Elementare Festigkeitslehre

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1 1 Elementare Festigkeitslehre 1.Einführung Statik verformbarer fester Körper, die als linear-elastisch, homogen und isotrop angenommen werden. Weitere gebräuchliche Namen: Elastostatik, Festigkeitslehre ( Strength of Materials)

2 2 Verschiedene Beanspruchungsarten Zug Biegung Torsion Schub (am Niet)

3 3 Bisherige Betrachtung von Schnittgrößen aus Kraftverteilung in Bezug auf den Schwerpunkt zusammengefasste Schnittgrößen Jetzt: Betrachtung von Flächenelementen

4 4 Spannungsvektor i. allg. vom Punkt bzw. der Neigung der Schnittfläche abhängig Werden die in einem Flächenstück wirkenden Kräfte in einen Anteil normal zur Schnittfläche und einen Anteil tangential aufgeteilt, so ist Normalspannung Schubspannung i.d.r. Bemessung von Konstruktionen auf maximal zulässige Spannungen

5 5 Einfache Bspe. mit der Annahme, dass die Kräfte gleichmäßig über die Fläche verteilt sind Zugstab Schnitt Näherungsweise auch gültig für Wenn Schnitt nicht zu nahe an Krafteinleitungsstelle (Prinzip von St. Venant)

6 8 Jetzt elastischer Zugstab unbelastet belastet : Verschiebung in -Richtung, entsprechend : Verschiebung in -Richtung : Verschiebung in -Richtung

7 9 Längenänderung des Stückes : Relative Längenänderung: Dehnung: relative Längenänderung für Dehnung ist dimensionslose Größe Bei (idealisierten) starren Körpern ist Bei Stahl liegt maximale Dehnung in der Größenordnung von.

8 10 Zugstab In diesem Fall ist nicht nur über den Querschnitt konstant, sondern wegen ist auch unabhängig von. Es kann angenommen werden, dass dann auch gilt. Dann ist also Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung?

9 11 Spannungs-Dehnungsdiagramm für Stahlproben Proportionalitätsgrenze Elastizitätsgrenze Streckgrenze Zugfestigkeit Versagen (Nach: Hütte, Grundlagen der Ingenieurwiss.)

10 12 2. Das Hooke sche Gesetz Für nicht zu große Spannungen und Dehnungen besteht näherungsweise ein linearer Zusammenhang der Art zwischen Normalspannung und Dehnung : Hooke sches Gesetz : Elastizitätsmodul, E-Modul Für Stahl in weiten Bereichen gültig. Es wird im folgenden angenommen, dass dies sowohl für positive als auch negative gilt.

11 13 Damit jetzt Längenänderung des Zugstabs berechenbar konstante Spannung über Querschnitt und über Bsp.:

12 14 Zusätzlich zur Längsdehnung tritt auch eine Einschnürung in Querrichtung auf: Querkontraktion Querdehnung Verhältnis Quer- zur Längsdehnung Querkontraktionszahl (i.d.r. > 0, für Stahl )

13 15 Verformung durch Schub: Scherung, Gleitung Gleitwinkel Hooke sches Gesetz Schubmodul; sind nicht unabhängig, sondern es gilt Näheres in Kap. 3

14 16 Temperaturdehnung beim Stab Stab der Länge dehnt sich bei Erwärmung von Temperatur auf Temperatur um aus Für viele Materialien gilt bei nicht zu großen Temperaturänderungen der Zusammenhang Bei gleichzeitigen mechanischen Spannungen Überlagerung der Effekte

15 17 Beispiel Stabdehnung Geg.: Querschnitt für beide Stäbe Ges.: Zusammenhang Winkel/Stablängen über Sinussatz: und Kosinussatz: bzw.

