholme, das er folgendermaßen formulerte:
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Standardnormalvertelung / -Transformaton Unter den unendlch velen Normalvertelungen gbt es ene Normalvertelung, de sch dadurch ausgeechnet st, dass se enen Erwartungswert von µ 0 und ene Streuung von σ
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Vorlesung 3 Dfferentalgeometre n der Physk 13 Bemerkung. Ist M Manngfaltgket, p M und φ : U R n Karte mt p U, so nennt man U auch Koordnatenumgebung und φ auch Koordnatensystem n p. Bespel 2.4 Seen R >
Diskrete Mathematik 1 WS 2008/09
Ruhr-Unverstät Bochum Lehrstuhl für Kryptologe und IT-Scherhet Prof. Dr. Alexander May M. Rtzenhofen, M. Mansour Al Sawad, A. Meurer Lösungsblatt zur Vorlesung Dskrete Mathematk 1 WS 2008/09 Blatt 7 /
Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv
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Das Krümelmonsterproblem
Projekttage Mathematk 008 Das Krümelmonsterproblem Gruppe 6: Prof Dr Wrth Telnehmer: Judth Albert, Stefan Blank, Stefan Ehrlch, Jürgen Feser, Zofa Fleszar, Klan Hohm, Danny Powroznk, Anton Specht Betreuer:
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Veranstaltung Pr.-Nr.: Algorthmen und hre Programmerung -Tel - Veronka Waue WS / Veronka Waue: Grundstudum Wrtschaftsnformatk WS/ Übung Ersetzen Se n folgendem Bespel de For schlefe durch ene WhleWend-Schlefe
Übung zur Vorlesung. Informationstheorie und Codierung
Übung zur Vorlesung Informatonstheore und Coderung Prof. Dr. Lla Lajm März 25 Ostfala Hochschule für angewandte Wssenschaften Hochschule Braunschweg/Wolfenbüttel Postanschrft: Salzdahlumer Str. 46/48 3832
Sicherheit von Π MAC2
Scherhet von Π MAC2 Satz Scherhet von Π MAC2 Se Π scher. Dann st Π MAC2 ebenfalls scher. Bewes: Se A en Angrefer für Π MAC2 mt Erfolgsws ɛ(n). Wr konstrueren enen Angrefer A für Π. Algorthmus Angrefer
5. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 1. Wintersemester 2012/2013
O. Alaya, S. Demrel M. Fetzer, B. Krnn M. Wed 5. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematk Wntersemester /3 Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshnwese zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 6. Darstellungen
Mi , Dr. Ackermann Übungsaufgaben Gewöhnliche Differentialgleichungen Serie 13
M. 3. 5-4. 45, Dr. Ackermann 6..4 Übungsaufgaben Gewöhnlche Dfferentalglechungen Sere 3.) Bestmmung ener homogenen Dfferentalglechung zu gegebenen Funktonen y (partkuläre Lösungen) enes Fundamentalsystems.
Die hierzu formulierte Nullhypothese H lautet: X wird durch die Verteilungsdichtefunktion h(x)
ZZ Lösung zu Aufgabe : Ch²-Test Häufg wrd be der Bearbetung statstscher Daten ene bestmmte Vertelung vorausgesetzt. Um zu überprüfen ob de Daten tatsächlch der Vertelung entsprechen, wrd en durchgeführt.
Asymptotische Stochastik (SS 2010) Übungsblatt 1 P X. 0, n.
Insttut für Stochastk PD. Dr. Deter Kadelka Danel Gentner Asymptotsche Stochastk (SS 2) Übungsblatt Aufgabe (Arten von Konvergenz reeller Zufallsvarablen und deren Zusammenhänge) Es seen X,, n N reelle
Determinanten - I. den i-ten Zeilenvektor der n n-matrix A bezeichnet.
Determnanten - I Ene Determnante st ene Abbldung, welche ener quadratschen (!) Matrx ene Zahl zuordnet. Wr verwenden n desem Zusammenhang de Schrebwese A = a 2, wobe den -ten Zelenvektor der n n-matrx
Prof. Dr. Jürgen Dassow Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Fakultät für Informatik. Codierungstheorie und Kryptographie
Prof. Dr. Jürgen Dassow Otto-von-Guercke-Unverstät Magdeburg Fakultät für Informatk Coderungstheore und Kryptographe Sommersemester 2005 1 2 Inhaltsverzechns 1 Defnton und Charakterserung von Codes 5 1.1
( a ) z + ( 1 b ) z = ( 1 c ) z.
