Verschachtelte Wurzeln oder
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- Ulrich Hermann
- vor 7 Jahren
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1 Verschachtelte Wurzel oder Vo der Kust Eifaches kompliziert auszudrücke arti Rheiläder Istitut für Agewadte athematik Uiversität Heidelberg Vortragsfolie mit zusätzliche Kommetare Vo der Kust Eifaches kompliziert auszudrücke I ältere Tete fidet ma häufig Badwurmsätze, die sich durch die mehrmalige Verschachtelug vo Nebesätze über viele Zeile erstrecke ud machmal gaze Absätze fülle. Dadurch läßt sich die Aussage solcher Sätze oft selbst ach der zweite ud dritte Lektüre ur schwer erfasse. Zumidest ergeht dies de meiste heutige Leser so ud ma fragt sich, ob Leser i frühere Zeite die Sperrigkeit übermäßig läger Sätze icht gaz ählich empfude habe müßte. Immer och müsse sich auch mache wisseschaftliche Disziplie die berechtigte Kritik gefalle lasse, durch eie Hag zu uötig verklausulierte Formulieruge ud Fachtermii Außestehede aufgrud der vermeitlich schwere Verstädlichkeit Respekt abverlage zu wolle. Die bevorzugte ud agestrebte Ausdrucksweise i der atheatik ist eigetlich vo Natur aus klar ud präzise, obgleich auch hier Ausahme die Regel bestätige möge. Die gelegetliche Darstellug eifacher Zahle durch uübersichtlich verkettete Terme hat wohl vor allem eie spielerische, uterhaltede oder scherzhafte Charakter, ( ( 5 ). z.b.: cosh log( si( ) cos( ) ) Die Auflösug ist trivial, sofer die Eigeschafte gewisser elemetarer Fuktioe bekat sid. Demgegeüber gestaltet sich das Vereifache uedlich oft verschachtelter Wurzel deutlich schwieriger ud bedarf zur saubere Begrüdug eies Beweises. Dabei ergebe sich eiige verblüffede Beobachtuge: Weder ergibt geschweige de rei reell eie Si. aber scho! ivolviert eigetlich ur eie eizige Wurzel. Die Grezfuktio vo ( ) ( ) ist sogar affi liear. Fast ei philosophisches Problem: oder doch (aus Stetigkeitsgrüde)? Bei der Kust des Lehres (Didaktik) geht es bekatlich icht darum, zu erklärede Zusammehäge durch umstädliche Erläuteruge zu verschleier. Vielmehr besteht das Ziel dari, auch für schwierige Sachverhalte eie eigägige, möglichst eifache aber deoch zutreffede Erklärug zu fide. Wozu da badwurmartige Formelugetüme wie verschachtelte Wurzelterme i eier Didaktikverastaltug? Tatsächlich ist die Beschäftigug damit lehrreicher als ma zuächst deke mag. Wem das icht als otivatio geügt, de überzeugt vielleicht die kleie achfolgede (freilich etwas überspitzte) Geschichte aus der Schule. a beachte, daß sich im Grezwert auch vieles vereifache ka. So ist ggf. eie uedlich oft verschachtelte Wurzel eifacher zu bereche als eie zehfach verschachtelte Wurzel.