16 18 Zusammenhang Stabkräfte/Stablängen Gleichgewicht am verformten System kompliziertes, nichtlineares Gleichungssystem für 6 Unbekannte:

17 Aber wie vorher gesehen, sind die Verformungen oft sehr klein. Deshalb im Folgenden Theorie 1.Ordnung Gleichgewichtsbedingungen der Statik werden für das unverformte System formuliert. Daher können wie bisher für Starrkörper Lagerreaktionen und Schnittgrößen berechnet werden, die dann als Grundlage zur Berechnung der sich einstellenden elastischen Verformung dienen. 19

18 Darauf basierend weitere Betrachtungen zum Zug- und Druckstab 20 Zugelassen wird nun ein allgemeiner Normalkraftverlauf sowie ein mit veränderlicher Querschnitt. Für die im Querschnitt konstante, mit aber veränderliche Spannung gilt dann: Die Längenänderung des Stabes berechnet sich dann zu also

19 24 Beispiel Stahlschraube / Bronzehülse Geg.: Steigung der Schraube

20 27 Anwendung auf statisch unbestimmte Systeme Stab sei bei Raumtemperatur um zu kurz. Um welche Temperatur muss er erwärmt werden, um exakt zu passen? Wie groß ist die Normalspannung, wenn er sich wieder auf Raumtemperatur abgekühlt hat? Geg.: Ges:

21 28 Spannungsfreie Dehnung beim Erwärmen Spannung nach Abkühlen Normalkraft ist dann

22 29 Achtung: Annahme, dass über Querschnitt konstant ist, ist nicht gültig bei starken Querschnittsänderungen: Spannungsfluss

23 Kerbe 30

24 31 3. Spannungen und Dehnungen 3.1. Spannungen im schiefen Schnitt Bisher: jetzt: Schnitt senkrecht zur Stabachse schief geschnittener Dehnstab

25 32 Gleichgewicht Wenn die Spannung über den Querschnitt gleichverteilt ist und sich mit nicht ändert, so gilt:

26 33 Umformen: also : mit Gleichung für einen Kreis!

27 34 Mohrscher Spannungskreis Einachsiger Spannungszustand: Spezialfall des ebenen Spannungszustands Maximale Schubspannung für Maximale Normalspannung für

28 Der ebene und der räumliche Spannungszustand Betrachtung eines Volumenelements (Quader) Zur Bezeichnung: Angabe der Ebene (z.b. : steht senkrecht auf -Ebene) Angabe der Spannungsrichtung Beispiele: - Normalspannung in -Ebene in -Richtung - Schubspannung in -Ebene in -Richtung - Schubspannung in -Ebene in -Richtung Statt oft nur

29 36 Zusammenfassen der Spannungsvektoren auf den jeweiligen Flächen Bzw. entsprechende Kraftvektoren durch Multiplizieren mit

30 37 Nun Betrachtung eines beliebig geneigten Schnitts Für Angabe der Schnittfläche Normalenvektor sei gegeben mit Da Einheitsvektor, ist ( nicht unbedingt in -Richtung)

31 38 Kräftegleichgewicht Zusammenhang zwischen den Flächenelementen Damit wird aus dem Kräftegleichgewicht ( )

32 39 Einsetzen von verkürzt geschrieben als mit Spannungsmatrix Daraus Bestimmung des Spannungszustands für einen beliebigen schiefen Schnitt möglich

33 Betrachtung der Symmetrieeigenschaften, vereinfacht am ebenen Fall 40

34 41 Aus Momentenbilanz um den Punkt A ergibt sich Entsprechend gilt im räumlichen Fall auch

35 42 Wegen der Symmetrie ist d.h. es gilt also auch Erinnerung 2D: Mohr scher Spannungskreis Gibt es Schnittflächen, auf denen nur Normal- und keine Schubspannungen auftreten?

