Der Graph der Funktion f in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit G f bezeichnet.

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1 . Schulaufgabe aus der Mathematik 0. Januar 0 Wb erlaubte Hilfsmittel: TR, MH Arbeitszeit: 5 Minuten. Gegeben ist die reelle Funktion f : x x x + x + mit x R. Der Graph der Funktion f in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit G f bezeichnet. a) Zeigen Sie, dass G f genau einen Extrempunkt besitzt und bestimmen Sie die Art und die Koordinaten des Extrempunktes von G f. b) Untersuchen Sie das Verhalten von fx) für x ± und ermitteln Sie den Wertebereich W f der Funktion f. c) Weisen Sie nach, dass die Funktion f im Intervall ; genau eine Nullstelle besitzt. d) Berechnen Sie f ) und f ) und skizzieren Sie mit Hilfe bisheriger Kenntnisse G f in ein kartesisches Koordinatensystem für x.. Eine Fabrik stellt Blechgefäße her, welche die Gestalt eines Zylinders haben und bei dem der Boden halbkugelförmig nach oben gewölbt ist. Der Zylinder und der halbkugelförmige Boden sind aus Edelstahlblech hergestellt. Aus technischen Gründen können nur Gefäße hergestellt werden, die einen Radius zwischen cm und 8 cm haben. Das Volumen eines solchen Gefäßes beträgt V =.09 l = 09 cm. Die Dicke der Gefäßwand wird vernachlässigt. Auf Einheiten wird bei der Berechnung verzichtet. a) Stellen Sie zunächst die Maßzahl Mr) der Materialfläche Zylinder und halbkugelförmiger Boden) des Blechgefäßes in Abhängigkeit vom Radius r des Zylinders dar. Ergenbis: Mr) = r r π] b) Berechnen Sie denjenigen Radius r und die Höhe h, für die der Materialverbrauch für diese Gefäße seinen absolut kleinsten Wert annimmt. Runden Sie Ihr Ergebnis auf drei Nachkommastellen.. In einer Kiste befinden sich rote R) und blaue B) T-Shirts der Größe XL. Anton der Profibeflocker erhält der Auftrag, ein blaues T-Shirt zu bedrucken. Er zieht aus der Kiste zufällig ein T-Shirt heraus und legt es neben die Kiste. Anton zieht so oft, bis er der Kiste ein blaues T-Shirt entnommen hat. a) Erstellen Sie zu diesem Zufallsexperiment ein Baumdiagramm und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse. b) Betrachtet werden folgende Ereignisse: E : Anton zieht insgesamt mindestens drei T-Shirts aus der Kiste. E : Anton zieht höchstens drei rote T-Shirts aus der Kiste. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse E und E und untersuchen Sie die Ereignisse E und E auf stochastische Abhängigkeit.

2 . In einer anderen Kiste befinden sich rote R) und blaue B) T-Shirts der Größe M. Für seinen nächsten Auftrag benötigt Anton ein rotes und ein blaues T-Shirt. Anton zieht aus der Kiste gleichzeitig T-Shirts. Berechnen Sie mit welcher Wahrscheinlichkeit Anton nach dem Zug genau ein rotes und ein blaues T-Shirt in der Hand hält. 5. In Antons Verkaufsstrategie sind Sonderangebote verschiedenster Art vorgesehen. Aus Erfahrung weißanton, dass ein Kunde ein Sonderangebot mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 wahrnimmt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: E : Von 5 zufällig ausgewählten Kunden nehmen genau 0 Kunden ein Sonderangebot wahr. E : Von zufällig ausgewählten Einkäufen bei Anton ist mindestens ein Einkauf ein Sonderangebot. E 5 : Von 0 zufällig ausgewählten Kunden nehmen mehr als 5 aber höchstens 6 Kunden ein Sonderangebot in Anspruch. Formulieren Sie die Gegenereignisse von E und E 5 in Worten.

3 . Schulaufgabe aus der Mathematik Wb 0. Januar 0. fx) = x x + x + ; x R a) f x) = x x + ; x R f ) = 0 x x + ) : x + ) = x x + x + x ) x x x x ) x + x + ) 0 f x) = x + ) x x + ) x x + = 0 ; x, = ± 6 / R 8 x = ist somit einzige Nullstelle von f, d.h. G f hat genau einen Punkt mit waagerechte Tangente. f x) = x ; x R f ) = 0 f ) = 0 T ; ) ist relativer Tiefpunkt und einziger Extrempunkt von G f. f ) = b) lim x fx) = lim x x x + x + ) = lim x x x x + )) x = lim x fx) = lim x x x + x + ) = lim x x x x + )) x = c) T ; ) ist relativer Tiefpunkt und einziger Extrempunkt von G f. Somit gilt: W f = ; f ) 0.88 f ) 0. f ist in R stetig. Nach dem Nullstellensatz besitzt f im Intervall ; mindestens eine Nullstelle. T ; ) ist relativer Tiefpunkt und einziger Extrempunkt von G f, d.h. G f ist in echt monoton steigend. Somit hat f im Intervall ; genau eine Nullstelle. ; d) f ) = 6 = 0.85 ; f ) = 09 6 = 6.85 G f siehe Abbildung.. V = 09 cm ; r ; 8] a) M = rπh + r π ; V = r hπ r π

4 y 6 5 x Abbildung : G f 09 = r hπ r π ; r hπ = r π ; h = r π r π 09 + Mr) = rπ r π 68 + r + r π ; Mr) = r π + r π ; Mr) = 68 + π r r r π + r π Mr) = 68 r + 0 r π ; r ; 8] b) Mx) = 68x + 0π x ; x ; 8] M x) = 68 x + 0π x ; x ; 8] M x) = 0 68 x + 0π x = 0 ; πx = 0 ; x = π ; x = 0π ; x = 5.00 M5.00) 85.0 M) M8) 99.6 h = 0.00 Für x = r = 5.00 cm und h = 0.00 cm ist die Materialfläche absolut am kleinsten, nämlich 85.0 cm.. rote R) und blaue B) T-Shirts der Größe XL a) Baumdiagramm: B 0 B 9 B 8 B B R R R R ω P {ω}) B RB 55 RRB 65 RRRB 0 RRRRB 0

5 b) E = {RRB; RRRRB; RRRRB} ; P E ) = ; P E ) = 6 55 E = {B; RB; RRB; RRRB} ; P E ) = 0 ; P E ) = 0 0 E E = {RRB; RRRRB} ; P E E ) = ; P E E ) = 66 P E ) P E ) = = 9 05 P E E ) = 66 P E ) P E ) P E E ) E und E sind stochastisch abhängig.. rote R) und blaue B) T-Shirts M ) = 55 P F ) = 8 ; P F ) = ) ) 0 ) P E ) = ; P E ) = ) P E ) = ; P E ) = 6 6 P E 5 ) = 6 i=6 P E 5 ) = B0; 6 ; i) = B0; 5 ; i) B0; ; i) T = W i=0 E : Von zufällig ausgewählten Einkäufen bei Anton ist kein Sonderangebot dabei. i=0 E 5 : Von 0 zufällig ausgewählten Kunden nehmen höchstens 5 oder mehr als 6 Kunden ein Sonderangebot in Anspruch.