Übungsaufgaben Systemmodellierung WT 2015

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1 Übungsaufgaben Systemmodellierung WT 2015 Robert Friedrich Prof. Dr.-Ing. Rolf Lammering Institut für Mechanik Helmut-Schmidt-Universität / Universität der Bundeswehr Hamburg Holstenhofweg 85, Hamburg

2 Inhaltsverzeichnis 1. Finite Stabelemente 3 Aufgabe 1.1. Zweidimensionale Finite Stabelemente Aufgabe 1.2. Zweidimensionale Finite Stabelemente (alte Klausuraufgabe) Aufgabe 1.3. Zweidimensionale Finite Stabelemente Energiemethoden der Mechanik 6 Aufgabe 2.1. Der Arbeitssatz der Mechanik für Stäbe Aufgabe 2.2. Der Arbeitssatz der Mechanik für Balken Aufgabe 2.3. Der Arbeitssatz der Mechanik für Balken Aufgabe 2.4. Der Arbeitssatz der Mechanik für Balken Aufgabe 2.5. Das Prinzip der virtuellen Kräfte für Fachwerke Aufgabe 2.6. Das Prinzip der virtuellen Kräfte für statisch unbestimmte Systeme 11 Aufgabe 2.7. Das Prinzip der virtuellen Kräfte für statisch unbestimmte Systeme 12 Aufgabe 2.8. Das Prinzip der virtuellen Kräfte für statisch unbestimmte Systeme 13 Aufgabe 2.9. Das Prinzip der virtuellen Kräfte für statisch unbestimmte Systeme Approximationsverfahren in der Mechanik 15 Aufgabe 3.1. Das Ritz sche Verfahren für Balken Aufgabe 3.2. Das Ritz sche Verfahren für Balken Aufgabe 3.3. Die Finite Elemente Methode für Balken Aufgabe 3.4. Die Finite Elemente Methode für Balken A. Aufgaben zur Lernerfolgskontrolle 19 Aufgabe A.1. Zweidimensionale Finite Stabelemente Aufgabe A.2. Das Prinzip der virtuellen Kräfte für Balken

3 Übung 1. Finite Stabelemente Aufgabe 1.1. Zweidimensionale Finite Stabelemente Bestimmen Sie für die dargestellten Fachwerke jeweils die Knotenverschiebungen (u 2 und v 2 ) mit Hilfe der Matrizenformulierung finiter Stabelemente. Errechnen Sie anschließend die Knotenkräfte (A x, A y, B x, B y, C x und C y ) aus den Knotenverschiebungen! (a) (b) (c) Gegeben: F, EA, l, α = 45 Schwierigkeitsgrad: 2 Lösungen: (a) v 2 = F l EA, A x = A y = B x = B y = 1 2 F (b) u 2 = v 2 = F l EA, A x = A y = B x = 0, B y = F (c) v 2 = F l 2 EA, A x = A y = C x = C y = 1 4 F, B x = 0, B y = 1 2 F 3

4 Übung 1. Finite Stabelemente Aufgabe 1.2. Zweidimensionale Finite Stabelemente (alte Klausuraufgabe) Gegeben ist das dargestellte Fachwerk aus vier Stäben unterschiedlicher Dehnsteifigkeit EA. Gegeben: F, EA (a) = 2 EA, EA (b, c, d) = EA, r, α = 45 Bearbeiten Sie folgende Aufgaben: (a) Bestimmen Sie die Knotenverschiebungen mit Hilfe der Matrizenformulierung finiter Stabelemente! (b) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen Knoten 3 und 4! (c) Verwenden Sie nun das ihnen zur Verfügung gestellte Matlab-Programm zur Berechnung von Fachwerken. Passen Sie den Code zunächst so an, dass Stäbe mit unterschiedlicher Dehnsteifigkeit verwendet werden können. Überprüfen Sie dann ihr Ergebnis aus Aufgabenteil (a)! Schwierigkeitsgrad: 2 Lösungen: a) u 1 = 2 F r EA, v 1 = F r EA, u 2 = 3 F r ( EA, v 2 = ) F a 3 EA, u 3 = v 3 = u 4 = v 4 = 0 4