36 In diesem Fall gilt für die Koordinaten des Spannungsvektors 43 also Eigenwertproblem Nichttriviale Lösungen existieren nur für Ausmultiplizieren führt auf eine Gleichung dritten Grades in Für reale Spannungszustände existieren immer drei reelle Lösungen

37 44 heißen Hauptspannungen Die maximal auftretende Schubspannung ist Nach Einsetzen von könne die zugehörigen Hauptspannungsrichtungen bestimmt werden Nochmals: In den Hauptrichtungen verschwinden die Schubspannungen Mit können die Spannungen in einer beliebigen Schnittfläche bestimmt werden. Die Darstellung erfolgt jedoch im -Koordinatensystem

38 Wünschenswert ist aber die Darstellung in Koordinaten bzgl. und in der Schnittebene 45 Betrachtet werden nun die Koordinatensysteme bzw. und bzw. Dann ist die sogenannte Transformationsmatrix

39 46 Für einen beliebigen Vektor gilt dann für die Darstellung in den beiden Koordinatensystemen Es gilt Damit ist also auch

40 47 Dann gilt also auch bzw. (ohne Beweis) ( ist orthogonal: ) mit den Spaltenmatrizen

41 48 Diese Beziehung wird nun auf mit angewendet Es gilt also im transformierten Koordinatensystem ein entsprechender Zusammenhang mit Größen, die nach eine solchen Transformationsgesetz transformiert werden können, bezeichnet man als Tensoren zweiter Stufe oder oft kurz als Tensoren

42 49 Nochmals Betrachtung des ebenen Spannungszustands hier in -Ebene also Verdrehung der Schnittfläche

43 50 Die Spannungsmatrizen sind gegeben durch Transformationsmatrix Aus also

44 51 Ausgewertet ergibt sich (1) (2) (3) (1),(2) umschreiben: (4) (5)

45 52 Jetzt bilden: Gleichung eines Kreises Hier mit Mittelpunkt in Dargestellt im sogenannten Mohrkreis

46 53 Wie lassen sich aus dem Mohrkreis und für eine Drehung der Schnittebene um bestimmen? Zunächst gilt für mit : also ergibt sich der gleiche Kreis. Problem: Für den Spannungszustand ergibt sich der gleiche Kreis, wie für. Es muss also ein Kriterium dafür gelten, welcher der beiden zu einem Wert gehörenden Punkte das richtige Vorzeichen für liefert (die richtige Antwort ergibt sich aus den Formeln - ). In der Literatur unterschiedliche Darstellungen bzgl. Vorzeichen und Drehsinn!

47 54 Hier gewählt (vgl. Hagedorn, Müller): Auftragen des doppelten Winkels im entgegengesetzten Drehsinn

48 55 Hauptspannungen im zweidimensionalen Fall Aus der Konstruktion des Kreises ergibt sich direkt Aus ergibt sich ( für Hauptspannungen)

49 56 Beispiel: Gegeben ist der ebene Spannungszustand - Wie groß sind die Spannungen für einen Drehwinkel von? - Wie groß sind die Hauptspannungen, und unter welchem Winkel treten sie auf? Lösung rechnerisch und über Mohrschen Spannungskreis

50 57 Zeichnerisch: Abgelesen: Hauptspannungen:

51 Rechnerisch: 58

52 Hauptspannungen: 59

53 Bestimmung der größten Schubspannungen aus den Kreisgleichungen 60 für vorherige Aufgabe: abgelesen aus Zeichnung gerechnet: zugehörige Normalspannung Bsp.

54 Ebener und räumlicher Verzerrungszustand Ebener Verzerrungszustand Erinnerung an die Definition der Dehnung beim Stab analog:

55 62 Betrachtung eines Rechteckelements unverformt verformt (in 1. Näherung Parallelogramm)

56 63 Bestimmung der Winkel aus dem Verschiebungsfeld Grenzübergang für kleine Dehnungen gilt dann ungefähr analog gilt

57 64 Die Winkel α und β ergeben zusammen die Änderung des rechten Winkels des Elements γ xy Analog können Winkeländerungen definiert werden. Diese Größen können wie die Spannungen in matrizieller Form mit γ xy =γ yx ; γ xz =γ zx ; γ yz =γ zy angeordnet werden.

