10. Riemannsche Geometrie I: Riemannsche Metrik. Variable Bilinearformen.

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1 10. Riemnnsche Geometrie I: Riemnnsche Metrik Wir können in der hyperbolischen Geometrie noch nicht wirklich messen. Hierfür bruchen wir ein Riemnnsches Längen- und Winkelmß, d.h. eine Riemnnsche Geometrie. Eine solche Geometrie ist wieder durch eine Bilinerform gegeben. Diesml llerdings sind die Bilinerform räumlich vribel. Wir betrchten hier llererste Aspekte solcher vriblen Metriken. Die wirkliche Theorie der Riemnnschen Metrik ist Teil der Differentilgeometrie und knn hier nicht behndelt werden. In dieser llgemeinen Theorie werden sogr Rimennnsche Metriken betrctet, die nicht nur räumlich, sondern uch zeitlich vribel sind. Solche zeitlich vriblen Metriken werden z.b. in der llgemeinen Reltivitätstheorie benutzt. Vrible Bilinerformen. Sei V = R 2, R 3. Diese Einschränkung wählen wir, weil wir uns überhupt uf Geometrien der Ebene und des Rumes beschränken. In der modernen Theorie der Riemnnschen Geometrie spielt eine solche Beschränkung ber keine Rolle. Eine Bilinerform b : V V R ist gegeben durch die Mtrix B = [b ij ] Mt n R, wobei b ij = b(e i,e j ) mit e i ls Einheitsvektoren. Eine räumlich vrible Bilinerform von V = R 2 ist gegeben durch eine Abbildung g : R 2 g11 (x,y) g Mt 2 R, (x,y) 12 (x,y) g 21 (x,y) g 22 (x,y) wobei g ij : R 2 R unendlich differenzierbre Funktionen sind mit g ij = g ji und det[g ij (x,y)] 0. Definition. Räumlich vrible Bilinerformen heißen Riemnnsche Formen. Bemerkung. Intuitiv stellt mn sich vor, dss mn sttt einen Vektorrum V ein gnzes Bündel von Vektorräumen ht - eben für jeden Punkt (x,y) R 2 Vektorrum V x,y mit (x,y) ls Nullpunkt. nun einen

2 12 Riemnnsche Geometrie I 75 Einzelne Vektorräume us dem Bündel der Vektorräume Jeder dieser Vektorräume trägt seine eigene Bilinerform. Definition. Die Riemnnsche Form heißt hyperbolische Geometrie von R n. g ij (x 1,...,x n ) := δ ij x 2 n Bemerkung. Wir werden bld sehen, wie mn in der hyperbolischen Geometrie Längen messen knn. Hier hlten wir fest, dss mn in der hyperbolischen Geometrie die Längen von Vektoren und die Winkel von Pren von Vektoren mit gleichem Scheitelpunkt messen knn. Bemerkung. Die hyperbolische Geometrie ist nicht überll definiert - die Längen von Vektoren werden zur x-achse hin immer länger. Die Vektoren, deren Anfngspunkt in der x-achse liegen sind unendlich lng. Definition. Ein Abbildung f : R 2 R 2, f = [f 1,f 2 ] mit f i : R 2 R heißt Diffeomorphismus, wenn die Determinnte der Ableitung nirgends verschwindet. df(x,y) = [ f 1(x,y) f 2(x,y) y f ] 1(x,y) y f 2(x,y)

3 76. Geometrie Definition und Stz. Sei g : R 2 Mt 2 R eine Riemnnsche Form und sei f : R 2 R 2 ein Diffeomorphismus. Dnn ist die Abbildung g : R 2 Mt 2 R, (x,y) (df) 1 g df eine Riemnnsche Form. Der Diffeomorphismus f heißt Isometrie, wenn g = g. Beweis. Klr. Bemerkung. Wenn wir gesehen hben wie mn Längen mißt, dnn werden wir uch sehen, dss Isometrien gerde die Diffeomorphismen sind die Längen und Winkel erhlten. 1. Beispiel (konstnte Metriken). Jede symmetrische Bilinerform b : R n R n R definiert eine Riemnnsche Metrik (R n,b) uf R n (dies sind gewissermßen die konstnten Metriken). 2. Beispiel (induzierte Metriken). Sei (R n,b) irgendeine Riemnnsche Metrik (z.b. eine der konstnten Riemnnschen Metriken us dem 1. Beispiel). Sei f : R m R n eine differenzierbre Abbildung. Dnn definiert p g p (v,w) := (df) p (v) (df) p (w) eine (im llgemeinen vrible) Riemnnsche Metrik uf R m. Ein konkretes Beispiel ist gegeben durch die Abbildungen f : R 2 R 3, [x,y] [x,y,1 + x 2 + y 2 ]. Betrchte die Jcobi-Mtrix (df) p = y y y = x 2y Die von f induzierte Riemnnsche Metrik ist lso gegeben durch g p ([ v1 = ] ) w1, = w 2 2x 2y v 1 2xv 1 + 2y [ v1 w 1 w 2 2xw 1 + 2yw 2 ] 1 0 ] 0 1 [ w1 w 2x 2y 2 = v 1 w 1 + w 2 + 4(xv 1 + y )(xw 1 + yw 2 ) Mn erhält so eine Riemnnsche Metrik g p von R 2, die vom Punkt p = [x,y] bhängt.