2 Aufhäger: ysteriöser Wurzelterm i der Schule Vormittags i der athestude vertieft ma meist die Rechekude. Kokret steht diesmal auf dem Programm, daß ma Wurzel egativer Zahle icht ziehe ka, solage ma ur das Reelle betrachtet ud Komplewertiges icht beachtet. Doch dies ist i der Schule kei Thema, wichtig ist hier vor allem das Schema. Am Beispiel erklärt der Lehrer, wie es geht, isbesodere wo das iuszeiche steht. Wurzel vo mius Vier macht keie Si, doch schreibt ma das ius vor die Wurzel hi, so ergibt sich gaz zweifelsfrei das Negative der Zwei. Die Ubesoeheit der Schüler ahed, wiederholt der Lehrer ochmals mahed: Setzt das iuszeiche iemals i die Wurzel hiei, de diese Fehler werd ich icht verzeih. Wurzel egativer Zahle sid icht erklärt, wer sie deoch schreibt, macht s verkehrt. Da fragt er zur Kotrolle, ob jemad de Stoff rekapituliere wolle. Normalerweise wird es mucksmäusche still, we der Lehrer etwas wisse will. Diesmal aber sid Carl ud Fritz am Schwätze; ei solches Verhalte weiß der Pauker icht zu schätze. Wer aber de Uterricht derart stört, der hat meist auch icht zugehört. So fragt er Carl mit List, was die Wurzel vo mius Eiviertel ist. Dieser atwortet ud spricht: Herr Lehrer, die gibt es icht. Doch gaz uumwude, wir habe etwas erkwürdiges gefude. Dabei reicht er ei Blatt mit eiem lage Term. Diese sieht der Lehrer gar icht ger, ist er doch ziemlich irritiert, diese Reaktio hatte er icht atizipiert. Wie ka das ur gelige, we s de zugeht mit rechte Dige? Nu blickt der Lehrer fraged drei, was ka des Rätsels Lösug sei? Beispiel Iterierte Wurzel als rekursive Folge w :? Verallgemeierug: w( ) : zuächst Defiitio als Folge, um Püktche-Notatio zu präzisiere: spezielle Iitialisierug allgemeie Iitialisierug w ) : ( w ) : ( s w ) : ( w ) : s ( w ) : ( w ) : s ( w ) : ( w ) : s ( Rekursive Defiitio der Folge (w ()) für : w ( ) : s w ( ) : w ( ) Kovergez? Falls ja, hägt Grezwert w( ) : lim w ( ) vom Startwert s ab?
3 Beispiel ootoieverhalte ootoie: i) ii) w ( ) < w ( ) w ( ) < w ( ) Kovergezkriterium: ootoie & Beschräktheit Kovergez w ( ) < w ( ) > iii) w ( ) w ( ) w ( ) w ( ) w ( ) < w ( ) w ( ) < w ( ) N : N : N : w ( ) < w w ( ) > w w ( ) w ( ) ( ) ( ) Nachweis per Iduktio Iduktiosafag ist durch die jeweilige Voraussetzug gegebe. Iduktiosschritt: Fall i) Iduktiosvoraussetzug w ( ) < w ( ) Iduktiosbehauptug ootoie der Wurzelfuktio Folge ist streg mooto wachsed Folge ist streg mooto falled Folge ist kostat Fall ii) & Fall iii) ergebe sich völlig aalog durch Ersetze des Größer-Zeiches. w ( ) w ( ) < Beispiel Formale Berechug des Grezwertes Herleitug eier Gleichug für de Grezwert w() aus der Rekursiosgleichug uter der Aahme vorhadeer Kovergez: w( ) lim w ( ) lim w ( ) lim w ( ) w( ) w ( ) w( ) w ( ) w( ) Stetigkeit der Wurzelfuktio Grezwert ergibt sich als Fipukt der Iteratiosfuktio: Beachte: Allerdigs {, } w( ) w( ) I : w a Die egative Nullstelle der quadratische Gleichug für w() ist zu verwerfe. s, > N : w ( ) > w( ) {, }. Keie der beide öglichkeite ist à priori ausgeschlosse. Sofer ei Grezwert eistiert, hägt dieser für > icht vom Startwert s ab soder ur vo. Ausahme für : falls s w() falls s> Falls s : keie Vertauschbarkeit der Grezwerte : lim lim w ( ) lim lim w ( ) w Aus demselbe Grude wie: lim lim lim lim
4 Beispiel Beschräktheit Formal ermittelter Grezwert als obere bzw. utere Schrake (bei etsprecheder Iitialisierug). i) > w ( ) N: > w ( ) ii) < w ( ) N: < w ( ) iii) w ( ) N: w ( ) Nachweis per Iduktio Iduktiosafag ist durch die jeweilige Voraussetzug gegebe. Iduktiosschritt: Fall i) > Iduktiosvoraussetzug Iduktiosbehauptug w ( ) > w ( ) > w ( ) > w ( ) Fall ii) ud iii) werde aalog behadelt. ( ) ( ) > w ( ) w ) ( > w ( ) Beispiel Startwert & Kovergez Wie hägt ootoieverhalte vom Startwert w () s> ab? Bereits gezeigt: w ( ) s < s w ( ) (w ()) streg mooto wachsed w ) s > s w ( ) (w ()) streg mooto falled ( Wie ist s zu wähle, damit s kleier bzw. größer sqrt(s) ist? Es gilt: i) ii) iii) s s < s < s s > s > s s s Beachte: ootoieverhalte ud Beschräkug ach ute bzw. obe ergäze eiader, um stets Kovergez zu erzwige! Somit folgt: Zusammefassug der Resultate: Im Fall i) kovergiert (w ()) vo ute Im Fall ii) kovergiert (w ()) vo obe mooto gege. Im Fall iii) ist die Folge kostat. s etspricht im Prizip der Iitialisierug s sqrt() mit verschobee Idizes.