58 65 Dabei werden statt die Größen verwendet Grund: Die Anordnung besitzt die Eigenschaft eines Tensors, d.h. es gilt die Transformationseigenschaft

59 66 Nochmals: Spannungs/Dehnungsbeziehung Annahme: ebener Spannungsfall Dann gilt für den Stab und entsprechend Außerdem gilt wegen der Querkontraktion Aus einem ebenen Spannungszustand folgt nicht notwendigerweise ein ebener Verzerrungszustand

60 67 Mit der Schubspannung τ xy gilt außerdem Wird der allgemeine räumliche Fall behandelt und außerdem Temperaturdehnung mit berücksichtigt, ergeben sich die folgenden Zusammenhänge

61 und 68

62 70 2. Ein Würfel wird um unter Raumtemperatur abgekühlt, so dass er spiel-, zwang- und reibungsfrei in eine starre Halterung eingeführt werden kann. Wie ist der Spannungs- und Verzerrungszustand, nachdem er sich wieder auf Raumtemperatur erwärmt hat? Gegeben: Kantenlänge bei homogener, ebener Spannungszustand

63 Die Gleichungen für können auch nach den Spannungen aufgelöst werden: 72

64 Zusammenhang zwischen Betrachtung eines ebenen homogenen Spannungszustandes sowie Betrachtung eines um 45 gedrehten Koordinatensystems 73 Mohr scher Spannungskreis Hauptachsensystem

65 Mohr scher Verzerrungskreis 74

66 75 aus (5), (3) und (1), (2) aus (6), (4) und (1), (2) ergibt Identität

67 76 4. Biegung Erinnerung: Schnittgrößen am ebenen Balken Fall nur Normalkraft bereits behandelt. Jetzt Behandlung des Falls, dass nur Biegemoment vorhanden ist. Überlagerung mit Verformungen, die aus den anderen Schnittgrößen resultieren, im Rahmen einer linearen Theorie möglich.

68 Für schlanke Stäbe sind Spannungen und Dehnungen aufgrund der Querkraft in der Regel vernachlässigbar klein. Elastische Verformung eines Balkens Obere Randfasern werden gestaucht. Untere Randfasern werden gedehnt. Dazwischen liegt eine Faser, die weder gedehnt, noch gestaucht wird. neutrale Faser neutrale Faser Konvention: Die Balkenachse ( -Achse) wird in diese neutrale Faser gelegt. Spannungsverlauf noch unbekannt. 77

69 Annahmen: - Balkenachse ist im unverformten Zustand gerade - Punkte in einer Ebene senkrecht zur Balkenachse bleiben auch im verformten Zustand in einer Ebene senkrecht zur Balkenachse: Ebene Querschnitte, keine Wölbung (Bernoulli-Balken) Spannungsverlauf? aus Hookeschem Gesetz: Bei Stauchen negative, bei Dehnung positive Spannung 78

70 79 ist Radius des sich an der Stelle an die Balkenachse anschmiegenden Kreises. Damit ist Für die Länge eines Faserelements im Abstand von der Balkenachse gilt

71 80 Im unverformten Zustand ist die Länge dieses Elements ebenfalls, so dass für die Dehnung gilt Hookesches Gesetz: linearer Spannungsverlauf über den Querschnitt Reine Biegung ( ), also muss gelten konstant Schwerpunkt bei! Die neutrale Faser liegt also im Flächenschwerpunkt

72 81 Weiter muss aus der Spannungsverteilung das Biegemoment an dieser Stelle resultieren: Das Integral wird als Flächenträgheitsmoment des Querschnitts bzgl. der -Achse bezeichnet (auch Flächenmoment 2. Grades). Es hängt nur von der Geometrie des Querschnitts ab (und damit bei veränderlichem Querschnitt von ) Damit folgt aus

73 82 Dann gilt für den Spannungsverlauf Die betragsmäßig maximale Spannung (wichtig für die Dimensionierung) ergibt sich für den betragsmäßig maximalen Abstand Widerstandsmoment

74 83 Es fehlt nun noch der Zusammenhang zwischen der Durchbiegung und. Für die Krümmung gilt zunächst Also Krümmung mit Krümmung ist Änderung des Steigungswinkels mit der Bogenlänge Dabei ist die Krümmung positiv, wenn, wie in der Skizze, bei dem gewählten Koordinatensystem der Mittelpunkt oberhalb der Kurve liegt. Wie sind die Verhältnisse bei der Biegung?