5 Übung 1. Finite Stabelemente Aufgabe 1.3. Zweidimensionale Finite Stabelemente Bestimmen Sie für das dargestellte Fachwerk aus sieben Stäben der Dehnsteifigkeit EA jeweils die Knotenverschiebungen (u i und v i, mit i = 1..7) mit Hilfe des Matlab-Programms. Gegeben: F, EA, a Schwierigkeitsgrad: 1 Lösungen: u 1 = v 1 = v 3 = 0, u 2 = 10 F a EA, v 2 = 127 F a 3 EA, u 3 = 40 F a 3 EA, u 4 = u 5 = F a EA, v 4 = F a EA, v 5 = F a EA F a EA, 5

6 Übung 2. Energiemethoden der Mechanik Aufgabe 2.1. Der Arbeitssatz der Mechanik für Stäbe Bestimmen Sie für das dargestellte System, bestehend aus drei Stäben unterschiedlichen Dehnsteifigkeit EA die horizontale Knotenverschiebung u am Kraftangriffspunkt mit Hilfe des Arbeitssatzes der Mechanik! Gegeben: F, EA a = 2 EA b = EA c = EA, l Schwierigkeitsgrad: 1 Lösung: u = 3 F l EA 6

7 Übung 2. Energiemethoden der Mechanik Aufgabe 2.2. Der Arbeitssatz der Mechanik für Balken Bestimmen Sie für den dargestellten Träger der Biegesteifigkeit EI die vertikale Verschiebung w am Kraftangriffspunkt: a) durch Integration des Biegemomentenverlaufes und b) mit Hilfe des Arbeitssatzes der Mechanik! Hinweis: Die Längs- und Querkraftverformungen können vernachlässigt werden. Gegeben: F, EI, l Schwierigkeitsgrad: 1 Lösung: w = F l3 3 EI 7

8 Übung 2. Energiemethoden der Mechanik Aufgabe 2.3. Der Arbeitssatz der Mechanik für Balken Bestimmen Sie für den dargestellten Träger der Biegesteifigkeit EI den Biegewinkel φ am Lastangriffspunkt: a) durch Integration des Biegemomentenverlaufes und b) mit Hilfe des Arbeitssatzes der Mechanik! Hinweis: Die Längs- und Querkraftverformungen können vernachlässigt werden. Gegeben: M, EI, l Schwierigkeitsgrad: 1 Lösung: φ = M l EI 8

9 Übung 2. Energiemethoden der Mechanik Aufgabe 2.4. Der Arbeitssatz der Mechanik für Balken Bestimmen Sie für das dargestellte System (Dehnsteifigkeit EA, Biegesteifigkeit EI, Schubsteifigkeit GA Qz ) die Verschiebungen u am Lastangriffspunkt mit Hilfe des Arbeitssatzes der Mechanik. Längs- und Querkraftverformungen sollen zunächst nicht vernachlässigt werden! a) Stellen Sie zunächst die Formulierungen für die Formänderungsarbeit und die Formänderungsenergie auf! b) Nehmen Sie nun an: l = 2 a Querschnittsfläche A = 2 b b Flächenträgheitsmoment I = Schubmodul G = 0, 38 E b (2 b)3 12 Bestimmen Sie nun die Anteile der Normalkraft, des Biegemomentes und der Querkraft an der Formänderungsenergie! c) Welche Schlussfolgerungen ziehen Sie aus b)? Bestimmen Sie die Verschiebung u! Gegeben: E, F, a, b Schwierigkeitsgrad: 2 Lösung: u = 7 2 F a 3 E b 4 9

10 Übung 2. Energiemethoden der Mechanik Aufgabe 2.5. Das Prinzip der virtuellen Kräfte für Fachwerke Bestimmen Sie für das dargestellte Fachwerk, bestehend aus drei Stäben unterschiedlichen Dehnsteifigkeit EA die Knotenverschiebung a) am Kraftangriffspunkt der Kraft F, b) am oberen Lager mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte! Gegeben: F, EA 1, EA 2, l Schwierigkeitsgrad: 1 Lösung: a) u = 2 F l ( 4, v = F l + EA 2 EA 1 b) u = 2 F l EA 1 2 EA 2 ) 10

11 Übung 2. Energiemethoden der Mechanik Aufgabe 2.6. Das Prinzip der virtuellen Kräfte für statisch unbestimmte Systeme Das statisch unbestimmte System (Biegesteifigkeit EI) wird durch einen Streckenlast q 0 wie dargestellt belastet. Berechnen Sie im Lager B die Lagerreaktion B y! Hinweis: Die Längs- und Querkraftverformungen können vernachlässigt werden. Gegeben: q 0, EI, l Schwierigkeitsgrad: 2 Lösung: B y = q 0 l 11