5 Beispiel Ausgagsbeispiel iterierte Wurzel mit < Die iterierte Wurzel ka als Grezwert eier rei reellwertige Folge (w ( /)) verstade werde, falls diese mit eiem Startwert s / iitialisiert wird. Zeige dazu N: i) w ( /) / w ( /) / ii) w ( /) w ( /) ad i) w ( ) ( ) ( ) w w ad ii) aalog zum Nachweis des vorherige Beispiels. Aus i) folgt: alle Folgeglieder bleibe reell. Außerdem ist die Folge durch / ach ute beschräkt ud ach ii) fällt sie mooto. Somit eistiert ei Grezwert, der sich wiederum als Fipukt der Iteratiosfuktio zu / ergibt. (w ( /)) kovergiert gege /. Beispiel Alterativer Zugag: Fuktioalgleichug w( ) : Ohe die Wohldefiiertheit vo w zu diskutiere, liefert formales Quadriere: w( ) w ( ) w( ) Fuktioalgleichug für w Auflöse der quadratische Gleichug ach w: (uter Berücksichtigug der Positivität vo w für >) w( ) A priori ist icht klar, daß die gefudee Lösug der Fuktioalgleichug auch tatsächlich dem Wurzelterm etspricht, de die Lösug eier Fuktioalgleichug muß icht eideutig sei. Hier etspricht die Fuktioalgleichug der (quadrierte) Rekursiosgleichug im Grezwert. Der Zugag über Fuktioalgleichuge mag auch da fuktioiere, we eie Rekursiosgleichug icht zur Verfügug steht (siehe folgede Beispiele). Die hiesige Fuktioalgleichug ivolviert ur Werte vo w a eier eizige Stelle. Überlicherweise werde durch eie Fuktioalgleichug Werte a verschiedee Stelle miteiader verküpft. Da ist das Auflöse i der Regel deutlich schwerer. 5
6 Beispiel Beschräktheit (ohe Rückgriff auf Grezwert) Beschräktheit: Falls w () s < gilt für alle N: w ( ) < Beweis per Iduktio Iduktiosafag klar ach Voraussetzug. Iduktiosschritt: w ( ) < w ( ) < Iduktiosvoraussetzug w ( ) < w ( ) < w ( ) < Somit ist die Eistez eies Grezwertes gesichert. Iduktiosbehauptug Beachte, daß isbesodere für alle die Stadardiitialisierug w () sqrt() der Bedigug kleier geügt. Alterativ ka ma zeige, daß die Folge durch ihre Grezwert beschräkt ist. a beachte, daß der Grezwert, sofer er eistiert, uabhägig vo der Iitialisierug ist, egal wie diese gewählt ist. Beispiel 6
7 Beispiel z s lim z z z Beispiel Detail z z 7
8 Verschachtelte Wurzel II Ausgagsproblem u :? Läßt sich die verschachtelte Wurzel als Grezwert eier Folge darstelle? Defiitio eier geeigete rekursive Folge, d.h. v als Fuktio vo v, ist icht ersichtlich! u u u u Alterative: Betrachte Folge abgeschitteer verschachtelter Wurzel. u 5 u : lim u Verschachtelte Wurzel II Formale Herleitug eier Fuktioalgleichug u : Verallgemeierug für beliebiges : ( ) ( ) ( ) W ( ) : u W() Ageomme W() ist sivoll defiiert, da gilt: W ( ) ( ) ( ) ( ) W geügt der Fuktioalgleichug W ( ) W ( ) ( ) Defiitio vo W() bzw. Fuktioalgleichug W(). W() ka icht mittels der Fuktioalgleichug aus W() berechet werde. W() köte jedoch mittels der Fuktioalgleichug aus W() ermittelt werde. 8