75 84 positives Moment führt zu negativer Krümmung! Es gilt hier also mit

76 85 Daraus folgt Differentialgleichung der Biegelinie nichtlinear, im Allgemeinen nicht analytisch lösbar Für kleine Steigungen, d.h. ergibt sich jedoch als lineare Differentialgleichung für die Biegelinie

77 90 Erinnerung an Zusammenhang zwischen also gilt im Allgemeinen auch bzw. für konstantes Anwendung auf das vorherige Beispiel

78 95 Flächenträgheitsmomente aus Herleitung berechnen für Rechteckquerschnitt entsprechend ergibt sich bei Biegung um die -Achse Dimension des Flächenträgheitsmoments:

79 Für Kreisquerschnitt 96

80 97 Zusammengesetzte Querschnitte Unterteilung in Teilflächen Beachten der einzelnen Schwerpunkte

81 sind jeweils Konstanten in der Integration. Daher gilt 98 Da jeweils die Schwerpunkte sind, gilt (Definition des Schwerpunktes) Außerdem gilt für alle Teilkörper

82 99 Also für den -ten Anteil Steiner sche Ergänzung entsprechend Nimmt bei Verschiebung aus dem Teilschwerpunkt zu.

83 105 Bisher ausschließlich betrachtet: Biegemoment, welches zu einer reinen Biegung in -Richtung führt. Voraussetzung dafür ist, dass kein Moment aus der Spannung resultiert. von oben: Zu fordern ist, dass ist.

84 106 Mit folgt d.h. für die Geometrie des Querschnitts wird das Verschwinden von gefordert. Diese Größe wird als Deviationsmoment bezeichnet. Steinersche Ergänzung für das Deviationsmoment

85 Für Querschnitte, die symmetrisch zur -Achse sind, ist diese Forderung erfüllt, also z.b. für 107 aber nicht für Solche Querschnitte führen zu schiefer Biegung

86 Berechnung der Flächenträgheitsmomente für den folgenden Querschnitt: Teilflächen: : 108 :

87 : 109

88 110 Daraus ergibt sich für dünne Querschnitte Gibt es ein gedrehtes Koordinatensystem für das verschwindet?

89 111 Für eine beliebige Drehung gilt also: mit und gilt auch

90 112 und entsprechend herzuleiten d.h. es gelten die gleichen Transformationsvorschriften wie bei Spannungen und Dehnungen Es gilt mit :

91 113 Bsp. von vorher mit : Also Mohr scher Trägheitskreis abgelesen: rechnerisch:

92 114 Schiefe Biegung Für das Hauptachsensystem können die zuvor hergeleiteten Beziehungen für einen Querschnitt mit verschwindendem Deviationsmoment verwendet werden. Dazu Betrachtung eines Systems, in dem und die Hauptachsen des Querschnitts sind!

93 115 Durchbiegungen, bisher bekannt bei ausschließlicher Belastung durch (für positive bei positivem Zug) bei ausschließlicher Belastung durch (für positive bei positivem Druck) Bei Überlagerung ergibt sich daher für die Spannung bei reiner Biegung sowie vektorielle Überlagerung der Verschiebungen und.

94 116 Überlagerung von Normalkraft und Biegemoment: eben Normalkraft Biegung Bei gleichzeitigem Auftreten

95 117 a) Biegung um die y-achse b) Biegung um die z-achse

96 c) Überlagerung von a, b d) Spannung infolge Normalkraft 118

97 e) Überlagerung von c, d 119

98 5. Torsion Torsionsmoment im folgenden stets auf Schubmittelpunkt, nicht auf Schwerpunkt bezogen. Im folgenden jedoch zunächst Betrachtung von Kreisquerschnitten, dabei Schwerpunkt = Schubmittelpunkt 120 Annahme: Querschnitte verdrehen sich um Stabachse und bleiben dabei eben (keine Verwölbung) bei Kreisquerschnitten exakt erfüllt.

99 Schubspannungen in der -Ebene wegen Symmetrie von und dem Radius abhängig. 121 Verdrehwinkel, Drillwinkel

100 122 Hookesches Gesetz für Schub: Zusammenhang Torsionsmoment : also polares Flächenträgheitsmoment des Kreisquerschnitts Also bzw.