Hans Walser, [2000509a] Fermat mt negatven Exponenten Anregung: T. G., B. Vgl. [Morgan 200] Ausgangsrage Gesucht snd Lösungen a,b,c! der Glechung: a z + b z = c z, z! 2 Bespele und Gegenbespele a) Für
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Bachelorarbet Cayley s Formel und das Abzählen von Bäumen Vktora Prbauer Wen, September 2013 Matrkelnummer: 1007394 Studenrchtung: A 033621 Mathematk Betreuer: Mag. Dr. Bernhard Krön, Prvatdoz. Inhaltsverzechns
Spiele und Codes. Rafael Mechtel
Spele und Codes Rafael Mechtel Koderungstheore Worum es geht Über enen Kanal werden Informatonen Übertragen. De Informatonen werden dabe n Worte über enem Alphabet Q übertragen, d.h. als Tupel w = (w,,
Fachbereich Mathematik Prof. K. Grosse-Brauckmann D. Frisch WS 2007/08 10./ Gruppenübung
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-70- Anhang: -Lineare Regression-
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Lösungen zum 3. Aufgabenblock
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Lösungen der Übungsaufgaben zu Kapitel 7
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Znsesznsformel (Abschntt 1.2) 3 Investton & Fnanzerung 1. Fnanzmathematk Unv.-Prof. Dr. Dr. Andreas Löffler (AL@wacc.de) t Z t K t Znsesznsformel 0 1.000 K 0 1 100 1.100 K 1 = K 0 + K 0 = K 0 (1 + ) 2
1.11 Beispielaufgaben
. Bespelaufgaben Darstellung komplexer Zahlen Aufgabe. Man stelle de komplexe Zahl z = +e 5f n algebrascher Form, also als x + y dar. Damt man de Formel für de Dvson anwenden kann, muss zunächst der Nenner
( ) γ. (t 1 ) (t 2 ) = Arg γ 2(t 2 )
Funktonentheore, Woche 10 Bholomorphe Abbldungen 10.1 Konform und bholomorph Ene konforme Abbldung erhält Wnkel und Orenterung. Damt st folgendes gement: Wenn sch zwe Kurven schneden, dann schneden sch
Näherungsverfahren. Wiederhole den Algorithmusbegriff. Erläutere die Begriffe: Klasse der NP-Probleme. Probleme. Probleme. Approximative Algorithmen
Näherungsverfahren Wederhole den Algorthmusbegrff. Erläutere de Begrffe: Klasse der P-ProblemeP Probleme Klasse der NP-Probleme Probleme Approxmatve Algorthmen Stochastsche Algorthmen ALGORITHMEN Def.:
Nernstscher Verteilungssatz
Insttut für Physkalsche Cheme Grundpraktkum 7. NERNSTSCHER VERTEILUNGSSATZ Stand 03/11/2006 Nernstscher Vertelungssatz 1. Versuchsplatz Komponenten: - Schedetrchter - Büretten - Rührer - Bechergläser 2.
Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte: Itemschwierigkeit P i
Itemanalyse und Itemkennwerte De Methoden der Analyse der Itemegenschaften st ncht m engeren Snne Bestandtel der Klassschen Testtheore Im Rahmen ener auf der KTT baserenden Testkonstrukton und -revson
Lösungen aller Aufgaben und Lernkontrollen
Oft gbt es be den Aufgaben mehr als nur enen rchtgen Lösungsweg. Es st jedoch mest nur ene Lösung dargestellt. Aufgaben u Kaptel Lösung u Aufgabe a) nach Defnton von. b) 4 ( ) ( ). c) 5 4. d) ( ) (( )
Prof. Dr. P. Kischka WS 2012/13 Lehrstuhl für Wirtschafts- und Sozialstatistik. Klausur Statistische Inferenz
Prof. Dr. P. Kschka WS 2012/13 Lehrstuhl für Wrtschafts- und Sozalstatstk Klausur Statstsche Inferenz 15.02.2013 Name: Matrkelnummer: Studengang: Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 Summe Punkte 6 5 5 5 5 4 4 6 40