9 Verschachtelte Wurzel II Iitialisierug der Fuktioalgleichug Beobachtug: Sehr sesitiv gegeüber Afagswerte. Verschachtelte Wurzel II Auffide eier Lösug Gesucht ist eie eplizite Darstellug eier (stetig differezierbare) möglicherweise icht eideutig bestimmte Fuktio w:(, ) R, welche die Fuktioalgleichug ( ) löst, d.h.: w( ) w( ) Versuche polyomiale Asatz für w. Bestimme zuächst deg w : deg l ( ) deg( id wo S ) deg w deg w deg w w Eisetze des Asatzes w() a b: ( a b) ( a a b) ( a b) a ab b a Koeffizietevergleich: : : b : a a a b b b b w() {, } Steht icht im Widerspruch zu de beide voragehede Gleichuge. Resultat legt folgede Vermutug ahe: u W () w()! 9
10 Verschachtelte Wurzel II Wohldefiiertheit & Gleichheit Frage ) Ist W wohldefiiert? W ) : ( ( ) W ( ) : ( ) ( ) W ( ) : ( ) ( ) ( ) W ( ) : ( ) ( ) W ( ) : lim W ( ) falls der Grezwert eistiert. Frage ) Gilt w W? Geauer, gibt es mit? ( ) ( ) ( ) für? Verschachtelte Wurzel II Beweis der Wohldefiiertheit Eie (reelle) mootoe Folge kovergiert geau da, we sie beschräkt ist. Die Folge (W ()) ist für alle > streg mooto wachsed. ( ) < ( ) ( ) ( ) ( ) < ( ) ( ) ( ) ootoie der Wurzel etc. ( ) < ( ) ( ) W ( ) < W ( ) Außerdem gilt W () < W() < () für alle (siehe ute). Folglich ist (W ()) beschräkt ud somit koverget. W() ist also wohldefiiert.
11 Verschachtelte Wurzel II Beweis der Gleichheit Ageomme c (, ] ud C [, ) : c ( ) W ( ) C ( ) für W ( ) für Beweis: c c c ( ) W ( ) C( ) ( ) W ( ) C( ) ( ) W ( ) C( ) c c ( ) W ( ) C( ) ( ) W ( ) C ( ) -fach wiederholte Ausführug der Rechug liefert: k k Wege lim c lim C k k folgt mit ( ) W ( ) C( ) c W ( ) für Verschachtelte Wurzel II, c>, : W ( ) c( ) beutze: Abschätzug vo W ach ute, r, N : r ( ) r Beweis: ( ) ( ) W ( ) ( ) ( ) ( ) 8 Es sei z > : z Also: z ( ) z ( ) : : W ( ) z Problem: sqrt() läßt sich icht i der erste Wurzel faktoriell abspalte, da dies eie Vergrößerug bewirkt. z z
12 Verschachtelte Wurzel II Für alle : W() () beutze: Abschätzug vo W ach obe, r, N : ( ) r ( )r Beweis: ( ) ( ) W ( ) Awedug der Hilfsugleichug für ( ) ( ) ( ) Awedug der Hilfsugleichug für ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Verschachtelte Wurzel II Resumé Ist z >, so gilt: ( ) W ( ) ( ) für alle z z W ( ) w( ) für [, ) z Wege W() w() ud für z folgt: W ( ) w( ) für [, ) Isbesodere läßt sich u die Vermutug bestätige: u : W () w()
13 Verschachtelte Wurzel III Aufgabestellug? v : ) : ( V ) ( V ) ( ) ( V V Verallgemeierug für : Fuktioalgleichug: Verschachtelte Wurzel III Kovergezvergleich
14 Verschachtelte Wurzel III Vorhersage mittels Fuktioalgleichug direkte Berechug als (geäherter) Grezwert Berechug mittels Fuktioalgleichug basiered auf V() Bestimme durch Berechug des Grezwerts V ( ) v Iitialisiere Fuktioalgleichug mit V(). Vergleiche u: V() V () 5 V ()! V () 5 6 V () V () V ()!! Zusammefassug
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele
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