101 123 Polares Flächenträgheitsmoment Im allgemeinen ist also Spannungsverteilung im Querschnitt aus daher linear von abhängig:

102 124 Bsp.: Verdrehung am rechten Ende? Schnittgrößenverlauf

103 Ergebnisse können entsprechend für Kreisringquerschnitte angewandt werden. 125

104 126 Überlagerung Biegung/Torsion starr starr Gesucht: Absenkung des Kraftangriffspunktes Schnittgrößen

105 127 Absenkung des Kraftangriffspunkts Randbedingungen also

106 Vergleich maximaler Spannungen bei Voll- und Hohlquerschnitt So dimensionieren, dass gleiche maximale Schubspannungen bei Torsion auftreten Vollquerschnitt Hohlquerschnitt Maximale Schubspannungen treten für bzw. auf, es muss also für gleiche maximale Schubspannungen gelten: 128

107 129 Mit ist dies also Für die Querschnittsfläche (für homogene Körper Masse) gilt Vollquerschnitt: Hohlquerschnitt: Verhältnis der Querschnitte: Für ergibt dies z.b.: 49% Gewichtsersparnis bei gleicher Festigkeit

108 130 Dehnung einer Schraubenfeder nur Betrachtung von Torsion, kleine Steigung

109 132 Einfluss von Biegung? kein resultierendes Biegemoment bei kleiner Steigung Hauptspannungen bei Torsionsbeanspruchung: ebener Spannungszustand Hauptspannungen also unter Winkel von 45 führt zu entsprechendem Versagen bei Materialien, die empfindlich gegen Normalspannungen sind

110 133 Dünnwandige geschlossene Hohlquerschnitte Voraussetzungen: - einfache Hohlquerschnitte - Querschnitte längs Stabachse konstant - freie Verwölbbarkeit (keine Wölbbehinderung) keine Normalspannungen im geraden Schnitt

111 134 Freischnitt eines Elements Kräftebilanz in x-richtung gilt für beliebige d.h. Schubfluss

112 135 Das Torsionsmoment ergibt sich daraus zu Gemäß Definition des Kreuzprodukts ist der Betrag von gleich der Fläche des skizzierten Parallelogramms. Beim Aufintegrieren ergibt sich

113 136 Daher ergibt sich die Schubspannung zu erste Bredtsche Formel Zusammenhang mit Verdrillung Verschiebung in -Richtung Verschiebung in Umfangs( -)richtung

114 137 Einsetzen und Umlaufintegral bilden ist periodisch in, daher bzw. Spatprodukt: also

115 138 aus also ergibt sich zweite Bredtsche Formel mit Torsionsflächenmoment

116 140 für einen dünnwandigen Rechteckquerschnitt mit

117 141 Ergänzung: Kesselformel Dünnwandiger zylindrischer Behälter unter Innendruck näherungsweise konstant über Wanddicke Schnitt orthogonal Zylinderachse bzw.

118 Kesselformel 142

119 6. Schub durch Querkraft Betrachtung für den Fall, dass Querkraft nur in -Richtung auftritt; mit also ebener Fall der Biegung ausschließlich um -Achse betrachtet. Außerdem seien die Hauptachsen des Querschnitts. und konstant. Also Schubspannungen und i. allg.. Wegen der Annahme, dass ausschließlich in -Richtung wirken soll, Beschränkung auf die Betrachtung von. Breite des Querschnitts 143

120 144 weitere Annahme nicht abhängig von! Jetzt Betrachtung eines Balkenelements. davon ein Stück herausgeschnitten und

121 145 Kräftebilanz in -Richtung: und umstellen

122 Mit der Beziehung 146 wird daraus mit: sowie konstantem Querschnitt : Dabei heißt das statische Moment des abgeschnittenen Flächenstücks zwischen und. also

123 151 Dünnwandige offene Querschnitte Schubspannungen verlaufen am Querschnittsrand tangential zu diesem (freie Oberfläche). Für dünne Querschnitte wird angenommen, dass die Schubspannungen über die Dicke konstant sind, also z.b. Verläufe der Art entstehen.

