Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser

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1 Informatik A Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser 1

2 Teil I Logik 2

3 Geschichte R. Descartes (17. Jhdt): klassische Euklidische Geometrie mit algebraischen Methoden G.W. Leibnitz (17. Jhdt): lingua characteristica, calculus rationator Gottlob Frege (1879): Begriffsschrift Prädikatenlogik erster Stufe Skolem (1920): Beweisverfahren D. Hilbert, W. Ackermann (1928): Entscheidbarkeitsproblem Herbrand (1930): Entscheidbarkeit für korrekten mathematischen Satz Alan Turing, Alonzo Church (1936): Unentscheidbarkeit PL1 Robinson (1954): automatisches Beweisverfahren (Resolutionsprinzip) Kowalski, Colmerauer (1972): Prolog 3

4 Teil I.1 Aussagenlogik 4

5 Aussagenlogik Grundlagen Aussage (atomare Formel): Satz der entweder wahr oder falsch ist abgekürzt mit Großbuchstaben (A, B,...) Beispiel: Heute ist Sonntag Interpretation: Zuordnung eines Wahrheitswertes (w oder f) zu jeder Aussage Operation: Verknüpfung von Aussagen Beispiel: Heute ist Sonntag und es ist kalt. 5

6 Verknüpfungen Negation: einstellige Operation: A oder A w f f w Konjunktion: zweistellige Operation: A B w f w w f f f f Disjunktion: zweistellige Operation: A B w f w w w f w f 6

7 Formeln Rekursive Konstruktion: Literal L ::= A Aussage A Negierte Aussage Formel F ::= L Literal F Negation F F Konjunktion F F Disjunktion (F ) Klammerung Beispiel A... Heute ist Montag. B... Heute ist Feiertag. C... Heute ist Vorlesung. (A B) C 7

8 Weitere Verküpfungen Subjunktion: A B A B w f w w f f w w Bijunktion: A B (A B) ( A B) w f w w f f f w Antivalenz (xor): A B (A B) ( A B) w f w f w f w f 8

9 Klauseln Klausel K ::= L Literal K K Disjunktion Konjunktive Form KF ::= (K) Klausel (K) KF Konjunktion von Klauseln Konjunktion D ::= L Literal D D Konjunktion Disjunktive Form DF ::= (D) Konjunktion (D) DF Disjunktion von Konjunktionen Beispiele: A B C... KF und DF ( A B C) ( B C)... KF ( A B) ( A C) (B C) ( B C)... DF 9

10 Beweisverfahren Begriffe Modell: Interpretation unter der eine Formel F wahr ist. Unerfüllbare Formel: Formel F, für die es kein Modell gibt. Tautologie: Formel F, für die jede Interpretationen ein Modell ist. F Beweis über Wahrheitstafeln Durchrechnen für alle Interpretationen Axiomatische Verfahren Umformen bis zum Wahrheitswert w oder auf konjunktive Form mit mindestens einer Aussage P P in jeder Klausel 10

11 Wahrheitstafel Zu zeigen: ((P Q) P ) Q P Q P Q (P Q) P ((P Q) P ) Q f f w f w f w w f w w f f f w w w w w w 11

12 Syntaktische Umformung Äquivalent sind die folgenden Formeln: ((P Q) P ) Q (( P Q) P ) Q ((P Q) P ) Q ((P P ) ( Q P )) Q (w ( P Q)) Q ( P Q) Q P w w 12

13 Überführung in konjunktive Form ((P Q) P ) Q (( P Q) P ) Q ((P Q) P ) Q ((P P ) ( Q P )) Q ((P P Q) ( Q Q P )) 13

14 Äquivalenzregeln Zwei Formeln F, G sind äquivalent; F G, wenn gilt: F G (F F ) F, (F F ) F Idempotenz (F G) (G F ), (F G) (G F ) Kommutativität ((F G) H) (F (G H)), ((F G) H) (F (G H)) Assoziativität (F (F G)) F, (F (F G)) F Absorption (F (G H)) ((F G) (F H)), (F (G H)) ((F G) (F H)) Distributivität F F Doppelnegation (F G) ( F G), (F G) ( F G) de Morgansche Regeln F G F G bedingte Eliminierung F G F, F G G, falls F unerfüllbar F G G, F G F, falls F Tautologie 14

15 Logisches Schließen Für S eine Menge von Formeln F 1,..., F k und F eine Formel, ist F eine logische Konsequenz von S, in Zeichen S F, wenn jede Interpretation von S, die ein Modell von S ist, auch ein Modell von F ist. Regeln: F F G F G F F G F F G G F (F G) (G H) F H Transitivität G (G F ) F Modus Ponens (Schlussregel) F (G F ) G Modus Tollens 15