12 Übung 2. Energiemethoden der Mechanik Aufgabe 2.7. Das Prinzip der virtuellen Kräfte für statisch unbestimmte Systeme Das statisch unbestimmte System, bestehend aus einem Träger(Biegesteifigkeit EI) und einer Pendelstütze (Dehnsteifigkeit EA) wird durch einen Streckenlast q 0 wie dargestellt belastet. Bearbeiten Sie folgende Aufgabenteile: a) Betrachten Sie zunächst das System ohne Pendelstütze. Bestimmen Sie für dieses statisch bestimmte System die Durchbiegung w a am Balkenende! b) Bestimmen Sie für das statisch unbestimmte System mit Pendelstütze die Stabkraft S und die Durchbiegung w b am Balkenende! Hinweis: Die Längs- und Querkraftverformungen des Trägers können vernachlässigt werden. Gegeben: q 0, EI, EA, l Schwierigkeitsgrad: 2 Lösung: a) w a = 1 q 0 l 4 8 EI b) S = 1 8 q 0 l 3 l EI, w b = 1 q 0 l 4 8 EI 1 S l 3 3 EI EA 12

13 Übung 2. Energiemethoden der Mechanik Aufgabe 2.8. Das Prinzip der virtuellen Kräfte für statisch unbestimmte Systeme Das statisch unbestimmte System, bestehend aus einem Winkel (Biegesteifigkeit EI) und einer Pendelstütze (Dehnsteifigkeit EA) wird durch zwei Kräfte wie dargestellt belastet. Berechnen Sie die Stabkraft S! Berechnen Sie a) die auftretende Stabkraft S! b) das Biegemoment M I A an der Einspannung A ohne Pendelstütze! c) das Biegemoment M II A an der Einspannung A mit Pendelstütze! Hinweis: Die Längs- und Querkraftverformungen des Winkels können vernachlässigt werden. Gegeben: F, EI, EA = 5 EI a 2, a Schwierigkeitsgrad: 2 Lösung: a) S = F b) M I A = 15 2 F a b) M II A = F a 13

14 Übung 2. Energiemethoden der Mechanik Aufgabe 2.9. Das Prinzip der virtuellen Kräfte für statisch unbestimmte Systeme Das statisch unbestimmte System, bestehend aus einem geknickten Kragträger (Biegesteifigkeit EI) und einem Stab (Dehnsteifigkeit EA) wird durch eine Kraft wie dargestellt belastet. Berechnen Sie die Stabkraft S! Berechnen Sie a) die auftretende Stabkraft S! b) das Biegemoment M I B am Punkt B ohne Stab! c) das Biegemoment M II B am Punkt B mit Stab! Hinweis: Die Längs- und Querkraftverformungen des Kragträgers können vernachlässigt werden. Gegeben: F, EI, EA, a, b Schwierigkeitsgrad: 3 Lösung: a ab a) S = 2 2 a EI EA b) MB I = F b F b) M II B = F b 2 2 S a 14

15 Übung 3. Approximationsverfahren in der Mechanik Aufgabe 3.1. Das Ritz sche Verfahren für Balken Leiten Sie das lineare Gleichungssystem in Matrix-Vektor-Form K u = f mit Hilfe des allgemeinen Ritz schen Ansatzes w (x) = n a i φ i (x) aus der Potentialformulierung für Balken her! Π (w) = n i=1 i=1 1 2 EI ( w ) 2 w q (x) dx min Schwierigkeitsgrad: 1 Lösung: K ik = K ki = l F k = l 0 0 q (x) φ k dx EI φ i φ k dx 15

16 Übung 3. Approximationsverfahren in der Mechanik Aufgabe 3.2. Das Ritz sche Verfahren für Balken Bestimmen Sie für die dargestellten, einseitig eingespannten Balken (Biegesteifigkeit EI) die Durchbiegung w (x) mit Hilfe des Ritz schen Verfahrens: a) Verwenden Sie zunächst einen einparametrigen Ansatz w 1 = a 1 x 2! b) Vergleichen Sie ihr Ergebnis mit der analytischen Lösung durch Integration des Momentenverlaufes! c) Verbessern Sie anschließend die Approximation mit einem zweiparametrigen Ansatz w 2 = a 1 x 2 + a 2 x 3! d) Gegeben sei nun der abgesetzte Balken mit zwei Bereichen unterschiedlicher Biegesteifigkeit (I und αi) und der veränderlichen Streckenlast q (x) = q 0 (1 x/l). Bestimmen Sie die Durchbiegung w (x) mit dem zweiparametrigen Ansatz w 2. Hinweis: Nutzen Sie zum lösen des Gleichungssystems Maple oder ein ähnliches Programm. Gegeben: EI, q 0, l, α Schwierigkeitsgrad: 2 Lösungen: a) w 1 (x) = 1 12 b) w 2 (x) = 1 30 q 0 l 2 EI x2, w 2 (x) = 5 q 0 l 2 24 EI x2 + 1 q 0 l 12 EI x3 26 l α + 2 l 11 α x x α + α 2 q 0 l x 2 EI 16