4 3. Beispiel (hyperbolische Metrik). Die Metrik x 2 g = x Riemnnsche Geometrie I 77 heißt hyperbolische Metrik. Die hyperbolische Metrik ist ber keine induzierte Metrik, d.h. es gibt keine Einbettung R 2 R 3 die die hyperbolische Metrik induziert. Abstnd und Winkel Winkel hben in der hyperbolischen Geometrie ds gleiche Mss wie in der crtesischen Geometrie, denn ( ) h(v, w) (v,w) = rccos h(v,v) 1/2 h(w,w) ( 1/2 ) v w = rccos (v v) 1/2 (w w) 1/2 Der Abstnd wird j in der crtesischen Geometrie uch über ds Sklrprodukt gemessen und zwr einfch durch d(v,w) = ((v w) (v w)) 1/2. Für räumlich-vrible Metriken ist ds nun nicht mehr gnz so einfch, d mn nicht weiss welches der vielen Sklrprodukte mn nehmen soll - in jedem Punkt gibt es j ein nderes. Die Idee ist nun den Abstnd zweier Punkte ls die Länge des kürzesten Weges zwischen den Punkten zu definieren. Hierzu brucht mn die Länge l(w) eines Weges w(t). Intuitiv würde mn definieren: l(w) = dw = t=b t= dw(t) dt = dt t=b t= ( g w(t) ddt w(t), ddt ) w(t) dt. Wir müssen lso Differentieren. Dies ist ber uch wieder ein Problem. Hyperbolische Geometrie. Sei (R 2,g) die hyperbolische Geometrie mit g ij = δ ij x 2 2. Der Winkel in dieser Geometrie ist in jedem Punkt der Euklidische Winkel. Um den Abstnd zwischen Punkten zu berechnen, zeigt mn zuerst, dss die y-achse eine Geodtische der Geometrie ist, d.h. eine Kurve deren loklen Längen miniml sind. Um dies zu sehen, sei v : [,b] R 2, t [0,t] und sei w : [,b] R 2, t [x(t),y(t)] ein beliebeiger Weg mit mit w() = [0, ] und w(b) = [0, b]. Es ist dnn l(w) = dw (dx ) 2 ( ) 2 dy dt dt = + dt dt dt y dy dy dt y dy y = l(v)

5 78. Geometrie Es gilt lso, dss v lokl die Weglänge minimlisiert. Dmit ist v eine Geodätische. Insbesondere ist der Abstnd zweier Punkte P 1 = [0,],P 2 = [0,b] gegeben durch l(p 1,P 2 ) = dy y = lnb ln Weiter sind die Isometrien der hyperbolischen Geometrie (R 2,g), g = g ij = δ ij x 2 2, gegeben durch die gebrochen lineren Trnsformtionen z z + b cz + d b mit PSL c d 2 R die Isometrien der hyperbolischen Geometrie. Um dies zu sehen nutze mn su, dss ds 2 = dx2 + dy 2 y 2 = 4dzd z (z z) 2. Wir wissen, dss es für jeden Kreis, der senkfrecht uf der x-achse steht, eine gebrochen linere Trnsformtion gibt die diesen Kreis uf die y-achse bbildet. Somit sind die Kreise, senkrecht uf der x-achse, die Geodätischen der Geomtrie. Um den Abstnd zweier Punkte z 1,z 2 zu bestimmen, konstruiere mn eine gebrochen linere Abbildung G A die z 1,z 2 uf die y-achse bbildet. Dnn knn mn l(g A (z 1 ),G A (z 2 )) wie oben bestimmen. Dies ist dnn der Abstnd l(z 1,z 2 ). Ds Mteril für diesen Abschnitts ist im wesentlichen us [M. docrmo, Riemnnin Geometry]