124 152 Damit Schubspannungen nur noch abhängig von Betrachtung von Herausschneiden eines Elements Kräftegleichgewicht in -Richtung

125 153 mit statischem Moment Beispiel: statisches Moment bei

126 154 Damit ergibt sich für Spezialfall Schubspannungsverlauf: der folgende im Achtung: Schubkraftverlauf an den Ecken wird hier offensichtlich unzutreffend wiedergegeben (unstetig). aus Symmetrie

127 155 Nochmals Schubspannungsverlauf: Schubspannungen erzeugen ein resultierendes Moment bezüglich Punkt, bezüglich dessen das resultierende Moment verschwindet: Schubmittelpunkt über Momentenbilanz berechenbar. Schubmittelpunkt liegt auf Symmetrieachsen z.b.

128 156 Reine Biegung (Kraft greift im Schubmittelpunkt an) Biegung und Torsion

129 Statisch unbestimmte Systeme z.b. Lagerreaktionen? aus Gleichgewichtsbedingungen der Statik nicht bestimmbar Lässt sich nur mit Hilfe der Elastostatik bestimmen. Vorausgesetzt i.allg.: System nicht vorgespannt oder dergleichen Hier: Balken gerade und alle Lager auf gleicher Höhe

130 158 Annahmen: Schub durch Querkräfte wird vernachlässigt, nur Biegung betrachtet Vorgehensweise: - überzählige Lagerreaktionen durch äußere Kräfte/Momente ersetzen - in Abhängigkeit dieser Kräfte/Momente und der eingeprägten Kräfte/Momente Schnittgrößen, Zwangskräfte/-momente und Verformung berechnen - an den überzähligen Lagerstellen Zwangsbedingungen erfüllen und daraus die Lagerreaktionen bestimmen

131 166 Skizze der Biegelinie: negativ! mühsam zu berechnen Erleichterung kann schaffen: - Die Verwendung von Biegelinientafeln - Die Verwendung von Energiemethoden (Mechanik III)

132 8. Vergleichsspannungen Problem: Im allgemeinen wird an jedem Punkt eines Bauteils ein dreiachsiger Spannungszustand vorliegen, z.b. beschrieben durch die 3 Hauptspannungen und die drei Hauptrichtungen. Auf der anderen Seite werden Werkstoffe in der Regel durch einen Zugversuch charakterisiert. In diesem Fall liegt näherungsweise ein einachsiger Spannungszustand vor, der beispielsweise dazu genutzt wird, Versagensgrenzen eines Werkstoffes oder den Übergang von elastischer zu plastischer Deformation zu beschreiben. 167

133 Um einen vorliegenden dreidimensionalen Spannungszustand mit den Ergebnissen des Zugversuchs vergleichen zu können, werden auf der Basis verschiedener Hypothesen aus dem dreiachsigen Spannungszustand sogenannte Vergleichsspannungen berechnet. Normalspannungshypothese gelegentlich bei spröden Werkstoffen bei Biegung, Zug,Torsion Problem: Liegt der Mittelpunkt des Mohrkreises im Koordinatenursprung, ist die maximale Schubspannung gleich. Die maximale zulässige Schubspannung ist aber in der Regel kleiner als die maximale zulässige Zugspannung. 168

134 169 Schubspannungshypothese Einachsiger Zustand, Mohrkreis also Aus dem dreiachsigen Spannungszustand folgt die maximale Schubspannung Also wird hier verwendet bei Druckbeanspruchung spröder Werkstoffe Achtung: bei hydrostatischem Spannungszustand ; Spannungen dürften beliebig groß werden.