17 Übung 3. Approximationsverfahren in der Mechanik Aufgabe 3.3. Die Finite Elemente Methode für Balken Ein System besteht aus zwei Balkenabschnitten der Länge l. Das System ist beidseitig eingespannt. a) Bestimmen Sie für das System die Durchbiegung w (x = l) und Neigungen w (x = l) unter Verwendung zweier finiter Balkenelemente mit für die beiden Fälle i) EI a = EI b = EI und ii) 1 2 EIa = EI b = EI! b) Überprüfen Sie ihr Ergebnis mit dem zur Verfügung gestellten Matlab-Programm! Ändern sie das Programm so ab, dass Sie damit auch abgestufte Systeme wie in ii) berechnen können! Gegeben: F, EI, l Schwierigkeitsgrad: 2 Lösungen: i) w (x = l) = 1 24 ii) w (x = l) = 1 66 F l 3 EI, w (x = l) = 0 2 F l 3 EI, w (x = l) = 1 F l 2 66 EI 17

18 Übung 3. Approximationsverfahren in der Mechanik Aufgabe 3.4. Die Finite Elemente Methode für Balken Ein Balken (Biegesteifigkeit EI) ist wie dargestellt gelagert und wird durch die Streckenlast x q (x) = q 0 belastet. Vergleichen Sie ihr Ergebnis mit der analytischen Lösung der Bernoullil Balkentheorie! Gegeben: EI, l, q 0 a) Bestimmen Sie die Verdrehung w (x = 0) mit Hilfe der Methode der finiten Balkenelemente unter Verwendung von einem Element! b) Ändern Sie die Funktion fe.m des Matlab-Programms so ab, dass Sie damit auch den Elementlastvektor für die linear veränderliche Streckenlast berechnen können! Schwierigkeitsgrad: 2 Lösungen: w (x = l) = 1 q 0 l EI 18

19 Anhang A. Aufgaben zur Lernerfolgskontrolle Aufgabe A.1. Zweidimensionale Finite Stabelemente Ein Fachwerk besteht aus vier Stäben gleicher Dehnsteifigkeit EA und wird mit einer Kraft F im Winkel α wie dargestellt belastet. Es sollen die Verschiebungen der Knoten 2 (u 2, v 2 ) und Knoten 4 (u 4,v 4 ) mit Hilfe finiter Stabelemente bestimmt werden. Arbeiten Sie die folgenden Schritte ab: a) Stellen Sie das Gleichungssystem K u = f unter Verwendung der Bestandteile k e 11, ke 12, k e 21 und ke 22 der Elementsteifigkeitsmatrizen, der Knotenverschiebungen u i und v i, und der Knotenkräfte F xi und F yi auf! (e = a, b, c, d und i = 1, 2, 3, 4) b) Geben Sie sämtliche Randbedingungen an! c) Geben Sie die Elementsteifigkeitsmatrizen k e 11 für die Elemente (e = a, b, c, d) an! d) Stellen Sie das zu lösende Gleichungssystem unter Berücksichtigung von b) und c) auf und bestimmen Sie die Verschiebungen (u 2, v 2 ) und (u 4,v 4 )! Gegeben: EA, F, l, α = 45 19

20 Anhang A. Aufgaben zur Lernerfolgskontrolle Aufgabe A.2. Das Prinzip der virtuellen Kräfte für Balken Der dargestellte Träger (Biegesteifigkeit EI) ist durch eine Kraft F belastet. Bestimmen Sie die Neigung ϕ am Angriffspunkt der Kraft F mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte! Hinweis: Längs- und Querkraftverformung können vernachlässigt werden. Arbeiten Sie die folgenden Schritte ab: a) Geben Sie die virtuelle Formänderungsarbeit und -energie in allg. Form an! b) Bestimmen und zeichnen Sie qualitativ die notwendigen Schnittgrößenverläufe! c) Bestimmen Sie die gesuchte Neigung ϕ am Kraftangriffspunkt! Gegeben: F, EI, l 20

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