16 Beispiel: Transitivität A: (a ist eine gerade Zahl und b ist eine gerade Zahl) B: (a + b ist eine gerade Zahl) B 1 : (a = 2n und b = 2m, n, m ganze Zahlen) B 2 : (a + b = 2k, k ganze Zahl) A A B 1 B 1 B 2 B 2 B B a und b sind gerade Zahlen Dann gibt es Zahlen n, m mit a = 2n und b = 2m Aus a = 2n und b = 2m folgt a + b = 2(n + m) = 2k Aus a + b = 2k folgt a + b ist eine gerade Zahl Mit der Transitivität gilt B 16

17 Axiomensysteme Theorie: Menge von Axiomen + Menge von Formeln Korrektheit: Jede Formel F, die aus einer Theorie T mit Hilfe von Axiomen AS abgeleitet wird (T AS ) ist eine logische Konsequenz aus T (T F ). Vollständigkeit: Jede Formel F, die eine logische Konsequenz aus T ist, ist auch tatsächlich mit Hilfe von AS ableitbar. Konsistenz: Es ist nicht sowohl F als auch F ableitbar. Unabhängigkeit: Kein Axiom ist die logische Konsequenz anderer Axiome. Entscheidbarkeit: Für alle Formeln gilt T AS F oder T AS F. Aussagenlogik ist entscheidbar und besitzt konsistente, vollständige und unabhängige Axiomensysteme. 17

18 Hilberts Axiomensystem der Aussagenlogik AS1: A A A AS2: A (A B) AS3: (A B) (B A) AS4: (A B) ((C A) (C B)) Definition: A B A B Modus Ponens: A (A B) B Ersetzungsregel: F [A/G] in der Formel F ersetze einige (alle) Vorkommen der Aussagenvariablen A durch die Formel G 18

19 Beispiel Zeige: (F F ) F Beweis: (F F ) F AS1. F (F G) AS2, F (F F ) Ersetzungsregel ((F G)[G/F ]). 19

20 Automatisches Beweisen Resolution Modus Ponens: P P B B Verallgemeinerung: P B P B P A 1 A 2... A n P B 1 B 2... B m A 1 A 2... A n B 1 B 2... B m Resolvente Um die Aussage A zu beweisen füge die Negation der Aussage A zu den Formeln der Theorie und versuche, durch Resolution die leere Klausel herzuleiten. 20

21 Beispiel T = A B, A B, A Um B herzuleiten, fügen wir B zur Theorie dazu, und formen A B um. Das ergibt: T = A B, A B, A, B In Klauselform: T = (A, B), ( A, B), A, B B ist ein Resolvent von (A, B) und A. Der Resolvent von B und B ist die leere Menge, daher ist T unerfüllbar, daher folgt aus T B. 21

22 Teil I.2 Prädikatenlogik 22

23 Prädikatenlogik Erweiterung der Aussagenlogik Konstante: a, b, c Variablen: x, y, z Funktionen: f(a 1,..., a k ) Prädikate: P (a 1,..., a k ) Quantoren: Allquantor ( xf ), Existenzquantor ( xf ) 23

24 Semantik Interpretation: Abbildung auf Domäne zur Zuordnung eines Wahrheitswertes Beispiel F : xp (f(x, a), x). Domäne: natürliche Zahlen IN := {1, 2, 3,...} Konstante a ::= 1 f(x, a) ::= x a P (x, y) ::= x = y Interpretation: Für alle natürlichen Zahlen x IN gilt x 1 = x. 24

25 Weitere Schlussregeln und Äquivalenzen xf xf für eine nichtleere Domäne xf xg x(f G) x(f G) xf xg xf x F xf x F x yf y xf x yf y xf x(f G) xf xg x(f G) xf xg 25

26 Entscheidbarkeit von PL1 Die Wahrheitstafelmethode ist nicht übertragbar Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit ist nicht entscheidbar PL1 ist halbentscheidbar: Unerfüllbare Formeln werden nach endlicher Zeit erkannt. 26

27 Beispiel: Peano-Axiome 1. P (1) 2. x (P (x) y (P (y) Q(x, y))). 3. x(p (x) Q(x, 1) 4. x 1 x 2 y 1 y 2 (P (x 1 ) P (x 2 ) Q(x 1, y 1 ) Q(x 2, y 2 ) (x 1 = x 2 ) (y 1 = y 2 )). 5. M (M(1) x y (P (x) P (y) M(x) Q(x, y) M(y)) (M P )). Interpretation P (x)... x ist eine natürliche Zahl Q(x, y)... y = x + 1; y ist Nachfolger von x M... Prädikatenvariable (nicht möglich in PL1) 27

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