135 170 Hypothese der Gestaltänderungsenergie Gestaltänderungsenergie im drei- und im eindimensionalen Fall gleich ( Mechanik III) gleiches Problem bei hydrostatischem Spannungszustand wie bei Schubspannungshypothese Anwendung bei zähen Werkstoffen

136 9. Knickprobleme Stabilitätsproblem, benötigt die Behandlung mit Hilfe einer Theorie zweiter Ordnung, im Gegensatz zu der bisher verwendeten Theorie erster Ordnung (Gleichgewichtsbedingungen wurden am unverformten System aufgestellt) 171 Jetzt also Betrachtung von Gleichgewichten am verformten System. Dazu das folgende Beispiel

137 Liegen nur kleine Krümmungen vor, gilt nach wie vor die Differentialgleichung für die Biegelinie 173 so dass gilt Lästig: und, da auch Funktion von. Diese Größen sind jedoch Konstanten, so dass die Ableitung nach verschwindet. Zweimal nach abgeleitet ergibt sich oder für konstanten Querschnitt

138 174 Im Fall der Theorie zweiter Ordnung ergibt sich auch für den Fall ein Biegemoment und eine Querkraft Theorie 1.Ordnung Theorie 2.Ordnung (linearisiert)

139 175 Die allgemeine Lösung von ist mit den Ableitungen

140 176 Bestimmung der Konstanten durch Randbedingungen Linksseitig feste Einspannung: Am rechten Rand ist, also Außerdem gilt für die Querkraft am rechten Ende also mit ist

141 177 sind ein lineares homogenes Gleichungssystem der Form bzw. Dieses Gleichungssystem besitzt die triviale Lösung, d.h. die unausgelenkte Lage des Balkens (vgl. Theorie 1.Ordnung).

142 178 Gibt es auch nichttriviale Lösungen? Diese können nur für existieren. Dies fordert bei Entwicklung nach 4. Zeile Charakteristische Gleichung Lösung zum einen für oder, beides ist hier nicht von Interesse.

143 179 Von Interesse sind dagegen die Lösungen Eigenwerte Für diese Werte gibt es neben auch nichttriviale Lösungen des Problems. z.b. für ergibt sich also

144 180 Daraus ergibt sich (außer Zeile 1 alle erfüllt) sowie (aus Zeile 1) Also als Biegeform Integrationskonstante lässt sich nur durch nichtlineare Theorie bestimmen. Es existiert also für, also die nichttriviale Biegeform

145 Es existieren darüber hinaus noch höhere Biegeformen mit 181 also und In der Praxis meist die dem ersten Eigenwert entsprechende kritische Last interessant, da für höhere Werte die gerade Lage instabil wird und der Stab ausknickt. Dabei treten große Verformungen auf und es kann zum Versagen der Konstruktion kommen.

146 182 Daher müssen Zugstäbe lediglich auf die zulässige Zugspannung, Druckstäbe jedoch zusätzlich gegen Knicken ausgelegt werden. Für den Fall des einseitig fest eingespannten Balken ergibt sich also die kritische Last zu

147 183 Was ergibt sich für andere Randbedingungen? Rechnung von vorher gilt zunächst unverändert, d.h. es ist Die Randbedingungen sind nun keine Durchbiegung an Lagern keine Momente an Lagerstellen

148 184 Einsetzen Aus und : Es verbleibt Zu lösen ist also Für ergibt sich also

149 185 Daraus ergibt sich für diesen Fall die kritische Last und die erste Knickform ergibt sich zu also

150 186 Für beliebige Randbedingungen kann die kritische Last geschrieben werden als Eulersche Knickfälle

151 Die Bemessung erfolgt über den so genannten Schlankheitsgrad 187 ; mit gibt dies Es zeigt sich, dass für kleine Schlankheitsgrade der Stab eher zerquetscht wird als ausknickt Euler-Knickspannung

152 188 in diesem Zusammenhang: Erinnerung an Fachwerke Nullstäbe 3,9

153 189 Stabkräfte 7,8 Stabkräfte 4,5 Stabkraft 1

154 190 Also Druckstäbe Länge Zum Vermeiden von Knicken bei Druckstäben wird gefordert Sicherheitsfaktor Hier ist, so dass, vorausgesetzt alle Stäbe haben die gleiche Biegesteifigkeit,der Stab der kritische ist, für den maximal wird. Das ist für den Stab 8 der Fall.

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